Задачи распространения волн в неоднородных средах являются предметом исследования разных разделов физики (механики, квантовой механики, радиофизики, оптики). В большинстве случаев математические модели изучаемых явлений сводятся к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям (ЛОДУ) второго порядка, которые для многих задач теории колебаний оказываются схожими и можно говорить об общих способах решения этих уравнений. Изучению этих уравнений посвящено огромное число работ. По теории распространения электромагнитных волн в детерминированных неоднородных средах имеется целый ряд монографий [1−13] и журнальных статей [14−31], а также диссертаций [32−34], в которых рассмотрены точные и приближенные решения многих задач распространения волн. Интерес к этим задачам возник в начале XX века, после того как эксперименты Кеннели в Америке и Хевисайда в Европе доказали возможность отражения волн от ионосферы [35].
Распространение радиоволн в изотропной среде зависит от дисперсионных свойств и степени неоднородности среды, а также от вида поляризации волны. При рассмотрении слоисто-неоднородных сред (плоскослоистых, цилиндрически-слоистых, сферически-слоистых) уравнения Максвелла распадаются на две независимые пары, которые соответствуют двум видам поляризации (вертикальной и горизонтальной). Как известно [7], простейшим типом электромагнитной волны является плоская волна. Сферическая или цилиндрическая волна на большом расстоянии от источника может в силу малого искривления участков фронта рассматриваться в ограниченной области пространства как плоская. Это позволяет в ряде случаев при изучении отражения волн от слоев пользоваться выражениями для коэффициентов отражения плоских волн. Линейно поляризованная волна (распространяющаяся в плоскослоистой среде cs (z)), у которой вектор электрического поля лежит в плоскости распространения, проходящей через прямую (z) и направление распространения падающей волны, называется вертикально поляризованной (или ТМ), а с вектором, перпендикулярным плоскости, — горизонтально поляризованной (или ТЕ).
Изучение отражения волн от неоднородностей среды является одной из широкого круга задач, касающихся теории распространения волн и энергетического расчета радиолиний. В случае плоскослоистой среды ce (z) и гармонической зависимости поля от времени в результате Фурье-преобразования поля по двум другим пространственным переменным из уравнений Максвелла (с учётом линейности уравнений), являющихся (в дифференциальной форме) уравнениями в частных производных, для комплексных амплитуд полей получаются ЛОДУ [4]. Рассмотрение задач, для которых известны точные аналитические решения (ТАР) (т.е. решения, выраженные через специальные функции математической физики) этих уравнений, имеет весьма большое значение. Дело в том, что вытекающие из точных решений выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн раскрывают важные закономерности в зависимостях этих коэффициентов от частоты волны, угла падения волны на слой, параметров слоя, а также от поляризации волны. Радиофизика, как наука, имеет дело с определенными математическими моделями. Наибольший интерес представляет задание зависимости е от расстояния z посредством аналитических функций, для которых известны ТАР уравнений Максвелла. Такие зависимости s (z) при рассмотрении других качественно сходных моделей среды можно рассматривать в качестве эталонных [20,25].
В задачах радиофизики, описываемых дифференциальными уравнениями, параметры задачи, входящие в коэффициенты этих уравнений, не могут быть измерены точно, и они могут изменяться под влиянием различных возмущающих факторов. В связи с этим большое значение имеет теорема [36] об условиях (Липшица), при которых решение ЛОДУ непрерывно зависит от параметров, входящих в коэффициенты уравнения. Условия этой теоремы в практических задачах обычно выполняются, за исключением случаев, связанных с некоторыми предельными переходами по параметру либо параметрам [37]. Так, например, в случае, когда дифференциальное уравнение имеет малый параметр при старшей производной при частоте волны о —> оо, модуль коэффициента отражения в пределе может терпеть скачкообразное изменение. Возможна также ситуация, когда решение, являющееся непрерывным по каждому из параметров, не является непрерывным по их совокупности. В этом случае значение коэффициентов отражения и прохождения волны может зависеть от порядка предельного перехода по параметрам. Учёт одного из них, как правило, меняет структуру особых точек дифференциального уравнения. Такая ситуация имеет место в задаче об экранировании ТМ — волны в симметричном плазменном слое с малыми потерями и на частоте волны, близкой к максимальной плазменной частоте слоя [25, 33]. При этом решение зависит от порядка стремления параметров задачиэффективной частоты столкновений и угла падения волны — к нулю. Реально эти предельные значения никогда не достигаются. Значения этих параметров могут находиться в окрестности их предельных значений, и представляет интерес исследование коэффициентов отражения и прохождения в более широкой области изменения параметров.
Хорошо известно, что впервые законы отражения и преломления волн в электромагнитной теории света были угаданы Френелем в 1823 году. Затем этими вопросами занимался Рэлей, Жамен, Коши. Ряд вопросов о согласовании теории и эксперимента, а также обсуждение возможных причин, ответственных за некоторое их несогласование полно освещен в лекциях [38] в разделе, посвященном некоторым вопросам теории колебаний.
Поскольку механика, а вместе с ней и теория дифференциального и интегрального исчисления появилась значительно раньше радиофизики, то нет ничего удивительного в том, что многие модели неоднородных сред в радиофизике были заимствованы из механики. ЛОДУ второго порядка описывают в радиофизике, например, распространение электромагнитных полей, а в механике — колебания с сосредоточенными или распределенными параметрами и одной степенью свободы. Разумеется, аналогия между механикой и радиофизикой прослеживается и при рассмотрении задач, математические модели которых даются в виде систем ЛОДУ.
Теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами, которая берёт начало в XIX веке, привела к получению всех важнейших специальных функций [39−42]. Важную роль среди них занимают уравнения, все особые точки которых регулярны [43]. Гипергеометрическое уравнение (11 У) является одним из таких наиболее изученных уравнений с тремя регулярными особыми точками. Коэффициенты в функциональных соотношениях (связывающих линейно-независимые решения I I У в различных интервалах изменения независимой переменной) выражаются через гамма-функцию [44], теория которой в основном была завершена к концу XIX — к началу XX века. По теории ЛОДУ существует обширная литература [45−60]. Такой большой интерес к ним связан с их важностью в прикладной математике и отсутствием метода нахождения общего решения произвольного ЛОДУ второго порядка. Вместе с тем в течение последних тридцати лет теория дифференциальных уравнений (прежде всего по таким вопросам, как устойчивость решений, применение методов функционального анализа, разработка новых методов приближенного решения уравнений) развивалась настолько интенсивно, что претендующее на полноту сопоставление с литературой заняло бы более сотни страниц списка литературы (заметим, что в книге [61] библиография занимает 140 страниц, а с момента её выхода появился целый ряд монографий и статей).
Одной из самых первых (обзорных) работ об интегрировании ЛОДУ второго порядка с переменными коэффициентами, которое встречается в теории колебаний, является работа [57]. В ней рассмотрены функции f (х), для которых дифференциальное уравнение у1+р0л*)у = о, (1) где р0 — параметр), посредством замен зависимой и независимой переменных сводится а) к уравнению с постоянными коэффициентами, б) к уравнению Бесселя и в) к 11 У.
ГГУ, имеет канонический вид (1), где/(х) = —-Т~Г >так 4X0 эта Функция совпа.
Г qdx Р + а exp (J —j).
В случае а) /(*) = —i-гтг, в случае б) /(х) =—-k + mx + nx t где л + тх + пх) (k + mx + nx) k, m, n, q, a, P — произвольные величины. В [57] утверждалось (без доказательства), что в случае в) a + bx + cx2+dx3 = ~Т,-ЦТ" • (2) k + mx + nx у.
Однако, как показано в [47], уравнение Римана, которое дробно-линейным преобразованием независимой переменной и линейной заменой зависимой переменной сводится к, а + Ьх + сх2 (k + mx + nx1)2 дает с (2) только при d =0.
Решения уравнения (1) можно применить в задаче о нормальном падении ТЕ волны на слой, функция диэлектрической проницаемости е которого зависит от безразмерного расстояния х по закону /(х). Некоторые из этих зависимостей в (х)= /(х) одними из первых были рассмотрены в радиофизической литературе в задачах о распространении плоских электромагнитных волн [23].
Наиболее полный обзор функций e (z), для которых решения уравнений Максвелла для волны ТМ поляризации имеют ТАР в терминах ГГФ и вырожденных ГТФ, сделан в работе [24]. В интервале z е (-оо,+оо) почти все (кроме двух вариантов) рассмотренные в ней зависимости s (z) являются либо неограниченными, либо одно из их предельных значений при z —> —оо (или z —> -ню) равно нулю. На этих двух вариантах s (z) следует подробнее остановиться. Одна из этих функций задаётся выражением e (z) = Kth2(az + b), (3) где К, а, Ьпостоянные. Для этой модели среды в [ 15, 22] рассмотрены ТАР уравнения и для ТЕ волны. Другая зависимость s (z), для которой было найдено ТАР для ТМполя, задавалась в неявном виде в = s (?(z)), однако, об ограниченности этой функции ?(?(z)) в работе [24] не упоминалось. В ней не рассматривался и вопрос о возможном виде (или видах) слоя при той или иной взаимно однозначной связи между переменными Q и z. Оказывается (это рассмотрено в диссертации), что при определенной такой связи эта функция будет описывать переходный слой.
Что касается систематического анализа функций, для которых известны ТАР уравнения для ТЕ волны, то этот вопрос был рассмотрен в [15,22]. В работах [14, 15, 22−24] приведены зависимости e (z), для которых ЛОДУ для полей горизонтальной и вертикальной поляризации сводятся к изученным специальным функциям. Эти работы имеют радиофизическую специфику, в том числе связанную и с различными вариантами задания среды распространения волны (в какой-либо выбранной системе координат). В общем же математическом плане книги [49, 56] охватывают более широкие виды линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, которые заменами переменных сводятся к уравнениям Бесселя, Лежандра, Уиттекера, Матье, Ламе и гипергеометрическому. В них проведено более полное по сравнению с [22−24] исследование тех случаев, когда ЛОДУ второго порядка приводятся к изученным уравнениям. Однако не все результаты исследований, проведённых в этих работах, можно приложить к радиофизическим задачам. Это связано с тем, что в ЛОДУ для полей параметры задачи (частота волны, угол падения волны на слой, либо производная Шварца (при рассмотрении ТМволны)) входят в уравнение определенным образом, что заметно сужает применение многих уравнений, рассмотренных в [49], к теории распространения электромагнитных волн. Кроме того, в [49] проанализированы только линейные преобразования зависимой переменной. Заметим, что некоторые результаты этой работы были получены в [56] методом факторизации, обобщенным на случай переменных коэффициентов.
Обсудим коротко приближенные методы решения задач о падении плоской волны какой-либо поляризации на слой, необходимость привлечения которых связана с отсутствием известных ТАР уравнений для полей. Все эти приближенные методы [60−72] связаны с наличием малого параметра задачи. Это методы: частичных отражений (частный случай метода последовательных приближений) [1], ВКБ [62, 64], метод геометрической оптики [67], метод фазовых интегралов [9,62]. Границы применимости метода геометрической оптики были расширены [73]. Здесь следует упомянуть предложенный в 1952 году метод осреднения функциональных поправок [74], применяемый для приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений. Ссылок на его применение в задачах радиофизики автор не нашёл, но этот метод, возможно, будет применён и при решении задач о распространении электромагнитных волн в неоднородных средах. Большая библиография в [74] указывает на его различные (математические) видоизменения и обобщения. В случае среды, характеризующейся бесконечно дифференцируемой функцией диэлектрической проницаемости, а также при отсутствии точек поворота на вещественной оси модуль коэффициента отражения при стремлении частоты падающей волны, а -> <ю экспоненциально мал [9]. Таким образом, он не может быть получен в рамках лучевого метода, где для него получается степенное убывание с ростом частоты. Приближенные методы решения задачи распространения волн тесно связаны с математической теорией устойчивости [75] и с теорией асимптотического (в редких случаях сходящегося) разложения (в монографии [64] решения уравнений с малым параметром при старшей производной представлены в виде сходящихся рядов). Укажем также на метод эталонного уравнения (МЭУ) (который в отечественной физико-математической литературе связывают с работами А. А Дородницына, а в западной математической литературе (вероятно учитывая историю возникновения, а не саму идею метода, безусловно принадлежащую А. А Дородницыну, более известный как преобразование Лангера) [60,70]. Этот метод приближенного решения ЛОДУ при наличии большого параметра задачи нашёл широкое применение в задачах распространения электромагнитных волн в неоднородных (изотропных и анизотропных) средах (см. работу [20], а также большое число работ Г. И. Макарова, на которые в ней приведены ссылки). Этот метод является одним из эффективных способов нахождения асимптотического поведения специальных функций математической физики.
С математической точки зрения возможна ситуация, когда слой настолько медленно выходит (при z —> ±-оо) на вакуум (или другую однородную среду), что полученное решение при z ±-оо не будет иметь вид плоских волн. Математическая формулировка условий, при которых это имеет место, дана в работе [61]. Два варианта такого слоя приведены в диссертации (один вариант — в первой главе, а другой — во второй). Указанные выше асимптотические методы часто приводят к решению в виде расходящегося ряда.
В радиофизической литературе интерес к точно решаемым задачам о распространении волны в среде никогда не пропадал. Трудность этих задач в том, что основной метод интегрирования дифференциальных уравнений — это введение удобных замен зависимой и независимой переменных, преобразующих уравнение к простейшему виду, но для нахождения этих замен нет общего правила. Заранее не ясно, к какому уравнению целесообразнее свести исходное дифференциальное уравнение. При этом количество и характер его особых точек не всегда может навести на успешное преобразование. В математической литературе линейно-дифференциальные и другие более сложные (нелинейные) преобразования зависимой переменной (которые могут изменить количество особых точек уравнения) рассмотрены не так подробно, как линейные преобразования. При рассмотрении нелинейных преобразований зависимой переменной тем более нет общего правила.
Из обзора вышеперечисленных работ можно сделать вывод, что в классе аналитических функций e (z), вещественных и непрерывных при действительных значениях z, а также принимающих произвольные конечные значения при z ±-оо, существует только одна зависимость e (z), допускающая ТАР уравнения для 7Е-волны — это слой Эпштейна [1, 14]. Однако даже для простейшего случая переходного слоя Эпштейна решение уравнения для ТМволны не получено. С помощью замен независимой и зависимой переменных его можно свести к уравнению с четырьмя особыми точками [58, 59], теория которого к настоящему времени еще не завершена. Функциональные соотношения, связывающие асимптотики линейно-независимых решений произвольного уравнения с четырьмя правильными особыми точками на сегодняшний день не известны. Полученные в [59] решения такого уравнения (в случае вещественного коэффициента уравнения) в виде очень громоздких рядов, сходимость которых имеет место только в отдельных областях, не дают возможности получить простые (т.е. в конечном виде) выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны даже в случае вещественного слоя.
В литературе исследовано все ещё недостаточное количество точно решаемых моделей, чтобы провести какую либо классификацию закономерностей коэффициента отражения, поэтому представляет интерес дальнейшее изучение закономерностей отражения волн при рассмотрении некоторых новых моделей среды. С целью их изучения предприняты исследования, результаты которых изложены ниже.
В диссертационной работе представлены некоторые новые ТАР задач о распространении плоских гармонических волн в безграничных изотропных плоскослоистых средах. В математическом отношении эти задачи сводятся к решению дифференциальных уравнений с соответствующими условиями на бесконечности [7, 17].
В диссертации рассмотрены такие зависимости диэлектрической проницаемости е от расстояния z, для которых ТАР уравнений Максвелла для гармонических полей горизонтально и (или) вертикально поляризованных волн сводятся к гипергеометрическим и вырожденным гипергеометрическим функциям. В диссертации впервые, исходя из ТАР уравнений Максвелла для ТМ и ТЕволны, рассматривается задача о влиянии поляризации на особенности отражения волн для положительной и ограниченной функции s (z) специального вида, моделирующего переходный слой. Для него автором найдены коэффициенты отражения R и прохождения Т плоских гармонических волн и исследованы зависимости коэффициентов отражения от частоты волны и угла падения волны на слой.
В первой главе диссертации для этого слоя (который в общем случае задается неявно) найдены выражения для коэффициентов отражения и прохождения ТМволны. Затем (для этого же слоя) автором получено ТАР уравнения и для ТЕволны, что позволяет исследовать влияние поляризации на особенности отражения волн от такого слоя при произвольных значениях частоты волны и угла падения волны на слой. При получении ТАР уравнения для ТЕволны применяется линейно-дифференциальное преобразование зависимой переменной уравнения с целью понижения количества его особых точек с четырёх до трёх регулярных особых точек и сведения уравнения (для новой функции) к 11 У.
Кроме того, в первой главе получено точное ТЕрешение и для более общего случая переходного слоя.
Полученное в этой главе ТАР ЛОДУ для ТЕ поляризации было применено автором к рассмотрению ТАР задачи о распространении электромагнитных волн в однородной нестационарной среде (это решение приведено в приложении). При этом в случае медленного изменения свойств среды была установлена новая зависимость коэффициента трансформации волны от параметра, характеризующего различный характерный интервал изменения свойств среды при t ±00. В работах [76−78] нестационарность плазмы характеризовалась более простыми моделями s{t)w этот случай не был исследован. Приведённая в [78] зависимость s (t) является частным случаем неявно заданной функции, рассмотренной в диссертации применительно к этой задаче.
Во второй главе диссертации рассмотрены некоторые ТАР задач о падении ТЕволны на плоскослоистую среду и изучены особенности в поведениях коэффициентов отражения от частоты и угла падения волны. Проведено обобщение результатов Эпштейна на случай, когда плазменная частота характеризуется различной скоростью стремления к предельным значениям при г —> ±-оо. Получены R и Г для новых видов слоёв (с одним, двумя и тремя максимумами coM (z)). Установлено, что модуль коэффициента отражения может характеризоваться как монотонным убыванием с ростом частоты, так и наличием осцилляции. Кроме того, рассмотрен новый вид слоя, для которого ТАР задачи о распространении ТЕволны выражается через ГТФ и их производные. Для этого слоя в частности получено выражение для Щ в случае сильного изменения свойств среды при г —> ±-оо.
В третьей главе рассмотрено приближенное решение задачи о падении 7Мволны на ограниченный плазменный слой с максимумом электронной концентрации (частота волны полагается равной максимальной плазменной частоте в слое). При этом диссипа-тивные процессы в среде определяются отношением эффективной частоты столкновений электрона v к частоте волны а. В отличие от работ [25, 33], в которых рассматривался случай больших значений sin2 в, когда коэффициент прохождения волны при малых углах в, но при произвольном значении.
Показано, что при малых потерях в слое значение |Г| существенно зависит от параметра sin2&J—. В случае sin2 в Л— «1 имеет место незначительное просачивание волны сквозь слой, при этом V v порядок величины |7] согласуется с результатами работ [25, 33], в которых были рассмотрены другие модели слоя. В случае sin модуль коэффициента прохож.
V v дения |г| = 0(1). Коэффициент прохождения волны сильно изменяется в очень узком диапазоне углов в. Таким образом, найденное в третьей главе решение задачи о распространении ТМ— волны сквозь плазменный слой дополняет результаты исследований, выполненных в вышеупомянутых работах.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [79−84]. На защиту выносятся следующие основные положения.
1) Решение задачи о падении плоской волны на переходный ограниченный слой s (z), заданный в неявном аналитическом виде и характеризующийся разными масштабами изменения e (z) при z —> ±-оо. Для этого слоя найдены точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения волн обеих поляризаций. Решение уравнения для ТМволны выражается через элементарные и гипергеометрические функции (ГТФ), а решение для ТЕ — волны — через элементарные, ГТФ и производные от них. Исследовано влияние поляризации на отражение волн от такого слоя. Установлено, что с ростом частоты асимптотические зависимости модулей коэффициентов отражения ТЕ и ТМ — волн в случае падения на слой под углом, равным углу Брюстера, оказываются различными.
2) Новые точные аналитические решения задачи о поле горизонтально поляризованной волны в бесстолкновительной плазме для трёх других распределений электронной концентрации, соответствующих слоям e (z) с разными масштабами изменения s (z) при z —> ±00. Решения выражены через ГТФ, найдены коэффициенты RnT для волны, падающей из вакуума, и проведён анализ зависимости |/?| от частоты волны, угла падения волны и параметров слоя.
3) Особенности частотной зависимости |/?| плоской ТЕволны от плазменного слоя s (z), характеризующимся одинаковыми предельными при z -> ±-оо значениями e (z) и переменным масштабом изменения.
В работе используется система единиц СИ. Все формулы в тексте (за исключением введения и приложений) пронумерованы двумя цифрами: первая означает номер главы, а вторая — порядковый номер формулы в данной главе.
Основные результаты данной диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.
1. Проведено развитие исследований Весткотга [24], посвященных точным решениям задач распространения 7М-волн в горизонтально-слоистых средах. Рассмотрен переходный ограниченный слой, решение уравнений Максвелла в котором для 7М-волны выражается через гипергеометрические функции, и для него получены точные выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны.
2. Для этого слоя, а также для переходного слоя более общего вида получены точные решения задач распространения JE-волны, что является развитием исследований Эп-штейна [14], Хединга [22] и Рауэра[15]. Установлена возможность обращения в нуль коэффициентов отражения волн различных поляризаций при некоторых значениях частоты волны и угла падения волны на слой. Выявлено влияние поляризации на особенности модуля коэффициента отражения.
3. Установлен различный характер асимптотической зависимости модулей коэффициентов отражения 7Ми ТЕволн (с ростом частоты волны) при углах падения, равных углу Брюстера.
4. Построены точные решения (выраженные через ГГФ) задачи распространения ТЕволны в плазменном слое с одним, двумя и тремя максимумами электронной концентрации. Установлены закономерности отражения волн — скачкообразное изменение коротковолновой асимптотики модуля коэффициента отражения, в общем случае его немонотонный характер убывания с ростом частоты, а также обращение его в нуль при определенных параметрах задачи.
5. Из точного решения задачи распространения ТЕволны (в терминах ГТФ и их производных) в переходном плазменном слое, плазменная частота которого характеризуется различной скоростью стремления к её предельным значениям, получены новые особенности убывания модуля коэффициента отражения с ростом частоты, обусловленные наличием в этой зависимости дополнительного предэкспоненциального множителя.
6. Проведено развитие исследований Г. И. Макарова, Н. Н. Зернова [25] и В. А. Живулина [33], посвящённых изучению распространения ТМволны в симметричных плазменных слоях с малыми потерями.
В заключение приношу глубокую благодарность моему руководителю — профессору.
В.В. Новикову за неизменный интерес и внимание, которое он проявил при руководстве диссертационной работой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
