Зарядовые состояния в андреевской квантовой точке

Около пятидесяти лет назад было установлено, что сверхпроводящая фаза ip связана с бездиссипативным током, а разность фаз (р на контакте приводит к возникновению джозефсоновского тока [1, 2]. За пять лет до этого было обнаружено, что в массивном сверхпроводнике изменение фазы на 2тг порождает магнитный вихрь [3]. Намного позже было показано, что в сверхпроводящих вихрях содержится заряд, много меньший заряда электрона [4, 5], что является следствием нарушения электронно-дырочной симметрии. Андреевские состояния позволяют создавать новые электронные устройства такие как джозефсоновские транзисторы [6−8]. В этой работе мы в основном интересуемся их зарядовыми свойствами. В Главе 1 показано, что нарушение электронно-дырочной симметрии порождает заряд, локализованный в металлической квантовой точке, присоединенной к сверхпроводящему кольцу [9, 10] (так называемая андреевская квантовая точка [11], 'см. Рис. 1). Этот заряд изменяется непрерывным образом при изменении потенциала затвора Vg и разницы фаз между сверхпроводящими берегами <р, поэтому в общем случае он оказывается нецелым. Это проявляется для основного и дважды возбужденного состояний (с четным количеством боголюбовских квазичастиц), в то время как единожды возбужденное состояние (с нечетным количеством квазичастиц) несет целый заряд. Отсюда, в частности, следует, что заряд возбуждения является нецелым.

Как известно, физика конденсированного состояния преимущественно имеет дело с целыми зарядами, даваемыми зарядом электрона е, однако в многочастичных задачах могут возникать дробные заряды, например, в дробном квантовом эффекте Холла [12−14] или в Латтинжеровской жидкости [15−17], где они возникают из-за усреднения по времени. Заряд, описываемый в данной работе, также возникает из-за усреднения по времени, однако не имеет фиксированного дробного значения и изменяется непрерывным образом под воздействием внешнего параметра — разницы сверхпроводящих фаз (р.

Изменяющийся непрерывным образом заряд в мезоскопических системах обсуждается, например, в работах [18, 19]. В них появление дробного заряда обеспечивается тем, что только часть волновой функции локализована в квантовой точке. В данной работе дробный заряд полностью локализован в области квантовой точки, а оставшаяся часть волновой функции делокализована в сверхпроводящем конденсате. Обсуждаемый дробный заряд напоминает дробный заряд, связанный с возбуждениями в сверхпроводнике и обсуждаемый в контексте вопроса о релаксации заряда в неравновесной сверхпроводимости [20, 21].

Возникновение дробного заряда легче всего понять в рамках подхода самосогласованного поля и уравнений Боголюбова-де Женна. В Разделе 1.1 это объясняется качественно, а в Разделе 1.4 вычисляется количественно. Основные вычисления производятся в пределе бесконечной сверхпроводящей щели, в котором заряд андреевской квантовой точки сильно зависит от разности сверхпроводящих фаз.

Дробный заряд можно наблюдать, следя за соответствующим телеграфным сигналом, который возникает вследствие стохастического заселения андреевских уровней [9] (см. Раздел 1.5), или наблюдая зависимость заряда от магнитного потока, проникающего в сверхпроводящее кольцо. Этот факт позволяет думать о возможности создания прибора для измерения слабых магнитных полей на основе андреевской квантовой точки. Описание магнитометра и оценка его чувствительности представлены в Главе 3 этой работы.

Глава 2 посвящена малому кулоновскому взаимодействию, Ес <С А. Тут энергия Ес имеет порядок е2/2С, где С — емкость квантовой точки. В этом пределе можно снова ограничиться четырьмя упомянутыми выше состояниями и точно диагонализовать получившийся гамильтониан. Кулоновское взаимодействие приводит к двум эффектам. Во-первых, синглетные состояния смешиваются. Во-вторых, кулоновская энергия сдвигает энергетические уровни четных и нечетных состояний по-разному, вследствие чего при одних значениях параметров <р и eD.

Рис. 1. (а) Схематическое устройство андреевской квантовой точки (SINIS контакта): квантовая точка, присоединенная к сверхпроводящим берегам. (Ь) Андреевская квантовая точка управляется магнитным потоком, пропущенным через сверхпроводящее кольцо. основное состояние будет являться синглетным состоянием, а при других — дублетным состоянием [22, 23].

В Главе 4 изучается масштабируемость эффекта в зависимости от числа андреевских уровней и геометрических характеристик контакта. Раздел 4.1 посвящен случаю нескольких каналов. При этом используется эквивалентный, но более оправданный технически, подход туннельного гамильтониана. В случае отсутствия кулоновского взаимодействия вклады от каждого канала в ток и заряд аддитивны. При наличии кулоновского взаимодействия состояния с одинаковой четностью могут быть смешаны, и основное состояние может даваться не только синглетным или дублетным состояниями, как в случае одного канала, но и иметь тройное, четверное и т. д. вырождение по спину и формировать триплетные, квад-руплетные и т. д. состояния. Кулоновское взаимодействие в одном канале может отличаться от взаимодействия между ними (например, в случае нескольких контактов, соединенных параллельно). В случае одинакового кулоновского взаимодействия дублетные области, формируемые каждым из каналов, не перекрываются, а в случае слабого взаимодействия между каналами, могут перекрываться, создавая триплетные, квадруплетные и т. д. состояния.

В Разделе 4.2 изучается случай многих каналов для коротких контактов сверхпроводник-нормальный металл-сверхпроводник с квадратичной дисперсией и сверхпроводник-графен-сверхпроводник с линейной дисперсией. Эффекты кулоновско-го взаимодействия можно оценить здесь в приближении среднего поля. В случае квадратичной дисперсии плотность состояний постоянна, и кулоновское взаимодействие сильно подавляет заряд, а в случае линейной дисперсии плотность состояний пропорциональна уровню допирования графена, и кулоновское взаимодействие не слишком сильно влияет на заряд.

Первые джозефсоновские контакты изготавливались с использованием окиси или нормального металла, помещенного между двумя сверхпроводниками [24]. Прогресс в области нанотехнологий позволил изготавливать джозефсоновские контакты на основе мезои наноструктур [25−29]. Среди них одной из самых популярных структур является квантовая точка. В то же время, в современных экспериментальных работах появилась возможность включать наномеханические элементы в электрические цепи. В частности, такими элементами могут служить углеродные нанотрубки [25, 26], а также единичные [27, 28] или двойные [30, 31] молекулы. Также популярны неравновесные эффекты в нормальных системах на основе наномехапических элементов [32−38]. В данной работе изучается влияние наномеханических эффектов на заряд квантовой точки, присоединенной к сверхпроводящим берегам через туннельные барьеры.

Глава 5 описывает наномеханические эффекты в андреевской квантовой точке (см. точку на основе нанотрубки на Рис. 2(a) и модельную установку на Рис. 2(b)). Механические степени свободы описываются квантовыми гармоническими осцилляторами, а их взаимодействие — гамильтонианом, аналогичным гамильтониану электрон-фононного взаимодействия, но с фиксированными фононными модами. Исследовано влияние механической степени свободы на заряд андреевской квантовой точки и его чувствительность к сверхпроводящей фазе: при ее наличии чувствительность в типичном случае подавляется, однако в определенных ситуациях может и возрастать.

Было изучено влияние силы взаимодействия электронной и механической пода).

Additional gates.

Ь).

SWNT.

Де-^/2 Ж Ж | | А, А Де^/2.

V Е.

Superconductors ч У.

Рис. 2. (а) Одностенная углеродная нанотрубка подвешена между сверхпроводящими берегами с разностью сверхпроводящих фаз <р. Заряд нанотрубки притягивается внешним электрическим полем Е. Два дополнительных затвора формируют электронные резонансы вдоль нанотрубки, создавая квантовую точку. (Ь) Модельная установка представляет собой квантовую точку с механической степенью свободы присоединенную к сверхпроводящим берегам через туннельные переходы. систем на размер дублетной области в переменных ((p, eD): ее размер уменьшается по мере увеличения константы электрон-фоионного взаимодействия. Ввиду этого, эффекты, которые подавляются в дублетной области, частично «восстанавливаются» при добавлении механических степеней свободы. Рассматривается энтропия фон Неймана, как характеристика запутанности между электронной и механическими степенями свободы. В отсутствии кулоновского взаимодействия максимальное значение энтропии Smax = In 2 достигается при <р — -к и eD = 0, а при ненулевом кулоновском взаимодействии — Smax < In 2 на границе дублетной области. Также даны описания механических характеристик, например, вычислены энергии, запасенные в колебательных модах.

В Заключении делается краткий обзор главных результатов диссертации.

В Приложении, А описываются уравнения Боголюбова-де Женна, в Приложении Б эти уравнения решаются для NS-границы, SNS и SINIS контактов. Громоздкие вычисления частот перезаселения уровней за счет электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциалов затвора вынесены в Приложение В.

Приложение Г посвящено подходу туннельного гамильтониана в пределе бесконечной сверхпроводящей щели.

В конце приведен Список иллюстраций и используемая Литература.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Показано, что квантовая точка, присоединенная через туннельные барьеры к сверхпроводникам, несет в себе непрерывно настраиваемый, а поэтому нецелый, заряд. Этот заряд возникает из-за электронно-дырочной асимметрии и зависит от разницы сверхпроводящих фаз между сверхпроводниками и потенциала затвора. Вычислен заряд основного состояния и заряд возбуждения. Обсуждаются квантовые флуктуации зарядов, а также флуктуации, возникающие из-за электрон-фононного взаимодействия и флуктуаций потенциала затвора. Кулоновское взаимодействие учтено в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. При некоторых значениях фазы и напряжения затвора оно приводит к качественному изменению основного состояния с обычного синглетного на дублетное. Исследовано масштабирование эффекта для нескольких каналов (точно) и большого числа каналов (в приближении среднего поля).

2. Обсуждается новый тип приборов для измерения слабых магнитных полей, основанных на зависимости заряда андреевской квантовой точки от разницы сверхпроводящих фаз, а значит, и от магнитного потока, пропущенного сквозь сверхпроводящее кольцо. Изучена дифференциальная чувствительность заряда к потоку в зависимости от сверхпроводящей фазы, положения и ширины нормального уровня в точке, кулоновской энергии, температуры и других параметров.

3. Исследовано влияние механических степеней свободы на электронные свойства андреевской квантовой точки в пределе бесконечной сверхпроводящей щели. Рассчитан заряд и ток при наличии кулоновского взаимодействия и взаимодействия с механическими модами. Обсуждается энтропия фон Неймана в контексте запутанности электронной и механической подсистем. Рассчитана деформация дублетной области, а также характеристики механических степеней свободы.

Заключение

.

1. В работе был детально изучен заряд андреевской квантовой точки. Было показано, что он локализован в области квантовой точки и непрерывным образом зависит от разницы фаз между сверхпроводниками. Были изучены флуктуации заряда за счет электрон-фононного взаимодействия и за счет флуктуаций потенциала затвора.

2. В данной задаче кулоновское взаимодействие может приводить к перестройке синглетного основного состояния в дублетное. В то время как в сингл етном состоянии течет джозефсоновский ток и заряд зависит от фазы, в дублетном состоянии бездиссипативный ток отсутствует, а заряд является целым. При увеличении зарядовой энергии «размер» дублетной области в координатах (</?,?D) увеличивается.

3. Предложена концепция нового прибора для измерения магнитного потока, где андреевская квантовая точка выступает в качестве рабочего элемента. Изучена его дифференциальная чувствительность. Оценки показывают, что теоретическая чувствительность прототипа не уступает чувствительности существующих СКВИДов. Было исследовано масштабирование эффекта в случае нескольких и в случае большого количества каналов. Показано, что влияние кулоновского взаимодействия в случае линейного спектра (в гра-фене) существенно слабее, чем в случае квадратичного спектра (в металле).

4. Изучена андреевская квантовая точка с наномеханическим элементом. Показано, что взаимодействие с механической степенью свободы уменьшает размер дублетной области, выступая, таким образом, как отрицательное кулоновское взаимодействие. В типичном случае при увеличении силы взаимодействия с механическим элементом, критический ток и максимальная чувствительность заряда к фазе падают, однако при некоторых параметрах могут и возрастать. Запутанность между электронной и механической степенями свободы была охарактеризована с помощью энтропии фон Неймана.

Публикации по теме диссертации.

1. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Continuously tunable charge in Andreev quantum dots // Phys. Rev. B. — 2007. — May. — Vol. 75, no. 19. — P. 195 334.

2. Sadovskyy I. A., Lesovik G. В., Blatter G. Magnetic flux detection with an Andreev quantum dot // Письма в ЖЭТФ. — 2007. — Т. 86. — С. 239.