Анализ сигналов и их прохождение через линейные цепи

Тема: «Анализ сигналов и их прохождение через линейные цепи»

• Задание на курсовую работу
• 1. Получение и описание математической модели формы сигнала
• 2. Компьютерная модель сигнала с заданными параметрами
• 3. Получение аналитического выражение (модели) периодического сигнала
• 4. Анализ характеристик видеосигнала
• 5. Анализ характеристик радиосигнала
• 6. Построение дискретного сигнала соответствующего видеосигнала
• 7. Построение аналитического сигнала соответствующего радиосигнала
• 8. Анализ прохождения видео_ и радиосигнала через RС-цепь
• 9. Анализ прохождения видео_ и радиосигнала через RLC-цепь
• 10. Анализ прохождения белого шума через RСи RLC-цепи
• Выводы
• Список использованной литературы

Задание на курсовую работу

Тема: анализ сигналов и их прохождение через линейные цепи.

Цель:

1. Анализ характеристик сигналов.

2. Анализ характеристик линейных цепей.

Последовательность этапов анализа:

1. Составление математических моделей.

2. Построение компьютерных моделей.

3. Проведение моделирования процессов формирования и прохождение сигналов для получения характеристик цепей.

4. Формулирование выводов о характеристиках сигналов на входе и выходе системы.

Исходные данные:

Форма сигнала: Функция Эрмита 3-го порядка.

Амплитуда: А = 3.

Длительность: 0.05 с.

Условия: Q=50, w_p=w₀

1) RС цепь:

Заданная RС-цепь

Параметры: Z1= C1||R1, Z2= C2.

2) RLC цепь:

Заданная RLC-цепь

Параметры: Z1 = R1||L||С, Z2=R2

Основные задачи:

1. Получение и описание математической модели формы сигнала.

2. Компьютерная модель сигнала с заданными параметрами.

3. Построение графиков сигнала.

4. Построение периодического сигнала

5. Нахождение спектра, спектральной плотности и АКФ.

6. Построение дискретного сигнала соответствующего видеосигнала.

7. Получение аналитического сигнала для соответствующего радиосигнала. импульсный переходный цепь сигнал

8. Анализ прохождения сигналов (радиои видео-) и белого шума через RLи RLC-цепь.

9. Выводы по каждой задаче.

1. Получение и описание математической модели формы сигнала

Для того, чтобы сделать сигналы объектами теоретического изучения и расчётов, следует указать способ их математического описания, то есть создать математическую модель исследуемого сигнала.

Исследуемая форма сигнала представляет собой функцию Эрмита. Она имеет вид:

.

Функция Эрмита третьего порядка описывается следующей формулой:

.

График функции Эрмита представлен на рисунке 1.1.

Рис. 1.1 График математической модели функции Эрмита 3-го порядка

В дальнейшем будем использовать сдвинутую функцию Эрмита 3-го порядка в курсовой работе. График сдвинутой функции представлен на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. График математической модели функции Эрмита 3-го порядка и ее сдвинутой копии

2. Компьютерная модель сигнала с заданными параметрами

Так как физический сигнал не может быть в отрицательной области временной оси, то исходную математическую модель надо переместить в положительную полуось времени. Далее изменим длительность сигнала и его амплитуду в соответствии с исходными данными. Пусть амплитуда сигнала, длительность равна 0.05 с. Компьютерная модель видеосигнала представлена на рисунке 2.1, радиосигнала — на рисунке 2.2. Модели построены в СКМ MathCAD 14.

Рис. 2.1. Компьютерная модель видеосигнала

Рис. 2.2. Компьютерная модель радиосигнала

3. Получение аналитического выражение (модели) периодического сигнала

Периодический видеосигнал выразим через одиночную функцию Эрмита третьей степени, длительностью 3 миллисекунды:

Рис. 3. График периодического видеосигнала

4. Анализ характеристик видеосигнала

Построим спектры видеосигнала. В виде базовой функции выберем гармонику. Частоту первой гармоники зададим как , — число суммируемых гармоник.

Рис. 4.1. Амплитудо-частотный спектр заданного видеосигнала Рис. 4.2. Фазо-частотный спектр заданного видеосигнала Рис. 4.3. Спектральная плотность заданного видеосигнала Построим автокорреляционную функцию (АКФ) заданного сигнала (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Построение АКФ заданного сигнала

5. Анализ характеристик радиосигнала

Как и в случае с видеоимпульсом, построим амплитудный и фазовый спектры, спектральную плотность и АКФ заданного радиосигнала.

Рис. 5.1. Амплитудно-частотный спектр заданного радиосигнала

Рис. 5.2. Фазо-частотный спектр заданного радиосигнала

Рис. 5.3. Спектральная плотность заданного радиосигнала

На рисунке 5.4 изображён график АКФ заданного радиоимпульса. Автокорреляционной функцией радиоимпульса является гармоника.

Рис. 5.4. Построение АКФ заданного радиоимпульса и видеоимпульса

6. Построение дискретного сигнала соответствующего видеосигнала

По теореме Котельникова произвольный сигнал может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени с, где — верхняя граничная частота в спектре.

За возьмем значение частоты, до которой сосредоточено 95% энергии спектра. Чтобы найти верхнюю граничную частоту в спектре построим функцию зависимости энергии спектра от интервала частот E (Дw) и найдем Дw, при которой E (Дw) = 0.95E.

Определим верхнюю граничную частоту.

Рис. 6.1. График зависимости энергии сигнала от частоты

Путём трассировки по графику определим, что 95% энергии сигнала соответствует круговой частоте в. На рисунке 6.2 изображён дискретный сигнал, полученный по теореме Котельникова.

Рис. 6.2. График дискретного сигнала, полученного по теореме Котельникова

7. Построение аналитического сигнала соответствующего радиосигнала

Используя формулу Эйлера, произвольный сигнал с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

Аналитическим сигналом, отвечающим вещественному колебанию, называется функция

Используя прямое преобразование Гильберта, получим, что сопряженный сигнал записывается как

.

Реальная часть аналитического сигнала должна соответствовать сигналу, для которого он строится. Таким образом, аналитический сигнал соответствующий заданному радиосигналу записывается как

Рис. 7.1. График аналитического сигнала и видеосигнал

8. Анализ прохождения видео_ и радиосигнала через RС-цепь

Анализ прохождения видеосигнала через заданные цепи произведём классическим методом. На рисунке 8.1 представлена схема заданной RС-цепи, причём .

Рис. 8.1. Cхема заданной RL-цепи

Зададим параметры элементам цепи первого порядка:

Согласно схеме на рис. 8.1, двухполюсник Z1 выражается параллельным соединением емкости С1 и сопротивления R1 следующим образом:

А Z2 вычисляется по формуле:

Тогда комплексный коэффициент передачи вычисляется по известной формуле:

То есть в нашем случае

АЧХ и ФЧХ такого фильтра выглядят следующим образом (для более наглядного представления изобразим их в логарифмической шкале):

Рис. 8.2 АЧХ фильтра первого порядка

Рис. 8.3 ФЧХ фильтра первого порядка

Найдя выражение для операторного коэффициента передачи цепи, упростив его и сделав обратно преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику h (t):

Рис. 8.4 Импульсная характеристика фильтра первого порядка

Зная известную формулу найдем переходную характеристику:

Рис. 8.5 Переходная характеристика фильтра первого порядка

Найдем реакцию цепи на исходный видеоимпульс.

Рис. 8.6 График отклика RС-цепи на воздействие заданного видеоимпульса

Найдем реакцию цепи на полученный радиоимпульс

Рис. 8.7 График отклика RС-цепи на воздействие заданного радиоимпульса

9. Анализ прохождения видео_ и радиосигнала через RLC-цепь

Также как и в предыдущем случае воспользуемся классическим методом анализа.

Рис. 9.1. Заданная RLC-цепь

Зададим параметры элементам цепи первого порядка:

Согласно схеме на рис. 9.1, двухполюсник Z1 выражается параллельным соединением емкости С, сопротивления R1 и индуктивности L следующим образом:

Упростив данное выражение можно переписать фрмулу в следующем виде:

Z2 выражается следующим выражением:

Тогда комплексный коэффициент передачи вычисляется по известной формуле и после упрощения в нашем случае равен:

АЧХ и ФЧХ такого фильтра выглядят следующим образом (для более наглядного представления изобразим их в логарифмической шкале):

Рис. 9.2 АЧХ фильтра второго порядка

Рис. 9.3 ФЧХ фильтра второго порядка

Найдя выражение для операторного коэффициента передачи цепи, упростив его и сделав обратно преобразование Лапласа, найдем импульсную характеристику h2(t):

Рис. 9.4 Импульсная характеристика фильтра второго порядка

Зная известную формулу найдем переходную характеристику:

Рис. 9.5 Переходная характеристика фильтра второго порядка

Найдем реакцию цепи на исходный видеоимпульс.

Рис. 9.6 График отклика RLС-цепи на воздействие заданного видеоимпульса

Найдем реакцию цепи на полученный радиоимпульс

Рис. 9.7 График отклика RLС-цепи на воздействие заданного радиоимпульса

10. Анализ прохождения белого шума через RСи RLC-цепи

В радиотехнике белым шумом принято называть стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности. Функция корреляции белого шума всюду равна нулю, кроме точки. Средняя мощность белого шума неограниченно велика. Белый шум является дельта-коррелированным случайным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени — как бы мал ни был интервал ф, сигнал за это время может измениться на любую наперёд заданную величину. На рисунке 10.1 показана компьютерная модель белого шума. В СКМ MathCAD моделирование белого шума осуществляется при помощи нормального закона распределения. Для получения отклика цепи на воздействие белого шума требуется представить белый шум в виде функции, зависящей от времени и подать её на вход цепей. Графики откликов RСи RLC-цепей представлены на рисунках 9.2 и 9.3 соответственно. Смоделируем процесс «белого шума», состоящего из 3000 прямоугольных импульсов случайной амплитуды

Рис. 10.1. Компьютерная модель белого шума

Рис. 10.2. График отклика заданной RС-цепи на воздействие белого шума

Рис. 10.3. График отклика заданной RLC-цепи на воздействие белого шума

Выводы

На основе выполненной курсовой работы и расчетного анализа можно сделать следующие выводы:

1. Получено аналитическое выражение для видеосигнала, длительностью 3 секунды, аналитическое выражение для периодического видеосигнала, построен график дискретизированного видеосигнала.

2. Найдена верхняя частота спектра видеосигнала, — 144 Hz.

3. Найдены аналитические выражения для импульсной и переходной характеристик цепи.

4. Исследовано прохождение видеосигнала через цепи с помощью импульсной характеристики цепи. Построено графическое изображение сигнала на входе и выходе цепи.

5. Исследовано прохождение «белого» шума через цепи методом частотного анализа. Найдены основные характеристики «белого шума» на входе и на выходе цепи.

1. Нефедов В. И. Основы радиоэлектроники и связи. М.: Высшая школа, 2005

2. Каганов В. И. Основы радиоэлектроники и связи М.: Высшая школа, 2007

3. Лекции по ОРЭС, Трофимов А. Т., 2010 год

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Эрмита

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Котельникова

6. http://brokgauz.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/6386/ЭРМИТА

7. http://radiomaster.ru/cad/mathcad/index.php