Методы синтеза и качественного анализа сложных систем

Процесс создания сложной системы может быть условно разбит на этапы: а) сбор и обработка исходной информации, б) создание математической модели сложной системы, в) исследование возможностей созданной математической модели путем ее качественного анализа, г) моделирование на ЭВМ с целью количественного анализа и обработки выходных данных. На этапе качественного анализа могут быть предложены рекомендации по методам сбора и обработки исходной информации и выходных данных, а также по приемам моделирования.

При разработке сложных систем актуально изучение следующих качественных свойств: 1) реализуемости сложной системы- 2) существования у сложной системы пространства состояний и характер этого пространства- 3) регулярности- 4) устойчивости- 5) ограниченности- 6) дихотомии- 7) допустимости. Перечисленные свойства систем до сих пор недостаточно изучены из-за возникающих трудностей различного характера (большое число связей, большое число нелинейностей, не сводимых к одной нелинейности, и т. д.).

Синтез представляет собой соединение различных объектов в единое целое (сложную систему), которое осуществляется как в процессе исследования объектов, так и в практической деятельности (в противоположность анализу как разложению сложного объекта на составляющие, с которыми он неразрывно связан). В теоретических исследованиях синтез выступает в форме взаимосвязи теорий, относящихся к одной предметной области. В таких научных направлениях, как кибернетика и теория систем, синтезируются данные о структурных свойствах объектов различных научных дисциплин. Для современной науки характерен не только синтез внутри отдельной научной дисциплины, ни и между разными научными дисциплинами (междисциплинарный синтез).

В качестве уровней описания и изучения сложных систем в диссертации выбраны теоретико-множественный уровень для а-систем (систем типа «вход-выход») и алгебраический уровень для т-систем (систем типа алгебраического кольца). Эти уровни, как показывает развитие системного анализа за последние десятилетия, оказались одними из наиболее важных и эффективных уровней описания и изучения сложных систем.

Теория а-систем находит многочисленные приложения во всех областях естественных наук, математики и техники в силу того, что а-система определяется на языке ее наблюдаемых свойств как некоторое отношение между объектами произвольной природы. Если «система» определяется конкретными математическими конструкциями (конечными уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, интегро-дифференциальными уравнениями и уравнениями других типов), то эти конструкции определяют некоторое отношение, то есть с-систему. Если «система» определяется словесно в условиях неполной или нечеткой информации, то словесные утверждения в силу их лингвистических функций также определяют некоторое отношение, то есть ст-систему. Поэтому всякая система всегда является отношением, а более низкие уровни описания системы используют свои специфические средства: математические, лингвистические, программные и т. п. Различные подсистемы а-системы с той или иной структурой пространства состояния служат описанием самых разных задач науки и техники.

Развитие теории сг-систем на теоретико-множественном уровне описания является актуальной задачей системного анализа. В этом направлении большой теоретический и прикладной интерес представляет нахождение алгоритмов построения пространства состояний, вопросы реализуемости а-систем и декомпозиции реакций а-систем. Качественный анализ динамических о-систем является чрезвычайно актуальной задачей системного анализа. Для линейных и в особенности нелинейных а-систем в недостаточной мере исследованы вопросы устойчивости, управляемости и стабилизируемости. В связи с тем, что метод функций Ляпунова достаточно эффективен для исследования различных подсистем а-систем, то возникает актуальная задача разработки метода функций Ляпунова для а-систем, являющихся более «сложными» по сравнению с изученными ранее.

Развиваемый в диссертации алгебраический уровень описания состоит в наделении объектов системы модифицированной структурой кольца.

Сложные системы такого типа названы в работе т-системами. Теория т-систем находит приложения в качественной теории и теории устойчивости динамических систем, в спектральной теории операторов, геометрии банаховых пространств, в теории интерполяции линейных операторов, в теории случайных процессов, в теоретической физике.

Качественный анализ динамических т-систем является актуальной задачей системного анализа. Такой анализ до настоящего времени не проводился. Как теоретический, так и прикладной интерес представляют вопросы допустимости в динамических т-системах в связи с тем, что свойство допустимости можно рассматривать как устойчивость при постоянно действующих возмущениях. Важным направлением исследования является получение условий дихотомии и устойчивости в динамических тсистемах.

Результаты диссертации, относящиеся к синтезу нормированных и парных т-систем, являются продолжением исследований по операторным идеалам А. Пича, Дж. Вензеля, С. Г. Крейна и других автров. Результаты по применению т-систем к интерполяции операторов продолжают исследования С. Г. Крейна, В. И. Овчинникова, Е. М. Семенова, Ю. И. Петунина и других авторов. Результаты диссертации по устойчивости динамических а-систем продолжают исследования.

A.М. Ляпунова, Н. Е. Жуковского, Н. Г. Четаева, М. Г. Крейна, Н. Н. Красовского, К. П. Персидского, В. И. Зубова, В. В. Румянцева, В. М. Матросова, А. А. Шестакова,.

B.Н. Щенникова, Т. Ура, О. Перрона и других ученых. Результаты по качественному анализу а-систем являются продолжением исследований.

A.Ф. Филиппова, М. Месаровича и Я. Такахары, Д. Башо, В. М. Матросова,.

B.И. Зубова, Т. Ура, П. Сейберта и других ученых.

Основные цели работы: разработать в рамках теории т-систем методы синтеза т-систем и выяснить связи между т-системамиразвить теорию устойчивости и управляемости для динамических а-системразвить теорию допустимости и дихотомии для динамических т-системпостроить в рамках теории т-систем новые интерполяционные функторы и получить новые интерполяционные теоремыразработать методику синтеза оптимальных управлений с обратной связью, описываемых управляемыми многомерными дифференциальными уравнениями.

Методы исследования. В диссертации развиты теоретико-множественный и алгебраический уровни описания сложных систем. В диссертации используются методы системного анализа, теории множеств, функционального анализа, современной алгебры, теории управления, теории вещественной и комплексной интерполяции, качественной теории и теории устойчивости решений классических динамических систем.

Основные идеи и положения, выносимые на защиту:

1) разработаны методы синтеза т-систем и найдены связи между т-системами- 2) построены новые интерполяционные функторы- 3) развит метод функций Ляпунова для асистем- 4) развит метод функций Ляпунова для тсистем- 5) изучены свойства допустимости и дихотомии для т-систем- 6) получены признаки устойчивости для подсистем ст-систем- 7) осуществлен синтез оптимальных управлений с обратной связью для управляемых а-систем, описываемых многомерными дифференциальными уравнениями вида х = g (t, x, u), t&R, xeRn, u^R1.

Научная новизна состоит в решении ряда задач качественного анализа подсистем а-системв исследовании устойчивости и стабилизируемое&tradeа-системв развитии метода функций Ляпунова для динамических линейных т-системв развитии метода функций Ляпунова для подсистем динамических сг-системв развитии методов синтеза нормированных т-систем, обобщающих т-системы Пичав синтезе новых интерполяционных функторов и получении новых интерполяционных теоремв исследовании дихотомического поведения, допустимости и устойчивости в смысле Ляпунова линейных динамических т-систем. о 9.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретико-множественный и алгебраический уровни описания систем характеризуются значительной мощностью теоретической базы и в то же время эффективностью и значимостью в прикладном отношении. При этом каждому из этих двух уровней описания свойственен свой круг задач, выделить который явилось также важной задачей исследования.

Результаты по синтезу и качественному анализу сложных систем, рассмотренных в диссертации, находят применение в областях глобального моделирования и в теории иерархических (организационных) систем.

Кроме того, результаты диссертации находят применение в качественной теории эволюционных конечномерных и бесконечномерных динамических систем, в теории устойчивости динамических систем, в теории операторных идеалов в смысле Пича, в теории интерполяции линейных операторов, в теории случайных процессов, в квантовой механике, в теории интегральных операторов .

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок исследуемых задач, строгом и обоснованном использовании методов системного анализа, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для утверждений диссертации приведены полные математически корректные доказательства.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2−33] среди которых имеются статьи в ведущих рецензируемых журналах, статьи в межвузовских сборниках научных трудов, тезисы в трудах научных конференций, две монографии.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на научном семинаре XXVI Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 1994 г.) — на конференции по функциональному анализу и уравнениям математической физики, посвященной 80-летию С. Г. Крейна, Воронежский государственный университет (Воронеж, 1997 г.) — на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1998 — 2002 гг.) — на научном семинаре по вариационным принципам в математике и естествознании Российского университета дружбы народов (Москва 1998, 1999 гг.) — на четвертой межвузовской конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1999 г.) — на XXXV-XXXVII Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин в Российском университете дружбы народов (Москва, 1999;2002 гг.) — на научном семинаре кафедры математического анализа в Московском государственном университете (Москва, 1999 г.) — на Минском городском семинаре по дифференциальным уравнениям (Минск, 2000 г.) — на научно-исследовательском семинаре по нелинейному анализу Вычислительного центра РАН им. А. А. Дородницына (Москва, 2002 г.) — на совместном заседании кафедры математического моделирования и кафедры информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета (Тверь, 2002 г.).

Структура диссертации. Диссертация состоит из вводной части и трех частей, содержащих 12 глав. Главы состоят из пунктов. Нумерация глав сквозная по всей диссертации, а в каждой части используется автономная нумерация пунктов.

Основные результаты, выносимые на защиту. На защиту выносится пять групп результатов:

1. Разработка в рамках теории х-систем методов синтеза х-систем и выяснение связей между х-системами, а именно: а) разработка метода синтеза т-систем вида ij (i, 7=0,1) — б) разработка метода синтеза парных т-системв) нахождение связей между т-системами, определенными соответственно на произвольных банаховых пространствах, на произвольных гильбертовых пространствах и на произвольных конечномерных пространствах. В рамках развитой теории доказана двойственность и изометрия парных т-систем для случаев пространств типа суммы и типа пересечения. Полученные результаты являются продолжением исследований А. Пича, Дж. Вензеля, С. Г. Крейна и других ученых. Синтезированные сложные системы имеют теоретическое значение и прикладное значение в теории случайных процессов, квантовой механике, геометрии банаховых пространства, теории броуновского движения и других областях естествознания.

2. Развитие теории устойчивости и управляемости для динамических а-систем, а именно: а) обобщение классического метода функций Ляпунова на динамические ст-системы наиболее высокого уровня описания (с пространством состояний, наделенном лишь структурой предпорядка) — б) формализация для а-систем наиболее высокого уровня описания понятий устойчивости, из которых вытекают для а-систем более низкого уровня описания (с более богатыми по структуре пространствами состояний) известные понятия устойчивости: устойчивость реакции, устойчивость в смысле Ляпунова изолированной траектории (в частности, состояния равновесия), структурная устойчивость, орбитальная устойчивость множества в пространстве состоянийв) формализация для а-систем наиболее высокого уровня описания понятия функции Ляпунова, из которого вытекают для а-систем более низкого уровня описания известные понятия функции Ляпунова, предложенные A.M. Ляпуновым, Н. Г. Четаевым, В. И. Зубовым, В. М. Матросовым, Т. Иосидзавой, Д. Башо и другими ученымиг) получение условий устойчивости для а-систем наиболее высокого уровня описанияд) получение условий управляемости для инвариантных по времени линейных а-систем (обобщение результата.

Р. Калмана). Полученные результаты, с одной стороны, обобщают и дополняют результаты A.M. Ляпунова, Н. Г. Четаева, А. А. Маркова, В. В. Немыцкого, В. В. Румянцева, В. М. Матросова, В. И. Зубова, А. А. Шестакова и других ученых и, с другой стороны, из них вытекают новые результаты для а-систем более низкого уровня описания. Ранее не было единого подхода в изучении орбитальной устойчивости множеств с помощью функций Ляпунова в рамках классической теории динамических систем. Исследование в рамках теории а-систем орбитальной устойчивости множеств с помощью функций Ляпунова дает возможность одним и тем же способом и с помощью одного и того же типа функций Ляпунова изучать орбитальную устойчивость как компактных, так и некомпактных множеств для а-систем с метрическим пространством состояний.

3. Развитие теории допустимости и дихотомии для динамических т-систем, а именно: а) формализация понятия функции Ляпунова, из которого вытекают определения функций Ляпунова, предложенные Н. Г. Четаевым, Т. Иосидзовой, X. Массерой-Х. Шеффером и другими авторамиб) распространение классического метода функций Ляпунова для эволюционных уравнений на эволюционные т-уравненияв) получение условий допустимости и дихотомии. Указанные результаты являются обобщением результатов, полученных ранее в работах О. Перрона, Н. Н. Красовского, М. Г. Крейна, X. Массеры-Х. Шеффера, В. Коппела, и кроме того, из полученных в работе результатов вытекают новые утверждения о дихотомии и допустимости систем, описываемых дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах.

4. Построение в рамках теории т-систем новых интерполяционных функторов и получение интерполяционных теорем. Полученные результаты имеют теоретическое значение и прикладное значение в теории линейной интерполяции и в теории приближений. Результаты об интерполяции операторов являются продолжением исследований С. Г. Крейна, В. И. Овчинникова, Е. М. Семенова, Ю. И. Петунина и других ученых.

5. Разработка методики синтеза оптимальных управлений с обратной связью для а-систем, описываемых управляемыми многомерными дифференциальными уравнениями вида dxldt = g (t, x, u), где te[t0, оо), xeR", и eRl, и в рамках этой методики выделение класса стабилизирующих управлений для управляемых многомерных дифференциальных управлений, для которых g (t, x, u) = A (t)x + B (t)u либо g (t, x, u) = f (t, x) +B (t, x) u при надлежащих свойствах функций A (t), B (t), f (t, x) и B (t, x). Результаты о синтезе получены с помощью модификации классической теоремы Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости в целом невозмущенного движения для уравнения dx/dt = F (t, х (t, x) e[t0,co)x R" .

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность ректору РГОТУПС доктору технических наук, профессору А. Т. Демченко и проректору РГОТУПС доктору технических наук, профессору В. И. Апатцеву за поддержку и внимание к работе.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук профессору А. А. Шестакову за помощь в работе и ценные советы. Автор выражает глубокую благодарность руководителям научного семинара по теории устойчивости и качественной теории динамических систем Российского государственного открытого технического университета путей сообщения, докторам физико-математических наук А. А. Шестакову и О. В. Дружининой за многочисленные советы при написании работы и обсуждения полученных результатов.

Автор выражает глубокую благодарность руководителю научного семинара по математическим методам нелинейного анализа ВЦ РАН доктору физико-математических наук профессору Е. А. Гребеникову, руководителю научного семинара по вариационным принципам в математике и естествознании РУДН доктору физико-математических наук, профессору В. М. Савчину, доктору физико-математических наук профессору И. З. Ишмухаметову, доктору физико-математических наук профессору А. Н. Кудинову, доктору технических наук профессору А. Н. Катулеву, доктору физико-математических наук профессору Е. А. Андреевой, доктору физико-математических наук профессору Я. В. Радыно за советы и обсуждение.

В течение ряда лет существенную поддержку и помощь при разработке математического аппарата диссертации оказывал руководитель Воронежской математической школы доктор технических наук профессор С. Г. Крейн, чьи советы и рекомендации способствовали улучшению работы.

Автор выражает благодарность старшему лаборанту кафедры «Высшая математика» РГОТУПС А. Н. Журцовой за помощь в оформлении работы.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ.

1. АрбибМ.А., Мейнс Э.Дж. Основания теории систем. Разложимые системы // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С.7−48.

2. Атласов И. В. Построение идеалов и их применение в теории интерполяции линейных операторов. Монография. М.: Из-во РУДН, 1998. 154с.

3. Атласов И. В. Применение теории операторных идеалов к качественной теории и теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. Монография М.: Изд-во РУДН, 2000.107с.

4. Атласов И. В. Системный подход и теории общих систем. М.: Изд-во РУДН, 2002. 46 с.

5. Атласов. И. В. Интерполяция линейных трансформаторов // Доклады РАН. 1993. Т. 330. № 1.С. 7−9.

6. Атласов. И. В. Об одной интерполяционной теореме для трансформаторов // Матем. заметки. 1995. Т. 58. Вып. 4. С. 483−492.

7. Атласов И. В. Об устойчивости в общих системах // Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика. 2002. № 1. С. 90−93.

8. Атласов. И. В. О ядерных операторах // Труды конференции по функциональному анализу и уравнениям математической физики, посвященный 80-летию С. Г. Крейна. Воронеж, 1997. С. 11.

9. Атласов. И. В. Комплексный метод интерполяции трансформаторов // Труды XXVI Зимней математической школы. Воронеж, 1994.

10. Атласов. И. В. Пример применения теории идеалов в теореме о разложении для (р, ^)-доминированных операторов // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 12−15.

11. Атласов. И. В. Обобщение одной теоремы Гальярдо // Колебания, прочность и устойчивость в задачах механики железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 17−21.

12. Атласов. И. В. Новый интеполяционный функтор // Колебания, прочность и устойчивость в задачах механики железнодорожного транспорта Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 69−73.

13. Атласов. И. В. Теорема о двойственности интерполяционных функторов // Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта. Сб. науч. трудов третьей межвуз. конференции РГОТУПС. М.: РГОТУПС, 1998. С. 14−17.

14. Атласов И. В. О задаче допустимости на вещественной оси дифференциальных уравнений // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 10−14.

15. Атласов И. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений, являющихся операторными идеалами // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 70−73.

16. Атласов И. В. О дихотомии решений дифференциальных уравнений, являющихся операторными идеалами // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 92−95.

17. Атласов И. В. Об изометрии операторных идеалов // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта. Межвуз.сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 136−139.

18. Атласов И. В. Об описании одного идеала // Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 139−142.

19. Атласов И. В. Качественное исследование дифференциальных уравнений с помощью операторных идеалов // Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов М.: РГОТУПС, 2000. С.4−10.

20. Атласов КВ. Условия управляемости линейных инвариантных по времени с-систем // Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем Межвуз. сб. науч. трудов .М.: РГОТУПС, 2002 С.4−7.

21. Атласов И. В. О синтезе асимптотически устойчивых детерминированных управляемых уравнений //Вопросы устойчивости, прочности и управляемости динамических систем. Межвуз. сб. науч. трудов .М.: РГОТУПС, 2002. С.8−11.

22. Атласов И. В. О вложении операторных идеалов Радемахера // Тезисы докладов четвертой межвуз. научно-методической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта». М.: РГОТУПС, 1999. С. 53−54.

23. Атласов И. В. О совпадении интерполяционных функторов // Тезисы докладов четвертой межвуз. научно-методической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта». М.:РГОТУПС, 1999. С. 54.

24. Атласов. И. В. Комплексный метод интерполяции трансформаторов. Воронеж, 1993. Деп. в ВИНИТИ 25.07.1993. № 548-В93. 86с.

25. Атласов. И. В. Применение теории идеалов для построения интерполяционных функторов и теорем двойственности. Воронеж, 1995. Деп. в ВИНИТИ 27.03.1996. № 974-В96. 109с.

26. Атласов. И. В. Построение теории нормированных идеалов. М.: РГОТУПС, 1998. Деп. в ВИНИТИ 22.07.1998. № 2332-В98. 26с.

27. Атласов. И. В. Примеры нормированных двойственных идеалов. М.: РГОТУПС, 1998. Деп. в ВИНИТИ 22.07.98. № 2333-В98. 34с.

28. Атласов И. В. Исследование некоторых задач качественной теории и теории устойчивости операторных уравнений. М.: РГОТУПС, 1999. Деп. в ВИНИТИ29.11.1999. № 3519-В99. 25с.

29. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

30. Барбашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем // Ученые записки Московского университета. 1948. Т.135. № 2. С. 110−133.

31. Берзин Е. А. и др. Системный анализ и исследование операций. Тверь: Тверской гос. техн. ун-т, 1996.

32. Биркгоф Дж. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

33. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

34. Бобылев Н. А, и др. Математическая теория систем (под ред. М.А. Красносельского). М.: Наука, 1986.

35. Брудный Ю. А. Крейн С.Г., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1989.Т.24.

36. Бунш Г. Теория систем. М.: Советское радио, 1987.

37. Бусленко Н. П., Калашников В. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Советское радио. 1973.

38. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. М.: Советское радио, 1958.

39. Волкова В. Н., Денисов А. А. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: СПбГТУ, 1997.

40. ГигДж., ван. Прикладная общая теория систем. Т.1,2. М.: Мир, 1981.

41. Глушков В. М.

Введение

в кибернетику. Киев, 1964.

42. Горбатов В. А.

Введение

в общую теорию алгебраических моделей. М.: МИФИ, 1974.

43. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.:ИЛ, 1962.

44. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. УМН. 1957. 12:2. С.43−118.

45. Гребеников Е. А., Киоса М. Н., Мороз A.M. Один вычислительный эксперимент по субоптимальной стабилизации // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1982.

46. Дегтярев Ю. И. Системный анализ и исследование операций. М.: Высшая школа, 1996.

47. Дезоер Ч, Видъясагор М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1970.

48. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во МГУ, 1998.

49. Дементьев В. Т., Ерзин A.M., Ларин P.M., Шамардин Ю. В. Задачи оптимизации иерархических структур. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.

50. Директор С., Рорер Р.

Введение

в теорию систем. М.: Мир, 1974.

51. Дружинина О. В., Шестаков А. А. О расширении понятия орбитальной устойчивости траекторий динамической системы // Докл. РАН. 2001. Т.377. № 5. С. 621−625.

52. Заде Л. А., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

53. Зубов В. М. Устойчивость движения. М.: «Высшая школа», 1973.

54. Калман Р., Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Наука, 1973.

55. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

56. Кату лев А.Н., Северцев Н. А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. Под ред. П. С. Краснощекова. М.: Физматлит, 2000.

57. Кальдерой А. П. Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод // В сб. «Математика». 1965. Т. 9. № 3. С. 56−123.

58. Краснощекое П. С., Петров, А А. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2000.

59. Красовский Н. Н. Теория управления движением М.: Наука, 1968.

60. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

61. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

62. Крейн С. Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов // Докл. АН СССР. 1960. Т. 130. № 3. С. 491−494.

63. Крейн С. Г., Кучмент П. А. Об одном подходе к задаче интерполяции линейных операторов // Тр. НИИ математики Воронеж, гос. ун та, 1971. Вып. 14. С. 54−60.

64. Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1966. 4.

65. Крейн М. Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова для исследования устойчивости//УМН. 1948. Т.3.

66. Кривоножко В. Е. Развитие конечных методов решения задач оптимизации. Декомпозиционный подход. Дисс.. докт. физ.-матем. наук. М.: Ин-т системного анализа, 1996.

67. Кузин JI.T. Основы кибернетики. T.l. М.: Энергия, 1973, Т.2. М.: Энергия, 1979.

68. Максимей И. В. Математическое моделирование больших систем. Минск: Высшая школа, 1985.

69. Малкин И. Г. Об устойчивости по первому приближению // Сб. науч. трудов Казанского авиац. ин-та. 1935. Вып. 3.

70. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

71. Малышев Ю. В. Методы обобщенных функций Ляпунова. Дисс. докт. физ.- матем. наук. Свердловск, 1991.

72. Мальцев A.M. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

73. Маркелова Е. Ю. Об одной конструкции декомпозиции экстремальной многокритериальной задачи // Кибернетика и системный анализ. 1999. № 1. С. 119−125.

74. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

75. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

76. Матросов В. М., Анапольский Л. Ю., Васильев С. Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1980.

77. Меренков Ю. Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. М.: Изд-во РУДН, 2000.

78. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

79. Месарович М., Мако Д., Такахара Я. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973.

80. Мирошник И. В. и др. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

81. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Мир, 1981.

82. Мороз А. И. Курс теории систем. М.: Высшая школа, 1987.

83. Немыцкий В. В. К теории орбит общих динамических систем // Матем. сб. 1948. Т.23 (65). № 2. С.161−186.

84. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

85. Овчинников В. И. Когерентно-ядерные операторы в парах банаховых пространств // Матем. заметки. 1998.

86. Овчинников В. И. Об оценках интерполяционных орбит // Матем. сб. 1981.Т. 115, № 4. С. 642−652.

87. Павловский /О.Н., Смирнова Т. Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис, 1998.

88. Панов В. А. Математические основы теории систем. Методы оптимизации. Пермь: Пермский гос. техн. ун-т, 1999.

89. Парфенов О. Г. Ядерность операторов вложения классов Соболева в весовые пространства // Зап. науч. семин. ПОМИ. 1997.

90. Персидский К. П. Избранные труды. Т.1,2. Алма-Ата: Наука. 1976.

91. Персидский К. П. О второй методе Ляпунова в линейных нормированных пространствах. // Алма-Ата: Изд-во АН Каз. ССР, 1965. Сер. физ.-матем. наук. № 1. С.10−18.

92. Петров А. Е. Тензорная методология в теории систем. М.: Радио и связь, 1985.

93. Петунин Ю. И. Родственность трех банаховых пространств. Докл. АН СССР. 1996. Т.170. № 3. С. 516−519.

94. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М.: Мир, 1967.

95. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982.

96. Пуанкаре А. Избранные труды. Т.1,2. М.: Наука, 1971, 1972.

97. Реутов А. П., Суслов П. М. (ред.) Вопросы кибернетики. Методы управления и принятия решений в разработке сложных систем. М.: АН СССР, 1986.

98. Румянцев В. В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференц. уравнения. 1983. Т.19. № 5. С. 739−776.

99. Pyui Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

100. Савин Г. И. Системное моделирование сложных процессов. М.: Фазис, 2000.

101. Седаев А. А. О свойствах операторов в интерполяционной паре банаховых пространств // Тр. НИИ математики. Воронеж, гос. ун та, 1971. Вып. 3. С. 108−125.

102. Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов и оценки коэффициентов Фурье // Докл. АН СССР, 1963. Т. 176. № 6. С. 108−125.

103. Сысоев В. В., Бубнов А. И., Белов А. В. Монотонные системы // Математическое моделирование технологических систем, 1999. № 3. С. 11−15.

104. Тюрин В. М. Допустимость некоторых функциональных пространств и дихотомия решений для уравнений с постоянными коэффициентами // Дифферент уравнения. 1975, Т. 11. № 8.

105. Фрадков Л. Л. Адаптивное управление в сложных системах. М.: Наука, 1990.

106. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир., 1970.

107. Хилле Р., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

108. Шестаков А. А. Обобщенный метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов I. // Дифференц. уравнения. Т. 22. 1986. N° 3.

109. Шестаков А. А. Обобщенный метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов II. // Дифференц. уравнения. Т. 23. 1987. № 3.

110. Шестаков А. А. Обобщенный метод Ляпунова для абстрактных полудинамических процессов III. //Дифференц. уравнения. Т. 23. 1987. № 6.

111. Шестаков А. А., Меренков Ю. Н. Об определениях и условиях устойчивости по Ляпунову для абстрактных динамических процессов // Сб. научн. трудов. М.: ВЗИИТ, 1987. Т.140. С.40−50 .

112. Шестаков АА. Устойчивость в системах с распределенными параметрами // Динамика систем и управление. Саранск: Мордовский гос. ун-т, 1988. С.4−8.

113. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

114. Штейберг И. Я. О разрешимости линейных уравнений в интерполяционных семействах банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212. № 1. С. 57−59.

115. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во. АН СССР, 1962.

116. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1955.

117. Ashby R. W. General systems theory as a new discipline// General systems. 1958. V. 3.P. 16.

118. Astala K. On measures ol noncompactness andIdeal variations In Banach spaces. Acad. Scl. Fenn. Ser. AI Math. Dissertationes 29., 1980.

119. Auslander J. Filter stability in dynamical systems// SIAM J. Math. Anal. 1977. V. 8. № 4. P. 573−579.

120. Auslander J., Seibert P. Prolongations and stability in dynamical systems// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1964. V. 14. P. 237 267.

121. Banas J., Goebel K. Measures of noncompactness in Banach spaces. Marcel Dekker, New York, Basel, 1980.

122. BarriaJ. On power compact operators// Proc. Amer. Math. Soc. 1980.

123. Bertalanffy L., von. General system theory// General Systems, 1962. V. 7. P. 1−20. Русский перевод: Исследования по общей теории систем. М.: Мир, 1969. С. 23−82.

124. Bertalanffy L., von. General sysmem theory. New York: Braziller, 1968.

125. Bertalanffy L., von. General sysmem theory// General Systems. 1956. V.l.2.

126. Bhatia N.P., Szego G.P. Stability theory of dynamical systems. Berlin: Springer-Verlag, 1970.

127. Blondel V.D., Sontag E.D., Vidyasagar M, Willems J.C.(ed). Open problems in mathematical systems and control theory. London: Springer-Verlag, 1999.

128. Bombal F. On (V*) sets and Pelczynski’s property (V*) // Glasgow Math. J. 1980. V.32.

129. Bhatia N.P., Hajek O. Theory of dynamical systems. Technical Note BN-606. Univ. of Maryland, 1969.

130. Brudnyi Yu.A., Krugljak N. Ya. interpolation functors and interpolation spaces. V. 1. North-Holland, Amsterdam, 1991.

131. Bushaw D. A stability criterion for general systems // J. Math. Systems Theory.30. 1967. V. 1.

132. Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation // Stud. math. Ser. spes. 1963. V.I. P. 31−34.

133. Coppel WA. Dichotomies in stability theory. Lecture Notes in Math. V. 629. Springer, 1978.

134. Defan M., Junge M. Unconditional ortonormal systems // Math. Nachr. 1992. V. 158.

135. Defan M., Floret M., Tensor norms and operator ideals // Math Studies. V. 176. North Holland, Amsterdam, 1993.

136. Deville J., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renorming in Banach spaces. Longmen, Harlow, 1989.

137. Diestel J., Jarchow #., Tonge A. Absolutely summing operators. Cambridge Univ. Press, 1995.

138. Dubinsku E. Equivalent nuclear systems// Studia mathematlca, 1970.

139. Emmanuele G., Rao T.S. Spaces of Bochner integrable functions and spaces of representable operators as ideals//Quart. J.Math. Oxford Second Ser. 1997.

140. Findeisen W. Hilrarchical control structures// Coutrol Cybernet. 2000. V. 29. № 1. P. 69−78.

141. Gagliardo E. Interpolation d’espaces de Banach et applications. I-III. C. R. Acad. Sci. 1959. V. 248. P. 1912;1914, 3388−3390, 3517−3518.

142. Geiss S., Junge M. Type and cotype with respect to arbitrary ortonormal systems // J. Approx. Theory. 1995. V.82.

143. Gentili F., MeniniL., Tornambe A., Zaccarian L. Mathematical methods for system theory. Word Scientific Publishing Co. River Edge, NJ, 1998.

144. Gilbert I.E., Knops R.T. Stability of general systems// Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 25. № 4. P. 271−297.

145. Gonzalez M, Martinon A. On operator ideals determined by sequences // Bull. Austral. Math. Soc. 1991. V.44.

146. Gonzalez M, E. T. Sarsman. Representing non-weakly compact operators // Stud. math. 1995.

147. Gonzalez M, Martinez-Abejon A. A. Ultrapowers and semi-Fredholm // Boll. Unione mat. ital. В., 1997.

148. Goursat E. Sur un cas elementare de I’equation de Fredholm // Bull. Soc. Math. France 1907. V.35. P.163−173.

149. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires // Mem. Amer.Math. Soc. 16, Providence, 1955.

150. Guo L., Yan S.S.-T.(ed). Lectures on systems, control and information. Amer. Math. Soc. Providence, RI. Boston: International Press, 2000.

151. Harrington J.E. The social selection of flexible and rigid agents// Amer. Econ. Rev. 1998. V. 88. № 1. P. 63−82.

152. Hastings K.J. Introduction to the mathematics of operactions research. N. Y: Dekker, 1989.

153. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Teorie der lineraren Integralgleichungen IV I I Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KI. 1905. P. 157−227.

154. Hinrichs A. On the type constants with respect to systems of characters of a compact abelian group// StudiaMath. 1996. V.118.

155. Hinrichs A. Inequalities between ideal norms formed with ortonormal systems and applications to the theory of operator ideals. Thesis. Univ. Jena, 1996.

156. Hitczenko P. Upper bound for the Lpnorms of martingales // Probab. Theory Rel. 1990. F.86.

157. Hitczenro P. Domination inequality for martingale transforms of a Rademacher sequence // Israel J. Math. 1993. V.84.

158. Jameson G. J.O. Summing and nuclear norms in Banach space theory I I London Math. Soc. Student. Texts 8. Cambridge Univ. Press. 1986.

159. Janson S. Minimal and maximal methods of interpolations // J. Functional Anal. 1981. V.44.P.50−73.

160. Kakutani S. Iteration of linear operations in complex Banach spaces// Proc. Imp. Akad. Tokyo. 1928.V.4.P.295−300.

161. KatoT. Perturbation theory for nullity, deficiency and other quantities of linear operators//J. Anal. Math. V.6.P.261−322.

162. Konig H. On the tensor stability of s-number ideals // Math. Ann. 1984.V.269.

163. Konig H. Eigenvalue distribution of compact operators. Birkhauser, Basel, 1986.

164. Konig H. On the Fourier-coefficients of vector-valued functions // Math. Nachr. 1991. V.152.

165. Kwapien S. Some remarks on (p, q)-absolitely summing operators in lpspace // Studia Math. 1968.V.29.P.327−337.

166. Laszlo E. The meaning and significance of general system theory// Behavioral Science. 1975. V. 20. № 1.

167. Latala R, Olsezkicvicz K. On the constant in the Khinchin-Kahane inequality I I Studia Math. 1994.

168. Ledoux D., Talaggand M. Probability in Banach spaces. Springer. Berlin-Heidelberg., 1991.174. 174. Lions J.L. Espaces intermediates entre espaces Hilbertiens et applications. Bull. math. Soc. Sci. Math. et-Phys.R.P.Roumanie. 1958. V.2. № 4. P.412−432.

169. Lubashevskii I.A. Cooperative mechanism of self-regulation in hierarchical living systems// SIAM J. Apple. Math. 2000. № 2. P. 633−663.

170. MarcinKiewicz J. Sur les multiplicateurs der serie de Fourier // Studia Math. 1939. № 8. P. 78−91.

171. Mascioni V. On the weak cotype and weak type in Banach spaces I I Ann. Mat. Рига Appl. 1984.

172. Maurey B. Demonstration d’une conjecture de A. Pietsch I I C.R. Akad. Sci. Paris. Ser. A. 1972. V.274. P.73−76.

173. Milman M. Complex interpolation and geometry of Banach spaces // Ann. Mat. Рига Appl. 1984.

174. Neuman J., von. The general and logical theory of automata// Cerebralmechanisms in behavior. The Hixon Symposium, N.Y.:Wiley. ^v.

175. Ovchinnirov V.I. The method of orbits in interpolation theory // Voronez State University. Mathematical reports. V. I. Part 2. 1970.

176. Pattee H.H. (ed). Hierarchy Theory. New York: Brazilter, 1973.

177. Pawar Y.S. Normal semilattices// Indian J. Pure Appl. Math. 1988. V. 29. № 12. P. 1245−1249.

178. Pelczynski A. Banach spaces on which every unconditionally converging operator is weakly compact, Bull // Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 1962. V.10.P.641−648.

179. Pelczynski A., G. Bessaga. Some aspects of the present theory of Banach spaces // Stephan Banach Oeuvres. Warszawa, 1979. V.2, P.221−302.

180. Peetre J. On the theory of interpolation spaces // Rev. Un.Mat. Argentina, 1967,23,49−66.

181. Perron O., Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math.Z.1930. V.32, P.703−728.

182. Pietsch A., Sequences of ideal norms. Note di Mat., 10. 1990.

183. Pietsch A., Wenzel J. Ortonormal systems and banach space geometry. Jena. Cambridge Univ. press., 1996.

184. Pietsch A. Eigenvalue distribution and geometry of Banach spaces // Math. Nachr. 1991. V. 150.

185. Pietsch A. Operator ideals. Deutscher Verlag der Wissenschaften. Berlin, 1987.

186. Pietsch A. Eigenvalues and s-number ideals. Cambridge Univ. Press, 1987.

187. Pietsch A. Nuclear loccally convex spaces. Springer, Berlin, 1972.

188. Pisier G. Completely bounded maps between sets of Banach space operators // Indiana Univ. Math. J. 1990. V.39.

189. Pugh A.C. A generalized chain scatterihg representation and its algebraic systems properties// IEEE Trans. Automat. Control. 2000. V. 45. № 5. P. 1002−1007.

190. Rapoport A. Mathematical aspects of greneral systems analysis// General systems. 1966. V. 11. № 3.

191. Riesz M. Sur les maxima des formes bilineares et sur les foncionalles lineaires // Acta math. 1926. P. 465−497.

192. Riesz F. Uber lineare Funktionalgleichungen // Acta Math. 1918.V.41.P.71−98.

193. Sawa J. The best constant in the Khintchine inequality for complex Steinhaus variables, the case p=l // Studua Math. 1986.

194. Schatten R. The cross-space of linear transformations // Ann of Math. Soc. 1949. V.67.P.73−84.

195. Schmidt E. Zur Teorie der Linearen und nichtlinearen Integralgleichungen // Math. Ann. 63 (1907), 433−476- 64 (1907), 161−174.

196. Scherwentre P. On the geometry of L (lp2, lq2) and lp2 xs \ H Port, math. 1995.

197. Schipp F., Wade R.W., Simon.P. Walsh series. Adam Hijger, BristolNew York, 1990.

198. Seibert P. A unified theory of Lyapunov stability// Funk. Ekvac. 1972. V. 15. № 3.

199. Seigner J. Uber eine Klasse Idealnorem, die durch Orthonormalsysteme gebildet sing. Thesis. Univ. Jena, 1995.

200. Shannon C.E., Weaver W. The mathematical theory of communication. Urbana: Univ. Illinois Press, 1949.

201. Simons S. Local reflexivity and (p, q)-summing maps // Math. Ann.1972.

202. Singer E.A. Mechanism, vitalism, naturalism// Philosophy of Science. 1946. V. 13. P. 81−99.

203. Sommerhoff G. Analitical Bioligy. London: Oxford Univ. Press, 1950.

204. Stein E. M, Weiss G. On the interpolation of analitic families of operators acting on Hp spaces// Tohoku Math. J. 1957. V.9, № 3. P. 3 318 339.

205. Stein E. M. Harmonic analysis. Princeton Univ. Press. New Jersey, 1993.

206. Tacon D. G. Two characterisations of power compact operators//Pro с. Amer. Math. Soc. 1979. V. 73.

207. Tomczak Jaegermann N. Banach — Mazur distances and finite dimensional operator ideals. Longman. Harlow, 1989.

208. Tomczak Jaegerwann N. Computing 2 — summing norm with few vectors//Art. Mat. 1979.

209. Thorin G.O. An extension of convexity theorem due to M. Riesz // Commun. Semin. math. Univ. Lund. 1939. № 4. P. l-5.

210. JJra T. On the flow outside a closed invariant setstability, relative stability and saddler sets// Contributions to differential equations. 1964. V. 3. № 3. P. 249 -294.

211. Vagi S. A remark on Plancherel’s theorem for Banach space valued functions // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1969.

212. Wenzel J. Mean convergence of vector-valued Walsh series // Math. Nachr. 1993. V. 162.

213. Wenzel J. Ideal norm and trigonometric ortonormal systems // Studia Math. 1994.

214. Williams D. Probability with martingales. Cambridge Univ. Press, 1991.

215. Windeknecht T.G., Mesarovich M. On general dynamical systems and finite stability// Differential Equations and Dinamical Systems. New York: Acad. Press, 1967. P. 381−392.

216. Yoshii S. General stability of sets. M. S. Thesis. Cleveland: Case Western Reserve Univ., 1971.

217. Yosida K. Mean ergodic theorems in Banach spaces // Proc. Imp. Acad. Tokyo.1938. V.14. P.292−294.

218. Zygmund A. On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of operations // J. math, pures ed appl. 1956. V.35. P.223−248.