Применение методов интегральных уравнений и плоских волн для расчета дифракции на диэлектрических стержнях и поиска собственных волн усиливающих микроструктурных волокон

Диссертация посвящена исследованию процессов дифракции электромагнитной волны на диэлектрических решетках и распространения в фотонных кристаллах и микроструктурных волокнах с использованием метода интегральных уравнений и метода плоских волн.

Задача дифракции волны на решетке, состоящей из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения, решается методом интегральных уравнений. Также рассматривается задача для случая аналогичной решетки, расположенной па подложке.

Метод интегральных уравнений используется в данной работе, в том числе, и для решения задачи на распространение собственных волн в двумерном фотонном кристалле. Результаты, полученные данным методом, находятся в хорошем соответствии с результатами, полученными методом плоских волн.

Кроме того, в диссертации исследуется процесс распространения электромагнитной волны в активном микроструктурпом волокне и влияние геометрии структуры поперечного сечения волокна на его дисперсионные свойства. Также исследуется проблема выборочного усиления мод, как основных, так и высших, в микроструктурном волокне с одной или несколькими активными сердцевинами. Эти 'задачи решается методом плоских волн.

Актуальность темы

Задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке актуальны для многих областей физики и техники, и являются стандартными задачами электродинамики, решение которых с использованием различных методов можно найти в большом числе публикаций. Периодические решетки находят широкое применение в различных областях науки и техники: спектроскопии и антенной технике, физике твердого тела, миллии субмиллиметровой радиотехнике. Анализ физических процессов, протекающих в дифракционных решетках, связан с решением важных прикладных задач: созданием частотных и поляризационных фильтров, новых источников излучения, дисперсионных открытых резонаторов и т. д.

Особую роль играют теоретические исследования, значительно сокращающие или полностью исключающие экспериментальную проработку. С их помощью можно осуществить модельный синтез и оптимизацию различных устройств. Частично эта актуальная проблема решена в рамках математической теории дифракции плоских волн на дифракциоипой решетке, позволившей эффективно проанализировать ряд практически интересных ситуаций, накопить большой объем данных об аномальных и резонансных режимах рассеяния, решить некоторые малопараметрические обратные задачи. Для решеток со сложной структурой решение задачи дифракции возможно лишь численно: при этом эффективность алгоритмов и сходимость методов являются крайне важными.

Для решения проблемы дифракции на диэлектрических периодических структурах используются различные численные и полуаналитические методы.

В статье [1] рассмотрен метод анализа дифракции па периодических структурах с использованием рядов Фурье и разложения по плоским волнам. В этом случае необходимо разлагать в ряд все периодические функции, в том числе и диэлектрическую проницаемость. Полученная система уравнений решается относительно неизвестных амплитуд пространственных гармоник.

В статье [2] предложен метод матричной рекурсии для моделирования процесса дифракции на диэлектрических решетках. Решетка с неодпородностями произвольной формы представляется в виде множества слоев, лежащих друг на друге, каждый из которых представляет собой периодическую структуру с неодиородпостями прямоугольной формы. При переходе от одного слоя к другому используют матрицу передачи.

Эти методы, при всех их достоинствах, имеют и ряд недостатков (проблемы со сходимостью и трудности с реализацией для элементов со сложным профилем поперечного сечения).

В последнее время большое внимание уделяется также новому типу оптических материалов — фотонным кристаллам. Первыми работами в этой области были труды Яблоновнча и Джона [7,8], начиная с которых со стороны научных исследователей всего мира появился огромный интерес к подобного рода структурам. Главной особенностью фотонных кристаллов является наличие в них запрещенных частотных зон, запрещающих распространение внутри кристалла электромагнитных волн с частотами лежащими в этой зоне.

Это свойство используется исследователями для проектирования и создания различных оптических устройств, таких как оптические волокна [9], одномодовые волноводы [10] и лазеры [11].

В последнее время наряду со значительным прорывом в области технической реализации процесса создания фотонных кристаллов, был разработан целый ряд различных математических инструментов и методов, позволяющих смоделировать процесс распространения электромагнитной волны в фотонных кристаллах, рассчитать и проанализировать их дисперсионные характеристики. В работах (12,13] представлен анализ двумерных периодических структур на основе метода плоских волн. В [14| аналогичная задача решена с использованием матриц передачи. В работе [15] моделирование процесса распространения волны основана на использовании метода конечных разностей. Здесь также имеются трудности в реализации известных методов для структур со сложным профилем поперечного сечения.

Для преодоления этих трудностей возможно использование метода интегральных уравнений. Основными преимуществами этого метода являются хорошая сходимость, возможность исследовать решетки с произвольной формой поперечного сечения брусьев, высокая точность, а также возможность расчета различных сечений дисперсионных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма.

Микроструктурные волокна — волокна, имеющие очень сложную структуру в поперечном сечении, образованную регулярным или нерегулярным расположением воздушных отверстий, параллельных оси волокна, обладают множеством замечательных свойств, таких как возможность регулировки дисперсии и нелинейности, возможность получения больших значений этих величин [9, 16, 17] и возможность создания одномодового режима для широкого интервала длин воли [18]. По сравнению с обыкновенными волокнами микроструктуриые волокна обладают более высоким показателем преломления, аномальной дисперсией групповой скорости в видимом диапазоне длин волн [19], сильным двулучепреломлением [19,20], а также имеют большее количество степеней свободы, таких как расположение включений и отношение радиуса включений к периоду структуры [21,22].

Особое внимание со стороны исследователей уделяется активным микроструктурным волокнам с сердцевиной, допировапиой ионами неодима, эрбия или иттербия [23−25].

С развитием волоконных лазеров [26−32] и волоконных усилителей, появилась необходимость в точных алгоритмах расчета характеристик активных микроструктуриых волокон, процессы в которых могут быть описаны с использованием приближения комплексного показателя преломления. Описание некоторых численных методов, использующих это приближение, представлены в литературе [33−36].

В [33] авторы разделяют вещественную и мнимую части комплексного показателя преломления для получения двух вещественных дифференциальных уравнений из одного комплексного. Такое преобразование основано на предположении о том, что мнимая часть поля значительно меньше вещественной части. Таким образом, этот метод может использоваться только для расчета структур, обладающих малым значением мнимой части комплексного показателя преломления.

В статье [34] используется теория возмущений, которая также основана па допущении, что усиление или потери в волокне оказывают несущественное влияние па поле волны, распространяющейся в нем, и, также, может использоваться только в случаях малого значения величины мнимой части показателя преломления.

Для преодоления этого ограничения были разработаны новые численные методы [35−40], основанные на разложении мод поля по простым функциям с комплексными коэффициентами. Подобное разложение сводит задачу к поиску собственных значений комплексной матрицы коэффициентов.

Таким образом, задача исследования периодических структур, таких как дифракционные решетки, фотонные кристаллы и микроструктурные волокна, является актуальной на данный момент, на ряду с задачей разработки эффективных численных методов, использующихся для моделирования процесса распространения электромагнитных волн в подобного рода структурах.

Целью настоящей работы являются.

— исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки на основе метода интегральных уравнений;

— исследование процесса дифракции электромагнитной волны на дифракционной решетке, состоящей из диэлектрических брусьев, расположенных на подожке, и разработка алгоритма расчета коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решетки, находящейся на подложке, на основе метода интегральных уравнений;

— исследование процесса распространения электромагнитной волны в двумерном фотонном кристалле и расчет различных сечений дисперсионных поверхностей кристалла при помощи алгоритма, разработанного па основе метода интегральных уравнений;

— исследование процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурпых волокнах различных конфигураций и расчет их дисперсионных характеристик, а также изучение влияния структуры волокна на его дисперсионные характеристики;

— исследование возможности выборочного усиления основной моды и мод высших порядков, изучение влияния структуры волокна на коэффициент усиления мод с различными порядковыми номерами.

Новые научные результаты. В диссертации предложены новые выражения для функции Грина, использующиеся в разработанных алгоритмах решения задач на поиск коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде для решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке.

Необходимость получения новых выражений функции Грина обусловлена наличием в них логарифмических особенностей в неявном виде, что приводит к снижению точности расчетов и ухудшению сходимости алгоритмов.

В результате анализа результатов расчетов, выполненных по предложенным алгоритмам, основанных на новых выражениях функции Грина, было показано, что форма поперечного сечения брусьев решетки оказывает существенное влияние на спектры отраженной и прошедшей воли. Также было показано, что на эти спектры оказывает влияние в том числе наличие подложки и величина ее диэлектрической проницаемости.

Представленный алгоритм позволяет рассчитать коэффициенты пропускания и отражения для решеток, состоящих из брусьев с любой формой поперечного сечения.

Новое выражение функции Грина получено также для задачи на поиск собственных воли фотонного кристалла и нахождения его дисперсионных характеристик. Отличительными особенностями алгоритма, основанного на новом выражении для функции Грина, также являются универсальность, то есть возможность его использования для различных форм поперечного сечения брусьев и хорошая сходимость.

Особенностью, предложенного алгоритма, является возможность его использования для получения результатов необходимых для построения различных видов дисперсионных характеристик фотонного кристалла: зависимости частоты волны от направления ее распространения и зависимости хи у-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны.

В диссертации также представлен детальный анализ процесса распространения электромагнитной волны в активных микроструктурных волокнах различных конфигураций, проведенный, но результатам, полученным методом плоских волн.

Анализ показал, что структура активного волокна, оказывает существенное влияние на его дисперсионные характеристики и па зависимость коэффициента усиления от длины волны.

Появление в мнкроструктурпом волокне поглощения или усиления приводит к изменению значения эффективного показателя преломления, при этом коэффициент усиления моды зависит от структуры волокна и порядкового номера моды. На основании расчетов найдены оптимальные значения размеров активной сердцевины для волокон с заданными конфигурациями, позволяющие наиболее эффективно усиливать основную моду по сравнению с модами высших порядков. Предложены конфигурации активных волокон, позволяющие выборочно усиливать моды высших порядков.

Достоверность результатов, полученных в настоящей работе, подтверждается сравнением с результатами, полученными другими методами, и совпадением результатов, полученных применением разработанных методов в частных случаях, с результатами, полученными методами, оптимизированными для более простых структур.

Научно-практическое значение работы. Предложенные в работе новые алгоритмы расчета коэффициентов пропускания и отражения решеток могут быть использованы для исследования решеток, состоящих из диэлектрических брусьев с произвольной формой поперечного сечения, находящихся в пространстве или расположенных на подложке.

Результаты этих исследований могут быть использованы для оценки формы поперечного сечения брусьев решетки, детекции наличия подложки и определения значения ее диэлектрической проницаемости по характеристикам отраженной или прошедшей сквозь решетку волны. Подобная методика может быть применима, в частности, для расчетов концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку.

Алгоритм расчета дисперсионных характеристик фотонных кристаллов, основанный на методе интегральных уравнений, может быть использован для нахождения запрещенных зон и построения изочастот. Результаты подобных расчетов важны при проектировании различных оптических устройств и приборов, таких как фильтры, резонаторы, волноводы и т. п.

Результаты исследования активных микроструктурных волокон, представленного в диссертации, расширяют общее представление о влиянии структуры активного волокна на процесс распространения электромагнитной волны по нему. Предложенные в работе конфигурации волокон могут быть использованы для выборочного усиления основной моды и мод высших порядков. Выборочное усиление мод может пайти свое применение при проектировании частотных преобразователей, волоконных лазеров и волоконных усилителей.

Исследования, ироведеные в работе, в том числе, вносят значительный вклад в расширение представления о методе интегральных уравнений и возможностях его использовани для решения задач оптики. Предложенный алгоритм может быть использован, в том числе, и для решения ряда других аналогичных задач после внесения некоторых незначительных изменений.

Материалы, представленные в диссертации, использовались при выполнении работ по гранту U.S. Civilian Research and Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union REC-006 и гранту N.06−02−17 343-a Российского Фонда Фундаментальных Исследований.

Апробация работы. Результаты, полученные в ходе исследований, представленных в данной работе, были доложены на следующих конференциях:

1. Saratov Fall Meeting 2004, Россия, Саратов, 21−24 сентября, 2004.

2. Saratov Fall Meeting 2005, Россия, Саратов, 27−30 сентября, 2005.

3. Saratov Fall Meeting 2006, Россия, Саратов, 26−29 сентября, 2006.

4. Третья Международная конференция «Стеклопрогресс — XXI», Россия, Саратов, 22−25 мая, 2006.

5. Ill Russian-Finnish Meeting Photonics and Laser Symposium, Russia, Moscow, June 14−17, 2007.

6. X Международные Чтения по квантовой оптике, Россия, Самара, 18−22 сентября, 2007.

7. Saratov Fall Meeting 2007, Россия, Саратов, 25−28 сентября, 2007.

8. Российский семинар по волоконным лазерам, Россия, Саратов, 1−4 апреля, 2008.

9. Всероссийская конференция по волоконной оптике, Россия, Пермь, 10−12 октября, 2007.

10. International Conference «Laser Optics 2008», Russia, St. Petersburg, June 23−28, 2008.

11. Ill Научная конференция для молодых ученых, Россия, Саратов, 2527 июня, 2008.

Личный вклад автора состоит: в участии в постановках задач, в проведении аналитических выкладок, разработке алгоритмов решения задач и их реализации, в получении численных результатов и их анализе, в поиске и анализе литературных источников.

Защищаемые положения и результаты.

1. Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для задач на нахождение коэффициентов пропускания и отражения по амплитуде дифракционных решеток, состоящих из диэлектрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке. Использование этого выражения и соответствующей реализации алгоритма решения интегрального уравнения позволяет рассчитывать коэффициенты пропускания и отражения решетки при любой форме поперечного сечения брусьев с хорошей сходимостью и точностью вычислений. Угловые и спектральные коэффициенты пропускания существенно зависят от формы поперечного сечения брусьев и значения диэлектрической проницаемости подложки.

2. Новое выражение для ядра интегрального уравнения, отличающееся явно выделенной логарифмической особенностью, для расчета дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла. Алгоритм, основанный на использовании нового выражения для ядра, обладает хорошей сходимостью и позволяет рассчитывать различные сечения дисперсионных поверхностей без каких-либо изменений алгоритма.

3. Для активных микроструктурных волокон с заданной структурой существует оптимальный размер активной сердцевины, позволяющий получить максимальную разницу между эффективными усилениями основной моды и мод высших порядков. Существует возможность создания активного микроструктурпого волокна, выборочно усиливающего моды высших порядков.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 114 страниц текста, включая иллюстрации.

Список литературы

на 10 страницах включает 94 наименования.

Заключение

.

В диссертации представлены решения задач на поиск коэффициентов пропускания для дифракционных решеток, находящихся в свободном пространстве или расположенных па подложке и на построение дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристаллла методом интегральных уравнений, а также на построение дисперсионных характеристик активных микроструктурных волокон методом плоских волн.

1. Предложен алгоритм решения задачи дифракции электромагнитной волны на диэлектрической решетке из параллельных цилиндрических брусьев, находящихся в свободном пространстве или расположенных на подложке.

Аналитические преобразования, представленные в работе, позволяют получить функции Грина для этих задач в новом виде, в котором особенность выделена в явной форме, что даст возможность заменить интегралы непосредственно на квадратурные суммы.

Представленные алгоритмы решения двух вышеописанных типов задач, позволяют рассчитать коэффициенты пропускания и отражения дифракционных решеток с высокой точностью, в отличие от алгоритмов, использующих функцию Грина свободного пространства.

Этот факт подтверждается достоверностью полученных результатов, которые совпадают с результатами, полученными другими методами, и результатами расчетов для частных случаев при использовании более простых приближений.

Были проведены оценки, показывающие высокую точность и хорошую сходимость алгоритма, в том числе и для случаев сложной формы поперечного сечения брусьев.

2. Построены угловые и спектральные зависимости коэффициента пропускания для различных форм поперечного сечения диэлектрических брусьев, образующих решетку. Было продемонстрировано существенное влияние формы поперечного сечения брусьев на кривые зависимостей коэффициентов пропускания решеток от угла падения и длины падающей волны. Этот факт дает возможность использования подобного алгоритма для теоретических расчетов и оценок форм поперечного сечения микро-и наноразмерных брусьев по амплитудам отражения или пропускания исследуемых дифракционных решеток.

3. При решении задачи на нахождение коэффициента пропускания дифракционной решетки, расположенной на подложке, были построены угловые и спектральные зависимости коэффициента пропускания для случая отсутствия подложки и для случая присутствия подложки с диэлектрической проницаемостью е&bdquo- = 1.1. Было продемонстрировано существенное влияние наличия подложки на кривые угловых и спектральных зависимостей, что позволяет использовать предложенный алгоритм для теоретического исследования характеристик волн пропускания или отражения для решетки, расположенной на подложке, с целью определения наличия подложки или значения ее диэлектрической проницаемости. Подобный метод, в частности, может быть использован для определения концентрации веществ в среде, окружающей дифракционную решетку.

4. Предложен алгоритм нахождения дисперсионных характеристик двумерного фотонного кристалла методом интегральных уравнений.

Аналитические преобразования, описанные в работе, позволяют представить функцию Грина в новой форме с явно выделенной логарифмической особенностью, что позволяет пантп точное значение интеграла от функции ее содержащей.

Кроме того, представлены преобразования Функции Грина, позволяющие избежать двойного суммирования и существенно сэкономить вычислительные ресурсы.

Достоверность результатов, подтверждающаяся хорошим согласием значений, расчитанных двумя разными методами: методом интегральных кравнений и методом плоских волн, доказывает правильность формулировки предлагаемого алгоритма и нового вида функции Грина.

5. Использование высокоточных квадратурных формул позволяет свести интегральное уравнение к системе однородных линейных алгебраических уравнений. Условие равенства определителя этой системы нулю представляет собой дисперсионное уравнение, которое позволяет найти различные дисперсионные характеристики фотонного кристалла, такие как зависимость частоты волны от направления ее распространения и зависимость хи у-составляющих при заданном значении частоты распространяющейся волны.

Этот факт показывает гибкость метода интегральных уравнений, позволяющего рассчитывать зависимости различных типов при минимальных изменениях программной реализации алгоритма.

6. Представлены результаты исследования различных конфигураций активных микроструктурных волокон.

Для исследования усиления в микроструктурных волокнах использовалось приближение комплексного показателя преломления. В таком приближении коэффициент усиления моды пропорционален мнимой части эффективного показателя преломления соответствующей моды.

7. Получены дисперсионные характеристики для волокна с воздушными отверстиями целиком состоящего из активного стекла, то есть с однородным распределением усиления. Показано, что зависимость вещественной части эффективного показателя преломления активного волокна отличается от аналогичной зависимость для волокна, изготовленного из обыкновенного стекла. Также показано, что мнимая части эффективного показателя усиления активного волокна зависит от длины рапрострапяющейся волны.

8. Получены дисперсионные характеристики для волокна с активной сердцевиной. Показано, что зависимость вещественной части эффективного показателя преломления волокна с активной сердцевиной отличается от аналогичной зависимости для волокна без активной сердцевины. Также показано, что мнимая части эффективного показателя усиления волокна с активной сердцевиной зависит от длины рапространяющейся волны.

9. Получены зависимости коэффициентов усиления мод от их порядкового номера для различных размеров активных сердцевин в волокне с пременным радиусом воздушных включений и волокне с большим радиусом воздушных включений. Показано, что существуют оптимальные значения радиусов активных сердцевин для этих двух типов волокон, при которых разница между усилением основной моды и усилением мод высших порядков максимальна.

10. Были получены зависимости коэффициентов усиления мод от их порядкового номера для активных волокон с несколькими активными сердцевинами, которые показывают, что определенное пространственное расположение активных сердцевин может привести к выделению мод высших порядков, за счет наличия у них максимального эффективного показателя распределения, превосходящего в том числе и показатель усиления основной моды.