Бурное развитие теоретической физики элементарных частиц в значительной мере обязано созданию квантовой теории поля [1], которая вначале с успехом объяснила электромагнитное взаимодействие, а дальнейшее обобщение на случай взаимодействия Янга-Миллса привело к созданию последовательной квантовой теории калибровочных полей. Однако, теория не давала хорошего объяснения некоторых вопросов, возникающих при изучении сильных взаимодействий. В качестве нового подхода была предложена теория струн. Замечательным оказалось то, что теория струн (и ее суперсимметричное расширение — теория суперструн) значительно сблизила теорию Янга-Миллса и квантово-полевую теорию гравитации. На сегодняшний день теория суперструн является наилучшим кандидатом на единую теорию фундаментальных взаимодействий.
Элементарная частица в теории струн рассматривается как возбуждение струны, а не как точечная частица [2, 3, 4]. Струна имеет много частот колебаний, и в связи с этим различные элементарные частицы интерпретируются как различные гармоники струны. В фейнмановские диаграммы обычной квантовой теории поля входят вершины взаимодействия, в которых частицы взаимодействуют точечным образом (см. Рис. 1а). В отличии от этого, взаимодействие струн (см. Рис. 16) не явА вр а) б).
Рис. 1: Вершина взаимодействия в квантовой теории поля а), и в теории струн б) ляется локальным.
Квантование релятивистской струны является нетривиальной задачей. Когда это было сделано в 70х годах, обнаружилось, что основное состояние замкнутой струны соответствует безмассовой частице спина 2, т. е. гравитону. Взаимодействие этих частиц (в длинноволновом режиме) в точности соответствовало предсказаниям общей теории относительности. Таким образом теория струн оказалась квантовой теорией гравитации! Напомним, что стандартный подход к квантованию не работает для общей теории относительности из-за ультрафиолетовых расходимостей. Ультрафиолетовые расходимости общей теории относительности исчезают если мы заменим частицу струной. Замена частицы струной приводит к размыванию вершины взаимодействия (см. Рис. 1), и благодаря этому исчезает сингулярность содержащаяся в вершине. Теория струн также содержит калибровочную симметрию: безмассовое состояние открытой струны является калибровочным полем.
К 1984 году было известно пять теорий струн, в которых струны обладают различными свойствами:
1. Туре НА и Туре ИВ теория суперструныв этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
2. Type I теория суперструнв этой теории струны являются открытыми или замкнутыми. Открытые струны несут электрический заряд на концах.
3. гетеротическая струна SO (32)/Z2 и Eg х Egв этой теории струны являются замкнутыми и ориентированными.
Другим важным отличием теории струн от локальной теории поля является следующее. Обычно в квантовой теории поля у нас есть свободные безразмерные параметры, такие как константа тонкой структуры e^/Aithc ~ 1/137, или отношение массы мюона к массе электрона Шц/тПе ~ 206.8, которые определяются из эксперимента. В основном эти параметры появляются в вершине взаимодействия (см. Рис 1), однако они исчезают при переходе к теории струн. В теории струн нет свободных параметров, вместо этого есть много скалярных полей ф1 (модулей), среднее которых и определяет значения е2/47тНс, тп^/те и др. Это означает, что, в принципе, постоянная тонкой структуры, отношение массы мюона к массе электрона и др. параметры могут быть вычислены путем минимизации энергии как функции от ф (. Другими словами, феноменологические параметры могут быть определены из теории.
Пять теорий суперструн упомянутых выше связаны между собой преобразованиями дуальности (см. Рис 2). На Рисунке 2 изображено пространство модулей теории струн. Преобразования дуальности действуют на этом пространстве, отображая одну теорию струн в другую. Дуальности в теории струн являются обобщением дуальности Montonen-Olive.
Type IIB.
Het Е"хЕ.
Het SO (32).
8″ 8.
Type I.
F Theory.
Рис. 2: Пространство модулей теории струн. в калибровочной теории. Изучение преобразований дуальности привело к открытию новых непертурбативных объектов в теории струн, D-бран.
В простейших случаях D-брана является геометрическим объектом. Например, рассмотрим конформную замкнутую струнную сг-модель с пространством-временем М, дилатоном Ф, метрикой g^ и «gerbe» связность Ъ^. D-брану в такой сг-модели можно представить как подмногообразие г: W М пространства-времени М на котором заканчивается открытая струна (на самом деле это только часть условий, дополнительные условия будут приведены ниже). Обозначим через X: Е —" М вложение мирового листа струны Ев М, тогда.
Таким образом jD-браны связаны с граничными условиями. Условие отсутствия аномалий в струнной сг-модели требует, чтобы квантовая теория имела конформную симметрию. Понятно, что не все граничные условия сохраняют конформную симметрию. Граничные условия, сохраняi*X (dЕ) е W. ющие конформную симметрию, называются конформными граничными условиями. Не всегда существует хорошее геометрическое D-браны, поэтому обычно под «D-браной» понимают локальное конформное граничное условие.
Более подробное описание граничного условия в струнной сг-модели определяется заданием топологического К-гомологического цикла [5], который состоит из вложения г: W М мирового объема D-браны W в пространство время М, выбора Spinс структуры на W (электромагнитов поле на бране), а также выбора комплексного векторного расслоения Е —> W по-модулю некоторых соотношений эквивалентности. На физическом языке это означает, что задана «D-брана, которая намотана на цикл W с расслоением Чана-Патона В». К сожалению данное описание не является точным, потому что я не определил какая именно /^-теория должна использоваться. Тем не мене имеется довольно много «экспериментальных фактов», говорящих что в тех случаях, в которых мы можем классифицировать конформные граничные условия, они классифицируются с помощью некоторой /С-теории (смотри параграфы 1,2 в обзоре [6]).
Один из возможных подходов к классификации граничных условий в наиболее общей струнной <�т-модели заключается в том, что мы должны построить некоторую алгебраическую if-теорию вертексной алгебры открытой струны. Надежда построения такой теории [6] связана в первую очередь с недавним прогрессом в понимании структуры Витен-новской кубической полевой теории открытых струн [7, 8]. Кубическая полевая теория открытых бозонных струн была сформулирована Эдвардом Виттеным в 1987 году [9]. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается «топологическим действием» типа Черна-Саймонса на некоторой бесконечно мерной ассоциативной некоммутативной алгебре. Непосредственное обобщение этого действия на случай суперструны имеет трудности, так как неправильно воспроизводятся амплитуды рассеяния уже на древесном уровне. Эти трудности были преодолены, и было построено кубическое действие полевой теории суперструн, независимо И. Я. Арефьевой, А. Зубаревым, П. Б. Медведевым [10] и С. Preitschopf, С. Thorn, S. Yost [И].
Решения классического уравнения движения полевой теории струн, по-видимому, находятся в соответствии с различными конформными граничными условиями. Недавно A. Sen [12] предложил интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной D-браны, к которой прикреплены концы струны. В рамках этого предположения вакуумная энергия открытой бозонной струны в непертурбативном вакууме, должна компенсировать натяжение нестабильной D-браны: разность энергий в непертурбативном и пертурбативном вакуумах должна быть равна натяжению нестабильной D-браны. Подтверждением этой гипотезы являются произведенные A. Sen, L. Rastelli и В. Zwiebach [7] для бозонной струны и И. Я. Арефьевой, Д. М. Беловым, А. С. Кошелевым и П. Б. Медведевым [13] для фермионной струны численные расчеты, а также последние работы A. Sen о скатывающемся тахионе [14]. Эта гипотеза стимулировала интерес к изучению полевой теории струн.
Диссертационная работа имеет следующую структуру. Глава 1 посвящена формулировке полевой теории открытых струн и постановки задачи.
В параграфе 1 дается краткое введение в теорию открытой бозонной струны. Вводятся понятия конформного тензора энергии-импульса, конформных духов и БРСТ заряда. В теории открытой струны необходимо накладывать граничные условия на поле материи XfJ,(z, z) при z = z. В дальнейшем мы будем считать, что z принадлежат верхней полуплоскости, а вещественная ось — является границей. Требование сохранения конформной инвариантности накладывает следующую связь между компонентами конформного тензора энергии-импульса Т (х) = Т (х) для х? К. Граничные условия на Xм, которые удовлетворяют этому соотношению, называются конформными граничными условиями. Спектр теории описывается в терминах когомологии H (QB,^ri) БРСТ заряда в пространстве Фока с духовым числом +1. Особое внимание обращается на универсальность данной конструкции, а именно, на то что конструкция БРСТ заряда не зависит от выбора конформного граничного условия. Однако пространство зависит от выбора граничных условий.
В параграфе 2 формулируется кубическая полевая теория открытых струн. Эта теория задается следующим действием.
Здесь, А является элементов ассоциативной некоммутативной Z-градуированной алгебры srf с умножением *, Q является оператором дифференцирования на этой алгебре, и f определяется как С-линейное отображение из д/ в С. Действие (1.21) является обобщением действия Черна-Саймонса на трехмерном многообразии.
Элементы я/,*,/, определяющие действие, должны удовлетворять.
S (A) = -1.
Уо.
Ua*qa+U.
А*А*А .
1) свойствам:
1. ассоциативность: а * (6 * с) = (а * Ь) * с.
2. Z-градуировка gh (духовое число): я/ = ^^ д/g and srfg * С &fg+gl д£ Ъ.
В частности, з/q является подалгеброй, а для д Е Z являются левыми (правыми) модулями алгебры.
3. Оператором дифференцирования называется отображение Q : — •c^+i, имеющее духовое число +1, обладающее свойством нильпотентности Q2 — 0, и удовлетворяющее правилу Лейбница.
4. Интеграл f является линейным отображением ?/ to С, таким что f, а = 0 если, а имеет духовое число отличное от +3. Кроме того мы должны потребовать, что для всех, а и Ъ из srf выполняются соотношения.
Действие (1.21) инвариантно относительно малых калибровочных преобразований, А А + V^A, где 7лЛ = QA + Л*Л-Л* Л и Л G 4-Вариация действия по, А дает следующие уравнения движения.
Q{a * Ъ) = (Qa) * Ь + * (Qb).
QA + А * А = 0.
2).
Заметим, что линеаризованное уравнение движения Qa = 0 вместе с линеаризованными калибровочными преобразованиями ана + QA эквивалентно утверждению, что [а] € Hl{Q). Это означает, что решения линеаризованных уравнений движения описывают спектр физических состояний струны.
Эти абстрактные аксиомы могут реализованы в теории струн. Естественным кандидатом на Q является БРСТ заряд Qb.
Струнное умножение.
Теперь мы должны построить ассоциативное умножение открытых струн Это совсем нетривиальная задача. Она была решена Витенном в 1986. Для начала необходимо забыть про репараметризационную инвариантность струны (точнее заменить ее на требование БРСТ инвариантности), и выбрать на открытой струне точку — центр струны М:
Теперь каждая струна S имеет левую половину Sl и правую половину Sr. Будем обозначать струну S парой (Si, SR). Грубо говоря, искомое умножение определяется как (SL, SR) * (TL, TR) = (SL, TR)6(SR — TL). Особенностью данного умножение является то, что оно по-крайней мере наивно ассоциативно: Не сложно сделать эту идею точной. Надо всего м лишь заполнить былые области на рисунке струнным мировым листом и интерпретировать этот рисунок как iV-точечную корреляционную функцию на поверхности Ем с границей. В дальнейшем поверхность Ejv мы будем называть iV-клином:
— м.
Из этого рисунка легко видеть, что поверхность Едг может быть получена склейкой N карт (с углом) {W/}/=i,., jv. Каждая карта Ui представляет собой бесконечную полосу [0,7г] xlc удаленной полуосью{7г/2} х R+: ст=я а-л/2 ст= О.
С помощью конформного преобразования 2 = ет+гсг мы можем отобразить полосу в верхнюю полуплоскость с разрезом [г, гоо): м ^.
U.
Функции склейки на пересечениях Ui П Ui+i — {Re zj > 0} = {Re zj+i < 0} задаются соотношением zizi+i = — 1.
Теперь нам необходимо найти корреляционную функцию скалярного поля на SyvДля этого необходимо ввести метрику на ЕдтВ каждой карте Ui можно выбрать плоскую метрику ds] = dzidzi. Метрика на Eyv получается стандартным образом из метрик на картах. Из рисунка на предыдущей странице очевидно, что метрика на Е^ не является плоской, в точке М имеется коническая сингулярность с избытком угла tt (N — 2). Двух точечная корреляционная функция скалярных полей.
X (z, z) X (w, u-))е&bdquoна Siv является решением уравнения Лапласа с Неймановскими граничными условиями на дЕдгЕсть хорошо известный трюк решения уравнения Лапласа на сложной области: нужно найти (сингулярное) отображение Iin (z), которое переведет 2дг в верхнюю полуплоскость. Это отображение сингулярно, потому что оно меняет угол 7tN в точке М в угол 27 Г. Таким образом нормированная двухточечная корреляционная функция задается.
X^Xjiz'^h" = -jbglh^-hjiz')]2, (3) где Xi := Xut обозначает ограничение скалярного поля X определенного на E/v на карту Ui. Отображения {hi} определяется как hi (z) = Po{ellpIhM)(z), ipi = jf (aN — -О" и число ам выбрано так чтобы все углы jv лежали в интервале (—7Г, 7г],.
2/" и PM = i? f (4).
Теперь мы можем дать точное определение струнного умножения. Для этого удобно ввести iV-струнные вертексы (Улг| и дуальные вертексы | Улг). ЛГ-вертекс является мультилинейным отображением из №и степени пространства Фока состояний струны в комплексные числа and С. (5).
Напомним, что в двумерной квантовой теории поля имеется очень специальное соответствие между состояниями и операторами: каждому оператору 0(z, z) можно поставить в соответствие состояние |О) := lim^o @(z, z) |0). Обратное тоже верно: для каждого состояния | О) существует оператор 0(z, z), который порождает это состояние как описано выше. Таким образом мы можем однозначно определить.
1 .N (VN (|0I) ® • ¦ • ® |On)) := ^.
Вертексы и дуальные вертексы не являются независимыми, а связаны соотношениями.
VN)L.jv = V. N'(V/vI (|^2)i'i • • • ® |V2>ww) l. Jv (V)v| = (п'(И>| <8> • • • <8> MNT’O^QIWi'.-JV'.
Струнное умножение * теперь можно определить как а) * ДО)!, := 12з (^з|(|а>2 ® |Ь)з ® V2) iv). (7).
Кроме умножения вертекс | V3) определяет также и коумножение..
Ассоциативность струнного умножение * означает, что вертексы должны удовлетворять бесконечному числу уравнений типа: шШ ® 45б (^з|) V2) u = 1256(^4(8).
Несмотря на то, что струнная теория поля была сформулирована в 1986, до 2003 г. не существовало аналитического доказательства ассоциативности струнного умножения [15]. Более того имелись утверждения, что ассоциативность нарушается аномалиями. В работе [15] я доказал, что все соотношения типа (1.28) выполняются. Доказательство ассоциативности является главным результатом диссертации..
Глава 2 посвящена изучению струнного умножения..
В параграфе 2.1 приведены необходимые сведения о группе 51/(2, Ж). Рассматриваются представления из главной дискретной серии Вводятся два базиса: дискретный, диагонализирующий оператор Lq, m, s)(z) = N$zm, где N.
