Разрывные течения плазмы в магнитной гидродинамике и физике солнечных вспышек

Магнитная гидродинамика (МГД) описывает поведение движущейся сплошной проводящей среды (жидкой или газообразной) при ее взаимодействии с электромагнитным полем. Ее теоретической основой служат уравнения электромагнитного поля и гидродинамические уравнения сплошной среды. Бурное развитие МГД пришлось на середину прошлого века и было связано (помимо многочисленных технических приложений) с новыми задачами физики Солнца, геофизики и астрофизики. Тому способствовали следующие особенности изучаемых объектов: во-первых высокая ионизация межзвездного газа, звездных атмосфер и внутризвездного вещества, что делает эти среды отличными проводникамиво-вторых огромные, недостижимые в лабораторных условиях электрические, и особенно, магнитные поляи в-третьих большая протяженность космических сред, позволяющая успешно применять к ним гидродинамическое описание.

Основные положения МГД были сформулированы в 1940;х гг. шведским физиком X. Альвеном, предложившим эту теорию для объяснения ряда явлений в космической плазме (А1?уеп, 1950 [1]). Аль-вен описал новый тип волнового движения проводящей среды в магнитном поле — магнитогидродинамические волны, названные в его честь волнами Альвена. В дальнейшем было выделено еще несколько характерных для замагниченной среды волн малой амплитуды, как-то быстрые и медленные магнитозвуковые волны.

В отличие от альвеновских и магнитозвуковых волн, описываемых малыми возмущениями в уравнениях проводящей среды, разрывные течения представляют собой области сшивки решений системы нелинейных уравнений для двух непрерывных сред, разделенных поверхностью разрыва. Сложное взаимодействие магнитного поля с веществом в МГД (особенно, когда речь идет о высокотемпературной плазме в сильном магнитном поле) порождает множество различных по своим свойствам разрывных решений (Hoffmann, Teller, 1950 [2]).

Как известно, уравнения обычной гидродинамики имеют лишь два типа разрывных решений: тангенциальный разрыв и ударная волна. В магнитной гидродинамике наличие магнитного поля в плазме приводит к существованию быстрых и медленных ударных волн, альвеновских течений и других разрывов (Сыроватский, 1957; Половин, 1960, Anderson, 1963 [3−5]). Напомним, что при переходе через поверхность разрыва происходит резкое изменение, скачок параметров плазмы. Тип разрывного МГД решения, т. е. его характер, определяется изменениями плотности плазмы, скорости ее течения и вмороженного в нее магнитного поля. Более того, в отличие от гидродинамики, в МГД оказываются возможными непрерывные переходы между различными типами разрывных решений при непрерывном изменении условий течения плазмы (Сыроватский, 1956 [6]). Происходит это через так называемые переходные решения, одновременно удовлетворяющие условиям двух типов разрывов. Кроме того, на поверхности разрыва происходит нагрев плазмы, величина которого, разумеется, тоже зависит от типа МГД разрыва, хотя и не определяет его классификационные признаки: непрерывность или скачок плотности, наличие или отсутствие перпендикулярных составляющих скорости v± и магнитного поля В±-.

Возможность переходов между теми или иными типами разрывов удобно изображать в виде блок-схемы, где каждому блоку соответствует определенный класс МГД течений. Такого рода схемы публиковались ранее: Сыроватский, 1956 [6] и Сомов, 1993 [7]. Однако обе они не были достаточно полными с точки зрения разнообразия существующих типов МГД разрывов. Между тем, схемы, учитывающие все возможные типы разрывов и разрешенные непрерывные переходы между ними, необходимы, например, для интерпретации современных результатов численного моделирования в физике солнечных вспышек.

Известно, что разрывные течения плазмы реализуются в очень широком классе физических условий. Как следствие, они присутствуют в различного рода технических установках и устройствах, имеющих практическое значение (см. Sutton, Sherman, 1965; Лукьянов, 1975; Морозов, 2006 [8−10]), в лабораторных и численных экспериментах (например, Biskamp, 1997; Имшенник, Боброва, 1997; eds. Buchner, Dum, Scholer, 2003 [11−13]), в космических условиях (Giovanelli, 1946; Dungey, 1958; Orta, Huerta, Boynton, 2003 [14−16]) — особенно в связи с эффектом магнитного пересоединения (Petschek, 1964; ed. Hones, 1984; eds. Hoshino, Stenzel, Shibata, 2001 [17−19]). Последнее представляет собой перераспределение взаимодействующих магнитных потоков, изменяющее их топологическую связность. Характерно, что при взаимодействии магнитных потоков в плазме высокой проводимости, например, в солнечной короне, образуются электрические токи, точнее говоря, тонкие токовые поверхности или токовые слои, которые можно рассматривать как двумерные МГД разрывные течения (Сы-роватский, 1960, 1966, 1971 [20−22]).

В плазме высокой проводимости токовые слои существенно замедляют процесс пересоединения по сравнению с тем, каким он был бы в вакууме. В магнитном поле токовых слоев накапливается значительный избыток энергии, соответствующий энергии взаимодействия непересоединенных магнитных потоков, называемый свободной магнитной энергией. Для токового слоя в короне Солнца свободная энергия может достигать значений порядка 1032 эрг, т. е. значений энергии самых больших солнечных вспышек. Таким образом, теория токовых слоев Сыроватского (Сыроватский, 1974 [23]) позволила дать ответ на ключевой вопрос: где и в какой форме накапливается энергия вспышки?

Второе важное свойство токового слоя Сыроватского — его мета-стабильность. Он устойчив лишь в определенном интервале физических параметров. В зависимости от их значений токовый слой либо устойчив и медленно меняется при их изменении, либо теряет устойчивость при достижении некоторых пороговых значений, что приводит к быстрой диссипации накопленной энергии, проявляющей себя в виде солнечной вспышки (Сыроватский, 1981 [24]).

Отвлекаясь от существенных деталей и стадий в развитии вспышки, отметим лишь, что в ней так называемое быстрое магнитное пересоединение происходит в высокотемпературных турбулентных токовых слоях (Somov, 1992, 20 136″ [25, 26]). Оно осуществляет быстрое преобразование энергии магнитного поля, накопленной перед вспышкой, в энергию частиц плазмы во время вспышки. При этом значительная часть энергии вспышки освобождается в виде высокоскоростных узконаправленных потоков плазмы из токового слоя — джетов. Последние порождают вне токового слоя сложную картину МГД разрывных течений. Понимание этой картины необходимо, в частности, для объяснения наблюдаемых свойств больших эруптивных вспышек, коро-нальных выбросов массы и других геоэффективных явлений на Солнце (eds. Svestka, Jackson, Machado, 1992; Hanslmeier, Veronig, Messerotti, 2005; Hanslmeier, 2007 [27−29]).

Современные численные эксперименты, моделирующие процесс магнитного пересоединения (как двумерный, так и трехмерный) в приближении диссипативной МГД, демонстрируют несколько сглаженную картину разрывных течений в окрестности пересоединяющего токового слоя (Shimizu, Ugai, 2003; Shimizu, Kondoh, Ugai, 2005; Ugai, Kondoh, Shimizu, 2005; Ugai, 2008; Zenitani, Miyoshi, 2011 [30−34]). При интерпретации результатов таких расчетов, особенно трехмерных, трудно идентифицировать однозначно тип того или иного разрыва по некоторому неполному набору признаков. Если эту трудность удается преодолеть, то возникает вторая проблема, заключающаяся в необходимости объясненить одновременное присутствие разных типов разрывов, плавно переходящих друг в друга. При этом задача интерпретации картины переходов часто осложняется появлением в ней неэволюционных разрывов (Lax, 1957 [35]). Малые возмущения, накладываемые на поверхность неэволюционного разрыва, мгновенно приводят к большим изменениям в разрывном течении. Этим свойство неэволюционности отличается от неустойчивости: обычная неустойчивость связана с постепенным нарастанием малого возмущения, которое остается малым в течение некоторого промежутка времени. Таким образом, обнаружение и анализ областей неэволюционности является важной задачей при численном моделировании.

В работах Безродных, Власов, Сомов, 2007, 2011 [36, 37] рассматривается двумерная стационарная модель пересоединения в сильном магнитном поле, включающая в себя тонкий токовый слой типа токового слоя Сыроватского (Сыроватский, 1971 [22]) и четыре присоединенные к его торцам разрывные МГД течения конечной длины (Марковский, Сомов, 1989 [38]). Решение задачи, найденное в аналитическом виде, позволяет строить картину линий магнитного поля в окрестности области пересоединения. Рассчитанная структура поля в общем случае довольно сложна. Формирование токового слоя сопровождается образованием на его торцах обратных токов, что делает эту структуру неэволюционной (Марковский, Сомов, 1993; Markovskii, Somov, 1996 [39, 40]). Для ее объяснения и сопоставления с результатами численного моделирования, например, в приближении дисси-пативной МГД (Брушлинский, Заборов, Сыроватский, 1980; Biskamp, 1960; Yokoyama, Shibata, 1997; Chen, Fang, Tang, et al., 1999; Kondoh, Ugai, Shimizu, 2005 [41−45]) необходима простая удобная интерпретация изменений картины магнитного поля на поверхности разрыва в «лабораторной» системе координат, т. е. системе координат, в которой не равно нулю электрическое поле, неизбежно связанное с процессом магнитного пересоединения.

Основной задачей представленной работы является детальное изучение граничных условий для уравнений идеальной МГД на поверхности разрывов различных типов. В рамках общей постановки задачи выделены следующие последовательные задачи: а) найти удобный, наглядный параметр течения плазмы для постановки его в соответствие с известной стандартной классификацией разрывных течений в проводящей среде с магнитным полем, б) найти переходные решения между парами МГД течений, реализующимися в соседних областях возможных значений этого параметра, и как следствие, построить полную схему разрешенных непрерывных переходов между МГД разрывами, в) исследовать зависимость эффективности нагрева плазмы на разрыве от типа МГД разрывного течения, г) примененить полученные результаты к известному классу аналитических решений о структуре сильного магнитного поля в окрестности пересоединяющего токового слоя (Марковский, Сомов, 1989; Безродных, Власов, Сомов, 2007, 2011 [36−38]).

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. 6-ая Конференция «Физика плазмы в солнечной системе». Москва, ИКИ РАН, (2011).

2. VIII Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования». Москва, ИКИ РАН, (2011).

3. Международная конференция «European Week of Astronomy and Space Science (JENAM 2011)». Санкт-Петербург, ГАО PAH (2011).

4. XII Конференция молодых ученых «Взаимодействие полей и излучения с веществом». Иркутск, ИСЗФ СО РАН, (2011).

5. IX Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования». Москва, ИКИ РАН, (2012).

6. Научная конференция «Астрономия в эпоху информационного взрыва: результаты и проблемы». Москва, ГАИШ, МГУ им. М. В. Ломоносова, (2012).

7. 8-ая Конференция «Физика плазмы в солнечной системе». Москва, ИКИ РАН, (2013).

8. X Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные космические исследования». Москва, ИКИ РАН, (2013).

Материалы, составляющие содержание диссертации, опубликованы в Леденцов, Сомов, 2010;2013; Эотоу, ВеггоёпукЬ, ЬеёегЛвоу, 2011; Ьеск^оу, Ботоу, 2012 [46−59].

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе рассматриваются граничные условия для уравнений идеальной МГД на поверхности разрыва. Выводится уравнение, связывающее между собой углы наклона линий магнитного поля по разные стороны поверхности двумерного разрывного течения. С помощью характерного параметра, а именно величины потока массы, перетекающей через разрыв, найденная зависимость связывается со стандартной классификацией МГД течений плазмы.

Во второй главе производится поиск переходных решений между всеми соседними парами МГД разрывов, как среди двумерных течений, так и среди трехмерных. В результате удается составить общую схему непрерывных переходов между МГД разрывами. Полученная таким образом схема содержит в себе все ранее предлагавшиеся схемы непрерывных переходов и является их корректным обобщением.

Третья глава посвящена изучению граничного условия, эквивалентного закону сохранения энергии на поверхности разрыва. Соответствующее уравнение не отражает классификационных признаков разрыва, но содержит в себе информацию о внутренней энергии плазмы, а значит, и о способности МГД течения нагревать плазму. Производится поиск уравнения, описывающего в явном виде изменение внутренней энергии плазмы при переходе через разрыв. Изучается его зависимость как от термодинамических параметров среды, так и от типа МГД разрыва.

В четвертой главе обсуждаются свойства разрывных течений, имеющих место в самосогласованной аналитической модели магнитного пересоединения в сильном магнитном поле. Производится идентификация типов МГД течений, образующихся вблизи торцов пересоединяющего токового слоя. Показано, что по мере удаления от токового слоя происходит изменение характерной конфигурации магнитного поля, а значит, и смена типа течения. Анализ соответствующих переходных решений подтверждает возможность дополнительного нагрева плазмы ударными волнами вне области магнитного пересоединения.

В заключении сформулированы выводы и перечисленны основные результаты, полученные в диссертации.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (РФФИ, гранты № 08−02−1 033-а, № 11−02−843-а и № 11−02−16 091-мобзрос).

Завершить введение хотелось бы словами благодарности моему научному руководителю Сомову Борису Всеволодовичу. Ваша научная широта взглядов и жизнеутверждающая ирония всегда вдохновляла на новые исследования. Спасибо Вам за терпение!

Заключение

.

В работе установлено соответствие между стандартной классификацией двумерных разрывных течений в МГД среде (Сыроватский, 1957 [3]) и графическим представлением (рис. 5) зависимости углов наклона магнитного поля к нормали поверхности разрыва по обе стороны от этой поверхности. Соответствие установлено на основе полученного в работе аналитического выражения (18), связывающего между собой углы наклона магнитного поля по разные стороны поверхности разрыва через характерный параметр течения — величину потока массы. Это позволило в рамках упрощенной аналитической модели магнитного пересоединения (Безродных, Власов, Сомов, 2007, 2011 [36, 37]) отождествить различные участки присоединенных к токовому слою поверхностей разрывов с различными типами МГД ударных волн. В частности, вблизи торцов токового слоя (при наличии в нем обратных токов) обнаружены области транс-альвеновских ударных волн и волн включения, которые, как известно, неэволюционны.

Рассмотрены граничные условия для уравнений идеальной МГД на поверхности разрывов различных типов. При использовании найденных связей конфигурации магнитного поля с параметрами течения плазмы через разрыв установлен непосредственный вид переходных решений для всех возможных пар разрывных течений. На их основе построена обобщенная схема непрерывных переходов между разрывными течениями в МГД (рис. 10). Схема содержит в себе разрывы, не представленные на более ранних схемах, а именно: контактный разрыв, волны включения и выключения, транс-альвеновская ударная волна. Некоторые типы разрывы являются неэволюционными: волна включения, альвеновская и транс-альвеновская ударные волны. Они тоже включены в обобщенную схему переходов. При интерпретации результатов численного интегрирования уравнений МГД это позволяет видеть области, требующие более аккуратного расчета и дополнительного исследования.

На примере ударных волн, присутствующих в аналитической модели пересоединения (Безродных, Власов, Сомов, 2007, 2011 [36, 37]), показаны возможные ограничения, налагаемые на параметры течения условиями непрерывных переходов. Установлено разделение присоединенных к токовому слою поверхностей разрыва на две области, имеющие, по-видимому, различные причины появления. Квазистационарная внутренняя область связана с обратными токами в токовом слое, а внешняя — обусловлена преимущественно граничными условиями, в которых реализуется процесс магнитного пересоединения, и его скоростью.

Получено аналитическое уравнение (47), описывающее изменение внутренней энергии плазмы при переходе через МГД разрыв. Установлена его зависимость как от термодинамических параметров плазмы, так и от типа МГД разрыва. Нагрев тем сильнее, чем больше скачки плотности плазмы и плотности магнитной энергии на разрыве. Наибольший нагрев осуществляется транс-альвеновским типом течения. Подобные условия реализуются вблизи области обратных токов в процессе магнитного пересоединения. Результат полезен для объяснения распределения температуры в плазме солнечных вспышек, наблюдаемых на современных космических рентгеновских обсерваториях (Бш, Но1тап, 2003 [75]).