О полинормах на алгебрах и некоторых аспектах их применения в теории поля

1.1 Постановка проблемы и ее актуальность.

В последние два десятилетия фундаментальная теоретическая физика находится в состоянии идейного поиска. В этой ситуации приобретают смысл не только магистральные направления исследований, но и разного рода «окольные тропы» [71]. Одной из таких полузабытых программ была красивая идея алгебраизации физики, предложенная в середине XIX века Уильямом Гамильтоном и поддержанная, в частности, Уильямом Клиффордом. Они пытались понять устройство природы, предположив, что в основе физики лежит геометрия, а в основе геометрии — некоторая гиперкомплексная алгебра с исключительными свойствами. На этом пути был найден ряд замечательных наблюдений и неочевидных связей. Согласно гш юр комплексной программе они представляют собой осколки единой картины, которую со временем удастся собратьнапротив, большинство современных исследователей полагает, что здесь имеет место лишь набор совпадений, неизбежных в малых размерностях. Вне зависимости от того, насколько соответствует истине мечта Гамильтона, те или иные связи между гиперкомплексными алгебрами, геометрией и физикой представляются интересным объектом изучения.

В последнее время наблюдается рост интереса к вопросам применения гиперкомплексных алгебр, в частности неассоциативных, в квантовой теории ноля. В публикациях все чаще используются алгебры, выходящие за пределы классических исключительных алгебр Кэли-Диксона. Однако, полученные на этом пути результаты носят разрозненный характер. Это может быть связано как со сложностью и разнородностью взаимоотношений между алгеброй и физикой, так и с ограниченностью используемых методик. Существенным пробелом представляется то, что в общепринятых на сегодня подходах не учитываются специфические алгебраические особенности некоторых гиперкомплексных систем, например, бикватернионов и биоктав. Прежде всего не учитывается тот факт, что многие из них не сводятся к квадратичным алгебрам, а значит, их свойства и возможности применения не могут быть адекватно раскрыты стандартными техниками, созданными для работы с квадратичными нормами и иными связанными с ними конструкциями.

В связи с этим, возникает задача ввести в рассмотрение псевдонормы выше квадратичных (полинормы), естественным образом заданные на тех или иных (вообще говоря, неассоциативных) гиперкомплексных алгебрах, изучить связь свойств полинорм с характеристиками порождающей алгебры, изучить геометрические аспекты введения полинорм и иных связанных с ними конструкциями степени выше 2, иридать этим объектам какой-либо физический смысл и предложить возможные способы их применения в физике. Поскольку введение полинорм с очевидностью предполагает рассмотрение нелинейных физических моделей, представляется перспективным рассмотрение взаимосвязи гиперкомплексных систем с нелинейными моделями теории поля.

Актуальность проблемы обусловлена неуклонно возрастающим значением нелинейных моделей теории поля и, в частности, вопросов возможности алгебраического обоснования тех или иных характеристик этих моделей. Как показано в настоящей работе, алгебраическое рассмотрение может предложить новый угол зрения на ряд известных вопросов, а также выявить некоторые новые связи между уже известными вещами, которые затушеваны при стандартном квадратичном подходе. В частности, алгебраическое рассмотрение позволяет прояснить интуитивные находки в нелинейных полевых теориях, а также внести в них некоторые дополнительные элементы жесткости.

Основные результаты и выводы.

В настоящем диссертационном исследовании доказывается ряд утверждений о неассоциативных алгебрах, квадратичных над своим центром. В частности, доказывается, что в обобщенно-квадратичных алгебрах существует почти точный антиавтоморфизм. Как частный, но широкий класс таких алгебр, вводится понятие алгебр с центральным сопряжением, обобщающее гиперкомплексные алгебры Кэли-Диксона. Доказывается, что альтернативные алгебры с центральным сопряжением обладают мультипликативной нормой степени 2 (вообще говоря, не вещественной). Как следствие, эти алгебры (в частности, бикватернионы и биоктавы) обладают мультипликативной вещественной полинормой, которая может иметь несколько различных, но эквивалентных представлений. Вводится квадраскалярное и квадравекторное произведение.

Поскольку 4-норма для алгебр бикватернионов и биоктав однозначно выражается через 2-норму (которая также является мультипликативной), неясно, насколько существенными будут те новые возможности, которые создает переход от комплексной (или двойной) 2-нормы к вещественной 4-норме. Точно так же неясно, дадут ли что-то принципиально новое 4-скалярное и 4-векторное произведения, поскольку и они выражаются через свои прототипы степени 2. Тем не менее, как минимум выявляются некоторые новые связи между уже известными вещами, которые затушеваны при стандартном квадратичном подходе.

В любом случае, представляются интересными попытки придать квадра-объектам какой-либо геометрический и физический смысл. Некоторые первые попытки сделать это (прежде всего, для теории поля) представлены здесь. При этом возникает новый угол зрения на ряд привычных вопросов. В частности, рассмотрение связанной с бикватернионами вещественной 4-нормы показывает естественность перехода от электродинамики Максвелла к нелинейной электродинамике Борна-Инфельда. Кроме того, алгебраический подход показывает естественность добавления предложенного Т. Скирмом нелинейного члена в лагранжиан, описывающий ядерные взаимодействия посредством обмена пионами. При этом выявляется целесообразность введения дополнительного члена в лагранжиане Скирма, что предположительно может улучшить свойства модели. Таким образом, алгебраическое рассмотрение позволяет прояснить интуитивные находки в нелинейных полевых теориях, а также внести в них некоторые дополнительные элементы жесткости.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Доказаны утверждения о монокомпозиционности обобщенно-квадратичных алгебр и существовании в них однозначного почти точного антиавтоморфизма (почти-сопряжения) — найдены необходимые и достаточные условия, при которых эта инволюция является точным антиавтоморфизмом (сопряжением), и следовательно, обобщенно-квадратичная алгебра является алгеброй с центральным (скалярным) сопряжением.

2. Проведено построение полинорм и связанных с ними полискалярных произведений над алгебрами с центральным сопряжениемизучены общие свойств этих конструкций.

3. Построены полинормы 4 степени и связанные с ними квадраскалярное и квадравекторное произведения для алгебр бикватернионов и биоктав как наиболее важных для применения в физике частных случаев алгебр с центральным (скалярным) сопряжением.

4. Введена и обоснована методика построения полинорм 4 степени для иных ассоциативных и альтернативных алгебр 4 порядка.

5. Предложен способ применения этих конструкций для электродинамики и выявлен физический смысл квадранормы электромагнитного поляпоказана связь этой полинормы с тензором энергии-импульса поля и со свойством дуальности уравнений Максвеллапоказано, что введение квадранормы поля в лагранжиан в качестве малой поправки приводит к переходу от электродинамики Максвелла к нелинейной электродинамике Борна-Инфельдана примере нелинейного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера квантовой электродинамики показана нетривиальность использования полинормы при конструировании лагранжианов электромагнитного поля.

6. Показано, что применение алгебраического рассмотрения для низкоэнергетической модели ядерных сил обосновывает добавление в лагранжиан Вайнберга-Гюрши нелинейного члена, предложенного Т. Скирмом. При этом выявляется целесообразность введения дополнительного члена в лагранжиан Скирма. Поскольку этот член представляет собой квадрат 2-нормы времени-подобного вектора, т. е. дважды-положителен, его добавление, по-видимому, может улучшить свойства модели.

7. Показано, что предложенный алгебраический подход позволяет алгебраическим путем получить ограничения на структуру нелинейных членов в ряде лагранжианов теории поля с точностью до функции от полинормы. При этом выделяются не отдельные модели, а некоторые классы корректных с алгебраической точки зрения нелинейных моделей, которые, впрочем, в первом нелинейном приближении с необходимостью совпадают с моделями Борна-Инфельда или Скирма, а в более высоких порядках содержат их как частный случай.