В настоящее время в технике используется все более сложное электронное оборудование, что приводит к необходимости уменьшения веса, габаритов, стоимости и повышения надежности применяемой аппаратуры. Решение возникших проблем, в первую очедь связывают с дальнешим развитием микроэлектроники. В частности, получение на базе пленочной и диффузионной технологий различных новых линий с распределенными параметрами и объемных структур привело к дальнейшему совершенствованию автогенерирующих устройств, сохраняющих традиционные функциональные возможности систем на дискретных элементах. Указанные приборы позволяют решить ряд проблем практики, связанных с конструированием запоминающих устройств, генераторов шума, имеют лучшие энергетические характеристики и т. д. 67]. Следует отметить, что изучение предложенных устройств с распределенными параметрами приводит к более глубокому пониманию физики колебательных движений, реализуемых в различных явлениях природы.
Современная радиоэлектронная промышленность накладывает достаточно жесткие требования на работу различных передающих устройств, поэтому возникает практическая необходимость их совершенствования и, тем самым, потребность в дальнейшем развитии теории и методов анализа таких систем.
Общую теорию нелинейных колебаний в устройствах с дискретными параметрами в настоящее время можно считать достаточно хорошо развитой [1−5, 8−11, 16, 32, 33, 39, 43−45, 48−50, 61, 62−65, 68−72]. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя. Этот факт объясняется следующими обстоятельствами. Во-первых, интерес к нелинейным колебаниям в распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия, когда стали широко использоваться генераторы с существенно распределенными параметрами (лазеры, мазеры, генераторы Ганна и т. п.). Во-вторых, развитее теории колебаний автогенераторов с распределенными параметрами встречает определенные проблемы, вызванные: 1) большим разнообразием математических моделей, описывающих реальные физические устройства- 2) математическими трудностями, связанными с решением уравнений с частными производными [42]. Существующие в настоящее время подходы и методы исследования распределенных систем, как правило, носят эвристический характер [10, 13, 17, 38,61, 67,71], что связано с объективными трудностями анализа и желанием упростить решение поставленной задачи. С этой целью уже после постановки математической модели вводят определенные физические допущения.
К настоящему времени достаточно полно изучен ряд математических моделей автогенераторов с ЯС-распределенными параметрами в цепи обратной связи, которые представляют собой уравнения теплопроводности с нелинейностью, как правило, в граничных условиях [7, 14, 15, 19, 22, 24, 28, 29, 31, 34, 35, 38, 46, 47, 53−60]. Для ЯС-генераторов исследованы вопросы бифуркации одночастотных и двухчастотных автоколебаний [31, 34, 35, 38], влияния неоднородности цепи обратной связи и неидеальности усилителя на параметры автоколебаний [15, 31, 35], синхронизации [31, 35], анализа автоколебаний при аппроксимации нелинейности кусочно-линейными функциями [18, 35], переходного процесса [57] и т. д. Напрмер, в статье [34] построена математическая модель ЯС-автогенератора с однородным распределением параметров в цепи обратной связи, на основе метода Андронова-Хопфа определны параметры стационарного режима генерации, приводится математичекое обоснование используемого алгоритма. В монографии [31] и работе[38] проанализирован генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами, в котором при определенных условия реализовались устойчивые двухчастотные автоколебания, выявлено явление многоцикличности. Влияние геометрии цепи обратной связи на бифуркацию автоколебаний в ЯС-генераторах изучалось в работах [15, 35], причем рассматривались не только близкие к гармоническим, но и релаксационные режимы колебаний. В статье [18] рассматривался ЯС-генератор с нелинейностью активного элемента гистерезисного типа, аппроксимированной кусочно-линейными функциями. Рассчет автоколебаний проводился на основе частотного метода Фурье с привлечением численного анализа. В работе [57] исследован переходный процесс в генераторе с однородной ЯС-структурой в зависимости от задания начальных условий и параметров автогенератора.
Однако проблема возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах в настоящее время практически не изучена. Не исследованы условия рализации параметрических колебаний при различных резонансах (1:1, 1:2, 1:3), вопросы рассчета и устойчивости колебаний, их специфические особенности в зависимости от выбора параметра системы, подверженного «раскачке». Феномен возбуждения параметрических колебаний в ЯС-генераторах можно использовать для создания усилителей низкочастотных колебаний, делителей и умножителей частоты частоты, преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные и т. д.
Возбуждение параметрических колебаний в линейных и нелинейных дискретных системах известно достаточно давно. Одними из первых работ, в которых изучался этот феномен, являются классические работы Л. И. Мандельштама [45], A.A. Андронова, A.A. Витта, С. Э. Хайкина [2], Г. С. Горелика [16], И. М. Капчинского [33], В. В. Мигулина [48], С. П. Стрелкова [64], К. Ф. Теодорчика [65] и др. Например, в электротехнике известна параметрическая машина Манделыптама-Папалекси. Машина может служить генератором переменного электрического тока. Принцип ее следующий: в катушку электрического контура периодически вносят алюминиевый стержень с частотой, близкой к удвоенной собственной частоте контура, омическое сопротивление которого предстваляет нагрузку. Колебания тока в такой машине — периодические с постоянной амплитудой. Нелинейные закономерности допускают существование установившихся периодических колебаний при параметрическом резонансе. В монографиях [33, 65] изучается нелинейный контур при гармоническом изменении одного из параметров — емкости или индуктивности. В случае основного резонанса, т. е. когда отношение собственной частоты системы к частоте колебаний параметра приблизительно равно 1:2, определяются параметры реализуемых колебаний, исследуются вопросы их устойчивости. Такой резонанс называется внешним параметрическим резонансом. Отметим работу [33], где изучается автопараметрический резонанс в генераторе Ван-Дер-Поля в случае соотношения частот 1:2. Под автопараметрическим резонансом понимается такое действие на нелинейную систему, при котором параметрическое воздействие развивается в самой системе, т. е. вызвано только включением внешней э.д.с.
Во многих радиотехнических схемах нелинейность вносится активным элементом. Среди подобных устройств явление автопараметрического резонанса чаще всего обнаруживается у недовозбужденных генераторов, т. е. в системах с регенеративной обратной связью, где ее затухание в достаточной степени скомпенсировано. Такие системы иногда называют потенциально автоколебательными.
Автопараметрические резонансы 3:2, 2:1, 5:2 были впервые исследованы акад. В. В. Мигулиным. Он показал, что резонансы 3:2 и 5:2 обладают всеми признаками параметрического возбуждения в чистом виде. Автопараметрический резонанс 2:1 усложняется благодаря наложению обычного резонанса на гармонике.
Для автоколебательных систем с распределенными параметрами в отличие от автогенераторов на сосредоточенных элементах такого исчерпывающего анализа в настоящее время не проведено. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Вообще, вопрос о выборе модели выходит за рамки теории колебаний, так как он касается адекватности отображения в теории реальной, объективно действующей системы. Построить математическую модель, отображающую реальные обстоятельства и систему во всей полноте, видимо, невозможно. Выбор модели — это искусство, которым можно овладеть в процессе практической деятельности, развивая интуитивное понимание поведения системы [32]. Именно предложение ряда новых математических постановок во многом позволило более глубоко провести исследования параметрических колебаний в ЯС-автогенераторах.
В качестве объектов анализа рассматривается ряд схем ЯС-автогенераторов (ЯС-автогенератор с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гамоническому законуЯС-автогенератор с неоднородным распределением параметров Я и С, в котором на входе усилителя воздействует внешняя э.д.с.- генератор с каскадно-соединенными ЯС-структурами, в котором реализуется явление многоцикличности и исследуются вопросы возбуждения в нем автопараметрических колебаний), а так же их математические модели.
Предмет исследования — параметрические и автопараметрические колебания в КС-автогенераторах с распределенными параметрами.
Целью диссертационной работы является: на основе постановок новых математических моделей, новых методологических подходов и дальнейшего развития методов малых параметров исследовать параметрические и автопараметрические колебания для некоторого класса КС-автогенераторов с распределенными параметрами при «мягкой» нелинейности активного элементадать физическую интерпретацию полученных теоретических результатов и сравнить их с экспериментальными данными.
Научная новизна работы заключается в том, что впервые проведены исследования возбуждения параметрических и автопараметрических колебаний в КС-генераторах с распределенными параметрами, которые вносят новые представления о функционировании исследуемых системполучили дальнейшее развитие методы малых параметров применительно к распределенным автоколебательным устройствампредложена методика исследования распределенных автоколебательных систем и на ее основе выявлены динамические свойства КС-генераторов, работающих в неавтономном режимеполучено принципиально новое решение проблемы математического моделирования, что привело к постановке новых задач, более адекватно отражающих выбранные физические объекты.
Приведенные в диссертационной работе теоретический и численный анализы установившихся неавтономных режимов в КС-генераторах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем НИР на кафедре радиофизики.
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, а также использовались при проектировании автогенераторов с распределенными параметрами на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля.
Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.
Практическая значимость. Методы и алгоритмы, предложенные в работе, можно использовать в частности: при анализе автоколебательных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в случае других параметрических резонансов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномамипри изучении колебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах, работающих в качестве усилителей и делителей частотыпри разработке новых физических устройств, используемых в качестве преобразователей одного типа колебательных движений в другой, например, механических в электромагнитные.
Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.
Сформулируем основные научные положения, выносимые на защиту.
— 121) Построение для некоторого класса ЯС-автогенераторов новых математических моделей, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.
2) Дальнейшее развитие методов малых параметров для исследования параметрических и автопараметрических колебаний в ЯС-автогенераторах с распределенными параметрами: а) проведение исследований математической модели — ЫС-автогенератора с соредоточеннй емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону в случае резонансов 1:1,1:2,1:3- б) исследование устойчивости параметрических колебаний при основном и неосновных резонансахв) построение математической модели автогенератора с экспоненциальным распределением параметров Я и С в цепи обратной связи и ее анализг) изучение автопараметрических колебаний в случае резонанса 1:2 при воздействии на усилитель внешней э.д.с.- д) возбуждение в многоциклической КС-системе заданного колебательного режима путем воздействия внешней гармонической силы на вход активного элемента.
3) Новые методологические приемы исследования параметрических и автопараметрических колебаний в автоколебательных системах с ЫСраспределенными параметрами.
4) Экспериментальное подтверждение теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.
Поставленные задачи в диссертации исследуются в трех главах. В первом разделе главы 1 выводится краевая задача, которая является математической моделью КС-генератора с сосредоточенной емкостью на выходе усилителя, изменяющейся по гармоническому закону. Для автономной задачи анализируются условия самовозбуждения генератора и на основе метода Андронова-Хопфа проводится расчет автоколебаний.
В разделе 2 рассматривается неавтономная краевая задача в случае резонанса 1:2 и изучаются установившиеся колебательные режимы в КС-генераторе, исследуются вопросы их устойчивости. Показано, что оптимальными условиями возбуждения параметрических колебаний в регенеративном режиме функционирования генератора являются следующие: амплитуда изменяющейся емкости и расстройка чатоты должны быть порядка е. Здесь е — малый положительный параметр. При этом колебания реализуются и без квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Приводятся амплитудно-частотные характеристики и полоса возбуждения параметрических колебаний.
В разделе 3 изучается математическая модель, предложенная в разделе 2, при резонансе 1:1. В отличие от предыдущего случая здесь колебания реализуются при большей по порядку амплитуде емкости, равной. Однако порядок расстройки частоты остается прежним и равен е. Отметим характерную особенность изучаемого резонанса: параметрические колебания реализуются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя. Иследование устойчивости построенных колебаний проводятся на основе строгой методики из [31, 35, 36]. Здесь же отмечается, что в случае резонанса 1:3 остаются в силе все качественные особенности поведения ЯС-системы, присущие резонансу 1:1.
и выводы, перечисленные в работе, соответствуют физике явлений и хорошо согласуются с экспериментальными данными.
В заключение отметим, что предлагаемые в диссертационной работе методологические подходы и методы анализа можно применять при исследовании колебательных движений в различных автоколебательных системах как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.
— 100.
В заключение диссертационной работы приведем основные результаты и выводы:
1. Для некоторого класса КС-генераторов построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.
2. Проведено исследование математической модели КС генератора с однородной структурой в цепи обратной связи, при внешних параметрических резонансах 1:1, 1:2, 1:3 и в результате выявлено:
2.1) минимальная амплитуда гармонических колебаний энергетического параметра (емкости С0) при резонансе 1:2 должна быть порядка ?;
— 972.2) максимальная расстройка частоты колебаний параметра С0 при резонансе 1:2 — порядка ?;
2.3) параметрические резонансы 1:1, 1:3 реализуются только при наличии квадратичного члена в аппроксимации нелинейной характеристики усилителя;
2.4) минимальная амплитуда колебаний энергетического параметра при резонансах 1:1, 1:3 -порядка ?;
2.5) максимальная расстройка частоты внешней «силы» при резонансах 1:1, 1:3-порядка ?;
2.6) полосы возбуждения параметрических колебаний при всех рассмотренных резонансах асимметричны относительно расстройки частоты;
2.7) амплитудно-частотные характеристики при резонансах 1:1, 1:2, 1:3 также асимметричны и смещены в сторону отрицательных расстроек частоты.
3. Выведена математическая модель генератора с неоднородным распределением параметров Л и С, имеющего идеальный активный элемент.
4. Проанализирована математическая модель КС-генератора с неоднородным распределением параметров в регенеративном режиме и обнаружено следующее:
4.1) реализация устойчивых автопараметрических колебаний при определенном воздействии на вход усилителя внешней гармонической силы;
4.2) наименьшая амплитуда внешнего воздействия и наибольшая расстройка частоты, при которых возбуждаются автопараметрические колебания, равны е;
4.3) автопараметрические колебания имеют место только при наличии асимметрии у нелинейной характеристики активного элемента.
5. Проанализирована бифуркация колебаний в автогенераторе с каскадно-соединенными КС-структурами и выявлено следующее:
5.1) гармоническая многоцикличность в количестве двух циклов при симметричной или близкой к ней нелинейной характеристике активного элемента;
5.2) разрушение многоцикличности при определенной асимметрии нелинейности усилителя и реализация двухчастотных автоколебаний;
5.3) оптимальные условия возбуждения автопараметрических режимов в случае резонанса 1:2.
6. Определены параметры реализуемых колебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше КС-распределенных системах.
7. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости от изучаемых резонансов).
8. Получили дальнейшее развитие методы малых параметров (например, Андронова-Хопфа).
9. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на двух макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения.
