Для обоснования динамики систем как с двусторонними, так и с односторонними связями обычно используется классический формально-аксиоматический метод, — При этом остаются неясными происхождение и физический смысл моделей движения, а также границы применимости этих моделей. С этой точки зрения более предпочтительным является так называемый конструктивный метод, который был намечен в первой четверти XX века в работах Клейна, Прандтля, Лекорню и Пфейфера, в связи с анализом парадоксов «сухого трения», указанных Пэнлеве [1]. Голономная связь заменялась полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, а затем коэффициент упругости устремлялся к бесконечности. Оказывается, что в этом случае движения «свободной» системы стремятся к движениям системы с голономной связью. Теорема о реализации двусторонней голономной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Курантом и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового поля [2]. Позднее многие исследователи независимо формулировали и доказывали аналогичные теоремы (см. [3−8]). Для более общего случая, когда поле сил непотенциально, теорема о реализации связи упругими силами была доказана В. В. Козловым и А. И. Нейштадтом [9], и Г.-Ю. Шмидтом [10].
Существуют другие способы реализации связей. Линейные по скоростям неголономные связи можно реализовать силами вязкого трения. Эта идея обсуждается в статье Каратеодори [11]. Он использует термин «реализация» связи (die Realisierung). Теорему о реализации неголономной связи, линейной по скоростям, доказали А. В. Карапетян [12] и В. Н. Бренделев [13]. В работах [14,15] рассмотрен случай реализации неголономной связи присоединенными массами и силами вязкого трения.
Силами вязкого трения можно реализовывать и двустороннюю голономную связь [16]. Исследовался вопрос о стабилизации численных методов интегрирования уравнений движения с двусторонними связями с помощью дополнительных потенциальных и диссипативных сил [17].
В отличие от двусторонних связей, системы с неудерживающими, или односторонними связями (т.е., когда движение возможно по и над поверхностью связи) — это существенно более сложный объект. Существуют задачи, в которых сам вопрос существования решения до конца не изучен (см., например, [18]).
Конструктивный метод обоснования динамики систем с односторонними связями был развит для случая, когда траектория трансверсально пересекала границу [19,20,21]. Этот метод оказался эффективным при исследовании виброударных систем (ср. с [22]). б.
Случай касательного удара и гладкого схода с односторонней связи исследовался в работах [23−29]. Однако вопрос конструктивного обоснования динамики систем с односторонней голономной связью для случая гладкого схода со связи, аналогичный подходу, развитому для двусторонней связи, почти не рассматривался (ср. с [19]).
Настоящая диссертация посвящена построению конструктивного метода обоснования динамики систем с односторонними голономными идеальными связями в случае, когда в начальный момент система находится на поверхности связи и движется по связи какое-то время, а затем сходит со связи.
В первой главе диссертации рассмотрены различные критерии движения системы с односторонней связью по связи и схода со связи. Два основных критерия рассмотрены в первом параграфе. Классическое условие, которое присутствует во многих пособиях по теоретической механике, заключается в том, что рассматривается множитель Лагранжа для соответствующей системы с двусторонней связью и теми же начальными условиями. Если в какой-то момент времени множитель Лагранжа меняет знак, то система с односторонней связью сходит со связи. Другой критерий для движения и схода со связи состоит в том, что в каждый момент времени вместо системы с односторонней связью рассматривается соответствующая свободная система с теми же начальными условиями в этот момент. Если для каждого момента времени существует такая его окрестность, что в ней траектория свободной системы не оказывается над поверхностью связи, то система с односторонней связью движется по связи. Если в окрестности некоторого момента времени траектория свободной системы оказывается над связью, то. система с односторонней связью сходит со связи. Показано, что оба критерия движения по связи эквивалентны. Приведен пример, показывающий, что для схода со связи второе условие является более сильным, т. е. его можно применять, когда классическое условие формально неприменимо.
Во втором параграфе первой главы рассмотрены критерии, основанные на вариационных принципах Даламбера-Лагранжа, Гамильтона и Гаусса. Исследован вопрос об их эквивалентности и приведены примеры. Показано, что все эти условия эквивалентны в случае, когда нули множителя Лагранжа изолированы, например, когда все функциианалитические.
Во второй главе рассматривается задача о реализации односторонней связи упругой силой с большим коэффициентом упругости, направленной к поверхности связи. В первом параграфе второй главы доказывается теорема об оценках для отклонения системы со связью от соответствующей «свободной» системы с теми же начальными условиями: в начальный момент времени система находится на поверхности связи и скорость направлена по касательной к этой поверхности. Оказывается, что когда система движется по связи, траектория «свободной» системы отличается от траектории системы со связью на величину порядка НИ, где N — безразмерный коэффициент упругости.
Второй параграф посвящен сходу системы со связи. Оказывается, что в окрестности схода со связи отклонение системы со связью от соответствующей «свободной» системы может быть порядка квадратного корня из 1/М. Как для движения по связи, так и для схода со связи, скорости обеих систем отличаются на величину того же порядка. Приведен пример, показывающий, что эти оценки неулучшаемы.
Доказательства теорем основаны на результатах, полученных В. В. Козловым и А. И. Нейштадтом для систем с двусторонними связями [9]- как и в случае реализации двусторонней связи, общие результаты Тихонова и Градштейна [30,31] о сингулярно возмущенных уравнениях неприменимы.
В третьей главе рассматривается общий случай реализации связи, когда полупространство заменяется вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта, а затем коэффициенты жесткости, вязкости и присоединенные массы (величины порядка АО согласованным образом устремляются к бесконечности. В первом параграфе формулируется и доказывается теорема о том, что такое предельное движение существует. В случае, когда исходная система с односторонней связью движется по связи, движение «свободной» системы отличается от движения системы со связью на величины порядка 1/Ы. Полученная модель движения получила название (а,/3,у) — модели: А1а, N{3 и Ыу присоединенные массы, коэффициенты вязкости и упругости соответственно. Момент схода со связи в классическом случае и в таком предельном движении может не совпадать. Возникает эффект запаздывания схода со связи, который изучен во втором параграфе. Получены оценки запаздывания схода со связи.
Задача реализации односторонней связи большими упругими силами, как предельный случай (а, 0,1)-модели когда параметр, а устремляется к нулю, рассматривается в третьем параграфе. Получены оценки движения «свободной» системы в «запрещенной» области.
Частный случай реализации связи только силами вязкого трения отдельно исследован в четвертом параграфе третьей главы. Доказана теорема о предельном переходе: при устремлении коэффициента вязкости к бесконечности предельное движение существует, и полученная система будет двигаться по связи, удовлетворяя классическим уравнениям Лагранжа, до тех пор, пока среднее значение реакции двусторонней связи для соответствующей системы не обратится в нуль. Если в этот момент времени реакция отрицательна (а это общий случай), то происходит сход со связи. Теорема доказывается с использованием результатов [12,13,32] о реализации связи анизотропным трением и о сингулярно возмущенных уравнениях.
Четвертая глава диссертации посвящена выводу вариационного принципа Гамильтона для (0,1,0)-модели, т. е. в случае, когда односторонняя связь реализовывалась только силами вязкого трения.
Результаты, представленные в диссертации, докладывались на научных семинарах кафедры теоретической механики МГУ, конференции «Чебышевские чтения», и содержатся — в работах автора [33−35]. и.
Заключение
.
Перечислим основные результаты, составляющие содержание диссертации.
1. Рассмотрены различные определения движения по односторонней голономной идеальной связи и условия схода системы со связи. Показано, что условия движения систем по связи эквивалентны. Приведены примеры, показывающие неэквивалентность различных условий схода со связи.
2. Сформулированы и доказаны теоремы о реализации односторонней связи упругими силами с большим коэффициентом упругости, направленными к соответствующей поверхности связи. Показано, что в пределе при устремлении коэффициента упругости к бесконечности получается движение классической системы с односторонней связью. Найдены оценки для движения «свободной» системы.
3. Рассмотрен случай реализации односторонней связи вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта, когда коэффициенты жесткости, вязкости и присоединенные массы одновременно согласованным образом устремляются к бесконечности. Доказано, что предельные движения существуют и на границе совпадают с движениями голономной системы с меньшим числом степеней свободы. Изучен эффект запаздывания схода со связи.
4. Изучен вопрос реализации односторонних связей силами вязкого трения. Доказана теорема о предельном переходе: предельное движение существует, предельная система движется по связи до тех пор, пока среднее значение реакции первый раз не обращается в нуль. Приведены примеры.
5. Получен вариационный принцип Гамильтона для предельного движения в случае реализации связи силами вязкого трения.
