Как известно, в классической механике существует лишь немного задач, в которых удается описать динамику системы на всем фазовом пространстве. Поэтому одной из основных задач является построение специальных решений, динамику которых можно проанализировать на достаточно большом интервале времени, и выявление с помощью них интересных динамических свойств систем. Одним из таких явлений является диффузия Арнольда в системах близких к интегрируемым. Это явление было открыто В. И. Арнольдом в его знаменитой статье [1], где он построил пример гамильтоновой системы близкой к интегрируемой, имеющей траектории, у которых переменные действия изменяются на величину порядка единицы при сколь угодно малом возмущении исходной интегрируемой системы. Таким образом, если на небольших интервалах времени эволюцию возмущенной системы можно описывать уравнениями интегрируемой задачи, то на больших интервалах времени возможно качественное изменение движения. Однако до сих пор остается открытым вопрос о типичности этого явления в системах близких к интегрируемым. Дж. Мезер в качестве модельного примера к проблеме о диффузии Арнольда предложил рассмотреть задачу об эволюции энергии при возмущении геодезического потока (движения по инерции) на двумерном торе неавтономным потенциалом. Он показал, что в типичной ситуации существуют траектории с неограниченым ростом энергии[35]. Полные доказательства утверждения Мезера были получены в работах С. В. Болотина и Д.В.Трещева[20], Дельшамса, де ла Яве и Сеары[22] и В.Ю.Калошина[39]. Основным результатом диссертационной работы является построение траекторий задачи Мезера, на которых энергия неограничено растет в среднем как линейная функция 1 времени, что является оптимальной оценкой максимальной скорости роста энергии на траекториях. Аналогичные результаты имеются в препринте де ла Яве [25] и в недавней работе В. Г. Гельфрейха и Д. В. Тураева [30].
Ниже во введении мы более подробно остановимся на основных аспектах, затрагиваемых в данной работе, дав соответствующий обзор литературы.
Диффузия Арнольда.
В [1] предложен пример гамильтоновой системы вида х = дН/ду, у = -дН/дх, Н = Н0(у) + ?Нг (х, у, t, е), (1) хетп = Rn/Zn, у е Mn, te Т, eG (-е0, е0) с п = 2 и выпуклым по действиям у невозмущенным гамильтонианом Hq, в которой переменные у могут измениться вдоль траектории на величину порядка единицы. Позднее это явление получило название диффузии Арнольда. В [1] был также предложен механизм, порождающий такую диффузию. В возмущенной задаче должен существовать набор гиперболических торов (переходная цепочка). Соответствующая цепочка устойчивых и неустойчивых асимптотических поверхностей должна быть соединена гетероклиническими траекториями. Тогда на траектории, следующей этой цепочке, имеет место дрейф переменных действие.
Основной вопрос, связанный с диффузией Арнольда в системах (1), звучит так. Является ли диффузия типичным свойством? При этом важно, в каком классе гладкости лежит Н. Обычно наиболее интересным считается вещественно-аналитический случай. Он же является технически наиболее сложным.
Согласно теории Нехорошева [7], в вещественно-аналитических системах, удовлетворяющих довольно слабым условиям (так называемым, условиям крутизны), средняя скорость дрейфа действий вдоль траектории оценивается сверху экспоненциально малой величиной е~а? Р с положительными а, /3. Экспоненциально малые эффекты представляют основную трудность для анализа диффузии. Другая трудность связана с тем фактом, что торы в переходной цепочке образуют, как правило, не непрерывное, а канторово семейство. Оно содержит дыры. Если эти дыры велики, то асимптотическим поверхностям двух торов, разделенных дырой, трудно дотянуться друг до друга. Оценки ширины дыр используют теорию КАМ и поэтому весьма громоздки.
При построении своего примера Арнольд не преодолел этих трудностей, а обошел их с помощью некоторых трюков. В примере Арнольда переходная цепочка образована гладким семейством гиперболических торов, С экспоненциально малыми эффектами удается справиться благодаря тому, что возмущение зависит от двух малых параметров: е и 6 ~ с > 0. Параметр г несет ответственность за появление гиперболических торов, а 5 — за существование гетероклинических связей между ними. Так как 5 экспоненциально мал относительно е, то существование этих связей можно установить с помощью метода Пуанкаре-Мельникова.
Дуади [26] построил С°°-гладкие гамильтоновы системы с тремя степенями свободы, имеющие формально устойчивые, но неустойчивые по Ляпунову эллиптические положения равновесия, причем неустойчивость порождается диффузией Арнольда. Более гладкая (Жевре-а, а > 1) ситуация рассмотрена в [36]. В [36] также содержится вариант теории Нехорошева для квазивыпуклых гамильтоновых систем класса Жевре.
В [28] в духе идей Арнольда построен широкий класс вещественно-аналитических систем (весьма вырожденных) с диффузионными траекториями. Возмущения, зависящие от двух малых параметров, рассмотрены в [29]. В отличие от исходного примера Арнольда второй параметр 5 не экспоненциально мал относительно е, а имеет вид 5 = ер, где постоянная р достаточно велика. Вариационный подход в примере Арнольда используется в [17]. В [42] произведен численный анализ примера Арнольда с г = 5.
Мезер [34] анонсировал вариационное доказательство типичности диффузии Арнольда в системах (1) с положительно определенным гессианом д2Но/ду2 в случае двух с половиной степеней свободы. Однако полного доказательства пока не появилось.
Существует несколько более простых задач, где явления типа диффузии (т.е. дрейф медленных переменных вдоль переходных цепочек) происходят без экспоненциально малых эффектов. К ним относятся задача Мезера и априори неустойчивые системы. С помощью метода сепаратрисного отображения в таких системах удается не только доказывать существование диффузионных траекторий, но и оценивать максимальную скорость изменения медленных переменных [8, 47].
Сепаратрисное отображение.
Из работ Пуанкаре, Биркгофа, Смейла, Шильникова и других авторов известно, что в окрестности пересечения асимптотических многообразий к периодическим решениям или неподвижным точкам системы присутствует достаточно хаотическая динамика, надежды на полное описание которой в ближайшем будущем даже в простейших ситуациях, по мнению многих специалистов, ничтожно малы. Сепаратрисное отображение было придумано как удобное средство для изучения этой динамики. Назовем решение, порождающее асимптотические многообразия, базовым. Траектории, не выходящие из окрестности сепаратрис, стартуют в некоторой «фундаментальной» области, приближаются к базовому решению и затем возвращаются в фундаментальную область. При этом большую часть времени траектория проводит около базового решения. Естественная идея состоит в том, чтобы пропустить динамически неинтересную часть движения, расположенную около базового решения, и рассмотреть лишь индуцированное отображение на себя фундаментальной области в случае дискретного времени или некоторого сечения.
Пуанкаре для непрерывного времени. Это отображение и называется сепара-трисным.
Удобство сепаратрисного отображения как средства исследования возмущенной динамики объясняется следующими обстоятельствами.
• существуют координаты, в которых сепаратрисное отображение принимает универсальный и относительно простой вид: «главная часть» плюс «малые ошибки» ,.
• главная часть сеиаратрисного отображения вычисляется явно в терминах невозмущенной системы и возмущения,.
• «ошибки» явно оцениваются.
Существует два идеологически и технически различных класса систем, в которых сепаратрисное отображение позволило получить интересные динамические эффекты.
Первый класс — это системы близкие к интегрируемым. В невозмущенной интегрируемой системе асимптотические многообразия оказываются сдвоенными, а формулы для сепаратрисного отображения — очень простыми. При малом возмущении в главном приближении по возмущающему параметру (традиционно, е) в О (е)-окрестности асимптотических многообразий удается получить явные универсальные формулы для сепаратрисного отображения. Сепаратрисное отображение такого типа впервые возникло в работе Г. М. Заславского и Н. Н. Филоненко [5], где было применено для оценки ширины стохастического слоя.
Для систем второго класса не требуется близости к интегрируемости. Здесь объектом исследования служит динамика, сосредоточенная в малой окрестности одной гомоклинической (т.е. двоякоасимптотической к базовой) траектории. Окрестности указанного типа, как правило, не инвариантны, но целиком содержат достаточно большой набор траекторий. Сепаратрисное отображение позволяет получить довольно подробное описание этой динамики. Подобный подход был предложен в [13] и далее был успешно применен для построения символической динамики, исследования гомоклинических бифуркаций, исследования хаотических аттракторов и т. п.
Задача Мезера принадлежит ко второму классу систем. В параграфе 2.2 мы представим формулы для сепаратрисного отображения в случае двух с половиной степеней свободы. В приложении соответствующие формулы выводятся в многомерной ситуации. Более подробное изложение различных типов сспаратрисных отображений и их применений имеется в [8].
Антиинтегрируемый предел.
Несмотря на то, что метод сепаратрисного отображения был открыт в середине прошлого века, его широкие применения появились не так давно. Это связано с развитием новых методов исследования сепаратрисного отображения, в основном благодаря работам Д. В. Трещева и нижегородской школы динамических систем. Одним из таких методов является метод антиинтегри-руемого предела. Метод антиинтегрируемого предела диаметрально противоположен методам классической теории возмущений, КАМ-теории, теории Пуанкаре-Мельникова и другим методам, имеющим дело с системами близкими к интегрируемым, и по духу близок к методам гиперболической динамики, связанным с построением кодирования траекторий системы. Системы, для которых работает метод антиинтегрируемого предела, в некотором смысле близки к недетерминированным, случайным системам.
Метод антиинтегрируемого предела был впервые применен в работе Обри и Абрамовича [15] для построения хаотических траекторий стандартного отображения Чирикова [11], когда присутствующий в нем параметр е, обычно считаемый малым, достаточно велик. В антиинтегрируемом пределе е = оо стандартное отображение вырождается. Его траекториями, в некотором г 7 смысле, являются только произвольные последовательности вида {ftkn}n€Z с кп G Z. Оказывается, что при конечном (достаточно большом) в можно построить орбиты близкие к таким случайным траекториям. Основным приемом для этого служит построение сжимающего оператора на пространстве последовательностей из фазовых точек системы, неподвижные точки которого являются траекториями.
Метод был обобщен на большой класс дискретных [10, 33] и непрерывных [19] лагранжевых систем. В работе [46] метод антиинтегрируемого предела был применен для построения хаотических траекторий многомерного сепа-ратрисного отображения в системах близких к интегрируемым. Сложность применения метода антиинтегрируемого предела в этом случае, заключается в том, что гиперболичность, т. е. экспоненциальная неустойчивость по начальным данным, имеется лишь по части переменных. Тогда соответствующий оператор является сжимающим лишь. на множестве конечных последовательностей. Идея построения траекторий на бесконечном интервале времени заключается в модификации сжимающего оператора на каждом шаге увеличения размерности пространства последовательностей. В задаче Мезера мы сталкиваемся с аналогичной сложностью. Однако, здесь соответствующий оператор сделан сжимающим за счет выбора специальных норм на пространстве последовательностей.
Диффузия в задаче Мезера.
В задаче Мезера рассматривается следующая гамильтонова система: q = дН/др, р = -dH/dq, (2).
H (q, p, t)=T (q, p) + V (q, t), qeM, р G Т*М, t е Т = R/Z, (3) где М — гладкое компактное двумерное многообразие, Т (д, р) — кинетическая энергия (риманова метрика на М), V (q, t) — периодическая по времени.
Рис. 1. Периодическая и гомоклиническая геодезические. потенциальная энергия.
Кинетическая энергия Т порождает геодезический поток на М, т. е. поток гамильтоновой системы с гамильтонианом Т на инвариантной поверхности Т = 1. Пусть род М положителен, тогда в любом нетривиальном гомотопическом классе замкнутых кривых на М можно выбрать кривую с минимальной длиной. Эта кривая является геодезической. Пуанкаре показал, что, если-она невырождепа, то она является гиперболической, т. е. экспоненциально неустойчивой. К тому же, если минимальная геодезическая qa (t) единственна, то существует гомоклиническая к ней геодезическая q-y (t) [37], т. е. существуют числа а±-, определенные по модулю, а периода qay такие что q^{t) —> qa{t-{-Cb±) при t —> ioo (см. рис. 1). Гиперболическая траектория имеет инвариантные асимптотические многообразия: устойчивое, которое состоит из всех решений стремящихся к ней при t —" +оо, и неустойчивое, состоящее из решений стремящихся к нему при t —>¦ —оо. В интегрируемых системах обычно асимптотические многообразия совпадают или, как говорят, сдвоены. В общем же случае они пересекаются по гомоклиническим траекториям. Гомоклиническая траектория называется трансверсальной, если асимптотические поверхности пересекаются вдоль нее под ненулевым углом.
Без ограничения общности можно считать, что.
V{qa{s), t) ds = 0.
Тогда для каждого /- Е Т существует и не зависит от выбора а±следующий предел: в в+а+.
I (t)= lim (vfa (s), t) ds- [ (4) в—"оо J J /.
— вв+акоторый называется интегралом Пуанкаре-Мельникова1 [6, 41].
Система (2)-(3) неавтономна, и энергия Н может изменятся на траекториях. Мезер [35] показал, что в такой системе существуют траектории с неограниченным ростом энергии. Основным результатом диссертационной работы является следующее обобщение утверждения Мезера.
Теорема 1 Пусть система (2)-(3) удовлетворяет следующим условиям Мезера:
Т) Геодезический поток, заданный кинетической энергией Т, имеет гиперболическое периодическое решение 0.
H (ri (t), t)>At + B, (5) для некоторых констант, А > 0 и В.
Поскольку jjjH = V < А, то на любом решении H (t) < At + В, где А, В = const. Таким образом, рост энергии более быстрый, чем линейный по времени, невозможен ни на каком решении. В этом смысле оценка (5) точна.
1 Функцию I (t) называют также интегралом Пуанкаре или потенциалом Мельникова, а ее производную интегралом или функцией Мельникова.
В задаче Мезера отсутствует малый параметр е, который обычно имеется в задачах о диффузии медленных переменных. Однако, он появляется как отношение V/T при условии, что полная энергия достаточно велика. Действительно, поскольку потенциальная энергия ограничена, рост полной энергии происходит за счет возрастания кинетической энергии. Поэтому система (2)-(3) при больших Н представляет собой возмущение системы с гамильтонианом Т неавтономным потенциалом V. При этом роль медленной переменной играет сам гамильтониан Н.
Геометрический механизм роста энергии на решении 77(t) состоит в следующем. Так как возмущение V неавтономно, время естественно считать фазовой переменной. Тогда гиперболическая периодическая траектория, а порождает в невозмущенной системе с гамильтонианом Т однопараметрическое семейство гиперболических двумерных торов. Проекцией каждого из этих торов на пространство положений MxTt является qa хТ^, где Тt — окружность, соответствующая времени. Семейство параметризовано значением гамильтониана Т. Большинство из торов для достаточно больших Т выживают при возмущении, при этом появляются гетероклинические связи между их асимптотическими многообразиями и, следовательно, переходные цепочки. Соответствующие доказательства, использующие методы теории КАМ, имеются в [20] и [22]. Доказательство, частично использующее вариационные идеи Мезера, содержится в [39]. В работах [20, 23] получены различные многомерные обобщения этого результата.
В [25, 30] предложен другой геометрический механизм роста энергии. Пусть геодезический поток имеет равномерно инвариантное гиперболическое транзитивное множество. Например, такое множество существует в окрестности трансверсальной гомоклинической траектории к гиперболической периодической орбите. Тогда из этого множества можно выделить две периодические гиперболические геодезические, а и 02, соединенные гетероклиническими связями. В расширенном фазовом пространстве получаем двухпараметри-ческое семество гиперболических периодических решений, параметризованных кинетической энергией Т и временем t. Используя теорию сохранения нормально-гиперболических слоений [25, 32], можно показать, что при возмущении существует близкое к исходным семейства гиперболических решений и гетероклинических связей. Обычные методы теории усреднения позволяют оценить в главном приближении изменение энергии для траекторий, находящихся в окрестности этих семейств гиперболических периодических решений:
H = Vj (t), Vj (t) = -I1.
L3 dt Lj где, 7 = 1,2 — номер семейства, Lj — период.
H = v (t), v (t) = max{vi (t), v2(t)} .
Если Vj не совпадают, то среднее v — Jq v (t) dt положительно, и энергия на таких решениях растет как vt. Отметим, что в работе [30] рассматривается более общий случай дифференциальных уравнений со слабой зависимостью от времени, хотя идеологически он несущественно отличается от задачи Мезера.
В диссертационной работе при построении траекторий с линейным ростом энергии мы следуем работе [40], где основными инструментами выступают методы сепаратрисного отображения и антиинтегрируемого предела. Мы представим формулы сепаратрисного отображения, которое описывает динамику в окрестности семейства гомоклинических решений к периодическим гиперболическим решениям. Сепаратрисное отображение задачи Мезера представляет собой возмущение по малому параметру V/T сепаратрисного отображения невозмущенной системы. В невозмущенной системе оно представляет собой прямое произведение сепаратрисного отображения Шильникова, которое имеет инвариантное гиперболическое множество, и тождественного (сохранение энергии). Методом антиинтегрируемого предела мы докажем, что соответствующие хаотические траектории сохраняются и для сепаратрисного отображение возмущенной системы. Для доказательства теоремы 1 необходимо выбрать среди построенных траекторий траектории с максимально возможным ростом энергии, что не трудно сделать, имея явные формулы сепаратрисного отображения. В главном приближении изменение энергии на траекториях сепаратрисного отображения описывается интегралом Пуанкаре-Мельникова I (t). В терминах геометрического механизма, описанного в предыдущем абзаце, среди хаотических траекторий выбираются два периодических семейства: одно с периодом насколько можно меньше, другое — насколько можно больше. Соответствующие функции v и г>2 тогда выражаются через интеграл Пуанкаре-Мельникова: где Lj — периоды соответствующих гиперболических периодических решений невозмущенной задачи, лежащих на единичном уровне Т. Таким образом, если I (t) непостоянная функция и L2 > L, то среднее v функции оказывается положительным. Таким образом, если траектория при возрастании интеграла Пуанкаре-Мельникова I (t) находиться в окрестности семей.
Vl{t) = TJtI{t)' V2{t) vi (?), при /'(?) > О v2{t), при /'(*) < О ства периодических решений с меньшим периодом, а при убывании I (t) в окрестности решения с большим периодом, то на ней энергия растет как линейная функция времени.
В заключение отметим, что задача Мезера интересна не только в контексте проблемы о диффузии Арнольда. Недавно методы, применяемые в задаче Мезера, успешно применены для построения траекторий с неограниченным ростом энергии и оценки его скорости в таких механических моделях, как многомерное обобщение модели Ферми-Улама (биллиард с колеблющийся границей) и модель Литтлвуда (гамильтонова система с неавтономным возмущением однородного потенциала) [24, 30, 31]. В диссертации также приводится пример механической системы, представляющей собой некоторое обобщение двойного маятника с колеблющейся точкой подвеса, для которой удается проверить условия общего положения системы Мезера, и, тем самым, доказать существование решений с неограниченным линейным по времени ростом энергии.
Содержание работы.
Диссертационная работа состоит из трех глав, заключения и двух приложений." .
В первой главе приводится пример механической системы с двумя с половиной степенями свободы, удовлетворяющей условиям Мезера (Т) и (V) теоремы 1. Несмотря на то, что условия Мезера являются условиями общего положения, при построении соответствующего примера возникает сложность, заключающаяся в следующем. С одной стороны, для расчета интеграла Пуанкаре-Мельникова /(?), фигурирующего в условии (V), необходимы явные выражения для геодезических qa (t) и g7(t), которые почти всегда можно получать только в интегрируемых случаях. С другой стороны, геодезический поток кинетической энергии Т системы должен удовлетворять условию (Т), что, как известно, влечет его неинтегрируемость. Мы рассматриваем обобщение двойного маятника с вибрирующей точкой подвеса, при котором первая материальная точка движется не по окружности, а по некоторой гладкой кривой. Если эта кривая близка к окружности, например, является эллипсом с малым эксцентриситетом, то система порожденная кинетической энергией оказывается близкой к интегрируемой. Это дает, во-первых, проверить условие (Т) с помощью стандартного метода Пуанкаре-Мельникова расщепления сепаратрис и, во-вторых, с точностью до малого параметра возмущения вычислить выражения для периодической и гомоклинической к ней орбит. С этой же точностью мы вычисляем интеграл Пуанкаре-Мельникова I (t), что достаточно для проверки условия (V).
Вторая глава посвящена основному методу, применяемому нами при доказательстве теоремы 1, — методу сепаратрисного отображения.
В параграфе 2.1 приведен вывод формул для сепаратрисного отображения Шильникова. Это отображение определяет динамику двумерного отображения, сохраняющего площадь, с гиперболической неподвижной точкой в окрестности гомоклинической траектории. На этом простейшем примере мы показываем основные шаги, типичные при выводе формул любого другого сепаратрисного отображения:
• построение нормальных координат в окрестности базового решения (гиперболической периодической траектории или неподвижной точки);
• продолжение координат вдоль асимптотических поверхностей базового решения;
• вычисление отображения склейки, возникающего из-за неоднозначности продолжения координат вдоль устойчивой и неустойчивой асимптотических поверхностей;
• вычисление сепаратрисного отображения, как композиции отображения склейки и отображения, порожденного динамикой в нормальных координатах.
В параграфе 2.2 приведено определение и формулы для сепаратрисного отображения в задаче Мезера. Оно представляет собой обобщение сепаратрисного отображения Шильникова из параграфа 2.1. Вывод соответствующих формул приведен в приложении А. Здесь, в отличие от сепаратрисного отображения Шильникова, термины «базовое решение» и «асимптотические поверхности» относятся только к невозмущенной автономной системе. Мы не пользуемся тем фактом, что некоторые из них сохраняются при возмущении, хотя и делаем один шаг классической схемы теории возмущений, чтобы вычислить их деформацию в первом приближении.
В третьей главе мы описываем метод антиинтегрируемого предела.
В параграфе 3.1, в качестве примера применения метода антиинтегрируемого предела в сепаратриспых отображениях, строиться хаотическое множество в окрестности гомоклинической траектории к гиперболической неподвижной точке двумерного симплектоморфизма. Для этого используются формулы сепаратрисного отображения Шильникова из параграфа 2.1.
В параграфе 3.2 методом антиинтегрируемого предела строятся хаотические траектории сепаратрисного отображения задачи Мезера (2.15). Для построения хаотических траекторий сепаратрисного отображения (2.15) строится сжимающий оператор на пространстве последовательностей из фазовых точек с экспоненциально взвешенными нормами. Доказательство сжимаемости соответствующего оператора приводится в приложении Б. Таким образом, строится инвариантное множество сепаратрисного отображения, на котором динамика сопряжена со сдвигом Бернулли на множестве ограниченных снизу и сверху целочисленных последовательностей. Затем из этих траекторий выбираются те, на которых энергия растет линейно по времени, и тем самым доказывается теорема 1.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Основные результаты, представленные в диссертационной работе, состоят в следующем.
1. Получена неулучшаемая оценка скорости роста энергии в задаче Мезера.
2. Получены формулы для сепаратрисного отображения в задаче Мезера и ее многомерного обобщения.
3. Получен новый способ применения метода антиинтегрируемого предела в системах со слабой гиперболичностью.
4. Приведен пример механической системы с двумя с половиной степенями свободы периодически зависящей от времени, у которой существуют решения с неограниченным ростом энергии, в среднем линейным по времени.
Заключение
.
