Статистические характеристики хаотических колебаний в нелинейных системах в присутствии шума
Диссертация
Имеется ряд систем, обладающих аттракторами, по свойствам весьма близкими к гиперболическим. Такие аттракторы являются хаотическими, не включают устойчивых регулярных аттракторов и сохраняют эти свойства при возмущениях. С математической же точки зрения, для таких систем нарушается по крайней мере одно из трех условий гиперболичности. Для них возможно локальное нарушение однородности в силу… Читать ещё >
Список литературы
- Странные аттракторы / Под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова. М.: Мир, 1981.
- Schuster H.-G. Deterministic Chaos // Weinheim: Physik-Verlag, 1984.
- Guckenheimer J.M., Holms Ph., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. -N.Y.: Springer-Verlag, 1983.
- Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.
- Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика // М.: Мир, 1984.
- Синергетика / Под ред. Б. Б. Кадомцева. М.: Мир, 1984.
- Berge P., Pomeau Y., Vidal С.Н. Order within Chaos (Towards Deterministic Approach to Turbulence). N.Y.: John Wiley and Sons, 1984.
- Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos and Strange Attractors // Appl. Math. Sci. V. 41. Berlin: Springer, 1982.
- Сонечкин Д.М. Стохастичность в моделях общей циркуляции атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1984.
- Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.
- Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания // М.: Наука, 1987.
- Smale S. Differentiable Dynamical Systems // Bull. Am. Math. Soc., 1967. Vol. 73. P. 747−817.
- Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points. //In Differential and Comb. Topology, ed. S. Cairus. Princenton University Press, Princenton, NJ 1963, pp. 192−212
- R. Bowen, Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms, Lecture Notes in Math. 470, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.
- D. Ruelle and F. Takens, On the nature of turbulence Com-mun. Math. Phys. 20, 167, 1971.
- Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. // Труды мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 1967. Т. 90. С. 3−209.
- Anosov D.V., Aronson S. Kh., Bronshtein I.U. and Grines V.Z., Smooth dynamical Systems, In dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematical Sciences, I. Springer, Berlin, 1985.
- Afraimovich V.S., Attractors // Nonlinear Waves 1 / Ed. by A.V. Gaponov, M.I. Rabinovich, J. Engelbrechet. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. p. 6−28.
- Williams, R., Expanding attractors // Publ. Math. IHES 43, 1974, pp. 169−152
- Плыкин P.В. О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // УМН, 1980. Т. 35, N 3. С. 94−104.
- Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение «Странные аттракторы», под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова. // М.: Мир, 1981. С. 88−116.
- Афраймович B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца. ДАН СССР, т. 234, N 2, 1977, с. 336−339.
- L.P. Shilnikov, Theory of bifurcations and the Lorenz model. In The Hopf Bifurcation and its Applications, ed J.E. Marsden and M. Mc-Cracken, Mir Moscow, 1980
- L.P. Shilnikov, In Methods Qual. Theory of Differential Equations // Gorky State Uneversity, Gorky, 1989, p. 130.
- Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Шимицу-Мариока. Методы и качественная теория дифференциальных уравнений // Горьковский Государственный университет, Горький, 1986, с. 180— 193.
- A.L. Shilnikov, On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Marioka system, Physica, Vol. D62, pp. 338−342, 193.
- C. Robinson, Homoclinic bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type, Nonlinearity, Vol. 2(4), pp. 495−518, 1981.
- M. Rychlik, Lorenz attractor through shilnikov type bifurcation, Er-godic Theory and Dynamical Systems, Vol. 10(4), pp. 793−821, 1990.
- Lozi R. Un Attracteur Etrange du Type Attracteur de Henon. Journal de Physique, 39(C5), 1978, p. 9−10
- Белых B.H. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения. // Матем. сборник, 1995. Т. 186, N 3. С. 311−326.
- Afraimovich V.S., Shilnikov L.P. Strange Attractors and Quasiattrac-tors. In Nonlinear Dynamics and Turbulence (Eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss and D.D. Joseph). Pitman, Boston, London, Melbourne, 1983. P. 1−34.
- Шильников JI.П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы // Успехи мат. наук, 1981. Т. 36. С. 240−242.
- L. Shilnikov, Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int. J. of Bif. and Chaos, Vol. 7, N 9, 1997, pp. 1953−2001
- Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн // М.: Наука, 1984.
- Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН, 1978. Т. 125, вып. 1. С. 123−168.
- Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
- Анищенко B.C. Т.Е. Вадивасова, В. В. Астахов. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.
- Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic Attractors of Two-dimensional Invertible Maps. // Discrete Dynamics in Nature and Society, 1998. Vol. 2, N 4.
- Анищенко B.C. Размышления о нелинейной динамике: к вопросу об учебных планах подготовки специалистов по нелинейной динамике // Изв. вузов Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т. 5, N 4. С. 59−64.
- Гаврилов Н.К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к негрубой гомоклинической кривой // 1. Матем. сб., 1972. Т. 88(130), N 8. С. 475−492- 2. Матем. сб., 1973. Т. 90(132), N 1. С. 139−156.
- Newhouse S.E. The Abundance of Wild Hyperbolic Sets and Nons-mooth Sets for Diffeomorphism // Publ. Math. IHES, 1979. Vol. 50. P. 101−151.
- S.V. Gonchenko, L. P Shilnikov, and D.V. Turaev, On models with non-rough Poincare homoclinik curves // Physica D, Vol. 62, 1993, pp. 1−14,
- S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, and D.V. Turaev, On models with a structurally unstable homoclinik Poincare curve. // Soviet Mathematics, Vol. 44(2), 1992, pp. 422−426
- S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, and D.V. Turaev, Dynamical phenomena in multidimensional systems with a structurally unstable ho-moclinic Poincare curve. // Russian Academy of Sciences, Doklady Matematicheskie, Vol. 47(3), 1993, pp. 410−415.
- S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, and D.V. Turaev, Dynamical phenomena in systems with a structurally unstable Poincare homoclinic orbits. // Interdisciplinary Journal of Chaos, Vol. 6(1), 1996, pp. 1−17.
- Гонченко С.В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми // ДАН СССР. 1986. Т. 286, N 5. С. 1049−1053.
- Кравцов Ю.А., Эткин B.C. К вопросу о роли флуктуационных сил в динамике автостохастических систем: ограниченность времени предсказуемости и разрушение слабых периодических режимов // Изв. вузов. Сер. «Радиофизика». 1981. т. 24, N 8. с. 992−999.
- Lai Y., Ggrebogi С., and Yorke J. How often are chaotic saddles non-hyperbolic? Nonlinearity, 6, 1993, p. 779−797
- Yu. Kifer, Attractors via random perturbations // Commun. Math. Phys. 1989, V. 121. p. 445−455.
- Кифер Ю.И. Некоторые теоремы о малых случайных возмущениях динамических систем // УМН. 1974. Т.29, вып. 3. с. 205.
- Е. Ott, E.D. Yorke and J.A. Yorke, «A Scaling Law: How an Attrac-tor's Volume Depends on Noise Level», Phys.D. 16, 62, 1985
- S. Hammel, C. Grebogi, and J.A. Yorke, «Do Numerical Orbits of Chaotic Dynamical Processes Represent True Orbits?», J. Complexity 3, 136 (1987)
- S. Hammel, C. Grebogi, and J.A. Yorke, «Numerical Orbits of Chaotic Processes Represent True Orbits», Bull. Amer. Math. Soc. 19, 465 (1988)
- Ch.G. Schroer, E. Ott, and J.A. Yorke, Effect of noise on nonhyper-bolic chaotic attractors // Phys. Rev. Lett. 81, 1397 (1989).
- С. Grebogi, L. Poon, Т. Sauer, J. A. Yorke, and D. Auer-bach, «Shadowability of Chaotic Dynamical Systems,» in Handbook Dynamical Systems III, Ed. B. Fiedler, Berlin, 1999. p. 1- 26.
- L.A. Bunimovich and Ya.G. Sinai, Stochasticity of an attractor in the Lorenz model //in Nonlinear Waves, edited by A.V. Gaponov-Grekhov (Nauka, Moscow, 1980), p. 212−226.
- Анищенко B.C., Сафонова M.A. Бифуркации аттракторов в присутствии флуктуаций // ЖТФ. 1988. Т. 58, вып. 4. С. 641−651.
- J.-P. Eckmann, D. Ruelle, Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. Vol. 57, No. 3, pp. 617−656, 1985.
- Корнфельд И.П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. -М.: Наука, 1980.
- Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.
- Заславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН. 1971. Т. 105, вып. 1. С. 3−39.
- Ya.G. Sinai, Dynamical systems with elastic collisions // Russian Math. Survey 25, 141, 1970.
- Bowen R., Ruelle D., The ergodic theory of Axiom A flows. // Inventions Math. 29, 1975, p. 181−202.
- Ruelle D., A measure associated with Axiom A attractors. // Am. J. Math. 98, 1976, p. 619.
- Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // в сб. Нелинейные волны, под ред. А.В. Гапонова- Грехова. М.: Наука. 1979. С.192−211.
- R. Graham, A. Hamm, and T. Tel, Nonequilibrium potentials for dynamical systems with fractal attractors or repellers // Phys. Rev. Lett. 66, 3089, 1991.
- R. L. Stratonovich, Noise in Nonlinear Dynamical Systems // Cambridge University Press, Cambridge, England, Vol. 1, 1989, p. 16.
- Хорстхемке В., Лефевр P. Индуцированные шумом переходы // М.- Мир, 1987.
- С. V. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry, and the Natural Sciences // Springer-Verlag, Berlin, 1983
- H. Haken, Advanced Synergetics, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York/Tokio, 1983
- Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. М: Сов. радио. 1977. — 488 с.
- R. Graham, in Theory of Continuous Fokker-Plank Systems, edited by F. Moss and P.V.E. McClintock // Cambridge University Press, Vol.1, Cambridge, England, 1988
- Колмогоров A.H. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега // ДАН СССР. 1958. Т.119. С.861−864.
- Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. С.754−755.
- Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т.124. С.768−771.
- Pesin Ya. В., Invariant manifolds families which correspond to nonva-nishing characteristic exponents // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 40, No. 6, 1976, p. 1332.
- Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т. 32, N. 4, с. 55−112. 40, No. 6, 1977, р. 1332.
- М. Pollicott, On the rate of mixing of Axiom A flows// J. Invent. Math. 81, 423, 1985.
- V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, A.S. Kopeikin, J. Kurths, and G.I. Strelkova, Effect of Noise on the Relaxation to an Invariant Probability Measure of Nonhyperbolic Chaotic Attractors // Phys. Rev. Lett. V. 87, N 5 p.4101, 2000
- V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova, and J. Kurths. Influence of noise statistical properties of nonhyperbolic attractors, Phys. Rev. E, V. 62, N 6, 2000, pp. 301−307.
- V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, A.S. Kopeikin, J. Kurths, G.I. Strelkova. Peculiarities of the relaxation to an invariant probability measure of nonhyperbolic chaotic attractors in the presence of noise // Phys. Rev. E (принято к публикации).
- V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, J. Kurths, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova. Studing hyperbolicity in chaotic systems, Physics Letters A, 270, 2000, pp. 301−307.
- V.S. Anishchenko, A.S. Kopeikin, Т.Е. Vadivasova, G.I. Strelkova, J. Kurths. // Peculiarities of Nonhyperbolic Chaos. In Book for L. Schimansky-Geier, Springer Verlag, 2000.
- Копейкин А.С., Вадивасова Т. Е., Анищенко B.C., Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Ресслера с учетом флуктуаций, Изв.вузов «ПНД», т.8, N 6, 2000, с. 65−77
- Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Kopeikin A.S., Strelkova G.I. Properties of Hyperbolic and Nonhyperbolic Attractors. // Abstracts of Int. Conf. 'Stochaos". Ambleside, UK, Aug. 16−20, 1999. P. 40.
- Копейкин А.С. Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в присутствии флуктуаций. // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых 2000», Саратов, 2000, стр.58−61
- Копейкин А.С. К вопросу о стационарной вероятностной мере негиперболических аттракторов. // Материалы научной школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых -1999», Саратов, 1999, стр.58−61
- Копейкин А.С. Численное исследование трансверсальности многообразий хаотических траекторий обратимых отображений. // Тезисы докладов региональной научной конференции Молодежь и наука на пороге XXI века, Саратов, 1998, стр. 23−24
- Henon М. A Two-dimensional Mapping with a Strange Attractor // Comm. Math. Phys. 1976. V. 50. P. 69
- К. Hansen, and P. Cvitanovic, Bifurcation structures in maps of Henon type // Nonlinearity 11, 1998, p. 1233−1261.
- M. Benedicks and L. Carleson, The dynamics of the Henon map // Annals of Mathematics, Vol. 133(1), pp. 73−169, 1991.
- Banerjee S., Yorke J., and Grebogi C. Robust Chaos. Phys. Rev. Lett., 80(14), 1998, p. 3049−3052
- Farmer J., Ott E., and Yorke J. The dimension of chaotic attractors. Physica D, 7, 1983, p. 153
- Sinai Y. Gibbs Measure in Ergodic Theory. // Russ. Math. Surveys 4, 1972, pp. 21−64.
- Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. P. 167−192.
- Быков В.В., Шильников Jl.П. О границах области существования аттрактора Лоренца. // Межвуз. тем. сб.: Методы качественной теории и теории бифуркаций. Горький, 1989, с. 151−159.
- О.Е. Rossler, An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A, 57, 1976, p. 397
- Arneodo A., Collet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. p. 573.
- R. Wackerbouer, Noise-induced stabilization of one-dimensional discontinuous maps // Phys. Rev. E., 1998, 58 3, pp. 3036−3043
- V.S. Anishchenko, Dynamical Chaos Models and Experiments // World Scientific, Singapore, 1995.
- A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum and J. Kurths, Synchronization in a Population of Globally Coupled Chaotic Oscillators, Europhysics Letters, 34 (3), pp. 165−170, 1996.
- G.V. Osipov, A.S. Pikovsky, M.G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators //Phys. Rev. E 55, 2353, 1997.
- M.G. Rosenblum, A. Pikovsky, and J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillations // Phys. Rev. Lett. 76, 1804, 1996.
- Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators // Europhys. Lett. 1996. Vol.34. P.165−170.
- H. Fujisaka and Y. Yamada, Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory systems // Progr. Theor. Phys. 69, 32, 1983.
- A.S. Pikovsky, On the interaction of strange attractors // Z. Phys. В 55, 49, 1984.
- L. Pecora and T. Carroll, Synchronization of chaotic systems // Phys. Rev. Lett. 64, 821, 1990.
- V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, D.E. Postnov, and M.A. Sa-fonova, Synchronization of chaos // Int. J. of Bif. and Chaos 2, 633, 1992.
- Т.Е. Vadivasova, O.V. Sosnovtseva, A.G. Balanov, and V.V. As-takhov, Phase multistability of synchronous chaotic oscillations. Discrete Dyn. Nat. Soc. 4, 231, 2000.