Электромагнитные поля и волны

Задача № 3.

В коаксиальной линии, изображенной на рис. 1, возбуждено монохроматическое электромагнитное поле. Внутренний и внешний проводники линии изготовлены из материала с µr = 1 и удельной проводимостью σ = ∞. Линия заполнена однородной изотропной средой с параметрами εr, µr= 1, σ = 0. Известны либо комплексная амплитуда электрического поля волны, либо комплексная амплитуда магнитного поля волны, либо, наконец, комплексные амплитуды продольных составляющих электрического и магнитного полей: E ̇zm = 0; = 0

Требуется:

1) определить комплексные амплитуды всех остальных, не заданных в условии задачи, составляющих (проекций) векторов полей;

2) определить диапазон частот, в котором рассматриваемое поле — бегущая вдоль оси Z волна;

3) записать выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов полей;

4) построить графики зависимостей мгновенных значений составляющих полей от координаты Z для двух случаев:

t = 0, r = (R₁+ R₂)/2, φ = 0 0≤Z≤2λ

t = T/4, r = (R₁+ R₂)/2, φ = 0

5) проверить выполнение граничных условий для составляющих векторов полей на проводниках линии;

6) определить амплитуды токов, протекающих по проводникам линии, а также напряжения между проводниками линии;

7) определить волновое сопротивление линии;

8) определить фазовую скорость и скорость распространения энергии волны;

9) изобразить силовые линии векторов Е и Н, а также линии токов на проводниках линии.

Данные для расчетов:

εr = 1,45

I = 4 mA

2R1=1,2 мм

2R2= 5,4 мм

f = 4 МГц

Решение

Для нахождения структуры Т-волны в коаксиальном волноводе используется следующий подход:

По условию E ̇zmγ_┴^2=0 и Н ̇zmγ_┴^2=0 получаем:

∇^2 Е ⃗_(┴m)=0 ∇^2 Н ⃗_(┴m)=0

Уравнения представляют собой двухмерные уравнения Лапласа. Поле удовлетворяющее уравнению Лапласа, является потенциальным. Это означает, что решение уравнения ∇^2 Е ⃗_(┴m)=0 может быть выражено через градиент скалярной функции:

Е ⃗_(┴m)=-〖grad〗_┴ ψ где ∇_┴^2 ψ=0

Н ⃗_(┴m)=(ωε_а)/β [Z ⃗, E ⃗ ]

В полярной системе координат уравнение ∇_┴^2 ψ=0 имеет вид:

(∂^2 ψ)/(∂r²)+1/r ∂ψ/∂r+1/r² (∂^2 ψ)/(∂φ^2)=0

При решении этого уравнения необходимо учитывать условие:

E_φ (R₁,φ)=E_φ (R₂,φ)=0

Следовательно ψ ̇_m=-E₀ R₁ ln⁡®*e^(-iβz)

Находим составляющие поля:

Е ̇_rm=(I₀ Z_c)/2πr e^(-ikz)

Е ̇_φm=0

Е ̇_zm=0

Перейдем в системе уравнений Максвелла к комплексным векторам и. При этом второе уравнение Максвелла примет вид. Учитывая, что, приходим к соотношению .

Комплексные амплитуды составляющих вектора равны:

H ̇_rm=0

H ̇_φm=I₀/2πr e^(-ikz)

H ̇_zm=0

2. По условию задания γ┴ = 0, следовательно, коэффициент фазы β = k (продольное волновое число) является действительным положительным числом при любых значениях длины волны в линии. Наличие внутреннего проводника приводит к существованию Т-волны, которая является основной, поэтому λКР = ∞ и f КР = 0. Вывод: в коаксиальной пинии рассматриваемое поле — бегущая вдоль оси Z волна при 0 ≤ f КР ≤ ∞.