Математические модели движения на роликовой доске: скейтборде

Механика неголономных систем оформилась как самостоятельный раздел аналитической механики в 1894 году в книге известного физика и механика Г. Герца [13]. Ему принадлежат также и термины «голономная система» и «неголономная система» .

Круг задач, решаемых методами механики неголономных систем, довольно широк. К числу классических задач неголономной механики, прежде всего, следует отнести задачи о качении тел по твердой поверхности. Количество работ, посвященных этим задачам, не поддается описанию. Из русских ученых начала XX века, занимавшихся решением задачи о качении твердых тел, можно назвать С. А. Чаплыгина [73−77], П. В. Воронца [11, 12, 125−127], Г. К. Суслова [58, 59]. В более позднее время такие исследования проводили Х. М. Муштари [45], Е. И. Харламова [72], Ю. П. Бычков [7−10], В. В. Румянцев [49, 53, 54], а в настоящее время их активно проводят А. В. Карапетян [20−24, 26, 27], А. П. Маркеев [37−42], А. С. Сумбатов [56, 57], Я. В. Татаринов [62−64, 67, 69], А. В. Борисов и И. С. Мамаев [2, 3, 87, 88] и многие другие. Современное состояние этого вопроса и обширная библиография имеются в монографии А. П. Маркеева [42].

Теория движения неголономных систем успешно применялась и применяется при исследовании различных технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла (К. Бурле [89], Ж. Буссинеск [90], Э. Карвалло [93], Ф. Уиппл [122], Дж. Раус [112], М. В. Келдыш [29], И. И. Метелицын [44], Е. Д. Дикарев, Н. А. Фуфаев [14]), в теории движения автомобиля (Н.Е. Жуковский [15], П. С. Линейкин [33], Л. Г. Лобас [34], Е. А. Чудаков [79]), в теории движения колесных мобильных роботов (В.М. Буданов, Е. А. Девянин [5], А. А. Зобова и Я. В. Татаринов [18, 19],.

Ю.Г. Мартыненко [17, 43, 46], Д. Е. Охоцимский [46]) и в целом ряде других областей техники. Таким образом, механика неголономных систем может быть применена при исследовании движения различных машин и механизмов, снабженных колесами. В частности, объектами такого типа являются спортивные средства передвижения и экстремального спорта, т. е. различные роликовые доски, скейтборды, снейкборды и прочее. Исследования динамики подобных средств передвижения необходимы для того, чтобы в перспективе выработать некоторые общие принципы катания на таких объектах и представить полученные принципы в виде инструкции для начинающих спортсменов. Наличие некоторых общих рекомендаций о правильном пользовании досками привело бы к значительному уменьшению травматизма, вызванного падениями при катании.

В данной диссертации рассматривается задача о движении человека на скейтборде. Предполагается, что управление скейтбордом со стороны человека отсутствует. Строятся различные математические модели, описывающие динамику данной системы. Уравнения движения этих моделей представлены в форме уравнений Гиббса — Аппеля. Проводится анализ этих уравнений, в частности, исследуются вопросы интегрируемости полученных уравнений. Также изучается влияние различных параметров модели на ее динамику.

В первой главе рассматривается простейшая модель движения человека на скейтборде (в дальнейшем человека, катающегося на скейтборде, будем называть райдером). Предполагается, что райдер представляет собой твердое тело, остающееся ортогональным к плоскости доски во все время движения. В этом случае наклон доски и наклон райдера определяются одной обобщенной координатой.

Во введении к первой главе проводится обзор имеющейся литературы по исследуемой задаче, а затем дано краткое описание скейтборда и составляющих его частей. Основные системы координат, используемые при изучении движения системы, вводятся в первом параграфе. Второй параграф посвящен выводу кинематических соотношений, связывающих угол наклона доски с углами поворота колесных осей скейтборда.

Последующие два параграфа посвящены выводу уравнений движения системы. Уравнения движения записываются в форме уравнений ГиббсаАппеля. Проверяется, что полученные уравнения всегда обладают первым интегралом — интегралом энергии. В пятом параграфе проводится сравнение полученных уравнений движения с теми приближенными, что были выведены ранее в работах Хаббарда [105, 106] и Эстерлинга [109], и показывается, как свести найденные уравнения к уравнениям указанным в [105, 106, 109].

Уравнения движения скейтборда всегда имеют важное частное решение, которое соответствует равномерному прямолинейному движению скейтборда. Устойчивость этого движения исследуется в шестом параграфе. В этом параграфе получены условия устойчивости равномерного прямолинейного движения скейтборда, а также условия устойчивости равновесия, когда скейтборд неподвижно стоит на плоскости.

Вопросу существования у полученных уравнений движения инвариантной меры с гладкой положительной плотностью посвящен седьмой параграф первой главы. В этом параграфе найдены условия, при которых инвариантная мера существует. При выполнении этих условий уравнения движения скейтборда можно полностью проинтегрировать при помощи квадратур. Подробный качественный анализ квадратур данного интегрируемого случая приведен в восьмом параграфе. В девятом параграфе для интегрируемого случая движения данной системы проведен анализ устойчивости всех стационарных движений скейтборда, получены условия устойчивости стационарных движений, а все аналитические результаты подтверждены серией построенных численно бифуркационных диаграмм.

В последнем, десятом параграфе первой главы, проводится анализ движения скейтборда вблизи положения равновесия. Уравнения движения приводятся к нормальному виду, и на основе нормальной формы делается вывод о том, как ведет себя система вблизи положения равновесия. Вторая глава диссертации посвящена исследованию более сложной модели скейтборда. Предполагается, что наклон доски и наклон райдера определяются двумя независимыми обобщенными координатами. В первых двух параграфах второй главы выводятся уравнения движения данной модели скейтборда, при этом снова используется метод Гиббса — Аппеля. Полученные уравнения сравниваются с теми приблеженными, что были выведены ранее в работах Хаббарда [105, 106]. Как и в случае простейшей модели, уравнения движения данной модели скейтборда допускают частное решение, которое соответствует равномерному прямолинейному движению скейтборда. Устойчивость этого движения исследуется в третьем параграфе. Получены условия устойчивости равномерного прямолинейного движения, а также равновесия скейтборда. Четвертый параграф посвящен исследованию условий существования у уравнений движения инвариантной меры с гладкой положительной плотностью. Получены условия, при которых инвариантная мера в данной задаче может существовать, однако найти ее в явном виде не удалось. В пятом параграфе проводится анализ движения скейтборда вблизи положения равновесия, при этом снова используется метод нормальных форм.

Результаты диссертационной работы докладывались на многочисленных семинарах и конференциях, в частности:

1) на десятой Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твердого тела», Донецк, Украина, 2008;

2) на шестой Международной конференции ENOC-2008, Санкт-Петербург, Россия, 2008;

3) на XXXVI Международной школе-конференции АРМ-2008, Санкт-Петербург, Россия, 2008;

4) на девятой Международной конференции MOVIC-2008, Мюнхен, Германия, 2008;

5) на десятом Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» им. Е. С. Пятницкого, Москва, Россия, 2008.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [129−135].

1. Астапов И. С. Об устойчивости вращения кельтского камня // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1980. No. 2. С. 97−100.

2. Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // Математические заметки. 2001. Т: 70. № 5. С. 793−796.

3. Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. № 4. С. 407−418.

4. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 256 с.

5. Буданов В. М., Девянин Е. А. О движении колесных роботов // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 244−255.

6. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. Т. 1. 1969. 468 с. Т. 2. 1972. 331 с.

7. Бычков Ю. П. О катании твердого тела по неподвижной поверхности // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 3. С. 573−583.

8. Бычков Ю. П. К задаче о катании твердого тела по неподвижной поверхности // Инженерный журнал. 1965. Т. 5. Вып. 5. С. 803−811.

9. Бычков Ю. П. О движении тела вращения, ограниченного сферой, на сферическом основании // Прикладная математика и механика. 1966. Т. 30. Вып. 5. С. 934−935.

10. Бычков Ю. П. Об уравнениях движения одной механической задачи // Прикладная механика. 1967. Т. 3. Вып. 6. С. 135−137.

11. Воронец П. В. Об уравнениях движения для неголономных систем // Математический сборник. 1901. Т. 22. Вып. 4. С. 659−686.

12. Воронец П. В. Уравнения движения твердого тела, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости. Киев: Тип. ун-та Св. Владимира. 1903.

13. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР. 1959.

14. Дикарев Е. Д., Дикарева С. Б., Фуфаев Н. А. Влияние наклона рулевой оси и выноса переднего колеса на устойчивость движения велосипеда // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 1. С. 69−73.

15. Жуковский Н. Е. К динамике автомобиля // Жуковский Н. Е. Собрание сочинений. M.-JL: Гостехиздат. 1950. Т. 7. С. 362−368.

16. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. М.: Наука. Физматлит. 1997. 320 с.

17. Зацепин М. Ф., Мартыненко Ю. Г., Тиньков Д. В. Уравнения Лагранжа, Воронца, Чаплыгина в задачах динамики мобильных роботов. М.: Изд-во МЭИ. 2005. 33 с.

18. Зобова А. А., Татаринов Я. В. Математические аспекты динамики движения экипажа с тремя окольцованными колесами // Материалы научной школы-конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы». 2006. М.: Изд-во МГУ. С. 61−67.

19. Зобова А. А., Татаринов Я. В. Свободные и управляемые движения некоторой модели экипажа с роликонесущими колесами // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 2008. № 6. С. 61−65.

20. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // Прикладная математика и механика. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 801−807.

21. Карапетян А. В. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44. Вып. 3. С. 418−426.

22. Карапетян А. В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней // Прикладная математика и механика. Т. 45. Вып. 1. С. 42−51.

23. Карапетян А. В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45. Вып. 5. С. 808−814.

24. Карапетян А. В. Об устойчивости стационарных движений систем некоторого вида // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. № 2. С. 45−52.

25. Карапетян А. В., Румянцев А. В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ. 1983. 132 с.

26. Карапетян А. В. Бифуркация Хопфа в задаче о движении тяжелого твердого тела по шероховатой плоскости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1985. № 2. С. 19−24.

27. Карапетян А. В. О специфике применения теории Рауса с системам с дифференциальными связями // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 17−22.

28. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998. 165 с.

29. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси // Труды ЦАГИ. 1945. № 564.

30. Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики //Успехи механики. 1985. Т. 8. No. 3. С. 85−107.

31. Козлов В. В. О существовании интегрального инварианта гладких динамических систем // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 4. С. 538−545.

32. Ламб Г. Теоретическая механика. Т. 3. Более сложные вопросы. ОНТИ НКТП СССР. 1936. 380 с.

33. Линейкин П. С. О качении автомобиля // Труды Саратовского автомобильно-дорожного института. 1939. № 5. С. 3−22.

34. Лобас Л. Г. Неголономные модели колесных экипажей. Киев: Наукова думка. 1986. 23 1 с.

35. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Гос. Изд-во физ.-мат. лит-ры. 1961. 824 с.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об. устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат. 1950. 471 с.

37. Маркеев А. П. О движении тяжелого однородного эллипсоида на неподвижной горизонтальной плоскости // Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. Вып. 4. С. 553−567.

38. Маркеев А. П. О качении эллипсоида по горизонтальной плоскости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. № 2. С. 53−62.

39. Маркеев А. П. О движении эллипсоида на шероховатой плоскости при наличии скольжения // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 2. С. 310−320.

40. Маркеев А. П. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 4. С. 575−582.

41. Маркеев А. П. О стационарных движениях диска на гладком горизонтальном льду // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 4. С. 16−20.

42. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука. 1992.336 с.

43. Мартынеико Ю. Г. Управление движением мобильных колесных роботов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. Вып. 8. С. 29−80.

44. Метелицын И. И. Устойчивость движения мотоцикла // Труды Военной Академии бронетанковых и механизированных войск Советской Армии. 1948. № 9. С. 45−98.

45. Муштари Х. М. О катании тяжелого твердого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости // Математический сборник. 1932. Т. 39. № 1−2. С. 105−126.

46. Охоцимский Д. Е., Мартыненко Ю. Г. Новые задачи динамики и управления движением мобильных колесных роботов // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 1. С. 3−47.

47. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1−2. М.: Наука. 1983. 404 с. 544 с.

48. Раус Э.Дж. Об устойчивости заданного состояния движения, в частности, установившегося движения. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 200 с.

49. Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. Вып. 4. С. 778−784.

50. Румянцев В. В. Об устойчивости движения неголономных систем // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31. Вып. 2. С. 260−271.

51. Румянцев В. В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отношению к части переменных // Прикладная математика и механика. 1971. Т. 35. Вып. 1. С. 138−143.

52. Румянцев В. В., Карапетян А. В. Устойчивость движений неголономных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 3. М.: ВИНИТИ. 1976. С. 5−42.

53. Румянцев В. В. Об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980. № 4. С. 11−21.

54. Румянцев В. В. К задаче об устойчивости вращения тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости с трением // В сб.: Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностроение. 1982. С. 263−272.

55. Смейл С. Топология и механика // Успехи математических наук. 1972. Т. 27. С. 77−133.

56. Сумбатов А. С. О применении некоторых обобщений теоремы площадей в системах с качением твердых тел // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. Вып. 4. С. 599−605.

57. Сумбатов А. С. О законе изменения кинетического момента шара, катающегося по неподвижной поверхности // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 867−869.

58. Суслов Г. К. Теоретическая механика. M.-JL: Гостехиздат. 1946. 655+XVI с.

59. Суслов Г. К. К вопросу о катании поверхности по поверхности // Киевские университетские известия. 1892. № 6. С. 1−41.

60. Татаринов Я, В.. Частотная невырожденность волчка Лагранжа и уравновешенного гироскопа в кардаповом подвесе // Известия РАН. Механика твердого тела. 1987. № 4. С. 30−36.

61. Татаринов Я. В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей. Модельные задачи малой размерности // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51. Вып. 5. С. 741−749.

62. Татаринов Я. В. Слабо неголономное представление задачи о качении твердого тела и возможности усреднения по фазовым торам // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 1. С. 25−33.

63. Татаринов Я. В. Разделяющиеся переменные и новые топологические явления в голономных и неголономных системах // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Т. XXIII. М.: Изд-во МГУ. 1988. С. 160−174.

64. Татаринов Я. В. Универсальнаяхарактеристическая функция и метод подвижного репера в динамике систем с неинтегрируемыми связями // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 1989. № 2. С. 60−66.

65. Татаринов Я. В. Сложение нелинейных колебаний с эволюцией вдоль многообразия равновесий обратимых систем // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 1990. № 5. С. 93−96.

66. Татаринов Я. В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей. Нелинейные эффекты вблизи многообразия равновесий // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 604−614.

67. Татаринов Я. В. Уравнения классической механики в новой форме // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 2003. № 3. С. 67−76.

68. Татаринов Я. В. Адекватный выбор координат для описания эволюции вдоль многообразия равновесий неголономной системы // Материалы научной школы-конференции «Мобильные роботы и мехатронные системы». 2004. М.: Изд-во МГУ. С. 117−123.

69. Татаринов Я. В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при Механико-математическом факультете МГУ. 2005. 88 с.

70. Татаринов Я. В. Сложение нелинейных колебаний с эволюцией вблизи многообразия установившихся движений обратимых и диссипативных систем // Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 2007. № 2. С. 57−64.

71. Турскова Т. Ролики. М.: Вече. 2002. 384 с.

72. Харламова Е. И. Качение шара по наклонной плоскости // Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22. Вып. 4. С. 504−509.

73. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 5. Вып. 1. С. 10−16.

74. Чаплыгин С. А. О некотором возможном обобщении теоремы площадей с применением к задаче о катании шаров // Математический сборник. 1897. Т. 20. Вып. 1. С. 1−32.

75. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Математический сборник. 1903. Т. 24. Вып. 1. С. 139−168.

76. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Математический сборник. 1911. Т. 28. Вып. 2. С. 303−314.

77. Чаплыгин С. А. Исследования по динамике неголономных систем. M.-JL: ГИТТЛ. 1949.

78. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука. 1990. 176 с.

79. Чудаков Е. А. Устойчивость автомобиля против заноса. М.: Машгиз. 1949. 144 с.

80. Abraham R. and Marsden J.E. Foundations of Mechanics. 1978. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts.

81. Ackermann J. & Strobel M. Die Beschleunigung Beim Slalomskateboarden. 2000. Diploma Thesis. ETH Zurich. Switzerland.

82. Ardema M.D. Analytical Dynamics: Theory and Applications. New York. Kluwer Academic Publishers. 2005.

83. Birr S. und Schol L.H. Der Ollie Analyse und Simulation des Sprunges mit einem Skateboard // Abstracts der 64 Physikertagung. Dresden. Technische Universitat Dresden. Deutschen Physikalischen Gesellschaft. 2000. P. 36.

84. Birr S. und Schol L.H. Der Ollie Analyse und Simulation des Sprunges mit einem Skateboard. 2000.

85. Bjornstrup J. Estimation of human body segment parameters historical background // Technical Report, Laboratory of Image Analysis. Institute of Electronic Systems. Aalborg University.

86. Bondi H. The rigid body dynamics of unidirectional spin // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1986. Vol. 405. P. 265−274.

87. Borisov A. V., Mamaev I.S. The Rolling" Motion of a Rigid Body on a Plane and a Sphere. Hierarchy of Dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2002. Vol. 7. № 2. P. 177−200.

88. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A. The Rolling Motion of a Ball on a Surface. New Integrals and Hierarchy of Dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2002. Vol. 7. № 2. P. 201−219.

89. Bourlet C. Etude theorique sur la bicyclette // Bulletin de la Societe Mathematique de France. 1899. T. 27. P. 47−67, 76−96.

90. Boussinesq J. Aper? u sur la theorie de la bicyclette // Journal de Math^matique Pures et Appliques. 1899. Serie 5. T. 5. P. 117−135.

91. Bridgmans S. Jr. & Collins D.F. Human body motion in an ollie // The Physics Teacher. 1992. Vol. 30. P. 498−499.

92. Broadt В., Necochea C. & Jacobsen S.P. What’s an Ollie? // The Physics Teacher. 1991. Vol. 29. P. 498−499.

93. Carvallo E. Theorie du movement du monocycle et de la bicyclette // Journal de l’Ecole Polytechnique. Serie 2. 1900. Cahier 5. P. 119−188. 1901. Cahier 6. P. 1−118.

94. Chandler R.F., Clauser C.E., McConville J.T., Reynolds H.M. and Young J.W. Investigation of inertial properties of the human body // Technical Report DOT HS801 430. Aerospace Medical Research Laboratory. WrightPatterson Air Force Base. OH. 1975.

95. Clauser C.E., McConville J.T. and Young J.W. Weight, volume, and center of mass of segments of the human body // Technical Report AMRLTR6970 (AD 710 622). Aerospace Medical Research Laboratory. WrightPatterson Air Force Base. OH. 1969.

96. Determan J., Frederick E.C. & Cox J. Impact forces during skateboard landings // Proceedings of the XIII Biennial Conference. Canadian Society for Biomechanics. Halifax. 2004. P. 28.

97. Endruweit A. and Ermanni P. Experimental and numerical investigations regarding the deformation-adapted design of a composite flex slalom skateboard // Sports Engineering. 2002. Vol. 5. P. 141−154.

98. Frederick E.C., Determann J.J., Whittlesey S.N. & Hamil J. Biomechanics of skateboarding: Kinetics of the «Ollie» // Proceedings of the VI Symposium onFootwear Biomechanics. Dunedin, New Zealand: International Society of Biomechanics. 2003. P. 167−168.

99. Frederick E.C., Determann J.J., Whittlesey S.N. & Hamil J. Biomechanics of skateboarding: Kinetics of the Ollie // Journal of Applied Biomechanics. 2006. Vol. 22. P. 33−40.

100. Froisland A., Matson J. & Stutzman M. The Skateboard Ollie a biomechanical analysis. 2004.

101. Garcia A. and Hubbard M. Spin reversal of the rattlebaclc: theory and experiment // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1988. Vol. 418. P. 165−197.

102. Gulino D. Skateboard wheels. 2002.

103. Hanavan E.P. A mathematical model of the human body // Technical Report TR64102 (AD 608 463). Aerospace Medical Research Laboratory. WrightPatterson Air Force Base. OH. 1964.

104. Hubbard M. Lateral Dynamics and Stability of the Skateboard // Journal of Applied Mechanics. 1979. Vol. 46. P. 931−936.

105. Hubbard M. Human Control of the Skateboard // Journal of Biomechanics. 1980. Vol. 13. P. 745−754.107.1spolov Yu.G. and Smolnikov B.A. Skateboard Dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. Vol. 131. P. 327−333.

106. Lewis A.D., Ostrowski J.P., Murray R.M. and Burdiclc J.W. Nonholonomic mechanics and locomotion: the Snakeboard example // Proceedings of the IEEE ICRA. San Diego. May 1994. IEEE. P. 2391−2400.

107. Osterling A.E. MAS 3030. On the skateboard, kinematics and dynamics. 2004. School of Mathematical Sciences, University of Exeter. United Kingdom.

108. Poincare H Sur I’equilibre d’une masse fluide animee d’un movement de rotation // Acta Mathematica. 1885. Vol. 7. P. 259−380.

109. Robinson D. Newtonian exercise on a snake-board // Physics Education. 1999. Vol. 34. No. 4. P. 232−237.

110. Routh G.R.R. On the Motion of a Bicycle // The Messenger of Mathematics. 1899. Vol. 28. P. 151−169.

111. Salvadori L. Un’osservazione su di un criterio di dtabilita di Routh // Rendiconti Academia delle Scienze fisiche e matemati-che. Societa R. di Napoli. 1953. Vol. 4. P. 269−272.

112. Salvadori L. Sulla stabilita del movimento // Le matematiche. 1969. Vol. 24. No. 1. P. 218−239.

113. Steinbrecher A. Mathematik kann alles auch Skateboard fahren? 2005. Berlin. Germany.

114. Steinbrecher A. Numerical simulation of multibody systems via Runge-Kutta Methods. GAMM Jahrestagung. 2006. Berlin.Germany.

115. Synge J.L., Griffith B.A.'Principles of Mechanics. New York: McGraw Hill. 1959.

116. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta Mathematica. 1898. Vol. 22. P. 201−357.

117. Walker G.T. On a curious property of celts // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. 1895. Vol. 8. pt. 5. P. 305−306.

118. Walker G.T. On a Dynamical Top // Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 1896. Vol. 28. P. 175−184.

119. Whipple F.J.W. The Stability of the Motion of a Bicycle // Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 1899. Vol. 30. P. 312−348.

120. Wisse M. and Schwab A.L. Skateboards, Bicycles and Three-dimensional Biped Walking Machines: Velocity-dependent Stability by Means of Lean-to-yaw Coupling // The International Journal of Robotics Research. 2005. Vol. 24. P. 417−429.

121. Woronetz P. Uber die rollende Bewegung einer Kreisscheibe auf einer beliebigen Flache unter der Wirkung von gegebenen Kraften // Mathematische Annalen. 1909. Bd. 67. S. 268−280.

122. Woronetz P. Ober die rollende Bewegung eines starren Korpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Flache rollt // Mathematische Annalen. 1911. Bd. 70. S. 410−453.

123. Woronetz P. Uber die Bewegungsgleichungen eines starren Korpers //Mathematische Annalen. 1912. Bd. 71. S. 392−403.128. www.peterverdonedesigns.com/pvdtrucks.htm.

124. Кремнев A.B., Кулешов A.C. Нелинейная динамика и устойчивость движения простейшей модели скейтборда. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при Механико-математическом факультете МГУ. 2007. 104 с.

125. Кремнев А. В., Кулешов А. С. Математическая модель скейтборда с тремя степенями свободы. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при Механико-математическом факультете МГУ. 2008. 72 с.

126. Кремнев А. В., Кулешов А. С. Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 3. С. 323−340.

127. Кремнев А. В., Кулешов А. С. Нелинейная динамика модели скейтборда с тремя степенями свободы // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 3. С. 341−355.

128. Кремнев А. В., Кулешов А. С. Нелинейная динамика простейшей модели скейтборда // Механика твердого тела. Межведомственный сборник научных трудов. Донецк. 2007. Вып 37. С. 112−121.

129. Kremnev A.V., Kuleshov A.S. Dynamics and Simulation of the Simplest Model of a Skateboard // Proceedings of the 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference ENOC-2008. June 30 July 4. 2008. Saint-Petersburg. Russia.

130. Kremnev A.V., Kuleshov A.S. Dynamics and Stability of the Simplest Skateboard Model // Proceedings of the 9th International Conference on Motion and Vibration Control MOVIC-2008. September 15−18. Muenchen. Germany.