Нелинейная эволюция структур в средах без дисперсии и диффузия частиц

ф В зависимости от соотношения нелинейности и дисперсии в физике нелинейных волн можно условно выделить два класса задач, которые принципиально отличаются как по эффектам, так п по методам исследования. В средах с сильной дисперсией взаимодействует конечное число волн, в результате взаимодействия они сохраняют свою структуру, а для их описания можно использовать метод медленно меняющихся амплитуд. В средах с малой дисперсией характерным является когерентное взаимодействие большого числа временных или пространственных гармоник, и в результате образуются сильно нелинейные структуры. Задача теоретического и экспериментального исследования эволюции и взаимодействия сильно нелинейных волновых полей и структур составляет важное направление в физике нелинейных волн. При случайных начальных условиях можно говорить о сильной турбулентности, когда эволюция случайного поля происходит как взаимодействие устойчивых сильно нелинейных структур. При этом наряду с построением статистических моделей нестационарных турбулентных течений часто необходимо исследовать диффузию пассивной примеси в таких течениях. В таких средах поле скорости, как правило, имеет разрывы производной, а для поля ф примеси происходит кластеризация — примесь собирается в локализованные сгустки. В данной диссертации развиваются аналитические и численные методы анализа волн и структур в средах с нелинейностью гидродинамического типа и исследуются эффекты кластеризации полей пассивной примеси или плотности вещества.

Базовыми уравнениями для таких сред являются нелинейные уравнения в частных производных типа уравнения Римана, Бюргерса и уравнения КРЪ (Кагс1аг-Рап8ь 2Ьапй). Уравнение Бюргерса имеет два слагаемых одно из которых отвечает за инерционную нелинейность, а второе связано с диффузией. Уравнение Бюргерса связано с задачей о диффузии частиц и с другой стороны. Известно, что в пределе бесконечно малой вязкости, решение уравнения Бюргерса подобно эволюции газа слипающихся частиц. Несмотря на простоту постановки такой классической задачи механики, для • нее относительно недавно были получены весьма нетривиальные результаты [1].

Уравнение нелинейной диффузии было впервые представлено Дж. Бюргерсом как модель гидродинамической турбулентности [2,3]. Действительно, оно имеет много общего с известным уравнением Навье-Стокса: тот же тип нелинейности, общие инварианты, одинаковая частотная зависимость для энергетических потерь, и т. д, описывая два основных эффекта, присущих любой турбулентности: нелинейное перераспределение энергии по спектру и действие вязкости в области мелких масштабов [4]. Различия между уравнением Бюргерса и уравнением Навье — Стокса являются столь же интересными как и их подобие [5]. Это тем более справедливо и для многомерного уравнения Бюргерса.

При отсутствии внешних сил уравнение Бюргерса описывает вырождение турбулентности, то есть нелинейную трансформацию случайного начального возмущения. Несмотря на то, что уравнение Бюргерса имеет точное решение — решение Хопфа-Коула [6,7], исследование статистических свойств этого уравнения представляет весьма сложную математическую задачу. Так первые серьезные результаты для Броуновского начального потенциала были получены тридцать пять лет спустя [3] после появления самого уравнения [2], а точное статистическое описание этого специального случая было проведено совсем недавно [8]. Анализ этого, казалось бы простого, нелинейного уравнения диффузии показывает, что в зависимости от начальных условий возможны качественно разные режимы вырождения турбулентности (см., например, монографии [3,0−11], библиографию в них, а также [12] - [30]). Отметим, что для гидродинамической турбулентности вопрос о законах вырождения до сих пор остается открытым (см. например, статью [31]).

С точки зрения численного моделирования уравнение Бюргерса также представляет несомненный интерес, так как возможно построение достаточно простых алгоритмов численного решения данного уравнения. Уравнение Бюргерса нашло приложение во многих физических задачах, где нелинейность достаточно слабая (квадратичная), а дисперсия значительно меньше линейного затухания [32]. В нелинейной акустике оно выводится из системы гидродинамических уравнений с учетом вязкости и теплопроводности среды [33]. В частности, при случайных начальных условиях данное уравнение описывает эволюцию интенсивного акустического шума и, поэтому такие решения уравнения Бюргерса называют одномерной акустической турбулентностью.

В течение последних лет интерес научного сообщества к турбулентности Бюргерса постоянно растет. Область задач, связанных с уравнением Бюргерса, включает такие проблемы как эволюция хаоса [16,34,35], эволюция поля при воздействии случайной силы в правой части уравнения Бюргерса [36−38]. Оно также описывает распространение электромагнитных волн в ферритах, магнитозвуковых волн в плазме и интенсивных акустических волн в жидкости и газе [9,33]. Уравнение Бюргерса также используется при изучении эволюции широкого класса физических систем, таких как клеточные автоматы [39,40], неупорядоченные магниты [41], [12], сверхпроводники [43].

Многомерное уравнение Бюргерса с внешними случайными силами широко используется как модель гидродинамической турбулентности Навье — Стокса без давления [44−47]. Внимание к изучению других возможных приложений многомерного уравнения Бюргерса было вновь обращено в 1986 год}', когда М. Kardar, G. Parisi и Y.C. Zhang впервые предложили нелинейное уравнение со случайным источником, которое описывает неравновесную эволюцию поверхности [48], которое теперь носит название «KPZ equation». Это уравнение совпадает с нелинейным уравнением для потенциала поля скорости многомерного уравнения Бюргерса и описывает рост поверхностей [49] - [5i], осаждение примеси и распространение фронта пламени [11,53,56]. В этих случаях, потенциал скорости соответствует профилю поверхности, а уравнение, описывающее его эволюцию, эквивалентно уравнению KPZ (Kardar, Paris, Zhang) [11,48,52,56]. В задачах о росте поверхности раздела двух сред коэффициент вязкости имеет смысл коэффициента поверхностного натяжения, и слагаемое в правой части описывает линейные эффекты сглаживания поверхности. Изрезанность же поверхности измеряется ее среднеквадратичным градиентом. Заметим, что наибольший интерес здесь представляет изучение взаимодействия и конкуренции различных ячеек в образующейся ячеистой структуре поля. Отметим, что многомерный вариант уравнения содержит в себе дополнительные особенности, связанные с эволюцией анизотропных полей, а именно, происходящий процесс изотропизацпи поля и перекачки энергии между пространственными компонентами. В задачах о распространении фронтов пламени было показано, что процесс формирования, распространения и взаимодействия различных участков границы раздела между сгоревшим и питающим веществом может быть описан с помощью многомерного уравнения Бюргерса. Это является следствием того, что в данном уравнении присутствует конкуренция нелинейных эффектов и затухания (нестабильности фронтов пламени). Используя данную модель, можно теоретически показать экспериментально установленный факт укрупнения участков фронтов за счет конкуренции различных ячеек.

Другой класс задач, для которых уравнение Бюргерса может быть использовано в качестве математической модели, это диффузия пассивной примеси в сложных течениях. Данный вопрос представляет большой интерес для задач, связанных с экологией, океанологией и физикой атмосферы [57]- [64]. Первые работы по этой теме [63−67] относятся еще к концу Х1Х-го века, но интерес к проблеме сохранился по сей день, и она неоднократно рассматривалась в классических изданиях [68]. При этом важную роль играет выбранная модель течения, в качестве которой, как правило, используется модель несжимаемого течения с дельта — коррелированной во времени скоростью [69] - [71]. В тоже время интерес представляет и случай сжимаемого течения, которое, например, реализуется при эволюции плавучей примеси [72] - [77]. Хотя в ряде работ рассматривав лось движение в устойчивом течении [78], как правило, используются нестационарные модели [79]- [85], отражающие затухание поля. Часто в качестве подобной модели выбирают уравнение Бюргерса, учитывающее конкуренцию нелинейности и диссипации при эволюции заданного поля [86] - [88]. Для подобных задач характерным является эффект локализации примеси, при исследовании которого возникают два конкурирующих механизма — затухание поля скорости и инерциальное движение частиц, которым порой пренебрегают [89]. При переходе от анализа траекторий одиночных частиц к исследованию динамики ансамбля частиц, процесса кластеризации и массовой функции часто используется взаимосвязи Лагранжевого и Эйлерового формализма [5,10,90].

Обобщенная векторная форма уравнения Бюргерса была предложена и для описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной [9,10,28], [91] - [103]. Структурное формирование Вселенной является очень многогранной и широко изучаемой проблемой, которая касается многих сторон физики.

Так называемая «модель слипания» [92], в основе которой лежит данное уравнение, описывает появление крупномасштабных образований, рождающихся из случайных начальных возмущений малой плотности, на нелинейной стадии гравитационной неустойчивости, когда силами давления можно пренебречь [104−107[. Это справедливо сразу после бариои-фотониого расщепления на ранней стадии развития Вселенной, когда разреженная материя (практически без давления) сформирована подобными пыли частицами, взаимодействующими только с участием гравитации [104]. Тогда гравитационный потенциал определяется уравнением Пуассона из флуктуаций плотности. Ограничиваясь только одним типом материи, схематично можно представить ускорение частицы как сумму, возникающую от давления, расширения Вселенной, трения и гравитации.

Давлением обычно пренебрегают, поскольку материя является очень холодной. Член, содержащий расширение, пропорционален скорости и появляется, потому что уравнение записано в сопровождающей системе координат. Можно показать, что при малых флуктуациях (линейное приближение) описание само-гравитационного газа в расширяющейся системе сводится лишь к учету нарастающей моды потенциального решения. В 1970 Зельдович [108] предложил расширить такое описание и на сильно нелинейный режим, когда флуктуации плотности достаточно большие и происходит формирование крупномасштабных структур. Заметим, что в одномерном случае, приближение Зельдовича является строгим независмо от величины флуктуацпй. В данном приближении при соответсвующей замене пространственных и временных переменных каждая частица просто движется по прямой с постоянной скоростью. Естественно, при этом происходит формирование каустик, т. е. областей с бесконечно большой плотностью. Арнольд, Шандарин и Зельдович, изучив различные виды образующихся сингулярно-стей, появляющихся при таком описании, пришли к выводу, что реально существующие крупномасштабные структуры (кластеры) построены намного проще, чем данные математические объекты (разрывы). Как было показано Гурбатовым, Саичевым и Шан-дариным [91], [92] лучшее сходство можно получить, если потребовать не прохождения, а слипания частиц при пересечении их траекторий. Данная модель слипания представляет собой ни что иное как трехмерное уравнение Бюргерса в пределе бесконечно малой вязкости. Правда, поскольку в темной материи отсутствуют столкновения, не совсем ясен вопрос о механизме вязкости, обеспечивающем слипание.

Другая трудность состоит в том, что принципиальную роль играет случайность начальных условий, и из-за отсутствия точных решений в астрофизике, как правило, используются численные методы. В тоже время приближенные модели, такие как модель Зельдовича [10S] и приближение слипания [91] играют большую роль для качественного описания формирования крупномасштабной структуры Вселенной. Одним из важных вопросов является при этом внутренняя структура кластера [109]- [115], которую можно исследовать на основе решение системы Власова-Пуассона [113,116−122]. Важной задачей является сравнение результатов полученных на основе решение системы Власова-Пуассона с моделью слипания. В одномерном случае возможно точное сравнение прямого численного моделирования и модели слипания, что позволяет исследовать динамику отдельных частиц и при усреднении по ансамблю получать оценки для внутренней структуры кластера.

Данная диссертация посвящена исследованию нелинейных диффузионных процессов, описываемых уравнением Бюргерса. Данное уравнение применяется при исследовании эволюции многомерных случайных и регулярных полей в средах без дисперсии. Также оно часто применяется в качестве модельного при исследовании диффузии сжимаемого течения (пассивной примеси) в нестационарных турбулентных полях при малой вязкости жидкости. Формирование массовых структур на нелинейной стадии эволюции Вселенной также может быть описано уравнением Бюргерса с бесконечно малой вязкостью.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и библиографии.

Основные результаты диссертации.

Данная диссертация посвящена исследованию статистических и динамических характеристик нелинейных волн, описываемых нелинейными уравнениями типа уравнения Бюргерса и KPZ, и диффузии частиц в таких полях. В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Для многомерного уравнения Бюргерса показано возникновение с течением времени локальной автомодельности и изотропии полей скорости и потенциала в окрестности максимумов начального потенциала.

2. Для анизотропных периодических структур исследован процесс генерации крупномасштабной компоненты и показано сохранение глобальной анизотропии поля. Дтя анизотропной турбулентности Бюргерса найдено, тгго в случае ближних корреляций начального потенциала нелинейные эффекты и диссипация приводят к глобальной статистической изотропизация и автомодельности поля и получены статистические характеристики полей потенциала и скорости. Показано что анизотропия спектра в области малых волновых чисел сохраняется в случае наличия дальних корреляций в начальном потенциале. Качественно исследованы процессы установления изотропного режима на нелинейной стадии. Показано, что на линейной стадии спектр турбулентности может иметь существенно различное поведение в разных областях пространственного спектра, анизотропное в области малых волновых чисел и изотропное в области больших.

3. Дтя локализованных возмущений со сложной внутренней структурой показано, что в пределе исчезающе малой вязкости непрерывное возмущение разбивается на ячейки с универсальным поведением поля в каждой их них. В результате взаимного поглощения одних ячеек другими, на больших временах выживает лишь одна ячейка с наибольшим значением начального потенциала. Показано, что если масштаб сложной внутренней структуры существенно меньше масштаба локализации, то из случайного сложного локализованного возмущения с нулевым средним генерируется практически детерминированная когерентная структура. Получено, что на поздней стадии мы имеем автомодельную эволюцию среднего поля и поля дисперсии. Показано, что при конечных числах Рейнольдса сильно нелинейная стадия эволюции сменяется в конце концов на линейную, а сама поверхность потенциала имеет Гауссову причем ее среднее высоты значение не зависит от внутренней структуры начального потенциала.

4. Исследована динамика пассивных частиц в турбулентном сжимаемом течении, описываемом одномерным уравнением Бюргерса. Впервые, для линейного профиля, течения получены точные решения, позволяющее исследовать поведение частиц при различных соотношениях эффектов нелинейности и диссипации. На основе полученных строгих решений рассматривалось движение частицы в периодическом пилообразном поле, поведение которого отражает основные свойства периодических гармонических полей на стадии развитой турбулентности. Детально изучены характерные пространственные и временные параметры колебаний частиц. Несмотря на нелинейное затухание поля, частицы группируются у разрыва, поскольку амплитуда их колебаний экспоненциально спадает. Таким образом, на основе полученных решений можно утверждать о происходящей локализации частиц в окрестности разрыва. Найденные параметры колебаний частиц позволили получить распределение плотности в окрестности разрыва. Показаны различия в эволюции данной функции на начальном этапе в случае слабого и сильного трения. Получено, что распределение является самоподобным в случае сильного трения. Аналитическое рассмотрение было подтверждено численным моделированием.

5. Исследован нелинейный режим формирования крупномасштабных структур на стадии гравитационной неустойчивости в расширяющейся Вселенной Эйнштейна-Де Ситтера в предположении, что начальные возмущения плоские. На основе данной модели изучена согласованная динамика гравитационно-взаимодействующих частиц в области коллапса с учетом многопотокового поведения системы. Получено, что данное поведение может быть описано итерационным отображением скоростей в момент пересечения особенностей и в непрерывном пределе для траекторий частиц удается получить асимптотические решения. Результаты численного моделирования показали хорошее согласие с аналитической моделью. Основным достижением является найденная теоретически внутренняя структура кластера, при этом показано, что для определенных начальных условий коллапс носит автомодельный характер. Эти данные подтверждены прямым численным моделированием и сравниваются с аналогичными результатами для приближения Зельдовича и модели слипания (уравнение Бюргерса с малой вязкостью, совместно с уравнением непрерывности). Также была исследована совместная динамика двух кластеров, состоящих из большого числа одиночных частиц, и показано, что в течении длительного времени происходит двух-масштабный автомодельный коллапс и не происходит перехода частиц между кластерами.