Математические модели конфликтов в экологии

Экология в настоящее время относится к наиболее развивающимся разделам науки и практики о жизни на Земле. История развития Земли очень существенно отражает воздействие на нее живых организмов и человека особенно. Между человеком и природой устанавливаются такие связи и отношения, которые делают возможным его существование. Однако от интенсивности этого взаимодействия в природе нашей планеты обнаружились серьезные негативные сдвиги, несущие угрозу для жизни. Усиливающиеся загрязнения окружающей природной среды — воздуха, воды, почвы, истощение невозобновляемых природных ресурсов, нарушение устойчивости биосферы, резкое сокращение биологического разнообразия поставили человечество не только перед необходимостью осознания важности экологических проблем, но и разработки стратегии развития науки и техники, которая гарантировала бы выживание человечества, сохранение живой природы. Важным вопросом современной экологии становится понимание того, что необдуманное желание полновластия над природой делает человека зависимым от тех перемен, которые он сам осуществляет. В этой связи экологические проблемы все больше становятся предметом исследования естественных наук.

Экология все более трансформируется из науки о жизни природы в науку о структуре природы и о работе живого покрова Земли в целостных экосистемах. Кроме того, если раньше экология лишь констатировала факты и выявляла закономерности жизни организмов в природе, то позднее, начиная с 20-х годов нашего века, она начала выявлять пути управления биологическими ресурсами, особенно на примере популяций полезных и вредных видов. В практику экологических исследований широко вошли такие виды методов, как мониторинг и моделирование, прогнозы, экспресс-контроль и др. Теперь экология решает задачи прогнозирования продуктивности биогеоценозов, производит моделирование оптимальных экосистем и, главное — ставит задачи широкой реализации путей управления биологическими ресурсами на уровне популяций и биогеоценозов, вплоть до биосферы. И что особенно важно: современная экология взяла курс на разработку путей возобновления биологических ресурсов биосферы и отдельных биогеоценозов, нарушенных человеком, на воссоздание оптимальной структуры природных сообществ и сохранение высокопродуктивных экосистем, регулирование численности видов. Все это обусловило экологии статус научной основы охраны природы и рационального природопользования.

К группе эмпирических методов изучения окружающей среды относится и метод моделирования экологических явлений в природе и обществе, который в последнее время получил широкое распространение. Модель — это абстрактное описание какого-то явления реального мира, позволяющая делать предсказания об этом явлении. Хотя любая модель всегда упрощена и отражает лишь общую суть процесса, тем не менее моделирование позволяет экспериментировать, использовать процессы и явления, недоступные для непосредственного наблюдения. Методами имитационного моделирования, особенно с применением компьютеров, можно получить достаточно надежные количественные прогнозы, например, изменения численности популяции, устойчивости структуры экосистем и др. Имитационное моделирование широко используется при исследовании экосистемы, особенно биосферы, т. е. там, где учитывается множество разнохарактерных структурных компонентов экосистемы и многофункциональное их поведение.

Модели очень полезны, так же как средство интеграции всего того, что известно о моделируемой ситуации, при этом они выявляют и неточности в исходных данных об объекте, а также определяют новые аспекты его изучения. Моделирование экологических явлений используется для практических прогнозов динамики явлений, для исследования взаимосвязей видов и сообществ со средой, для определения воздействия факторов и для выбора путей рационального вмешательства человека в жизнь природы.

В настоящее время многие ученые направляют свои усилия на исследование взаимодействия человека и биосферы, изучение проблем эволюции ноосферы, выработку концепции и определение условий перехода человечества к устойчивому развитию. Процессы формирования и реализации такой концепции сопровождаются сталкиванием интересов разных регионов и стран, различающихся по уровню экономического и социального развития, степени участия в использовании общих для всех природных ресурсов, таких как атмосфера, вода, животный и растительный мир и т. п. Это определяет сложность пути, по которому должно пройти мировое сообщество для выработки согласованной стратегии своего развития. В обсуждении этих проблем принимают участие ученые разных областей науки. Задача специалистов в области прикладной математики — построение методологии применения количественных методов, позволяющих формализовать указанные процессы с помощью математических моделей. Основой для этого служат фундаментальные результаты математической экологии, теории управления и теории игр. Теоретические исследования при этом играют важную направляющую роль концептуальных основ, и в тоже время естественных ограничений для экспериментальных разработок и прикладных реализаций, а результаты моделирования могут служить основой для качественных рекомендаций в более общих случаях. Актуальность работы, посвященной построению математических моделей конфликтов в экологии, объясняется повышенным интересом к данной проблематике в настоящее время и важностью для современного общества, развитие которого напрямую зависит от состояния экологических систем. Исходя из вышесказанного, особенно важным и необходимым в современных условиях являются пути нахождения оптимальных стратегий поведения участников конфликта в процессе координации политики рыбного промысла, что является центральным вопросом рассмотрения данной диссертационной работы.

Научная новизна работы. Предложена новая математическая формализация процесса конфликтного управления рыбным промыслом с учетом экологического и экономического критериев, разработка методов и алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных принципов оптимальности, а также исследование свойства динамической устойчивости достроенных решений.

В работе представлены следующие результаты:

— Построена и исследована теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. На основе полученных конструктивных условий для нахождения ситуаций равновесия по Нэнгу, Штакельбергу и Парето в динамической игре предложены алгоритмы вычисления решений;

— Осуществлена разработка алгоритмов регуляризации решения по Штакельбергу и построения траекторий 5-локально оптимального поведения, обеспечивающих их динамическую устойчивость;

Предложен метод вычисления равновесных по Нэпгу, Штакельбергу и Парето решений для моделей с дисконтированием;

— Доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором.

Теоретическая значимость диссертации определяется новизной постановки и формализации математической модели рыбного промысла, исследованием динамических конфликтных систем, решением проблем динамической устойчивости и построением процедур регуляризации оптимального решения в динамических играх.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанный научно-методический аппарат обеспечивает возможность использования полученных результатов для выработки стратегии поведения участников конфликтного процесса рыбного промысла. Полученные результаты могут быть также применены в учебном процессе по дисциплинам, связанным с математической экологией и теорией оптимального управления.

Попытки математического моделирования динамики как отдельных биологических популяций, так и сообществ, включающих взаимодействующие популяции различных видов, предпринимались давно. Одна из первых моделей роста изолированной популяции была предложена еще в конце XVIII века:

Ж = цУ.

Л ^' где N — численность популяцииц — разность между коэффициентами рождаемости и смертности. Решение этого уравнения Щ) = при |а > 0 неограничено возрастает. Однако эффект неограниченного экспоненциального роста популяции в природе, где ресурсы, обеспечивающие этот рост, ограничены, не наблюдается. Как правило, численность популяции в заданной среде ограничена некоторой величиной К, называемой емкостью среды: Щ) -" К при t оо. Модели, учитывающие в какой-то степени это обстоятельство, появились позже. Например, в 1838 г. П. Ферхюльст предложил довольно простую и наглядную модель, которая достаточно хорошо описывает динамику биологических популяций: ж = тк-ю йг К.

Саморегуляризация численности популяции всегда являлась центральной проблемой математической экологии. Все началось в 1920;х годах с Альфреда Лотки [64], который сумел смоделировать цикл передачи малярии человеку насекомыми, и Вито Вольтерра [4], проанализировавшего динамику взаимодействия типа хищник-жертва рыб в Адриатическом море. Они впервые ввели дифференциальные уравнения для описания динамики таких систем. Наиболее серьезное исследование моделей биологических сообществ, включающих несколько популяций различных видов, было приведено в работе В. Вольтерра [4]. Например, динамика взаимодействия в сообществе двух биологических популяций описывалась системой дифференциальных уравнений: Ni (si +yiN2), ^=N2(e2+y2Ni), где 8/ - коэффициенты естественного прироста (или смертности) популяцииyz — коэффициенты межвидового взаимодействия. В зависимости от выбора коэффициентов модель описывает либо борьбу видов за общий ресурс, либо взаимодействие типа хищник-жертва, когда один вид является пищей для другого. В отличие от работ других авторов, где основное внимание уделяется собственно построению различных моделей, Вольтерра провел глубокое исследование построенных моделей биологических сообществ. Современные методы исследования динамики популяций изложены в работах [30, 33, 35, 36, 37].

Одним из первых, кто задумался о поведении животных в терминах вторжения (invasion) и саморегуляризации численности был Джон Мэйнард Смит [67]. Сначала он применил свою теорию к существующему соперничеству в пределах одной популяции, чтобы используя полученные результаты объяснить преобладание традиционной борьбы. Джон Мэйнард Смит и Джон Прайс [66] впервые изложили теорию борьбы в теоретико-игровых терминах. Хорошее введение в теорию динамики биологических популяций дается в книге Халлама и Левина [51]. Классификация всех фазовых изменений системы Лотки-Вольтерра в двухмерном пространстве дается в книге Бомзе [44].

Большое внимание проблемам управления биологическими популяциями уделяется такими учеными, как Хэмэлайнен (Hamalainen) [52], Каитала (Kaitala) [58, 59] и Аури (Haurie) [55]. Целью их работ является рассмотрение эксплуатации зависящих один от другого или трансграничных рыбных месторождений в рамках некооперативных игр. Задачи оптимального управления с конечным горизонтом (фиксированной продолжительности) для класса выпуклых систем, обычно используемые в моделировании экономических и биологических систем, впервые были рассмотрены в работах Аури и Хунга [55] и Брока и Аури [45]. Эта теория основывается на свойстве вариаций («turnpike») для оптимально управляемых систем. При достаточных предположениях о вогнутости начального уравнения и критерия становится возможным утверждать, что граничная оптимальная траектория, вне зависимости от ее начального положения, должна сходиться к экстремальному устойчивому положению.

Свойство «turnpike» для класса дифференциальных игр, рассматривающих разработку зависимых друг от друга рыбных месторождений двумя странами, представляет интерес, поскольку анализировать устойчивое положение статических игр связанное с «turnpikes», намного проще чем динамические траектории. Хэмэлайнен и Каитала [53] использовали этот подход для анализа игры выбора переменных линии поведения при переговорах, связанных с трансграничными рыбными запасами. Эти авторы подняли важную проблему вылова рыб среди стран, вовлеченных в управление зависимыми рыбными запасами. Целью исследования этих авторов было построение равновесного по Нэпгу решения для поставленных ими задач.

Важной проблемой реализуемости оптимальных решений в конфликтно-управляемых системах, включая и экологические, является их возможная динамическая неустойчивость. Эта проблема исследовалась для различных классов динамических игр. Впервые постановка этой проблемы и подходы к ее решению были предложены в работе Л. А. Петросяна [28]. Исследованием проблемы динамической и сильнодинамической устойчивости посвящены также работы С. В. Чистякова [39, 40] и В. В. Захарова [11, 74].

Применению принципа максимума Понтрягина и разработке эффективных алгоритмов нахождения оптимальных решений для различных оптимизационных задач посвящены многочисленные труды Л. С. Понтрягина [34], В. И. Зубова [14, 15, 16], Н. Н. Красовского [18, 19], В. И. Благодатских и др.

Целью диссертационной работы является рассмотрение проблем применения математических методов в экологии, разработка теоретико-игрового подхода к построению математических моделей и нахождению оптимальных решений. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию конфликтных моделей рыбного промысла. В первом параграфе приводится анализ особенностей планирования рыбного промысла в мировом обществе, а также условий и факторов, влияющих на организацию вылова, и вытекающие из них требования к методам решения и алгоритмам оптимизации. Во втором исследуется теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. В отдельные параграфы выделены алгоритмы нахождения ситуаций равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето-оптимального решения. Последний параграф главы посвящен исследованию вопроса принятия решений в сложных системах с иерархической структурой управления. В нем рассматривается задача выбора регулирующим органом коэффициентов платежей за добычу популяций рыб. Во второй главе работы исследуется проблема динамической устойчивости в рыбных войнах и регуляризации решения. Первый параграф главы посвящен вопросу регуляризации решения по Штакельбергу для модели двух игроков. Рассматриваются два различных метода регуляризации.

Основные результаты работы реализованы в численных алгоритмах, написанных на встроенном языке интерактивной системы МАТЬАВ (версии 5.0), реализующих функции решения соответствующих задач и визуализации решений в виде графиков. Полученные результаты могут быть использованы в процессе координации политики рационального использования акватических ресурсов и определения оптимальной стратегии поведения в различных конфликтных моделях рыбного промысла.

Заключение

.

Современная экология взяла курс на разработку путей возобновления биологических ресурсов биосферы и отдельных биогеоценозов, нарушенных человеком, на воссоздание оптимальной структуры природных сообществ и сохранение высокопродуктивных экосистем, регулирование численности видов. Все это обусловило экологии статус научной основы охраны природы и рационального природопользования. Необходимость дальнейшего развития и совершенствования математического аппарата для построения оптимальных планов природопользования стимулируется наличием многочисленных нерешенных проблемных ситуаций как прикладного, так и чисто теоретического характера. Моделирование экологических явлений используется для практических прогнозов динамики явлений, для исследования взаимосвязей видов и сообществ со средой, для определения воздействия факторов и для выбора путей рационального вмешательства человека в жизнь природы.

Выполненная диссертационная работа направлена на решение научной задачи, заключающейся в разрешении проблемы применения математических методов в экологии, построении новых математических моделей и нахождении оптимальных решений.

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

• Построена и исследована теоретико-игровая модель промысла двух видов рыб в случае двух игроков. На основе полученных конструктивных условий для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу, Штакельбергу и Парето в динамической игре предложены алгоритмы вычисления решений;

• Осуществлена разработка алгоритмов регуляризации решения по Штакельбергу и построения траекторий 5-локально оптимального поведения, обеспечивающие их динамическую устойчивость;

• Предложен метод вычисления равновесных по Нэшу, Штакельбергу и Парето решений для моделей с дисконтированием;

• Доказаны теоремы о динамической устойчивости равновесия по Нэшу и Парето-оптимального решения в задаче с переменным текущим дискаунт-фактором.