Нелинейные ?-модели и спонтанное нарушение суперсимметрии в моделях расширенных супергравитаций
Нелинейные сг-модели в N = 2 супергравитации. Геометриче-. скал структура моделей, описывающих взаимодействие N = 2 супергравитации с материей значительно сложнее, чем в N = 1 случае, поскольку скалярные поля из N = 2 гипермультиплетов параметризуют ква-тернионные многообразия. Модели, основанные на симметрических кватернионных многообразиях подробно изучены. Был сконструирован широкий класс… Читать ещё >
Нелинейные ?-модели и спонтанное нарушение суперсимметрии в моделях расширенных супергравитаций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
- I. Спонтанное нарушение симметрии в N = 1 супергравитации
- 1. Модель с геометрией 811(1,п)/8и (п)<8)и (1)
- 1. 1. " Описание модели
- 1. 2. Исследование спектра масс
- 2. Модель с геометрией 0(2,п)/0(п)®0(2)
- 2. 1. Описание модели
- 2. 2. Исследование спектра масс
- II. Модели N = 2 суцергравитации, основанные на несимметрических кватернионных многообразиях
- 3. Симметрии и лагранжианы
- 3. 1. Классификация несимметрических кватернионных многообразий
- 3. 2. ^-модель
- 3. 3. д)-модель
- 3. 4. У (р, 0)-модель
- 3. 5. У (р, д)-модель
- 4. Калибровочное взаимодействие
- 4. 1. Векторные мультиплеты
- 4. 2. ¥-(р, д)-модель
- 4. 3. У{р, д)-модель
- III. Модели N = 2 супергравитации с калибровочными группами Каца-Муди
- 5. Нарушение калибровочной симметрии Каца-Муди
- 6. N = 2 суперсимметричная модель
- 7. Модель N = 2 супергравитации
- IV. Дуальные версии и нарушение суперсимметрии
- 8. Спонтанное нарушение суперсимметрии в N — 3 супергравитации с материей
- 8. 1. N = 3 супергравитация с векторными мультиплетами
- 8. 2. Дуальная версия
- 8. 3. Спонтанное нарушение суперсимметрии
- 9. Спонтанное нарушение суперсимметрии в N = 4 супергравитации с материей
- 9. 1. Обычная версия
- 9. 2. Дуальная версия
- 9. 3. Нарушение суперсимметрии
- 10. Дуальные версии расширенных супергравитаций
- 10. 1. N = 2 супергравитация
- 10. 2. 'N = 3 супергравитация
- 10. 3. N = 4 супергравитация
Стандартная модель и суперсимметрия. В настоящее время общепринятой в физике высоких энергий является Стандартная Модель (СМ), основанная на калибровочной группе 5(7(3) (8) SU (2) U (l). До сих пор нет никаких экспериментальных данных, прямо противоречащих этой модели. Ее характеризуют с одной стороны такие черты, как унитарность, перенормируемость, естественное объединение электромагнитных и слабых взаимодействий, а с другой то, что ее предсказания промежуточных векторных бозонов, трех поколений фермионов, были блестяще подтверждены экспериментально. Но имеется и ряд связанных с ней проблем. Это, в первую очередь, не обнаруженный до сих пор сектор Хиггса, проблема генерации поколений, большое число свободных параметров теории. В рамках СМ не удается также удовлетворительно разрешить проблему калибровочной иерархии (КИ), связанную с присутствием в теории фундаментальных скалярных частиц. Квадратично расходящиеся собственно-энергетические диаграммы после перенормировки дают вклад в квадрат масс скалярных частиц, пропорциональный, например, (Mpi/Mz)2 ~ 1034 — аспект проблемы КИ, связанный со стабильностью массовой шкалы СМ. Такие исключительно большие поправки к квадрату массы могут быть скомпенсированы лишь с помощью подстройки параметров перенормированной модели — аспект проблемы КИ, связанный с естественностью массовой шкалы СМ.
В настоящее время развивается ряд теорий, выходящих за рамки Стандартной Модели и призванных решить ее проблемы. Это теории техницвета и расширенного техницвета, модели, рассматривающие ком-позитность кварков. Одним из перспективных направлений являются теории, обобщающие Стандартную Модель на суперсимметричный случай. Ряд свойств таких моделей делает их привлекательными с точки зрения возможности решения указанных выше проблем. В частности, в теории с ненарушенной суперсимметрией радиационные поправки не дают вклада в массу Хиггса вследствие взаимного сокращения бозонных и фермион-ных петель. Улучшенное ультрафиолетовое поведение, решение технических аспектов проблемы калибровочной иерархии и сильной СР-иерархии дают широкие возможности для построения феноменологических суперсимметричных теорий.
Основное требование, которое налагается на любую суперсимметричную теорию, это необходимость спонтанного нарушения суперсимметрии. При этом суперпартнеры «стандартных» частиц (кварков, леп-тонов, калибровочных бозонов и полей Хиггса) в низкоэнергетической области ~ 0{1№ 0еУ) должны приобретать массы, превышающие массы их партнеров на величину порядка масштаба нарушения суперсимметрии. Этот масштаб расщепления дает вклад в радиационные поправки к массе скалярных частиц и не должен превышать ~ 0(1ТеУ) для того, чтобы аспект проблемы КИ, связанный со стабильностью массовой шкалы СМ, удовлетворительно разрешался. Это ограничение на величину расщепления масс частиц в супермультиплетах ведет в свою очередь к ограничению на массы суперчастиц сверху.
Ранние попытки построения суперсимметричных обобщений электрослабой и стандартной моделей рассмотрены в обзорах [1]. Оказалось, что спонтанного нарушения суперсимметрии не достаточно для получения реалистического спектра масс в таких моделях и требуется введение дополнительных несуперсимметричных членов. Как было показано в работах [2], суперсимметрия может быть нарушена явно и все равно не иметь квадратичных расходимостей. Члены, включение которых в лагранжиан удовлетворяет этому условию (так называемые мягко нарушающие суперсимметрию члены), имеют вид: т2гг, т2(г2 + г2), + т ((Ш), (0.1) где 2 — скаляр из кирального, а О — спинор из векторного мультиплетов.
Основные черты моделей N = 1 супергравитации. Механизм появления таких членов стал ясен при исследовании моделей, основанных на супергравитации — локальной суперсимметрии. Попытки сделать суперсимметрию локальной с необходимостью приводят к включению в теорию полей со спинами 3/2 и 2 — гравитино и гравитона. При этом теория становится неперенормируемой, но масштабом обрезания является масса Планка, т. е. физические следствия при низких энергиях могут быть исследованы с помощью эффективного лагранжиана, не содержащего гравитацию. Для модели супергравитации со спонтанно нарушенной суперсимметрией формально устремляя гравитационную константу связи к —"• 0, можно получить эффективный низкоэнергетический лагранжиан, который как раз и будет содержать члены, мягко нарушающие суперсимметрию, которые в рамках глобальной суперсимметрии вводились «руками» .
Тот факт, что в моделях супергравитации отпадает необходимость следить за перенормируемостью теории, открывает более широкие возможности для построения моделей, чем в глобальной суперсимметрии. Общий лагранжиан взаимодействия N=1 супергравитации с киральны-ми суперполями материи и векторными калибровочными суперполями получен в работах [3]. Как было показано, скалярные поля в общем случае описывают нелинейную сг-модель с геометрией, соответствующей Ке-леровому многообразию. Такая модель характеризуется Келеровым потенциалом г) — вещественной функцией скалярных полей, при этом потенциал скалярных полей имеет вид:
V = -е~с (3 — С^-1)^'), (0−2).
Ск = — Ск = — = /д з дгк' дгк дгкдг1'.
Кроме Келерова потенциала, лагранжиан N = 1 супергравитации в общем случае содержит еще одну произвольную функцию скалярных полей из кирального мультиплета ~ функцию, стоящую при кинетическом члене векторных полей.
Анализ возможности спонтанного нарушения суперсимметрии в моделях супергравитации более сложен, чем в моделях с глобальной суперсимметрией. Необходимым проявлением спонтанного нарушения является то, что гравитино приобретает массу тп3/2 = е~С//2. Но достаточным условием это не является. Еще одно необходимое требование — отсутствие в модели космологической постоянной, т. е. нулевое значение минимума потенциала (о проблеме космологической постоянной см., например, [4]). В моделях со спонтанно нарушенной супергравитацией имеется проблема иерархии, связанная с вакуумной энергией. Как видно из формулы (0.2), естественный масштаб для значения вакуумного среднего потенциала скалярных полей после нарушения суперсимметрии это.
V >~ 0{т12М'р1) и необходимо объяснить, почему вместо этого.
V > /МАР1 < Ю-120.
Добиться зануления потенциала в минимуме можно либо путем тонкой подстройки параметров теории, либо пытаясь наложить на теорию требование инвариантности относительно некоторой симметрии, приводящее к плоскому потенциалу (так называемые no-scale модели). Во втором случае, помимо естественного решения проблемы космологической постоянной, происходит еще и динамическое определение массовой шкалы — все малые массовые масштабы определяются динамически в терминах одного фундаментального — массы Планка М = Mpi/y/Sn. Скрытый сектор с плоским потенциалом был введен в работах [5]. Он описывает нелинейную сг-модель с геометрией SU (1,1)/U (1). Соответствующий Ке-леров потенциал имеет вид: G (z, z) = — K2ln (z+z). В рамках N = 1 супергравитации параметр к остается произвольным, его не удается фиксировать исходя из соображений симметрии и для получения плоского потенциала приходится опять-таки «руками» полагать к1 — 3. Тем не менее, таким образом определенная симметрия модели сводит функциональный произвол к однопараметрическому, а значение параметра к фиксируется, если рассматривать N = 1 супергравитацию как низкоэнергетический предел моделей суперструн или расширенных супергравитаций. Возможности построения реалистических no-scale моделей исследованы в обзоре и.
Модели супергравитации содержат два сектора: скрытый сектор, ответственный за спонтанное нарушение суперсимметрии, и наблюдаемый сектор, содержащий поля, описываемые стандартной моделью и их суперпартнеры, а в случае теории великого объединения и соответствующие дополнительные частицы. Эти два сектора связаны только гравитационным взаимодействием. Рассматривая N=1 супергравитацию, как эффективную теорию, описывающую физику на энергиях ниже Mpi в соответствии с общей схемой:
L (N = 1 SUGRA) Е<�ЛР1 L (N = 1 SUSY) + LSOft, (0−4) необходимо требовать выполнения следующих условий:
• суперсимметрия спонтанно нарушена и, при этом, космологическая постоянная равна нулю,.
• определенные поля, связанные с этим нарушением, отщепляются (скрытый сектор),.
• определенные поля становятся супертяжелыми (суперпартнеры),.
• оставшиеся поля соответствуют наблюдаемым в низкоэнергетической теории.
Как было сказано в предыдущем параграфе, теоретические ограничения на массы суперчастиц сверху таковы, что открытие этих частиц ожидается после запуска новых коллайдеров на ТеУ-ные энергии. В связи с этим велик интерес к моделям, предсказывающим определенные свойства суперчастиц, допускающие проверку на эксперименте. К недавним работам на эту тему относятся [7] (минимальная суперсимметричная СМ), [8] (суперсимметричные модели Великого Объединения). Но во всех этих работах рассматривается суперпотенциал, в котором члены, мягко нарушающие суперсимметрию, вводятся «руками», без привлечения супергравитации. Поэтому актуальной задачей является исследование моделей N = 1 супергравитации и получение юкавских и массовых членов, позволяющих строить феноменологические модели с мягко нарушенной суперсимметрией. Вывод мягко нарушающих членов из супергравитации ведет к резкому сужению числа свободных параметров модели и к увеличению ее предсказательной силы.
Модели N = 1 супергравитации достаточно активно исследуются в последнее время (из последних работ на эту тему см. [9, 10]). В качестве геометрии скалярных полей обычно выбираются некоторые обобщения no-scale скрытого сектора, дающие возможность иметь плоские направления в потенциале модели, что решает проблему космологической постоянной и ведет к динамическому определению массовой шкалы. Как правило рассматривается конкретная модель с фиксированной калибровочной группой и исследуется как нарушение суперсимметрии, так и нарушение калибровочной симметрии, и получающийся спектр масс.
В своей работе [11] мы исследовали два класса моделей N = 1 супергравитации с различной геометрией скалярных полей. В первом случае часть скалярных полей параметризует Келерово многообразие вида SU (l, m)/SU (m) 1 —N = 1. Модель с ортогональной геометрией исследовалась в недавних работах [10] в связи с возможностью одновременного нарушения суперсимметрии и калибровочной симметрии.
Особенности моделей расширенных супергравитаций. Феноменологические модели, рассматриваемые в рамках N = 1 супергравитации, выглядят достаточно обещающе, но имеют и ряд неудовлетворительных черт:
• Во-первых, очевидная произвольность конструкции. В таких моделях совершенно произволен выбор калибровочной группы, Келеро-ва многообразия, вложения калибровочной группы в группу изоме трий Келерова многообразия, наконец, калибровочной кинетической функции и суперпотенциала, который нарушает суперсимметрию.
• Во-вторых, тот факт, что на уровне N = 1 супергравитации мы существенным образом привязаны к классической картине вследствие невозможности в эффективной, неперенормируемой теории контролировать квантовые поправки, как пертурбативные, так и непер-турбативные.
• Наконец, как было сказано ранее, в моделях N = 1 супергравитации не удается получить плоский потенциал с исчезающей классической вакуумной энергией как следствие симметрии модели, без подстройки параметров.
Есть надежда устранить отмеченные недостатки, рассматривая феноменологические модели в рамках расширенных супергравитаций. Такие модели изучены сравнительно слабо, что связано, во-первых, с отсутствием удобного формализма для описания теории с расширенной суперсимметрией и, во-вторых, с возникающими новыми проблемами с точки зрения феноменологии.
Первая проблема состоит в том, что модели с ненарушенной расширенной суперсимметрией являются вектороподобными и потому любая реалистическая модель должна допускать частичный супер-хиггс эффект, т. е. нарушение суперсимметрии N > 1 —" N = 1. При этом зеркальные фермионы должны отщепляться по массе от обычных фер-мионных полей. Условие допустимости частичного супер-хиггс эффекта является очень жестким требованием.
Вторая проблема касается механизма генерации масс фермионов. Сложность состоит в том, что юкавские члены, описывающие взаимодействие полей Хиггса с фермионами, как правило не появляются в моделях расширенных супергравитаций. А именно, построенные нами модели, основанные на несимметрических кватернионных многообразиях [24, 25], являются, насколько нам известно, единственными моделями, где после нарушения суперсимметрии появляются юкавские члены требуемого вида.
Нелинейные сг-модели в N = 2 супергравитации. Геометриче-. скал структура моделей, описывающих взаимодействие N = 2 супергравитации с материей значительно сложнее, чем в N = 1 случае, поскольку скалярные поля из N = 2 гипермультиплетов параметризуют ква-тернионные многообразия [12]. Модели, основанные на симметрических кватернионных многообразиях подробно изучены. Был сконструирован широкий класс no-scale моделей [13], в которых две суперсимметрии нарушены только с одним массовым масштабом и гравитино вырождены по массе. В то же время, реализация частичного супер-хиггс эффекта оказалась нетривиальной задачей [14]. В работе [15] был построен N = 2 скрытый сектор, содержащий поля чистой N — 2 супергравитации, один векторный и один гипермультиплет и допускающий спонтанное нарушение суперсимметрии с двумя произвольными масштабами (т.е. с возможностью нарушения N = 2 —> N = 1). Позже, в работах [16, 17] были исследованы обобщения этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультйплетов материи и вычислены мягко нарушающие суперсимметрию члены. В отличие от случая N — 1 супергравитации, в таких моделях выбор геометрии однозначно фиксирует вид взаимодействия полей из гипермультиплетов с супергравитацией и космологическая постоянная исчезает вследствие выбора группы симметрии лагранжиана и калибровочного взаимодействия в скрытом секторе, а не в результате подгонки параметров модели.
Однако в таких моделях остается нерешенной вторая из указанных в предыдущем параграфе проблем, характерных для расширенных супергравитаций. А именно, не удается получить после спонтанного нарушения суперсимметрии членов, описывающих юкавское взаимодействие полей из гипермультиплетов. Этот результат, по-видимому, определяется геометрией соответствующих нелинейных сг-моделей. В связи с этим большой интерес вызывает исследование второго типа моделей, возможных в случае N = 2 супергравитации, где скалярные поля из гипер-мультиплетов параметризуют несимметрические кватернионные многообразия. Были основания предполагать, что требуемые юкавские связи появляются после спонтанного нарушения суперсимметрии в таких моделях. Классификация несимметрических кватернионных многообразий была дана в работе [18], позже свойства этих многообразий и особенно их симметрии исследовались в ряде работ [19, 20, 21, 22, 23].
В работах [24, 25] нам удалось дать полное построение моделей N = 2 супергравитации, основанных на несимметрических кватернионных многообразиях, и исследовать их свойства. В одном из двух возможных классов таких моделей действительно возникают юкавские связи требуемого вида. Кроме того, скрытый сектор в рассматриваемом случае совпадает с одним из трех упомянутых выше секторов, допускающих спонтанное нарушение суперсимметрии с двумя произвольными массовыми масштабами и плоским потенциалом.
Одновременное нарушение суперсимметрии и калибровочной симметрии. Одна из наиболее серьезных проблем, возникающих при исследовании феноменологических моделей супергравитации, — это проблема нарушения калибровочной симметрии в моделях со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Как обсуждается в первом разделе части III (см. [26]), существуют два различных механизма нарушения неабелевой калибровочной симметрии. Это механизм Хиггса и нелинейные сг-модели. В первом случае в модели присутствуют помимо голдстоуновских полей поля Хиггса, приобретающие ненулевые вакуумные средние значения. Во втором случае [27] скалярные поля параметризуют некоторое многообразие и, делая локальной произвольную подгруппу группы изометрий этого многообразия, мы с необходимостью приходим к спонтанному нарушению соответствующей калибровочной симметрии.
Характерной особенностью всех суперсимметричных моделей, как с N = 1 суперсимметрией, так и с расширенной, является то, что скалярные поля, претендующие на роль полей Хиггса оказываются массивными (далее изначально безмассовые скалярные поля приобретают массу в результате нарушения суперсимметрии). Для нарушения калибровочной симметрии при этом используется механизм нарушения с помощью радиационных поправок, впервые рассмотренный в работах [28]. Квадрат массы Хиггса, положительный на древесном уровне, обращается в нуль после учета радиационных поправок, что индуцирует спонтанное нарушение калибровочной симметрии. При этом, радиационный механизм нарушения гарантирует, что квадрат масс заряженных и цветных частиц остается положительным.
Как показано в части II, скалярные поля, претендующие на роль полей Хиггса, в N = 2 супергравитации приобретают массы порядка масштаба нарушения Л7″ = 2 —ТУ = 1, которые по величине могут значительно превышать массы полей Хиггса в N = 1 супергравитации. Например, в модели, рассмотренной в части II, предсказывается масштаб нарушения N = 2 N = I порядка 2 ~ 0(1О14С?еУ), что на много порядков больше, чем масштаб нарушения N = 1 суперсимметрии Мдг-1 ~ 0(1ТеУ). Может оказаться, что для таких массовых масштабов радиационный механизм нарушения калибровочной симметрии не будет работать, учитывая логарифмическую, а не квадратичную зависимость квадрата массы скалярных частиц от масштаба энергии.
Можно рассматривать второй механизм нарушения калибровочной симметрии используя тот факт, что в моделях супергравитации скалярные поля как правило описывают нелинейные сг-модели вида Ст/Я, где (7 — некоторая некомпактная группа и Н — ее максимальная компактная подгруппа. Если симметрию, соответствующую некоторой подгруппе группы С сделать локальной, то автоматически будут нарушены некомпактные симметрии, входящие в эту подгруппу, т. е. приобретут массы векторные поля, соответствующие некомпактным генераторам. Существуют примеры моделей супергравитации такого рода (см., например, [29] для N = 2 — случая), но, поскольку компактные симметрии остаются ненарушенными, то сложно рассчитывать на использование такого механизма нарушения в реалистической теории, тем более, что выбор возможных калибровочных групп в моделях супергравитации очень ограничен.
Таким образом, при использовании обеих схем нарушения в моделях супергравитации возникают трудности. Однако существует третья возможность связанная с бесконечномерными группами Каца-Муди. Такие группы естественным образом появляются при компактификации из высших размерностей, а также при попытках получить эффективную полевую теорию суперструн (см., например, [30]). В работе [31] мы продемонстрировали этот механизм нарушения калибровочной симметрии для N = 2 глобально-суперсимметричной модели и построили и исследовали модель N = 2 супергравитации с бесконечномерной калибровочной группой, с одновременно нарушенными калибровочной и суперсимметрией. Нарушение калибровочной симметрии в таких моделях определяется самой структурой бесконечномерной алгебры и удается описать массивные векторные поля не вводя поля Хиггса и не используя свойства нелинейных а-моделей. Исследования в работе [31] основывались не на геометрической интерпретации свойств модели, а велись в духе работ [32], в которых исследовались модели без суперсимметрии и глобально-суперсимметричные модели.
Дуальные версии ТУ = 3 и Л?" = 4 супергравитаций. Существенным отличием моделей N = 3 и N = 4 супергравитаций от рассмотренных выше является то, что очень высокая симметрия накладывает жесткие ограничения на вид возможного взаимодействия мультиплетов материи с супергравитацией. В частности, известна лишь одна нелинейная сг-модель, описывающая скалярные поля N = 3 супермультиплетов -517(3, т)/3и (т) ® 311(3) ®-и (1). Для N = 4 супергравитации соответствующая сг-модель имеет вид — [311(1,1)/11(1)] (8) [0(6, т)/0(6) ® 0(т)]. По-видимому, это единственные геометрии, возможные в таких теориях.
Кроме того, в случае N > 3 суперсимметрии не имеется аналогов N = 1 киральных мультиплетов и N = 2 гипермультиплетов, содержащих лишь поля спинов 0 и ½, в мультиплеты материи в таких теориях обязательно входят векторные поля. Это ведет к тому, что и спинорные, и скалярные поля преобразуются по присоединенному представлению калибровочной группы, что еще больше сужает возможности построения феноменологических моделей (но и существенно увеличивает их предсказательную силу).
Скалярные поля в моделях N = 3 и' N = 4 супергравитаций описывают нелинейные сг-модели вида С/Н, где 0 — некоторая некомпактная группа и Н — ее максимальная компактная подгруппа. Но, как было показано для случая N = 2 супергравитации в работе [33], вид взаимодействия мультиплетов материи с супергравитацией не фиксируется однозначно выбором геометрии модели и для данной геометрии скалярных полей существует целое семейство лагранжианов (так называемые дуальные версии) с различным взаимодействием векторных полей с супергравитацией. Из-за присутствия в модели векторных полей группа G изометрии многообразия, описываемого скалярными полями, не является группой глобальных симметрий лагранжиана. Реализация этой группы на векторных полях включает в себя преобразования дуальности, оставляющие инвариантными только уравнения движения, а не лагранжиан модели. Это ведет к тому, что лишь некоторая подгруппа группы G является группой глобальных симметрий лагранжиана и выбор вложения этой подгруппы в группу G однозначно фиксирует вид взаимодействия полей материи с супергравитацией. Возможность же данного вложения определяется дуальной версией исходной модели.
В случае N = 3 супергравитации группа G — это SU (?, т) ив простейшей версии вследствие вещественности векторных полей группой симметрий лагранжиана является 0(3, т) [34, 35]. Эта модель хорошо изучена и известные результаты со ссылками на оригинальные статьи приведены в первом разделе части IV. В этой модели не удается получить спонтанное нарушение симметрии с возможностью частичного супер-хиггс эффекта N = 3-^N = liz исчезающей космологической постоянной. Скрытый сектор модели, обладающей такими свойствами, был получен в работе [34]. Скалярные поля скрытого сектора параметризуют многообразие вида SU (3,3)/SU (3) ® SU (?) (g) U (l), но группой глобальных симметрий в отличие от скрытого сектора предыдущей модели (группа 0(3,3)) является GL (3, где Тз — девять трансляции. Такое вложение группы глобальных симметрий позволяет получить спонтанное нарушение суперсимметрии с тремя произвольными массовыми масштабами и естественным образом исчезающей космологической постоянной. В работе [36] нам удалось построить обобщение этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультиплетов материи и исследовать спонтанное нарушение суперсимметрии в наблюдаемом секторе. В работе [37] построена модель, описывающая целое семейство лагранжианов с одинаковой геометрией скалярных полей (обобщение модели, рассмотренной в [33] для случая N = 2 супергравитации). Параметрический произвол построенной модели соответствует выбору дуальной версии и обе описанные выше версии содержатся в качестве частных случаев этой модели. Насколько нам известно, такая модель описывает наиболее общий вид взаимодействия мультиплетов материи с N = 3 супергравитацией.
В случае N = 4 супергравитации группой изометрий многообразия, описываемого скалярными полями, является SU (1,1) iV = lc исчезающей космологической постоянной. Но, во-первых, получить плоский потенциал в этом случае удается лишь с помощью тонкой подстройки параметров и, во-вторых, отсутствует возможность нарушения оставшейся N = 1 суперсимметрии, что недопустимо для реалистической модели. В работе [40] построен скрытый сектор, допускающий спонтанное нарушение суперсимметрии с четырьмя произвольными массовыми масштабами и с естественным образом исчезающей космологической постоянной. Группой глобальных симметрий в этом случае является SU (1,1) g) GL (4, R) (g) T15 (Г15 — пятнадцать трансляций) — подгруппа группы SU (1,1) (g)0(6,6). В работе [41] нами построено обобщение этого скрытого сектора на случай произвольного числа мультиплетов материи и рассмотрено нарушение суперсимметрии в наблюдаемом секторе. Такая же модель была построена позже исходя из N = 1 D = 10 суперструны [42]. В работе [37] нам удалось показать, что и в случае N = 4 супергравитации инвариантность уравнений движения относительно полной группы S?7(l, l) ® 0(6, га) ведет к существованию семейства лагранжианов с одинаковой геометрией скалярных полей, описывающих дуальные версии. Построенная модель содержит в качестве частных случаев все известные нам модели взаимодействия мультиплетов материи с N = 4 супергравитацией.
Диссертация имеет следующую структуру:
• В первой части рассматриваются модели N = 1 супергравитации, дается вывод мягко нарушающих суперсимметрию членов и исследуется спектр масс.
• Во второй части дается построение двух общих классов моделей N = 2 супергравитации с геометрией, соответствующей несимметрическим кватернионным многообразиям и исследуются свойства таких моделей.
• В третьей части исследуются модели N = 2 супергравитации с бесконечномерной калибровочной группой в связи с проблемой одновременного нарушения суперсимметрии и калибровочной симметрии.
• В четвертой части рассмотрены дуальные версии моделей N = 3 и N = 4 супергравитаций и исследованы возможности спонтанного нарушения суперсимметрии в таких моделях.
• В заключении приведены основные результаты.
• В Приложении, А приведен вариант скрытого сектора для одной из моделей из части I. В Приложении Б даны точные выражения для генераторов группы ^ в мультиспинорном базисе, использованном в части II. В Приложении В приводится точный вид ги Г-матриц из части III.
В работе используется представление 7-матриц Дирака, в котором они являются чисто мнимыми, и майорановские спиноры — вещественными. Следовательно, во всех выражениях со спинорами матрица 75 играет роль мнимой единицы, например ха^ — (%а + 75Уа)^ и т. д.
В работе систематически опускаются четырехфермионные члены в лагранжианах взаимодействия и члены, билинейные по фермионным полям, в законах суперпреобразований, не существенные для проблемы спонтанного нарушения суперсимметрии.
В работе используется общепринятая система единиц, в которой константа гравитационного взаимодействия к = 1.
Часть I.
Спонтанное нарушение симметрии в N = 1 супергравитации.
Постановка задачи. Пусть имеется суперсимметричная модель, содержащая сектор Хиггса (-г, Л), скалярные поля z ответственны за нарушение калибровочной симметрии, «физический» сектор {ф, х): ГДе спи~ норы х — поля материи, и калибровочный сектор Для получения реалистического спектра масс модели необходимо кроме спонтанного нарушения супер симметрии ввести мягко нарушающие члены — массовые члены для полей ф иО, а также суперпотенциал, содержащий юкавские члены так, чтобы на энергиях порядка Мцг восстанавливался спектр масс Стандартной Модели. Исследовать появление юкавских членов из супергравитации целесообразно в том случае, если имеется модель с конкретной калибровочной группой и механизмом спонтанного нарушения калибровочной симметрии, т. е. есть точный вид суперпотенциала.
В этой части исследуется общий случай без конкретизации калибровочной группы и, следовательно, изучается возможность получения в модели супергравитации расщепления масс полей в супермультиплетах на величину порядка Ms — масштаба нарушения суперсимметрии. Массы порядка Ms должны приобрести скалярные поля из «физического» сектора и спиноры из хиггсового и калибровочного секторов. Остальные поля на этом этапе должны остаться безмассовыми, т.к. они приобретают массу вследствие нарушения калибровочной симметрии либо через юкавские члены (спиноры %), либо через механизм Хиггса (векторные поля V^), что в данной модели рассматриваться не будет.
Еще один аспект — необходимость следить за отсутствием космологической постоянной. Ограничимся поэтому моделями с плоским потенциалом. В качестве исходных моделей выберем два возможных обобщения no-scale скрытого сектора. Скалярные поля будут описывать нелинейные (Т-модели с геометриями SU (1, п)/SU (n)®-U (l) и 50(2, n)/50(n).
Таким образом, обе исследуемые в этом разделе модели имеют сходную общую структуру. Естественным образом выделяются три взаимодействующие между собой группы полей. Первый сектор включает в себя поля скрытого сектора, а также поля Хиггса и их фермионные суперпартнеры. Он содержит киральные мультиплеты (Аа, za). Скалярные поля этого сектора описывают нелинейную сг-модель с геометрией, в зависимости от модели, SU (l, n)/-SU (n) ?7(1) либо 0(2,n)/0(n) (g) 0(2). Следующий сектор включает в себя спиноры, соответствующие лептонам и кваркам, а также их скалярные суперпартнеры. Он содержит киральные мультиплеты (X°ij (fa)> скалярные поля которых имеют «минимальные» кинетические члены. В третий сектор входят N калибровочных векторных мультиплетов (VA. QA). Как будет показано ниже, массовые члены для спиноров U генерируются лишь в «неминимальном» случае, поэтому кинетические члены для векторных полей берутся в виде:
— - y, VA) + b.c. (0.5).
Поля из векторных мультиплетов преобразуются по присоединенному представлению некоторой калибровочной группы G. Функция f (z) для простоты выбрана синглетом относительно этой группы.
Считаем, что киральные мультиплеты из первого и второго секторов преобразуются по некоторым, вообще говоря различным, представлениям группы G с генераторами соответственно (ТА)аь и (ТА)а^. Генераторы считаем антиэрмитовыми, т. е. удовлетворяющими соотношению:
СТА)а = -Ъ (ТА) (0.6) и аналогично для (Гл)а@.
1. Модель с геометрией.
SU (l, n)/SU (n)®U (l).
1.1 Описание модели.
Чтобы описать соответствующую нелинейную а—модель, введем (п+1) киральный мультиплет (Aa, za), а = 1,2.п + 1 с индефинитной метрикой даъ — diag (—, + .+) и наложим следующие связи на скалярные поля:
Za2:a = -К2 (1.1) в системе, в которой гравитационная константа связи к=1). Вычисляя вариацию этой связи при суперпреобразованиях (формула (1.7) ниже) получаем следующие связи на спиноры: аЛа — 0. (1.2).
Рассматриваемая модель обладает локальной £7(1)-инвариантностью: комбинация Ац = при локальных преобразованияхГГбЛ = гГ5Л2а (1.3) преобразуется следующим образом: qъд^гA, (1.4) т. е. играет роль калибровочного поля. Соответствующая ковариантная производная, например, для поля 2 имеет вид: + ' (1.5) к.
Соответствующие ?7(1)-заряды, согласованные с суперпреобразованиями, следующие: для полей 2 — (—), для полей Л — (д + 1), для гравитино и параметра суперпреобразований ту — (+1). .
.Полная модель взаимодействия всех трех секторов с ЛГ = 1 супергравитацией и между собой также должна удовлетворять требованию локальной ¿-7(1)-инвариантности. Это требование приводит к значениям /7(1)-заряда для спиноров «минимального» сектора (-1) и для спиноров калибровочного сектора (+1).
Лагранжиан модели и соответствующие суперпреобразования имеют следующий вид:
— 1/т/(.)(УДуД) — ^ЛУУД,^ - ¿-хУГА^.
-(АТгП) +.
1 Л"9/.
4 дг.
У + + ^.
О, — -ад/т/)(й7р75″) ^ (2Тг + фГ<�р)'.
1.6) 277, <5ема = г'(Фр7а?7), 5Л = -%Ьхт, 5х = -гЪут),.
ЬУ? = г (^т^), = ~.
5Фх = (Ату), 6Ф2 = (Л7577), 1.
Де/.
Р2 = {ХЪ1).
V, (1.7) где г = Фг+ 75Ф2, имеют вид: р = ^1+752? а ковариантные производные полей а^Ь:
Я"Ла = (рц + Вц) Ла + УрЛ6Г6а, = в лвсувпс.
УА = диУА — д"УА — оГА"иУ*У ии Р V V и и I гЛ.
IV, А сАВСт/Вт/С.
1.8).
Здесь Вц = </?")> а обозначает £7(1)-ковариантные производные, вид которых легко получить, учитывая соответствующие и{ 1)—заряды, указанные выше. Ковариантная производная для Ф/г имеет такой же вид, что и для г]. Из требования инвариантности лагранжиана (1.6) относительно преобразований (1.7) фиксируется соотношение между параметрами дик: д/с2 = —4. При доказательстве инвариантности полезно следующее соотношение: 1.
Т>/1,Т>"]г} = ~(Т>^Т>ух — Т>"гТ>цг)г). к.
1.9).
Суперпотенциал модели, вообще говоря, может зависеть от скалярных полей из киральных мультиплетов обоих секторов, то есть как от г, так и от ср. Для простоты ограничимся частным случаем, предполагая зависимость лишь от полей г. Дополнительные члены к лагранжиану (1.6) и законам преобразования (1.7) при этом имеют вид: т —.
1 — - додо 2 тд9 1.
8 Ф ит ^ ц.
1.10).
Л =.
2—+ 5(ф.
1.11) где = ехр (^ф2), а функция д (г) удовлетворяет условию, следующему из ^(^-инвариантности модели: дд к'2, 2 г-г- = —0(2) — —0(2). дг 2 д ^ у.
1.12).
Отсюда легко получить соотношение, которое полезно при доказательстве инвариантности полного лагранжиана (1.6), (1-Ю) относительно суперпреобразований (1.7), (1.11): д2д дгадгь к Ч.
— 1 дд дга'.
1.13).
Все основные формулы получены. Следующий этап — поиск плоских направлений в минимуме потенциала модели и исследование спектра масс. Используя произвол в функциях и д (г) можно попытаться добиться необходимого расщепления масс полей в супермультиплетах.
Выпишем отдельно потенциал модели:
V =.
3 + -дд.
ПМ2).
1.14).
Чтобы проанализировать, возможны ли в данной модели плоские направления в минимуме потенциала, необходимо перейти к конкретному виду функции д (г). Простейшим выражением для д (г)1 удовлетворяющим условию (1.12), является функция вида: д (г) = (Ма2а)~2//9, где Ма — вещественный вектор. Потенциал в этом случае принимает вид:
V = м — (з + ?
М2)-2/^2(М2) + 8? М2|(Мг)-21|22(|И2) — ^(гТг + фГр)2. (1.15.).
Видно, что минимум потенциала имеет плоские направления и космологическая постоянная отсутствует при выполнении следующих условий: д = Л маМа = 0, < ср >= 0, < гТг >= 0. (1.16) О.
С учетом первых двух условий потенциал (1.15) принимает вид:
К = i-(фч>)(Mzr^2FЫ') — ¿-(Я-* + (1.17).
Полученный потенциал положительно определен, имеет в минимуме плоские направления, связанные с полями г и его вакуумное среднее равно нулю.
Заключение
.
Результаты настоящей работы состоят в следующем:
1. Построены и исследованы модели N — 1 супергравитации с геометрией скалярных полей 311(1, т)/3и (т) 0 11(1) и 50(2, га)/50(т) ® 50(2). Показано, что в случае ортогональной геометрии после нарушения суперсимметрии генерируется необходимый спектр масс и мягко нарушающий члены.
2. Построены и исследованы модели N — 2 супергравитации, в которых скалярные поля из гипермультиплетов параметризуют несимметрические кватернионные многообразия. Показано, что для одного из двух классов таких моделей нарушение суперсимметрии ведет к появлению юкавских членов, отсутствующих во всех рассматривавшихся ранее моделях расширенных супергравитаций и существенных для генерации масс фермионов.
3. Построены и исследованы модели N = 2 супергравитации с бесконечномерной калибровочной группой. Используя специфические свойства алгебр Каца-Муди удалось получить одновременное нарушение суперсимметрии и калибровочной симметрии в таких моделях.
4. Для N = 3 ж N = 4 супергравитаций построены семейства лагранжианов, описывающие дуальные версии известных моделей и содержащие в качестве частных случаев все исследованные в литературе модели. Изучены дуальные версии, допускающие частичный супер-хиггс эффект с естественным образом исчезающей космологической постоянной, и продемонстрирована связь между выбором дуальной версии и возможностью спонтанного нарушения суперсимметрии.
В диссертацию вошли следующие работы из списка литературы: [11, 24, 25, 31, 36, 37, 41].
В заключение мне приятно выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю Ю. М. Зиновьеву, в соавторстве с которым получены практически все результаты диссертационной работы и чью помощь при написании этой работы трудно переоценить. Я очень благодарен также А. П. Самохину и В. А. Петрову за большую поддержку.
Список литературы
- H. P. Nilles, Phys. Rep. CI 10 (1984) 1- H. E. Haber and G. L. Kane, Phys. Rep. C117 (1985) 75.
- Girardello, M. T. Grisaru, M/d. Phys. B194 (1982) 65- S. Dimopoulos, H. Georgi, Mid. Phys. B193 (1981) 150.
- E. Cremmer, B. Julia, P. van Nieuwenhuizen, S. Ferrara, and L. Girardello, Phys. Lett. 79B (1987) 231-
- E. Cremmer, S. Ferrara, L. Girardello, and A. van Proeyen, Phys. Lett. 116B (1982) 219. :
- S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61 (1989) 1.
- E. Cremmer, S. Ferrara, C. Kounnas, and D. V. Nanopoulos, Phys. Lett. 133B (1983) 61-
- N. P. Chang, S. Ouvry, and X. Wu, Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 327. A. B. Lahanas and D. V. Nanopoulos, Prys. Rep. C145 (1987) 1.
- A. Dabelstein, Nucl. Phys. B456 (1995) 25- E. G. Floratos and G. K. Leontaris, Nucl. Phys B452 (1995) 471- J. Guasdi R. A. Jimenez and J. Sola, Phys. Lett. B360 (1995) 47.7) *) J /
- B. C. Allanach and S. F. King, Nucl. Phys. B456 (1995) 57- R. Barbieri, G. Dvali, A. Strumia, Z. Berezhiani, and L. Hall, Nucl. Phys B432 (1994) 49.
- C. Kounnas, I. Pavel, and F. Zwirner, Phys. Lett. B335 (1994) 403-
- S. Kelley, J. L. Lopez, D. V. Nanopoulos, and A. Zichichi, Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 1787-
- C. Kounnas, I. Pavel, G. Ridolfi, and F. Zwirner, hep-ph/9 502 318- G. Leontaris and N. Tracas, Phys. Lett. B351 (1995) 487- S. Kelley, and S. Rawal, hep-ph/9 510 392.
- A. Brignole and F. Zwirner, Phys. Lett. B342 (1995) 117-
- A. Brignole, F. Feruglio, and F. Zwirner, Phys. Lett. B356 (1995) 500.
- B. A. IioKyp, Zd. (fiu3. 57 (1994) 939.
- J. Bagger and E. Witten, Nucl. Phys. B222 (1983) 1-
- N. J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, and M. Rocek, Comm. Math. Phys. 108 (1987) 535-
- K. Galicki, Comm. Math. Phys. 108 (1987) 117.
- B. de Wit, P. G. Lauwers, and A. van Proeyen, Nucl. Phys. B255 (1985) 569-
- E. Cremmer, C. Kounnas, A. van Proeyen, J. P. Derendinger, S. Ferrara, B. de Wit, and L. Girardello, Nucl. Phys. B250 (1985) 385- H. Itoyama, L. McLerran, T. R. Taylor, and J. J. van der Bij, Nucl. Phys. B279 (1987) 380.
- S. Cecotti, L. Girardello, and M. Porrati, Nucl. Phys. B268 (1986) 295.
- Ю. M. Зиновьев, Яд. физ. 46 (1987) 943.
- Ю. М. Зиновьев, Яд. физ. 46 (1987) 1240.
- Yu. М. Zinoviev, Int. J. of Mod. Phys. A7 (1992) 7515.
- Д. В. Алексеевский, Изв. АН СССР 39 (1975) 315.
- S. Cecotti, Com. Math. Phys. 124 (1989) 23.
- B. de Wit and A. van Proeyen, Phys. Lett. 252B (1990) 221.
- B. de Wit, F. Vanderseypen, and A. van Proeyen, Nucl. Phys. B400 (1993) 463.
- B. de Wit and A. van Proeyen, Int. J. Mod. Phys. D3 (1994) 31. B. de Wit and A. van Proeyen, hep-th/9 505 097.
- V. A. Tsokur and Yu. M. Zinoviev, IHEP preprint 96−22 (Protvino, 1996).
- V. A. Tsokur and Yu. M. Zinoviev, IHEP preprint 96- 23 (Protvino, 1996).
- Yu. M. Zinoviev, IHEP preprint 83−91 (Serpukhov, 1983). L. D. Faddeev and A. A. Slavnov, Teor. Mat. Fiz 8 (1971) 297.14