Анализ прохождения периодического сигнала через LC-фильтр с потерями

Минобрнауки России ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Институт высокоточных систем им. В. П. Грязева Кафедра радиоэлектроники

Анализ прохождения периодического сигнала через LC-фильтр с потерями

Курсовая работа по основам теории цепей Студент Ф. С. Артёмов Руководитель — доцент В. В. Давыдов Тула? 2012

Аннотация

Курсовая работа содержит в себе результаты анализа прохождения периодического сигнала через LC-фильтр с потерями. В качестве анализируемого четырехполюсника выступает Т-образный реактивный полосовой фильтр, основные параметры которого рассчитываются в одной из частей данной записки. Также здесь представлено разложение функции особого входного сигнала в ряд Фурье и последующее использование полученных результатов. Расчеты произведены с использованием программы Mathcad.

В качестве дополнительного материала к текстовой информации данной пояснительной записки здесь приведены 20 иллюстраций. Помимо этого составлена графическая часть на листе формата А1, включающая наиболее важные схемы и характеристики.

Объем пояснительной записки — _____ листа.

• Аннотация
• Введение
• Анализ технического задания на курсовую работу
• Обзор литературных источников
• Анализ заданной ЭДС
• Анализ схемы
• Расчет А-параметров схемы фильтра
• Входное сопротивление нагруженного четырехполюсника
• Нахождение спектра выходного напряжения
• Расчет коэффициентов передачи фильтра
• Расчет формы сигнала на выходе
• Изменение сопротивления нагрузки при неизменных параметрах схемы
• Заключение
• Список использованной литературы

Дисциплина «Основы теории цепей» является важнейшей дисциплиной в подготовке специалиста направления «Радиотехника». Данный курс лекций помогает студентам приобретать навыки разработки методов анализа и синтеза радиотехнических устройств различного назначения на уровне схемотехнических решений. В соответствии с этим курс «ОТЦ» также является теоретической базой для изучения специальных дисциплин с одной стороны, и основой расчета и исследования разнообразных устройств и систем передачи/обработки информации с другой стороны.

Четырехполюсники являются неотъемлемой частью подавляющего большинства современных технических устройств, они — электрические цепи, рассматриваемые относительно двух пар выводов. Т-образный реактивный полосовой фильтр является устройством, схема которого реализуется с четырьмя выводами (в данной курсовой работе).

Задачи курсовой работы:

закрепление знаний о физических процессах в электрических цепях,

закрепление и расширение знаний о математических моделях, описывающих характеристики и свойства электрических цепей,

отработка навыков:

а) всестороннего анализа поставленной задачи в области радиотехники,

б) самостоятельной работы с учебной, научной и нормативной литературой, в) практического применения полученных знаний для решения расчётной задачи по основам теории цепей.

закрепление навыков работы с прикладными программами как, например, с интегрированной средой для решения математических задач Mathcad и текстовым процессором (редактором) Word.

Анализ технического задания на курсовую работу

Для курсовой работы «57» предоставлены следующие начальные данные для анализа и расчета:

Рис. 1 Т-образный реактивный полосовой фильтр

Рис. 2 Вид входной ЭДС (П3−6)

Таблица № 1 (параметры схемы):

Таблица № 2 (параметры ЭДС):

Примечание: форма ЭДС на рисунке в ПЗ должна быть выполнена в масштабе по времени и амплитуде.

Внутренне сопротивление генератора сигнала принимаем равным 1 Ом: Ом.

В результате выполнения курсовой работы должен быть получен готовый анализ прохождения периодической последовательности импульсов через электрический фильтр с заданными параметрами реальных элементов. Ниже представлены несколько этапов на пути получения результата:

1) получение спектра входного сигнала;

2) расчет параметров заданного фильтра;

3) получение формы выходного сигнала;

Для того чтобы рассчитать форму выходного напряжения я должен найти спектр на входном сопротивлении схемы и учесть столько гармоник, начиная с нулевой, чтобы их суммарная мощность составляла величину не менее 95% полной мощности ЭДС.

Расчёт следует вести как минимум для точек за период повторения наивысшей гармоники с целью получения достаточно хорошей формы напряжения.

Обзор литературных источников

В методическом указании к выполнению курсовой работе был приведен список рекомендуемой литературы. Расчет курсовой работы проведен с использованием лекционного материала, теоретических знаний, полученных на занятиях и лабораторных, а также некоторых изданий из списка рекомендуемых. Самым важным считаю данное издание: Основы теории цепей: Учебник для вузов? Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. — 5-е изд., перераб. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 528 с.: ил. В данной книге изложены все особенности курса «ОТЦ», в ней особенно подробно рассмотрены основные законы и методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

Вторым используемым изданием был справочник по математике, наиболее обширный и наиболее подробный, доступный из всех находящихся в библиотеке: Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд-е 13-е, исправ. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

Также использовался самоучитель по работе в математической среде MathCAD. Справочник Кудрявцева, из списка рекомендованной литературы, написан сложным языком и вызывал трудности в понимании и использовании изложенной там информации. Однако следует отметить хороший самоучитель «Работа в среде MathCad» Методические рекомендации студентам физико — математических специальностей / Сост.е.В. Паршикова. — Тула: Изд — во гос. Пед. Университета им. Л. Н. Толстого, 2005. — 74 с.

Анализ заданной ЭДС

В качестве входного сигнала была задана функция:

Рис. 3 Вид входной эдс (П3−6)

ЭДС имеет 3 участка:

1. Возрастающий от 0 до Е за время t1

2. Убывающий от E до 0 в интервале времени от t1 до

3. Участок постоянного нулевого значения от до T

Поэтому уравнение ЭДС можно записать в виде:

где, , m = 0,1,2,3…

Среднюю за период активную мощность сигнала можно найти по формуле:

Возьмем интегралы, используя справочник. После преобразований получаем:

Любую периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле, т. е. имеющую на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число экстремумов, можно представить в виде ряда Фурье.

Разложение исходной функции в ряд Фурье представляется в виде:

четырехполюсник фильтр сопротивление сигнал Коэффициенты разложения можно найти следующим образом:

где — номер гармоники.

Возьмём интегралы, используя математическую программу Mathcad. После этого получаем выражения:

Где — амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих спектра.

- амплитуда k-ой гармоники спектра входного сигнала,

Замечание: формулы амплитуды k-ой гармоники спектра и фаза оказались громоздкими, поэтому здесь представлены лишь формулы, которыми я пользовался.

Определение ширины спектра ЭДС

Средняя за период активная мощность сигнала равна:

Амплитуда n-ой гармоники вычисляется по формуле:

Мощность ЭДС, переносимая первыми n гармониками:

Таблица № 3 Амплитуды гармоник и относительная мощность:

Спектр ЭДС в относительном масштабе приведен на рис. 4.

Рис. 4 Спектр входной ЭДС

Из таблицы следует, что постоянная составляющая и 7 первых гармоник переносят более 95% полной мощности сигнала. Поэтому и ширину спектра сигнала нужно принять равной .

Используя возможности Mathcad и Paint, построим графики ЭДС, образованными:

1) постоянной составляющей и семью гармониками (рис. 5 кривая 2).

2) постоянной составляющей и двадцатью гармониками (рис. 5 кривая 1).

Рис. 5 — вид ЭДС, образованной 7 и 20 гармониками.

Использование 20 гармоник улучшает форму синтезированного сигнала (рис. 5 кривая 1). Следует отметить, что графики, полученные в результате построения, отличаются от заданного входного сигнала. Это обуславливается тем, что в курсовой работе расчеты ведутся при переносе 95% энергии сигнала, то есть существуют потери.

Анализ схемы

Расчет параметров схемы

По заданию курсовой работы я должен был анализировать прохождение сигнала через Т-образный реактивный полосовой фильтр. По теории у такого фильтра в горизонтальных ветвях включены индуктивности, и емкости, а в вертикальной — емкость и индуктивность. Отсюда имеем соотношения

Из исходных данных к курсовой работе получаем частоты среза:

Для расчета я буду использовать формулы из методических указаний:

После подстановки в формулы получаем значения Отсюда находим индуктивности фильтра .

Значения емкостей должны выбираться из стандартного ряда номинальных величин. Ближайшим значением к величине 2,19 является 2,2, а к величине 0,7259 является 0,75. Поэтому получаем, что .

По полученным параметрам нашего фильтра уточним резонансную частоту контура, характеристическое сопротивление, а так же верхнюю и нижнюю граничные частоты фильтра:

,

На частоте резонанса паразитные сопротивления потерь составляют у катушек.

Для конденсаторов в последовательной схеме замещения конденсатора.

Расчет А-параметров схемы фильтра

А-параметры удобно применять в случае каскадного соединения четырёхполюсников, когда выход одного из них соединяется с входом другого, а также при расчёте коэффициентов передачи. А-параметры следует находить сначала в общем виде и только потом подставлять конкретные значения.

Соотношения между токами и напряжениями на входе и выходе четырёхполюсника в форме А-параметров (рис.3) записывают в виде:

В качестве основных звеньев электрических фильтров широкое применение находят симметричные Т — и П-образные фильтры:

Рис. 6 — четырёхполюсник — общее обозначение.

Для симметричного Т-образного четырёхполюсника имеют место выражения

Рис. 7 — Т-образные симметричные четырёхполюсники — общий вид.

Рассмотрим реальную схему Т-образного реактивного полосового фильтра:

Рис. 8 — Т-образный реактивный ПФ. Схема принципиальная электрическая.

Чтобы рассчитать входное сопротивление и коэффициент передачи схемы (фильтра), следует подставить в формулы

конкретные выражения А-параметров.

Сопротивление при этом следует заменить на выражение:

а сопротивление на выражение:

Заметка: в данных заменах мы применяем стандартные формулы подсчета сопротивления при последовательном (первый случай) и параллельном соединении (второй случай) элементов схемы. Формулы комплексных сопротивлений ветвей оказались довольно громоздкими, тем не менее, без них не обойтись. Здесь приведены уже преобразованные формулы. Особенности Т-образного полосового фильтра учтены при замене наименований катушек индуктивности и конденсаторов. После преобразований всех формул мы можем рассчитать значения А-параметров.

Заметка: при расчете величин в курсовой работе удобно нормировать некоторые искомые величины. При подсчете А-параметров (выражение формул) мы использовали нормирование относительно частоты резонанса При замене индексов индуктивности и емкости в данной формуле мы получаем примерно такое же значение поэтому данным отклонением можно пренебречь. При нормировании мы получили слишком громоздкие формулы комплексных сопротивлений и А-параметров, поэтому здесь укажем лишь значения в следующем виде:

В данных выражениях параметр

Формулы параметров при этом приведены с ограниченной точностью. При проверке в среде MathCAD с заданной там точностью мы получаем нужный результат:

Параметры посчитаны, верно.

Входное сопротивление нагруженного четырехполюсника

Находим выражение входного сопротивления нагруженного четырёхполюсника по формуле

По полученной формуле, используя среду MathCAD, я построил графики зависимости модуля и фазы входного сопротивления от частоты. Результат представлен ниже:

Рис. 9 — зависимость модуля входного сопротивления схемы от частоты.

Рис. 10 — зависимость фазы входного сопротивления схемы от частоты.

Сначала входное сопротивление уменьшается до минимума вблизи частоты среза и в среднем растёт, а потом снова уменьшается с увеличением частоты. Уменьшение входного сопротивления до минимума объясняется наличием емкости в последовательной ветви, рост входного сопротивления объясняется наличием индуктивности в параллельной ветви, а уменьшение входного сопротивления наличием емкости в последовательной ветви Т-образного полосового фильтра.

Нахождение спектра выходного напряжения

Найдём спектр входного напряжения, который может отличаться от спектра ЭДС из-за деления сигнала ЭДС между

Коэффициент передачи спектральных составляющих на входе схемы определяется формулой

Здесь гармоника входного напряжения .

Используя математическую среду MathCAD, я рассчитываю значения модуля входного коэффициента передачи, амплитуд и фаз гармоник входного напряжения. Результаты расчета приведены в таблице:

Таблица № 4 (амплитуды гармоник входного напряжения).

Для сравнения спектров входного напряжения необходимо привести их к нормированному виду. Для ЭДС нормированные значения определяются формулой, для входного напряжения — формулой. Отношения нормированных величин приведены в 5 столбце таблицы № 4.

Так как коэффициент передачи по входу практически постоянен и близок к 1, то и отношения нормированных величин почти постоянны и близки к 1. Следовательно, спектр входного напряжения мало отличается от спектра ЭДС и поэтому не имеет смысла его строить.

Разность фаз между гармониками входного напряжения и ЭДС (последний столбец таблицы № 4) также невелика и не превышает 10 градусов.

Расчет коэффициентов передачи фильтра

Зависимость коэффициента передачи от частоты определяется формулой:

В математической среде MathCAD я рассчитываю зависимости модуля и фазы K от частоты. В дополнение к расчету привожу графические иллюстрации.

Таблица № 5 (зависимость модуля и фазы коэффициента передачи по напряжению от частоты)

Рис. 11 — зависимость модуля коэффициента передачи схемы по напряжению от частоты.

Рис. 12 — зависимость фазы коэффициента передачи схемы по напряжению от частоты.

Из таблицы и рисунка следует, что модуль коэффициента передачи характеризуется достаточно большой неравномерностью в пределах полосы пропускания. Это объясняется тем, что в цепи имеет место последовательный резонанс. Он возникает в части контура, образованного входной последовательной (индуктивность) и параллельной (ёмкость) ветвями. Так как нагрузкой фильтра является постоянное сопротивление, то резонанс проявляет себя явно. Теоретические зависимости, обеспечивающие постоянство АЧХ коэффициента передачи в пределах полосы пропускания, рассчитывают из условия. В этом случае сопротивление нагрузки изменяется как входное сопротивление и весьма сильно зависит от частоты.

Расчет формы сигнала на выходе

Форма напряжения на выходе схемы определяю по формуле:

Таблица № 6 (спектр выходного напряжения):

Рис. 13 — модуль полного коэффициента передачи схемы.

Рис. 14 — выходное напряжение, образованное 7 гармониками

Изменение сопротивления нагрузки при неизменных параметрах схемы

Уменьшим сопротивление нагрузки в 1,5 раза, т. е. до 2250 Ом согласно заданию.

Из формулы следует, что при изменении изменятся входное сопротивление, коэффициенты передачи, и, как следствие, формы входного и выходного напряжений.

Ниже показаны зависимости модуля и фазы входного сопротивления схемы от частоты, при уменьшенном сопротивлении нагрузки в 1,5 раза, относительно исходной величины. Из рисунка видно, что модуль резко изменяется в пределах полосы пропускания (увеличивается от 1000 до 2000 Ом, потом уменьшается от 9000 Ом до 5000 Ом, а затем уменьшается).

Рис. 15 — зависимость модуля входного сопротивления схемы от частоты при .

Рис. 16 — зависимость фазы входного сопротивления схемы от частоты при .

Коэффициент передачи по напряжению в пределах полосы пропускания изменяется сильнее, чем при большей величине, и имеет глубокий провал. Причина та же: резкое изменение величины из-за проявления резонансных явлений.

Рис. 17 — зависимость модуля коэффициента передачи схемы от частоты при .

Рис. 18 — зависимость фазы коэффициента передачи схемы от частоты при .

Полный коэффициент передачи по форме практически повторяет коэффициент передачи по напряжению.

Рис. 19 — модуль полного коэффициента передачи схемы при .

Форма выходного напряжения при уменьшенном сопротивлении нагрузки приведена на рисунке ниже:

Рис. 20 — выходное напряжение, образованное 7 гармониками при .

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены характеристики T-образного реактивного полосового фильтра и приведены все необходимые формулы вычисления его параметров с таблицами значений и рисунками. Результаты расчёта были получены с помощью интегральной среды Mathcad. Система Mathcad называется самой современной, универсальной и массовой математической системой. Она позволяет выполнить как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет удобный математическо-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики.

По итогам работы можно сделать следующие выводы:

1) написано введение;

2) выполнен анализ задания на курсовую работу;

3) выведены формулы расчёта спектральных составляющих ЭДС;

4) найдена ширина спектра ЭДС по заданному уровню передаваемой мощности и соответствующий ширине номер высшей гармоники;

5) построен график входной ЭДС, синтезированной гармониками;

6) рассчитаны номинальные величины элементов схемы;

7) рассчитана амплитудно-частотная и фазочастотная характеристика (АЧХ и ФЧХ) коэффициента передачи схемы по напряжению, построены графики АЧХ и ФЧХ;

8) рассчитаны и построены графики зависимостей модуля и фазы входного сопротивления от частоты;

9) построен график выходного напряжения, синтезированного гармониками полученного спектра.

1. Основы теории цепей: Учебник для вузов? Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. — 5-е изд., перераб. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 528 с.: ил.

2. Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд-е 13-е, исправ. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

3. ГОСТ 2.004−88 ЕСКД. Общие требования к выполнению конструкторских и технологических документов на печатающих и графических устройствах вывода ЭВМ.

4. «Работа в среде MathCad» Методические рекомендации студентам физико-математических специальностей / Сост. Е. В. Паршикова. — Тула: Изд-во гос. пед. Университета им. Л. Н. Толстого, 2005. — 74 с.