Моделирование сверхпроводящих и ферромагнитных прецизионных систем на основе преобразования граничных интегральных уравнений

Научно-технический прогресс в области электротехники связан с усовершенствованием существующих и созданием новых типов электротехнического оборудования, измерительных приборов, средств контроля и управления и пр., имеющих улучшенные эксплуатационные характеристики, меньшую материалоемкость и энергопотребление. Решение этой важной народнохозяйственной задачи предполагает разработку новых методов проектирования, базирующихся на максимально точном расчете сложных физических процессов, протекающих в проектируемых устройствах. Отсюда непосредственно следует необходимость повышения точности расчета магнитного (и электрического) поля в этих устройствах, которое главным образом определяет их рабочие параметры.

В настоящей диссертационной работе при расчете поля в магнитных средах за основу принят вытекающий из концепции вторичных источников метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), обладающий рядом достоинств. В качестве основного его достоинства назовем возможность с требуемой точностью моделировать процессы в окрестности границы раздела сред. При реализации метода ГИУ главным вопросом является их аппроксимация матричным уравнением. Выбранный способ аппроксимации определяет как точность результата, так и успех всей вычислительной работы в целом.

Само по себе ГИУ является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, и погрешности вследствие дискретизациичисленных аппроксимаций возникают только на границах и рядом с ними из-за невозможности выполнить численное интегрирование в замкнутой форме. Если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной (при использовании, например, криволинейных граничных элементов и непрерывно изменяющихся распределений функций на границе), то привносимые таким образом погрешности могут быть действительно очень малыми" [II].

Пререход от ГИУ к матричному уравнению осложнен тем, что ядра этих уравнений имеют особенность. Стандартные процедуры их численного интегрирования (с весом) практически плохо реализуемы, и поэтому существует проблема разработки специальных формул интегрирования .

При построении таких формул в ряде случаев получаются настолько сложные выражения, что они оказываются малопригодными для практического использования. В связи с этим возникает задача приближения ядер интегралов поля простыми функциями и последующего интегрирования образующихся подынтегральных выражений.

Такой метод решения интегральных уравнений, который включает вывод формул для интегралов поля, причем искомая плотность заменяется некоторой приближающей функцией, а ядро интеграла остается без изменений, либо приближается в окрестности особой точки относительно простыми функциями, — является по существу численно-аналитическим методом.

Подавляющее большинство известных приемов аппроксимации плотности источников поля основываются на представлении их постоянной, либо линейно изменяющейся функцией [47]. Лишь в очень незначительном числе работ описаны более сложные приближающие плотность функции специального вида, имеющие, однако, ограниченную область применения. Вместе с тем наличие больших градиентов плотности, особенно в окрестности участков границы раздела сред с резко изменяющейся кривизной, а также сингулярность ядра обуславливают настоятельную необходимость в построении более точных (сходящихся) приближений плотности, и, если это потребуется, то и ядра интеграла, и вытекающих отсюда формул численного интегрирования, обладающих повышенной точностью по сравнению с известными. «. уже сейчас МГЭ (метод граничных элементов, авт.) является полезным, мощным и эффективным с точки зрения затрат орудием в руках исследователя, использование обычных гауссовых квадратурных формул является, по-видимому, главным препятствием, ограничивающим в настоящее время диапазон его применений» [II]. Этот вопрос ставится особенно остро, когда рассматривается вычисление касательных к границе раздела сред составляющих напряженности поля.

Построение сходящихся приближений для плотности источников и ядер интегралов обеспечивает, в свою очередь, сходимость аппроксимации интегралов и тем самым возможность достижения необходимой точности расчета поля. Такой подход к повышению точности вычислений пригоден для корректного анализа процессов в диамагнетике (сверхпроводнике) и линейном и нелинейном ферромагнетиках (а также в линейном и нелинейном диэлектриках, т. е. при решении задач электростатики) .

В настоящей диссертационной работе ставились и решались следующие конкретные научно-технические проблемы.

Сейчас практически единственным инструментом, пригодным для измерения сверхслабых магнитных полей (Ю-11−10″ 14Т) является сверхпроводящий детектор магнитного потока, состоящий из приемной антенны, трансформатора магнитного потока и сверхпроводящего квантового интерферометра (СКИ). В зависимости от количества петель приемной антенны различают детекторы нулевой (одна петля), первой (две петли) и т. д. до пго порядка производной от компоненты магнитного поля. Детектор нулевого порядка, измеряющий саму компоненту вектора индукции, называют магнитометром, в остальных случаяхэто градиентометр. Отличительной особенностью градиентометров по сравнению с магнитометрами является их высокая помехозащищенность.

Основной задачей, решаемой средствами градиентометрии, является определение местоположения и направления в пространстве источника дипольного типа. При проведении геологоразведочных работ, поиске намагниченных предметов в слое земли, охране объектов анализируются поля мощных источников, находящихся на значительном расстоянии от прибора. В медикобиологических исследованиях изучаются слабые магнитные поля сердца и мозга человека.

Одним из перспективных направлений градиентометрии выступает разработка и применение тонкопленочных пленарных детекторов магнитного потока на основе СКИ. Конструкция тонкопленочных приемных петель и СКИ на одной подложке по сравнению с системами из проволоки и фольги имеет ряд преимуществ: высокая степень внутреннего баланса (не хуже 10 ~4) — стабильность параметров при термоциклировании и механических вибрацияхминимальная индуктивность проводников, соединяющих трансформатор потока с СКИ, высокая технологичность благодаря изготовлению методами групповой технологиии и т. д.

Для повышения избирательных свойств приемной антенны градиентометра применяют сверхпроводящий экран в виде прямоугольной пластины, расположенный вблизи одной из петель антенны. Повышение чувствительности прибора достигается путем использования концентраторов магнитного потока.

Таким образом возникла научно-техническая проблема расчета характеристик тонкопленочных планарньо, сверхпроводящих структур, именно: I) диаграмм пространственной чувствительности приемных антенн, в том числе со сверхпроводящим экраном- 2) коэффициентов эффективности концентраторов магнитного потока- 3) собственных и взаимных индуктивностей катушек трансформаторов магнитного потока и линий связи между элементами детекторов.

На работу электронных приборов СВЧ существенное влияние оказывают интенсивность и конфигурация магнитных полей рассеяния в месте расположения магниточувствительных элементов — коллекторов, электронных пушек и др. При использовании известных методик абсолютная погрешность расчета определяется в соответствии с уровнем рабочих полей, которые намного превышают поля рассеяния. Б итоге последние вычислялись по существующим программам с локальной погрешностью, не удовлетворявшей разработчиков.

Поэтому стояла задача повышения точности расчета полей рассеяния в магнитопроводах приборов СВ4, работающих в нелинейном режиме.

Главный узел оптико-электронномеханических приборов — прецизионное устройство магнитного подвеса — состоит из магнитопровода, намагничивающей катушки или постоянного магнита и вывешиваемого в их поле чувствительного элемента сферической формы — ротора. Магни-топровод и катушка обладают осевой симметрией и, когда ротор находится на оси симметрии, все устройство в целом осесимметрично, а на ротор со стороны магнитного поля действует только осевая подъемная сила. Если же ротор смещается в поперечном к оси круговой симметрии направлении, то эта симметрия нарушается, магнитное поле системы подвеса становится трехмерным и ротор испытывает еще и поперечное усилие.

При механической обработке деталей подвеса возникают в пределах допусков отклонения оси полюса магнитопровода от оси круговой симметрии всей конструкции подвеса или его формы от цилиндрической, а формы ротора от сферической. Такое нарушение осевой симметрии поля приводит в первом случае также к появлению поперечной силы, а во втором — к возникновению уводящих вращающих моментов.

В задачу электромеханического расчета устройства подвеса входит определение подъемной силы, поперечной жесткости (градиента поперечной силы) и уводящих моментов, действующих на ротор и полностью обуславливающих электромеханические характеристики этого прецизионного прибора.

Расчеты пленарных градиентометров в нашей стране практически не производились. Для численного анализа трехмерных полей, например, создаваемых трансформатором магнитного потока, математическая модель в виде ГИУ относительно плотности магнитных зарядов на од-носвязных границах была необоснованно усложнена введением регуля-ризующего функционала [159]. ГИУ 1-го рода в качестве модели плоского поля в сверхпроводящих структурах не удовлетворяло требованиям задачи из-за сложности обеспечения устойчивости вычислительного процесса. Корректность предложенного в [159] ГИУ 2-го рода для плоских задач остается недоказанной. Иными словами анализ поля структур из сверхпроводников 1-го рода побуждал к построению новых модификаций ГИУ 2-го рода, корректно описывающих происходящий там магнитный процесс.

Математическая модель процесса в нелинейном ферромагнитопрово-де электронных приборов СВЧ, включающая ГИУ и объемное ИУ, оказалась весьма сложной при численной реализации. Исследования, проведенные в диссертационной работе, показали, что названное ГИУ можно упростить введением параметра регуляризации равного 2.

Наряду с этим использование регуляризующего функционала позволило построить новую модификацию ГИУ 2-го рода, заданного на кусочно-однородной границе проводника и диэлектрика.

Выходные параметры рассматриваемых классов прецизионных приборов определяются через разности близких значений следующих величин: выходной сигнал градиентометра пропорционален разности магнитных потоков, пронизывающих каждую из петель приемной антенныв нелинейных магнитопроводах электронных приборов СВЧ результирующая напряженность' магнитного поля представляет разность напряженности полей первичных и вторичных источниковосевая и поперечная силы, а также сила, обуславливающая вращающий момент в устройстве магнитного подвеса — это разности близких значений соответствующих сил. Для обеспечения достаточной точности расчета выходных параметров прецизионных приборов составляющие этих разностей необходимо вычислять со значительно большей точностью, чем требуемая точность окончательного решения. Следовательно точность решения ГИУ относительно плотностей вторичных источников в рассматриваемых задачах должна быть высокой.

В пленочных сверхпроводящих структурах, в тонкостенных деталях приборов СВЧ и систем магнитного подвеса противолежащие элементы границы раздела сред находятся на расстояниях соразмерных или даже меньших, чем диаметры элементов. Эта же ситуация имеет место, в частности, при расчете ферромагнитных и диамагнитных (сверхпроводящих) экранов, применяемых для формирования поля в рабочей зоне или для ослабления полей внешних источников. Наличие близких противолежащих элементов границы и необходимость повышения точности решения ГИУ обуславливают повышенные требования к точности вычислительных процедур для граничных интегралов поля, ядра которых имеют при этом особенность как для совпадающих, так и не совпадающих точек наблюдения и интегрирования. Аналогичное обстоятельство складывается и при решении нелинейной задачи, когда рассчитываются компоненты вектора поля и их производные в приграничной магнитной области.

Ввиду того, что вычисление интегралов с особым ядром по стандартным квадратурам занимает недопустимо большое время, наиболее подходящим для поставленных целей является численно-аналитический метод интегрирования, состоящий в аналитическом взятии интегралов и последующем вычислении полученных выражений на ЭВМ.

Подынтегральное выражение граничных интегралов представляет произведение искомой плотности и ядра и поэтому повышение точности интегрирования может быть осуществлено путем повышения порядка их аппроксимации, допускающей аналитическое взятие интегралов. Ядра интегралов, определящих плоскопараллельное и трехмерное поля могут быть оставлены без изменения. Ядра интегралов плоскомеридианного поля имеют весьма сложную структуру, что побуждает к разработке их аппроксимаций, обладающих необходимой точностью. Чтобы выполнить интегрирование рассматриваемых ядер с весовой функцией — плотностью простого слоя — последняя должна быть хорошо приближена функцией несложного вида. Такой функцией является интерполяционный полином от одной переменной в двумерном и от двух переменных — в трехмерном пространствах.

Кроме повышения точности интегрирования в окрестности точки наблюдения мерой повышения точности решения ГИУ является приближение границы в окрестности точек и линий ее излома участками поверхности ограниченной кривизны, обеспечивающими гладкость ядра. Реальная граница рассматривается при этом как предел последовательности поверхностей с уменьшающимися радиусами кривизны тех фрагментов, которые приближают участки границы с точками и линиями излома.

Повышение точности решения ГИУ непосредственно связано с использованием ее критериев. Ввиду того, что априорные оценки достаточно грубы и для практических задач мало пригодны, важное значение приобретает разработка апостериорных оценок точности, базирующихся на результатах расчета поля.

Итак, в проблеме повышения точности решения ГИУ можно выделить три аспекта:

— повышение порядка аппроксимации граничных интегралов в окрестности точки наблюдения;

— приближение границы раздела сред совокупностью гладких элементов без точек и линий излома;

— разработка и применение критериев апостериорной оценки точности вычисления плотности вторичных источников и результирующего поля.

Сюда же относятся.

— повышение порядка аппроксимации объемных интегралов при дискретизации нелинейной задачи и разработка и применение критерия точности ее решения.

Выполненные в данной диссертационной работе преобразования ГИУ на основе интегральных свойств решения позволили получить новые мо-дификаци ГИУ 2-го рода, корректно описывающие магнитные процессы в сверхпроводящих и ферромагнитных прецизионных системах, и как попутный результат — ГИУ для кусочно-однородных границ проводника и диэлектрика. Развитый здесь численно-аналитический метод повышенной точности их дальнейшего преобразования в алгебраические блоки, а именно — способы вычисления граничных и объемных интегралов, приближения границ с точками и линиями излома послужили фундаментом для создания численных алгоритмов и комплекса программ для решения этих уравнений, расчета магнитного поля и оптимизации конструкций, а также улучшения выходных характеристик сверхпроводящих датчиков магнитного потока, приборов СВЧ и систем магнитного подвеса.

Таким образом в настоящей диссертационной работе решены рассмотренные научно-технические проблемы и выносятся на защиту соответствующие им следующие основные положения:

1) Построение новых модификаций ГИУ для расчета магнитных полей в сверхпроводящих и ферромагнитных прецизионных системах и ГИУ для кусочно-однородной границы проводника с диэлектриком;

2) Численно-аналитический метод преобразования полученных ГИУ ^ в алгебраические блоки с повышенной точностью, основанный на повышенного порядка аппроксимации граничных интегралов, приближении границ с точками и линиями излома гладкими поверхностями и апостериорной оценке точности полученного решениячисленно-аналитический метод дискретизации объемных ИУ;

3) Разработка теоретических аспектов, алгоритмов и программ для расчета с повышенной точностью сверхпроводящих датчиков магнит ного потока, приборов СВЧ и систем магнитного подвеса;

4) Результаты численного исследования, а также усовершенствования конструкций и улучшения выходных характеристик прецизионных систем: сверхпроводящих датчиков магнитного потока, электронно-оптических приборов СВЧ и электромагнитных устройств оптико-элект-ронномеханических приборов.

Актуальность проблемы Сверхпроводящие датчики магнитного потока на основе сверхпроводящего квантового интерферометра являются новейшими измерительными средствами наивысшего класса точности. Их прецизионность иллюстрируется тем обстоятельством, что отечественная метрология еще не располагает эталоном для их проверки. Вместе с тем в нашей стране работы по теории и практическим расчетам характеристик элементов этих датчиков до недавнего времени не производилась. Отсутствовали подходящие математические модели и соответствующие им алгоритмы и программы. Необходимость разработки новых моделей и численных методов расчета сверхпроводящих структур еще больше возросла в связи с открытием высокотемпературной сверхпроводимости.

Точность расчета магнитного поля в рабочем пространстве магни-топроводов приборов СВЧ ранее оценивалась по уровню максимальных значений индукции. При этом погрешность расчета малых по величине полей рассеяния в относительном измерении оказывалась достаточно малой. В то же время, будучи отнесенной к величине индукции самого поля рассеяния, она становилась недопустимо большой. Это могло влиять отрицательным образом на выходные характеристики прибора, поскольку его магниточувствительные элементы устанавливаются с учетом месторасположения перехода индукции через нулевое значение, которое дожно определяться с точностью тысячных долей от габаритного размера магнитопровода.

Математические модели, реализованные в алгоритмах и программах и обеспечивающие необходимую точность расчета полей рассеяния в приборах СВЧ не были разработаны.

Среди существующих аналогичных систем устройства электромагнитного подвеса оптико-электронномеханических приборов являются самыми надежными и устойчивыми в работе и имеют наивысший класс точности. Их точность определяется величиной уводящего момента, обусловленного асферичностью ротора и наклонами оси и эллиптичностью полюса и заключенного в пределах десятитысячных и миллионных долей Гсм.

Разработанные прежде методы расчета позволяли оценить лишь порядок выходных параметров электромагнитного устройства подвеса, таких как осевое усилие, поперечная жесткость и уводящий момент.

Из сказанного следует, что разработка математических моделей и реализующих их алгоритмов и программ расчета с повышенной точностью выходных характеристик отмеченных прецизионных систем представлялась актуальной.

Методы исследования В процессе работы над диссертацией использовалась теория электромагнитного поля, концепция вторичных источников, теория интегральных уравнений, теория аппроксимации, численно-аналитические методы решения интегральных уравнений, теория и прикладные аспекты численного дифференцирования и интегрирования, численного решения систем алгебраических уравнений.

Проверка точности расчета распределения вторичных источников производилась путем сравнения полей первичных и вторичных источников, найденных при допущении о бесконечной проницаемости, на основании сопоставления полученных результатов с результатами численного исследования других авторов или же с данными физического эксперимента .

Степень новизны полученных автором результатов определяется тем, что.

Предложены новые модификации ГИУ для решения задач магнитостатики сверхпроводящих структур. | Предложена новая модификация ГИУ для решения задач о распределении магнитного поля в нелинейных ферромагнитопроводах.

Предложена новая модификация ГИУ для расчета электрического поля в системе нормальных проводников и диэлектриков, имеющих кусочно-однородную границу.

Исходя из приближения плотности простого слоя полиномом третьей степени, на основе развитого численно-аналитического метода построены квадратурные формулы повышенной точности для граничных интегралов, берущихся в окрестности точки наблюдения и определяющих ^ компоненты и производные компонент векторов плоскопараллельного, плоскомеридианного и трехмерного полей.

Исходя из кусочно-постоянного приближения объемной плотности зарядов, на основе развитого численно-аналитического метода построены формулы численного интегрирования для объемных интегралов, берущихся в окрестности точки наблюдения и определяющих компоненты и производные компонент векторов плоскопараллельного, плоскомеридианного и трехмерного полей.

Разработана методика приближения границы раздела сред (поверхностей магнетиков, проводников, диэлектриков) поверхностями кусочно-постоянной (ограниченной кривизны).

Предложен и реализован способ апостериорной оценки точности расчета распределения плотности простого слоя и создаваемого им поля внутри и на границе магнетика.

Предложен и исследован способ апостериорной оценки точности решения нелинейной магнитостатической задачи (для ферромагнетика), базирующийся на принципе нейтральности магнитного заряда.

Разработаны алгоритмы, составлены программы и решены задачи расчета магнитных связей в сверхпроводящих структурах, в том числев приемных антеннах, концентраторах и трансформаторах магнитного потока, являющихся элементами детектора сверхслабых магнитных полей.

Разработаны алгоритмы, составлены программы и решены задачи расчета полей рассеяния в нелинейных магнитопроводах приборов СВЧ.

Разработаны алгоритмы, составлены программы и решены задачи расчета и улучшения выходных характеристик малогабаритных устройств магнитного подвеса оптико-электронномеханических приборов.

Полученные теоретические результаты позволили решить проблему создания высокоэффективных численно-аналитических методов расчета магнитных квазистатических полей и специального математического обеспечения систем проектирования новых изделий электротехники.

Связь темы исследования с планом основных научных работ.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с Заданием ГКНТ СССР «Развить и ввести в эксплуатацию в Институте кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР межотраслевой экспериментальный научно-исследовательский и учебно-методический центр коллективного пользования по автоматизированному проектированию подсистем САПР и проектированию жизненных циклов объектов новой техники (шифр темы 0.Ц.027.03.22)» и Программой двухстороннего сотрудничества АН СССР и АН УССР с АН ГДР в области микроэлектроники по теме I. I3 «Создание научного задела для микроэлектроники» и была включена в план научных исследований Специального конструкторского бюро математических машин и систем Института кибернетики имени В. М. Глушкова АН УССР (ЖГР: 018.270.001.53- 80.008.311- 81.085.939- Х58 279- X572I0).

Практическая ценность работы Выполнение работ по перечисленным и другим темам вылилось в создание математических моделей и комплекса универсальных программ для расчета с повышенной точностью квазистатических магнитных полей в прецизионных электромагнитных устройствах различного назначения.

В процессе работы над проблемой численного анализа характеристик сверхпроводящих датчиков сверхслабых магнитных полей выполнено следующее.

— построена математическая модель и алгоритм численного исследования диаграмм пространственной чувствительности антенн пленарных градиентометров;

— определено влияние сверхпроводящего экрана и установлена возможность направленного формирования с его помощью этих диаграмм;

— на основе решения двумерных задач рассчитаны собственные индуктивности контуров трансформатора магнитного потока. На основе решения трехмерной задачи рассчитана их взаимная индуктивность.

В результате вычислен коэффициент их магнитной связи. Для последнего получена формула, точность которой возрастает с уменьшением расстояния между контурами. Все это позволило оценить и выбрать требуемое количество витков входной катушки и толщину изоляции при достаточной чувствительности прибора. За счет значительного увеличения толщины изоляции (до половины ширины витка) существенно снижена емкостная связь, что обеспечило необходимые резонансные характеристики датчика;

— проведено численное исследование и получена оценка влияния круглой формы сечения витков входной катушки на коэффициент магнитной связи контуров трансформатора магнитного потока;

— сделана оценка параметров пленарных антенн градиентометров 2-го порядка различных конфигураций.

Предложенная модификация ГИУ и численно-аналитический метод его решения вместе с объемным Ш при анализе магнитного поля в нелинейных магнитопроводах приборов СВЧ позволили повысить точность расчета их полей рассеяния, в результате чего.

— получены рекомендации по размещению магниточувствительных элементов — катодов, электронных пушек и коллекторов;

— дана оценка степени нарушения однородности формирующего электронные пучки магнитного поля многолучевых приборов;

Развитые методы дискретизации трехмерных поверхностей магнито-проводников и задаваемых на них ГИУ позволили решить задачу расчета и улучшения конструкций малогабаритных прецизионных устройств магнитного подвеса оптико-электронномеханических приборов, в итоге чего.

— для нескольких серий типоразмеров электромагнитных и с постоянными магнитами устройств подвеса проведен численный анализ зависи-мости осевой тяги от их основных конструктивных размеров и выбраны оптимальные по этому параметру конструкции;

— на основе численного анализа поперечной жесткости рекомендованы такие сочетания радиусов скругления полюса и диаметра ротора, которые обеспечивают заданную жесткость;

— после проведения нескольких серий численных экспериментов для различных типоразмеров устройств электромагнитного подвеса найдены соотношения радиусов полюса, ротора и расточки магнитопровода, обеспечивающие минимальные уводящие моменты, действующие на ротор;

— определены области изменения основных конструктивных размеров электромагнитного устройства, гарантирующие желаемую точность при заданных заклонах основания.

В результате проведенных исследований по сравнению с ранее изготовлявшимися изделиями резко уменьшены массо-габаритные показатели и повышена точность измерений и тем самым созданы предпосылки для развития нового направления в приборостроении — конструирования малогабаритных прецизионных оптико-электронномеханических приборов с заданными техническими характеристиками.

Методы могут найти применение в.

— области микрокриоэлектроники для расчета магнитного поля и индуктивностей тонкопленочных сверхпроводящих структур с плоскопараллельной, осессиметричной или трехмерной конфигурацией поля, в том числе при разработке сверхпроводящих планарных детекторов сверхслабых магнитных полей на основе сверхпроводящего квантового интерферометра;

— проектировании нелинейных магнитных систем электронных приборов СВЧ плоскосимметричной и осесимметричной конструкций;

— области электромашиностроения для расчета индуктивностей обмоток при различных формах паза с учетом нелинейных свойств статора и ротора;

— проектировании ускорителей заряженных частиц.

Результаты выполненных научных исследований применены (в рамках х/д с предприятием п/я Х-5827 на 1986;1988 г. г.) для расчета малогабаритных электромагнитного и с постоянными магнитами систем подвеса и ферродинамических устройств постоянного тока.

Разработанная теория и алгоритмы найдут применение при выполнении задания 1.4.2.4.14 — «Разработка и производство комплекта оборудования для измерения и обработки биомагнитных полей», предусмотренного программой работ по теме 1.4.2.4. «Разработка методических и инструментальных принципов и научных приборов для биотехнологии». Эта программа входит в комплексную программу научно-технического прогресса стран — членов СЭВ и относится к приоритетному направлению (одному из 5-ти) «Биотехнология» .

Теоретические и практические аспекты разработанных в диссертации методов могут быть включены в раздел курса ТОЭ, где рассматриваются вопросы расчета квазистатических электрических и магнитных полей.

Реализация результатов Численно-аналитические методы расчета электромагнитного поля, представленные в диссертации, использованы в хоздоговорных работах, выполненных под руководством автора.

Произведен расчет системы фокусирования магнитного поля в устройстве формирования заряженных частиц новой конструкции. Получвнные результаты переданы Московскому радиотехническому институту (ожидаемый экономический эффект — 400 тыс. рублей).

По заказу предприятия п/я 1−7139 разработаны метод, алгоритм и программа расчета осесимметричного магнитного поля в области катода у. коллектора электронно-оптической фокусирующей системы. Ожидаемый годовой экономический эффект от внедрения результатов этой работы — 62 тыс. руб.

Кроме того предприятию п/я A-7I39 переданы результаты научно-исследовательской работы по разработке алгоритма и программы расчета осесимметричных систем с постоянными магнитами.

В рамках х/д с НПО «Вектор» на основании проведенных численных экспериментов выбрана конструкция приемной антенны и трансформатора потока — элементов сверхпроводящего детектора сверхслабых магнитных полей. Написанная в процессе работы по этому договору программа расчета поля и индуктивностей в системе сверхпроводников передана в отдел № 220 ИК им. В. М. Глушкова АН УССР для использования при проектировании новых сверхпроводящих микроэлектронных устройств.

На протяжении ряда лет велись работы по х/д с предприятием п/я Х-5827. В том числе выполнены работы по договору «Разработка методики расчета трехмерных магнитных долей, составление программ и расчет на ЦВМ характеристик устройства с магнитным подвесом» с годовым ожидаемым экономическим эффектом 205 тыс. руб.

На предприятии п-я Х-5827 внедрены также результаты научных исследований по созданию методики расчета прецизионных подвесов чувствительного элемента и численного анализа ряда типовых устройств магнитного подвеса. Получен фактический годовой эффект 42,4 тыс. руб.

Создание методов расчета прецизионных устройств магнитного подвеса составило часть научно-исследовательских работ, проводимых в ЦКБ предприятия п/я Х-5827. Их результаты нашли отражение в создании опытных и серийных изделий 1Г40, 1Г47, АГК-П и ГТ-3.

Написанные при участии и под руководством автора 10 программ для расчета квазистатических электромагнитных полей в магнитомягких изотропных средах и поля постоянных магнитов приняты в Украинский республиканский фонд алгоритмов и программ [53−55,117−119,124−127].

Структура работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

5.4. Выводы.

Повышение точности решения линейных и нелинейных трехмерных магнитостатических (и электростатических) задач по сравнению с точностью расчета поля, достигнутой путем аппроксимации ГИУ с помощью стандартных формул численного интегрирования, как и в случае плоских задач, в первую очередь, основывается на аппроксимациях с повышенной точностью граничных операторов, определяющих нормальную и касательную составляющие поля простого слоя (п.п. 5.I.I, 5.1.2.).

Конструкции большинства электрои радиотехнических и других типов устройств таковы, что поверхности магнитопроводов (а также проводниковых и диэлектрических деталей) можно с минимальными отклонениями приблизить набором участков поверхностей канонических форм: плоскости, кругового цилиндра и конуса, сферы, тороида и т. д. Геометрические свойства элементов (45) поверхностей перечисленных типов (например, симметрия относительно криволинейных осей) допускают введение на каждом из таких элементов ортогональной системы двух координат tj, ^ и построение приближающих полиномов для плотности простого слоя как функций этих переменных.

В п. 5.1. описано получение кубатур для вычисления компонент поля простого слоя в произвольной точке пространства и нормальной и касательной составляющих поля на поверхности раздела сред. Эти кубатуры найдены для квадратичной и кубической аппроксимаций б вдоль каждой из двух ортогональных координат. Дальнейшее увеличение степени предложенного двумерного интерполяционного полинома не представляется целесообразным ввиду резкого усложнения вычислительного алгоритма.

В ряд©случаев коэффициенты предложенных кубатур выписываются в конечном виде. Наиболее просто выражения для них находятся при аппроксимации интегралов вида (5.1), не содержащих в подынтегральном выражении плотности б. Относительно несложно найти замкнутые соотношения и для коэффициентов кубатур, приближающих интегралы вида (5.12) с весовой функцией б. В п. 5.1.2 показано, как они выражаются через элементарные функции, если областью интегрированияAS — является прямоугольник.

Расширение метода, изложеного в [197], привело к созданию алгоритма расчета «собственных» производных компонент поля внутри областей интегрирования (А V).

В итоге разработка метода повышения точности решения трехмерных линейных и нелинейных задач вылилась в составление алгоритмов и программ для расчета электромагнитных полей сложных трехмерных структур.

Так, повышение точности аппроксимации граничных интегралов нашло отражение в программах GRADf, GRAD13 и ГR FLUX По первым двум программам рассчитаны характеристики пространственной чувствительности грдиентометра 1-го порядка и градиентометра с двумя приемными петлями и сверхпроводящим экраном, по третьейвходного контура СКИ. В этой задаче кроме общих вопросов повышения точности аппроксимации граничных операторов решена проблема расчета векторного потенциала и самого поля удаленного дипольного источника, играющая важную роль в задачах магнитолокации.

Отметим еще, что по программе THFLUX рассчитано поле сверхпроводящего входного контура СКИ сложной конструкции, представляющего тонкую пластину с отношением ширины к толщине равным 500:1. Эта пластина рассматривалась как объемная фигура, причем задача расчета поля решена в корректной постановке.

По программам ПОДВЕС и МОМЕНТ проведены серии численных экспериментов, по результатам которых улучшены характеристики нескольких типоразмеров устройств магнитного подвеса. Построены математические модели, позволяющие решать поставленную задачу и определять геометрические размеры устройств подвеса с требуемыми характеристиками, не прибегая к расчету поля.

Следует отметить, что, только повысив точность развиваемого здесь численно-аналитического метода, удалось рассчитать такие тонкие физические эффекты в прецизионных оптико-электронномеханических приборах, как влияние малых смещений ротора и микронной величины (на уровне основных размеров порядка десятков мм) деформаций ротора и полюса электромагнитной системы подвеса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Отметим основные новые теоретические и практические результаты, представленные в настоящей диссертационной работе.

I. Поставлена задача повышения точности расчета магнитного (и электрического) поля в пространстве, содержащем линейные и нелинейные намагничивающиеся и поляризующиеся среды, состоящая в решении с повышенной точностью ГИУ и ИУ в объеме сред с различными магнитными (и электрическими) характеристиками.

Предложено регуляризовать нелинейное ГИУ на основе более общего, по сравнению с используемым, содержащего параметр соотношения между поверхностным и объемным интегралами от плотностей вторичных источников. Решение модифицированного таким образом ГИУ не содержит не имеющего, применительно к задаче магнитостатики, физического смысла собственного решения, а изменение параметра регуляризации позволяет существенно упростить алгоритм вычисления правой части ГИУ.

В значительной степени точность расчета поля в нелинейной среде (так же и в линейной) зависит от того, как решается ГИУ. А при всех прочих равных условиях наивысшая точность при переходе от ГИУ к его дискретному аналогу — СЛАУ — может быть достигнута, если построить сходящийся аппроксимационный процесс для искомого распределения поверхностных источников (простого слоя) и использовать точное выражение или наилучшее (сходящееся) приближение для ядра интеграла в левой части ГИУ. (Разумеется, следует стремиться к наиболее точному приближению и его правой части).

Предложена аппроксимация плотности простого слоя интерполяционным полиномом одной переменной при решении плоских задач и приближение ее (плотности) интерполяционным полиномом двух переменных, рассматриваемых на поверхности раздела сред в трехмерном пространстве.

2. Разработан метод приближения границы раздела сред (поверхностей сверхпроводников, ферромагнетиков, нормальных проводников и диэлектриков) кусочно-гладкими поверхностями. Части поверхностей, примыкающих к точкам и линиям"излома, заменяются гладкими поверхностями канонических форм: плоскими, цилиндрическими, коническими, сферическими, тороидальными и др.

Реальная граница раздела сред рассматривается как предел последовательности кусочно-гладких границ с возрастающей кривизной примыкающих к ее точкам и линиям излома участков. Такой подход доставляет гладкость распределению искомой плотности граничных источников и тем самым обеспечивает повышение точности ее расчета и устойчивую сходимость итерационного вычислительного процесса. В соответствии со сказанным «истинное» распределение простого слоя рассматривается как предел решений ГИУ, при помощи которых сформулирована задача, на последовательности границ с возрастающей кривизны участками, примыкающими к точкам и линиям излома реальной границы.

3. Разработана методика дискретизации поверхностей, приближающих границу раздела сред, и выбора системы узлов интерполяции, сгущающихся при приближении к участкам поверхности (контура) с большой кривизной. Построен шаблон, определяющий размещение узловых точек на угловых фрагментах приближающей поверхности, причем, так как координаты узлов выражены в относительных единицах, этот шаблон можно применять для дискретизации поверхностей произвольной конфигурации.

Вследствие сглаживания границы раздела сред и применения полиномиальной аппроксимации искомой функции интеграл в левой части ГИУ приближен линейной комбинацией узловых значений плотности, куда входят интегралы по гладким участкам поверхности (линейного контура в плоских задачах), подынтегральные выражения в которых суть произведения ядра исходного интеграла и степеней переменных, образующих интерполяционный полином для искомого решения. Это приближение представляет формулу численного интегрированияее коэффициентами являются линейные агрегаты отмеченных интегралов.

4. Исследован и реализован метод апостериорной оценки точности расчета распределения плотности простого слоя и создаваемого им поля внутри и на границе ферромагнетика. Точность полученного решения оценивается одним из двух способов. Первый состоит в том, что сравниваются по модулю векторы поля найденного распределения простого слоя и созданного внешними по отношению к магнитной области источниками, например, токами намагничивающих катушек или ПМ. Чтобы сделать такую оценку вторым способом, следует сравнить поля двух простых слоев — токов и зарядов.

Продемонстрировано значительное повышение точности расчета при переходе от границы раздела сред с точками и линиями излома к ее приближению кусочно-гладкими поверхностями.

Применение предложенного метода оценки точности вычислений позволило эффективно организовать процесс дискретизации поверхности, приближающей границу раздела сред, в котором важное место занимают как разделение границы на элементарные участки, так и выбор на этих участках системы узлов интерполяции.

Оценка результата решения по разработанному методу создает предпосылки для повышения точности при создании любых других алгоритмов расчета магнитного и электрического поля, причем нужно. иметь в виду, что измерение электростатического поля приборами практически не осуществимо.

5. На основе полиномиального представления искомого распределения плотности простого слоя и вытекающих из него общих соотношений построены квадратурные формулы повышенной точности для интегралов, определяющих компоненты и производные компонент векторов плос-копараллельного поля простого слоя и берущихся по приближающим границу раздела сред прямолинейным и в виде дуги окружности отрезкам. Коэффициенты квадратур для интегралов по прямолинейным отрезкам получены в виде комбинаций степеней переменной, образующей интерполяционный полином, и элементарных функций вида еп и arctg. квадратуры, приближающие интегралы по отрезкам дуги окружности, содержат коэффициенты в виде степенных рядов полярного угла.

Получены формулы для расчета «собственных» производных компонент векторов плоскопараллельного поля объемных источников (наименования оси, куда спроектирован вектор, и переменной, по которой производится дифференцирование, совпадают) в точках, расположенных внутри области интегрирования. При этом формула рассмотренная А. Н. Тихоновым для круговой окрестности точки наблюдения, распространена на область квадратной формы, что намного упрощает дискретизацию объема, занятого вторичными источниками, ввиду появившейся возможности разделять его сечение на прямоугольные элементы.

Построен сходящийся вычислительный процесс решения с повышенной точностью плоскопараллельных линейных и нелинейных магнито-статических и электростатических задач. Составлена программа PLON, предназначенная для расчета плоскопараллельного магнитного поля с нелинейными ферромагнетиками. По ней решены тестовые и практические задачи.

6. Получена новая модификация регуляризованного ГИУ, позволяющая расширить область его применения на расчет плоскопараллельного электростатического поля в кусочно-однородных средах с кусочно-однородными границами раздела сред. Известное регуляризованное ГИУ описывает распределение поля в кусочно-однородных средах только с однородными границами.

Увеличением точности аппроксимации интегральных операторов и построением новой модификации ГИУ, заданного на поверхности проводников создана предпосылка к тому, чтобы корректно ставить и решать с его помощью задачу расчета электростатического поля тонких электродов (оболочек, электростатических экранов, электродов электронных приборов, пленочных структур и т. д.). При этом точность численного решения повышается не только в виду известного преимущества рассматриваемого ИУ 2-го рода перед обычно используемым в таком случае ИУ 1-го рода, но и по той причине, что при такой постановке задачи устраняется методологическая погрешность расчета краевых эффектов тонких проводников, обусловленная тем, что кривизна их краев полагается бесконечной и не учитывается их реальная конфигурация.

7. Предложена новая модификация ГИУ относительно плотности сверхтоков с поступательной симметрией.

Разработка метода повышения точности приближения ИУ обусловила возможность расчета поля сверхпроводящих пленочных структур, широко используемых в криоэлектронной технике. Особенностью разработанного метода является его универсальность по отношению к конфигурации рассчитываемой системы сверхпроводников. Этим он отличается, например, от метода конформных преобразований, которые должны заново проводится при изменении формы исследуемой области. Кроме того, конформные отображения практически применимы только для сильно ограниченного набора сечений сверхпроводников.

Алгоритм расчета плоскопараллельного магнитного поля сверхпроводников реализован в программе SCO PL, с помощью которой вычисляется распределение плотности сверхтоков по контуру сечения сверхпроводящего устройства. Зная это распределение, можно определить критическое значение плотности тока и критический ток сверхпроводников, а также рассчитать их собственные и взаимные индуктивности. После небольших добавлений программа SCOPL становится пригодной для расчета механических усилий в сверхпроводящих системах магнитного подвеса.

8. Построены квадратуры повышенной точности, приближающие интегралы по прямолинейному отрезку и отрезку дуги окружности контура меридианного сечения осесимметричного магнитопровода.

Получены формулы для вычисления производных от составляющих векторов осесимметричного поля поверхностных и объемных зарядов в неособых точках, по которым целесообразно рассчитывать эти производные в средней зоне. Аналогичные формулы выведены для случая, когда источник поля — токи. Найдены выражения для расчета составляющих и производных составляющих векторов поля, создаваемого осесимметричными диполями в средней зоне.

Выведены формулы для расчета составляющих и производных составляющих векторов поля равномерно заряженных тороидов и намагничивающих катушек с постоянной по сечению плотностью тока, а также соотношения для компонент векторов поля однородно намагниченных тороидов (дипольных источников), причем в перечисленных случаях меридианное сечение источника — прямоугольник. Решен вопрос о вычислении компонент и производных компонент векторов поля зарядов в точке, заключенной внутри их объема.

На основании этих результатов построен сходящийся аппроксима-ционный процесс для интегралов по поверхности и объему ферромагнитных сред, определяющих векторы и производные от составляющих векторов осесимметричного поля. Приближение с. помощью новых сходящихся аппроксимаций ГИУ и объемного ИУ осесимметричного ферромагнетика, и дискретизация магнитных областей предложенным в диссертации способом позволили организовать устойчивый итерационный процесс решения задачи о расчете осесимметричного магнитного поля в нелинейной без-гистерезисной среде, сходящийся к решению из произвольных начальных приближений.

Алгоритм решения нелинейной магнитостатической осесимметричной задачи реализован в программе fl’XIflN, по которой решены тестовые и практические задачи. По программе AXIflN, минимально видоизменив ее, можно решать осесимметричную задачу электростатики.

9. Предложена новая модификация регуляризированного ГИУ для решения-осесимметричных задач магнитостатики сверхпроводников.

Составлена программа SCOflX, предназначенная для расчета плотности сверхтоков на контуре сечения осесимметричной сверхпроводящей системы и позволяющая определить критическую плотность и критический ток, а также рассчитать собственные и взаимные индуктивности элементов сверхпроводящей структуры. Как и в случае плоскопараллельного поля по этой программе, несколько дополнив ее, можно с расчитывать механические усилия в системе осесимметричных сверхпроводников с произвольной конфигурацией меридианных сечений, в частности, в системе сверхпроводящего магнитного подвеса.

10. Разработана методика построения кубатур повышенной точности для вычисления интегралов, определяющих векторы и производные составляющих векторов поля простого слоя в трехмерном пространстве. Повышение точности достигается за счет приближения плотности простого слоя интерполяционным полиномом от двух переменных, являющегося произведением двух интерполяционных полиномов — каждый от одной переменной. Рассмотрены интерполяционные полиномы 2-й (квадратичная аппроксимация) и 3-й (кубическая аппроксимация) степеней одной переменной, образующие при перемножении определенный на элементе поверхности раздела сред интерполяционный полином от двух переменных, соответственно 4-й и 6-й степеней.

Для квадратичной аппроксимации плотности поверхностных зарядов получены кубатуры, приближающие интегралы в левой части граничного ИУ, не содержащие ядра. Приведены выражения их коэффициентов в случав цилиндрического и сферического элементов границы раздела сред.

В вид©иллюстрации даны также соотношения для коэффициентов кубатур, полученных при кубической аппроксимации (по одной из двух ортогональных координат) плотности простого слоя и приближающих в левой части ГИУ интегралы по плоским прямоугольным элементам поверхности. Отмечено, что кубатуры для интегралов по элементам поверхности вращения можно получить, исходя из соотношений, найденных при рассмотрении осесимметричной задачи.

Сделан вывод о том, что дальнейшее повышение степени интерполяционного полинома, приближающего распределение граничных источников, нецелесообразно ввиду резкого усложнения вычислительного алгоритма. В то же время квадратичная и кубическая аппроксимации (по одной координате) плотности простого слоя позволяют получить сходящийся аппроксимационный процесс.

Аналогично тому, как это сделано при рассмотрении плоского поля, решен вопрос о вычислении «собственных» производных составляющих векторов трехмерного поля объемных источников.

Таким образом, разработан метод повышения точности расчета трехмерного поля в области с нелинейными ферромагнетиками. Поскольку для его реализации требуется высокая степень дискретизации объема (включая границу) ферромагнитной среды — 1000 и более — трехмерное магнитное поле в нелинейном магнитопроводе с помощью предлагаемого метода может быть рассчитано только на ЭВМ достаточно большой мощности («Эльбрус» и др.).

II. Разработаны алгоритмы и составлены программы ORRB1, GRRD13 и TRFLUX для расчета магнитного поля в сверхпроводящих структурах. По программам 0-RRD1, G-RflD13 рассчитаны характеристики пространственной чувствительности градиентометра 1-го порядка и градиентометра с двумя приемными петлями и сверхпроводящим экраном. При составлении программ G-RRD19, TRFLUX использовались кубатуры повышенной точности, приближающие интегралы, входящие в.

ГИУ. В программе G-RAD13 к тому же учтены новые, не имеющие особенности, в отличие от известных, соотношения для векторного потенциала и индукции осесимметричного диполя, создаваемых им в далеких точках пространства.

Задача расчета трехмерного магнитостатического поля сверхпроводников, в отличие от известных постановок, когда в качестве искомых неизвестных рассматриваются плотности сверхтоков, сформулирована в виде ГИУ относительно плотности зарядов. Ввиду того, что заряды являются скалярными величинами и, следовательно, вектор решения в этом случае, по сравнению с тремя векторами компонент плотностей токов, имеет втрое меньшую размерность, при такой постановке можно либо с большей точностью производить вычисления, сохраняя прежнее (как и для токовой модели искомых источников) количество узлов интерполяции, либо рассчитывать более сложные структуры.

По программе TRFL UX рассчитаны взаимные индуктивности входной катушки и входного контура СКИ — магнитосвязанных контуров трансформатора магнитного потока. Выполненные расчеты позволили произвести количественную и качественную оценки коэффициента магнитной связи в трансформаторе магнитного потока и оптимизировать его конструкцию. Такие оценки путем решения полевой задачи у нас в стране сделаны впервые.

12. Составлены программы ПОДВЕС и МОМЕНТ для расчета (в линейной постановке задачи — магнитопровод работает на линейном участке кривой намагничивания) силовых и моментных характеристик электромагнитного подвеса. В основу этих программ положены алгоритмы численного анализа достаточно тонких электромеханических эффектов. Сюда относятся расчет поперечной жесткости при незначительных смещениях чувствительного элемента (ротора) в перпендикулярном к оси круговой симметрии направлении и вычисление уводящих вращающих моментов, обусловленных порядка нескольких микрон деформациями ротора и полюса магнитопровода.

Разработан алгоритм расчета координат и направлякщих косинусов нормалей элементов поверхности сфероида, оси которого отличаются друг от друга по величине на сотые доли процента и менее и занимают заданное положение в пространстве.

Проведены серии численных экспериментов по расчету силовых и моментных характеристик некоторых типоразмеров устройств электромагнитного подвеса. На основании полученных результатов их конструкции усовершенствованы, что привело к существенному улучшению их массогабаритных, эксплуатационных и точностных параметров.

Отличительная особенность разработанных алгоритмов и программ, в частности, состоит в том, что погрешность расчета с их использованием силовых характеристик не превосходит по сравнению с экспериментом 5 — 7%, а моментных — 15 — 20%. В то же время другие методы расчета дают только качественную картину процесса в электромагнитном подвесе.

Численные расчеты дали возможность составить математические модели (интерполяционные полиномы) зависимостей силовых и моментных характеристик от изменения основных геометрических размеров устройств подвеса. Исходя из этих моделей, можно проектировать системы подвеса с требуемыми электромеханическими характеристиками без их численного расчета по программам ПОДВЕС и МОМЕНТ.

13. В итоге разработаны элементы теории, составлен ряд программ и проведены серии численных экспериментов по расчету с повышенной точностью магнитного (и электрического) поля электромагнитных устройств нескольких обширных классов, содержащих линейные и нелинейные магнетики (и диэлектрики). Повышение точности вычислений на основе разработанного метода аппроксимаций ГИУ и ИУ в объеме магнитных (и электрических) сред создало предпосылки к улучшению интегральных характеристик проектируемых устройств, в том числе электрических машин, аппаратов, измерительных приборов, средств автоматики, элементов криогенной техники, устройств электронной оптики и пр., а также к снижению их материалоемкости, энергопотребления и в конечном счете стоимости и эксплуатационных расходов.

Полезность проделанной работы для народного хозяйства подтверждена документами о внедрении результатов проведенных автором научных исследований на различных предприятиях страны и получении в связи с этим ожидаемого и фактического экономического эффекта.

Суммарный экономический эффект от внедрения разработок, выполненных под руководством диссертанта равен 765 тыс. руб., фактический — 142 тыс. руб. Доля автора в суммарном экономическом эффекте составила 587 тыс. руб., в фактическом -119 тыс. руб.