Разработка способов уравнивания и оценки точности геодезических сетей с применением рекуррентной формулы обращения матрицы

Решениями ХХУ1 съезда КПСС предусматривается дальнейшее повышение роста производительности труда и эффективности всего общественного производства. В нашей стране постоянно возрастают объемы и темпы капитального строительства. Ежегодно появляются десятки новых городов, поселков городского типа, большое количество промышленных комплексов, строятся тепловые электростанции, гидротехнические и другие уникальные сооружения. Меняется облик поселков и городов, реконструируются заводы и фабрики. Их проектирование и строительство, эксплуатация и реконструкция требуют создания высокоточных и качественных опорных геодезических сетей. Все возрастающие требования практики к точности геодезических данных, применение прецизионных геодезических приборов"постоянное совершенствование технологии производства стимулируют развитие и совершенствование методов математической обработки результатов измерений с расчетом эффективного использования ЭВМ. Реализация строгой теории при уравнивании геодезических сетей форсирует разработку новых методов уравнивания и совершенствование старых приближенных методов. Качество результатов уравнивания, экономия времени, средств в существенной мере зависят от выбора способа уравнивания. Появление широкого класса ЭВМ открывает новые возможности в разработке и применении эффективных алгоритмов, основанных на выполнении всех требований современного метода наименьших квадратов. Поэтому вопросы разработки и исследования новых методов уравнивания и оценки точности геодезических сетей, существенно сокращающих объем вычислений и упрощающих логику алгоритма, разработка алгоритмов, позволяющих уравнивать геодезические сети по мере поступления информации (то есть по мере расширения сетей), являются и в настоящее время актуальными. Несмотря на внедрение в геодезические производство совре менных ЭВМ, мощность которых непрерывно растет, проблема строгого уравнивания обширных геодезических сетей остается насущной и ей уделяется значительное внимание ученых и произволетвенни ков. Известны два способа уравнивания обширных геодезических сетей — способ й.Ю.Пранис-Праневича и способ наращивания /14,63/.Для уравнивания обширных триангуляционных сетей эти два способа являются приближенными, если на узловых пунктах для участков исключены ориентирующие направления /63,68/. В связи с этим разработка алгоритмов уравнивания обширных сетей, разделенных на участки, позволяющих произвести решение вопроса в строгом соответствии со способом наименьших квадратов, имеет важное теоретическое и практическое значение. Применение для уравнивания геодезических сетей строгих способов не всегда оправдано, так как помимо случайных ошибок измерений действуют систематические и односторонние действующие ошибки из-за неполного учета внешних условий и свойств объекта, из-за несовершенства геодезических приборов и методики измерений. Природа многих источников систематических ошибок известна, но в количественном отношении они еще не и^чены. Строгое совместное уравнивание углов и длин сторон даже при весьма обоснованных n^s и fTlft вносит дополнительные искажения, а иногда значительные^ в определяемые параметры. В итоге, «строгое» уравнивание по методу наименьших квадратов при малонадежных trig, и УУХ^ сводится к приближенному. Б таких условиях, при наличии еще систематических и ошибок исходных данных, все существующие методы уравнивания становятся приближенными. Поэтому разработка новых приближенных методов уравнивания геодезических сетей, которые «могут приводить к результатам, по качеству равноценным строгим, при существенном сокращении объема вычислений или упрощении логики алгоритма» /13/, является объектом исследований, и в настоящее время. Построение сложных геодезических сетей, осуществляемое в несколько очередей, вызывает поэтапную математическую обработку измерений, что приводит часто к необходимости учета ошибок исходных данных. Б работах советоких и зарубежных авторов /61,70,97,98,111/, посвященных исследованию этого вопроса, отмечается, что ошибки исходных данных могут иметь существенное искажающее действие. Для уравнивания геодезических сетей с учетом ошибок исходных данных необходимо иметь весовую матрицу всей совокупности зависимых исходных данных, которая получается путем обращения их корреляционной матрицы. Это обстоятельство увеличивает объем вычислений и усложняет алгоритм решения /5/, особенно в том случае, если геодезическая сеть опирается на большое количество исходных пунктов, что часто встречается в практике. В связи с этим, поиски методов уравнивания, позволяющих производить учет ошибок исходных данных без обращения их корреляционной матрицы, продолжаются и сейчас. Основная цель данной работы состоит в разработке новых алгоритмов уравнивания и оценки точности плановых геодезических сетей. Б связи с этим были поставлены следующие задачи: — разработать методику уравнивания и оценки точности геодезических сетей, основанную на алгоритме уравнивания без составления нормальных уравнений- - на основе экспериментальных данных установить диагональную матрицу начального плана Qp для уравнивания и оценки точности геодезических сетей без составления нормальных уравнений- - разработать приближенный способ уравнивания полигонометричеоких сетей с диагональной корреляционной матрицей- - разработать строгий и приближенный алгоритмы уравнивания и оценки точности полигонометричеоких сетей с учетом вновь добавленных построенийразработать строгий модифицированный метод уравнивания обширных триан17ляцй0нных сетей о исключением на всех цунктах ориентирующих углов- - разработать алгоритм уравнивания и оценки точности обширных полигонометричеоких и трилатерационных сетей- - разработать новый метод уравнивания и оценки точности геодезических сетей с учетом ошибок исходных данных. Для выполнения вышеизложенных задач использован метод математического моделирования, базирующийся на современной теории математической обработки геодезических сетей. I. АНАЛИТМЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ УРАВНИВАНИЯ И ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ПЛАНОВЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ 1,1. Уравнивание триангуляции и трилатерапии При уравнивании триангуляции и трилатерации коррелатный способ оказывается неэффективным и неудобным, так как в них возникают условные уравнения довольно сложного и разнообразного вида /60/. Поэтому, как отмечается в /22/, в основном, при уравнивании несвободных сетей триангуляции и трилатерации, на ЭВМ реализуется алгоритм параметрического способа. При уравнивании триангуляции возникает вопрос, что необходимо включать в уравнивание: углы или направления. По этому пово ду мнения исследователей расходятся. В работах /120,121/ доказывается, что во всех случаях уравнивание нужно производить по углам. Но как отмечается в /68/, в этом случае способ остается нестрогим, так как уравниваются не измеренные направления, а их функции — углы. Этой ситуации можно избежать, если при уравнивании по углам использовать полученные на станции материалы угловых измерений с их корреляционной матрицей /34,113,115,117,121, 122/. Но при этом усложняется алгоритм уравнивания /68/.Исходя из вышесказанного, рассмотрим уравнивание триангуляции по направлениям параметрическим способом. Сначала на каждом пункте составляются уравнения поправок вида /58/ где ^S^t> поправки ориентирующих углов на всех пунктахtv = 1,2,…, ITT- - число всех пунктов в сети. Для оценки точности вычисляют среднюю квадратичеокую ошибку единицы веса, u’ptr где N — общее число измеренных направлений в сети, считая направления меящу исходными пунктами-! Р — число определяемых пунктов- 0^ - общее число отнаблвденных пунктов. Для уравнивания триангуляции в /63/ предложен модифицированный способ узлов. Здесь для измеренного прямо и обратно направления составляются уравнения поправок вида (I.I). Для получения матрицы коэффициентов нормальных уравнений предложены простые формулы и правила, что облегчает процесс уравнительных работ. Так же отмечается преимущество при вычислениях на ЭВМ и простота логики алгоритма. Но необходимо заметить, что из системы уравнений поправок не исключаются поправки к ориентирующим углам и уравнения поправок составляются для измеренных прямо и обратно направлений, В связи с внедрением в геодезическое производство точных электронных дальномеров все большее значение приобретает построение геодезических сетей методом трилатерации. Продолжаются поиски рациональных способов уравнивания /18,33,35,36,74,96,116, 123/. Необходимо отметить наиболее простой и удобный способ уравнивания трилатерационных сетей — параметрический способ /63/.Для дальнейших выводов подробно остановимся на этом методе. Система нормальных уравнений, соответствующая уравнениям ,(1Л1), имеет вид (1д 'Ль ^ = 0. (1Л6) Проф.Ю.И.Марку36 получены в /63/ простые формулы для составления матрицы коэффициентов нормальных уравнений? д и свободных членов Ь, что значительно облегчает ход вычислительных работ. Заметим, что порядок нормальных уравнений будет равен удвоенному числу определяемых пунктов сети трилатерапии. В заключение отметим, что при уравнивании сложных и больших триангуляционных и трилатерационных построений рассмотренными способами, приходится совместно решать нормальные уравнения большого порядка, поэтому оовмеотное уравнивание таких сетей на ЭВМ малой и средней мощности не представляется возможным. Групповые способы уравнивания, хотя и сокращают порядок совместно решаемых уравнений, но при этом усложняется алгоритм решения задачи для ЭВМ. Автором предлагается методика уравнивания и оценки точности триангуляционных и трилатерационных сетей с применением известного алгоритма уравнивания без составления нормальных уравнений, в которых отпадает необходимость обращения матриц, что несомненно увеличивает возможности применения ЭВМ при уравниваний больших триангуляционных и трилатерационных сетей.1.2. Уравнивание и оценка точности полигонометрических оетей Теория и практика математической обработки полигонометрических сетей изложены в трудах советских и зарубежных ученых /II, 13,22,32,46,48,51,63,73,74,76,124/. Разработка методов уравнивания полигонометрических сетей идет, главным образом, по пути изыскания способов, пригодных для больших сетей и удобных для их обработки на ЭВМ, а также разработки новых приближенных методов. Известно много алгоритмов и программ уравнивания полигонометрических сетей /46,51,55,56,76,103,124/. Выполним краткий аналитический обзор основных из них и наиболее целесообразных, по мнению автора, для практического использования. В работах /32,103/ рассмотрен классический способ уравнивания, который сводится к составлению трех условных уравнений для каждого полигона, дирекционных углов и координат (1.17) В (I.I7) координаты X, —, У.- вычислены в условной системе координат, начало которой выбирается ближе к середине сети. Эти уравнения составляются для всей сети и решаются по способу наименьших квадратов, Как отмечается в /13/, недостатком данного способа является то, что он приводит к результатам, содержащим большие неустранимые ошибки решения, особенно при уравнивании обширных полигонометричеоких сетей. Это вызвано тем, что в таких сетях абсолютные величины координат^j и ^^ принимают большие значения, в связи с этим, поправки ^^, являющиеся их функциями, полу чают значительные неустранимые ошибки вычислений /13/. Кроме того, и «этот способ неудобен для сетей, содержащих замкнутые полигоны. Данный способ плохо приспособлен к различным способам измерения углов на узловых точках, на которых приходится для упрощения его применения создавать фиктивные направления на вспомогательные марки /13,47/. В этом случае нормальные уравнения удается составить из коэффициентов, вычисляемых отдельно для каждого хода, нр при этом нарушается строгость уравнивания. Этот способ также не допускает разделения условных уравнений на две группы.1.3. Уравнивание комбинированных геодезических сетей Широков внедрение в практику линейных измерений способствует построению комбинированных сетей, которые могут состоять из триангуляции, полигонометрии и трилатерации. Математическая обработка этих сетей более сложна, чем их составляющих частей. Отметим работу /26/, в которой для комбинированных сетей, состоящих из триангуляции и трилатерации, реализован многогрупповой способ И.Ю.Пранис-Праневича. В трудах /27,59,112/ излагается совместное уравнивание триан1уляции и полигонометрии. В заключение остановимся на параметрическом способе, изложенном в /59/. Автором разработан алгоритм строгого уравнивания комбинированных сетей, состоящих из любых сочетаний построений. Общий вид матрицы коэффициентов нормальных уравнений получается суммированием соответствующих отдельным видам сетей блоков, если в них принята единая нумерация узлов, В этом случае она имеет, а = я. (1.29) где (1.30) J В качестве средней квадратической ошибки единицы веса (И. целесообразно принимать средние квадратичеокие отклонения линейных измерений в сети полигонометрии. Необходимо заметить, что в систему (1.29) не входят вектора ЛоСт к ориентирующим углам на твердых пунктах триангуляции, они исключены из общей системы нормальных уравнений. В диссертации рассматривается иной подход к уравниванию комбинированных сетей, позволяющий исключение ориентирующих углов на всех пунктах триангуляции.1.4. Аналитический обзор методов уравнивания.

В итоге теоретических разработок и эвопериментальвых после дований можно сделать основные выводы:

1. При уравнивании плановых геодезических сетей по алгорит му без составления нормальных уравнений для подбора степени Ш в скалярной матрице начального плана (2.25) необходимо использо вать полученные формулы (2.40) и (2.41) и рекомендации, данные в 2.3. В этом случае результаты уравнивания по данному алгоритму будут такими же, что и при уравнивании в строгом соответствии со способом наименьших квадратов.2. Целесообразно при уравнивании подигоноыетричеоких сетей по алгоритму без составления нормальных уравнений, при образова нии матрицы весовых коэффициентов и свободных членов, использо вать неполную корреляционную матрицу вида (3.2), что позволяет значительно сократить объем вычислений и упростить алгоритм уравнивания. 6 этом случае результаты уравнивания можно считать практически строгими.3. В одучае необходимости присоединения к уже уравненной се ти полигонометрии нового построения, вопрос переуравнивания це лесообразно выполнять способом, алгоритм которого разработан в.

3.2. В случае, если необходимо к уравненной сети с большим чис лом определяемых пунктов добавить сеть того же класса с неболь шим числом определяемых пунктов, то лучше применить приближенный алгоритм, полученный так же в 3.2, что приводит к результатам, не выходящим за 5 ^ критерий ничтожных погрешностей и использо вание полученных значений для оценки точности неузловых точек хода не искажают результатов.4. Для уравнивания триангуляционных сетей по направлениям при большом числе определяемых неизвестных, о целью совращения объема вычислений и совместно решаемых систем уравнений, пред лагается модифицированный групповой способ И.Ю.Пранис-Праневича, что позволяет выполнить исвлючение ориентирующих направлений на всех пунвтах, при атом строгость уравнивания соблюдается.5. С целью уменьшения совместно решаемых уравнений при обра ботве полигонометричеових сетей с большим числом определяемых пунвгов удобно использовать методы уравнивания, разработанные.

6. Для уравнивания вомбинированных сетей может быть ревомвн дован разработанный новый алгоритм уравнивания для вомбинирован ных сетей, состоящих из любого сочетания построений.7. Получен принципиально новый алгоритм уравнивания геодези чеових сетей о учетом ошибов исходных данных для случая, вогда исходные данные получают поправви и вогда уравниваются тольво определяемые параметры с учетом ошибов исходных данных. При этом отпадает необходимость обращения матрицы весовых воэффициентов зависимых исходных данных, что немаловажно при уравнивании сетей с большим числом исходных пунвтов. Все алгоритмы, полученные в работе, реализованы и проверены на правтичеових примерах с исполь8ованием> программы, составленной на языве «фортран» для ЭВМ БС, позволяющей уравнивание и оценву точности любых видов геодезичесвих построений с учетом и без учета ошибов исходных данных. Разработанные автором алгоритмы уравнивания и оценви точно сти геодезичесвих сетей внедфены в предприятии № 1 предприятии Л2, в «Сибгипрошахт» Мияуглепрома СССР, в «Сибгипроречтрано **, используются в НИИГАиК при выполнении дипломного проектирования. Кроме того, они могут быть рекомендованы в использованию в системе 1 7 Ш при СМ СССР, научно-исследовательских и цроизводственннх организациях, зани маюощхся обработкой геодезических сетей.