Теория мелкой воды (возможны альтернативы)

Согласно обобщённому закону Гука сделаем следующие предположения:

При отсутствии движения, то есть при равновесии жидкости; жидкость уже сжата (гидростатическое давление), и давление это имеет среднее значение ««.При движении может иметь место сжимаемость жидкости, это даёт дополнительное давление, пропорциональное скорости относительного объёмного сжатия, то есть ««.Главная деформация даёт слагаемое напряжение, пропорциональное главной скорости деформаций или главной скорости относительного удлинения; мы обозначим это слагаемое ««. Здесь и две постоянные величины, зависящие от свойств жидкости. При этих предположениях можно написать следующую форму для главных напряжений:(24)Если просуммировать обе части этого уравнения по i от 1 до 3, от будем иметь:(25)или, замечая, что: и найдём: откуда следует:(26)Таким образом, при сделанных предположениях всё сводится к одному коэффициенту, и равенство (24) принимает вид:(27)Желая перейти теперь к вычислению любых (а не только главных) компонентов тензора напряжений, подставим значения из (27) в равенство (21), тогда получим:(28)Первая сумма в равенстве (28) равна 1 или 0, в зависимости от того равняется или не равняется индекс i индексу j. Это компоненты тензорной единицы. Обозначим её так:(29)Обратясь ко второй сумме заметим, что её можно представить следующим образом:(30)Так как при слагаемые, заключённые в скобку всё равно обратятся в нуль, как скорости сдвигов главных осей. Таким образом в выражениях компонент тензора скоростей деформаций имеем:

Можно переписать (30) в форме:

или по формуле преобразования компонент тензора к другим осям:(31)Подставляя выражения сумм из (29) и (31) в формулу (28), получим окончательное выражение для компонентов тензора напряжений:(32)или в тензорном виде:(33)Здесь волной обозначены тензорные символы. Отсюда видно, что тензор напряжений раскладывается на два тензора: 1) диагональный тензор, равный произведению физического скаляра на тензорную единицу, и 2) симметричный тензор, пропорциональный тензору скоростей деформации. У первого тензора все направления являются главными осями; у второго тензора, главные оси являются главными осями деформаций или скоростей деформаций, так что у тензора напряжений те же главные оси, что и у тензора деформаций, о чём уже говорилось. Напишем ещё формулу (32) в раскрытом виде, отделив касательные напряжения от нормальных. Имеем:

а) касательные напряжения ():(34)б) нормальные напряжения ():(35)Коэффициент, входящий в эти формулы, носит название коэффициента вязкости или коэффициента внутреннего трения жидкости. Вывод уравнений Навье-Стокса. Случай несжимаемой жидкости

Получив выражение (32) для компонент тензора напряжений, легко найти динамическое уравнение движения вязкой жидкости, выраженное через скорости движения и их производные; для этого нужно в уравнение (30) или эквивалентную систему (14) подставит вместо их выражения по (34) и (35).В смысле выкладок проще всего поступить так: взять первое из уравнений (14) и, подставив в него значения, , из (34) и (35), получим:

или перестановкой членов:

Отсюда сразу следует:

Аналогично получим, что вообще:(36)Эта система трёх уравнений эквивалентна одному векторному:(37)Последнее уравнение и есть известное уравнение Навье-Стокса, являющееся основным уравнением динамики вязкой жидкости; к нему присоединяется уравнение неразрывности (сохранения массы):(17)Так как, откуда, то уравнение Навье-Стокса принимает вид:(37)В случае жидкости переменной плотности мы имеем ещё уравнение процесса состояния:(38)Система уравнений (37), (17) и (38) представляет собою систему пяти уравнений с пятью неизвестными:, ,; ;. Таким образом мы видим, что сделанные физические предположения действительно доопределили задачу. В более общем случае движения с притоком тепла, уравнения состояния содержат ещё температуру; для определения задачи в этом случае добавляется ещё уравнение притока энергии. В случае несжимаемой жидкости, для которой =const и в пространстве и во времени система уравнений будет иметь вид:(39)К этому случаю относятся возможные движения капельных жидкостей (вода, масло и др.), движение газов со скоростями, далёкими от скорости звука и при малых колебаниях температуры потока. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей. Граничное условие прилипания на стенках даёт:. Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:(40)Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости (41)Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение (42)На стенках, т. е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения (43)А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя (44)Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость (45)Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной. Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р0*, получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае Vy=Vz=0 и Vx=V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

при y < h/2, Vz < 0, т. е. частицы вращаются по часовой стрелке;

при y > h/2, Vz > 0, т. е. частицы вращаются против часовой стрелки. Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения. Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.Магнитогидродинамический генератор, МГД-генератор — энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную Vmax =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров. Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр. Максимальное значение вязкости плазмы примем 3· 10−4 Па· Чс=8,3·10−8Па·с.Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.Заключение

На основе баротропного приближения систем квазигазодинамических и квазигидродинамических КГД-уравнений выписаны системы уравнений «мелкой воды» с регуляризаторами. Те же уравненияс учетом внешних сил и неровностей дна водоема получены с использованием интегральногопредставления уравнений «мелкой воды». Полученные таким образом регуляризующие добавки имеют видвторых пространственных производных и тесно связаны с соответствующими добавками для

КГД-систем уравнений. Построенные добавки не нарушают условий гидростатического балансасистемы. Предложен и опробован численный алгоритм решения уравнений «мелкой воды», основанный на методеконечного объема с аппроксимацией всех пространственных производных, включая конвективные слагаемые, с помощью центральных разностей. Устойчивость алгоритма обеспечивается регуляризующими добавками. Условием устойчивости является условие Куранта. Предложенный алгоритм опробован на задачах о распаде разрыва, задаче о транскритическомтечении над препятствием, а также на задаче о течении воды, образующемся при разрушении несимметричной дамбы. Для одномерных расчетов полученные численные результаты сходятся каналитическим решениям при сгущении пространственной сетки. В двумерной задаче расчетысоответствуют эталонным данным, полученным по схемам высокого порядка точности. Литература

Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981

Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986

Поттер Д. Вычислительные методы в физике, М.: Мир, 1975

Бекнев В.С., Панков О. М., Янсон Р. А. — М.: Машиностроение, 1973 г. — 389 с. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. -

М.: Машиностроение, 1978 г. — 458 с. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. — М.: Машиностроение, 1987 г. — 438 с.