Несмотря на прошедшие уже более ста лет с момента создания Дж. У. Гиббсом [1] классической равновесной статистической механики, многие ее задачи по-прежнему остаются актуальными для теоретической и математической физики, поскольку они или не поддаются точному решению, или вообще не имеют достаточно ясной и общепризнанной постановки.
К числу задач первого типа относится построение статистической механики идеального газа частиц с зависящей только от импульсов релятивистской функцией Гамильтона (законом дисперсии) во всем интервале значений импульсов, а к числу задач второго типа вычисление равновесных флуктуаций давления в рамках общего подхода Гиббса, причем обе задачи весьма актуальны и рассмотрены нами в данной диссертации.
Основная цель исследований, проведенных в настоящей диссертации, состоит в том, чтобы построить регулярную теорию возмущений для основных термодинамических величин классического релятивистского идеального газа в области как низких температур (но превышающих температуру квантового вырождения) в нерелятивистской области импульсов, так и высоких температур соответственно, в ультрарелятивистской области импульсов.
Знание термодинамических свойств релятивистских газов необходимо для ряда практических приложений, прежде всего применительно к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий. Кроме того, эти результаты актуальны для релятивистской ядерной физики например, при анализе термодинамической устойчивости фаейерболов, «адронных мешков» и т. п. феноменологических моделей. Наконец, поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур необходимы при анализе физических свойств идеального газа легких (но принципиально не безмассовых) частиц например, некоторых видов нейтрино. к.
Проблема флуктуаций в физических системах в состоянии теплового равновесия приобрела значительную актуальность в связи с активным изучением мезои микроскопических систем и разработке на их основе на-нотехнологий. Знание флуктуаций дает основу для изучения термодинамической устойчивости этих систем как тепловой, так и механической. Особый интерес представляют весьма мало изученные флуктуации давления (ФД), определяющие — наряду с флуктуациями энергии — термодинамическую устойчивость любой физической системы, объем которой ограничен извне твердыми стенками.
Длительное время проблема вычисления флуктуаций давления не имела последовательного решения в рамках подхода Гиббса или нуждалась в привлечении каких-либо дополнительных предположений. Трудности изучения флуктуаций давления обусловлены тем, что сопряженный им термодинамический параметр — объем (также способный к флуктуациям) сложным нелинейным образом входит в функцию Гамильтона системы. Ряд имеющихся в литературе попыток, предпринятых известными физиками (Фаулер [5], Вергеланд [6], Клейн [7], Мюнстер [4], Терлецкий [2]), не привел к успеху даже в простейшем случае классического нерелятивистского идеального газа.
В соответствии с перечисленными общими проблемами, в диссертации были поставлены следующие конкретные задачи:
1. Получение динамических уравнений состояния для динамического давления и динамической сжимаемости для классического релятивистского идеального газа.
2. Выявление особенностей этих уравнений состояния в предельных случаях однородных (в смысле Эйлера) выражений для функции Гамильтона.
3. Получение термодинамических уравнений состояния классического релятивистского идеального газа на основе общего вида статистической суммы.
4. Получение регулярных низкотемпературных (нерелятивистских) и высокотемпературных (ультрарелятивистских) разложений для термодинамических средних величин и их флуктуаций.
5. Анализ влияния деформации закона дисперсии свободных релятивистских частиц за счет не-лоренцевских слагаемых на термодинамические свойства идеального газа этих частиц.
В соответствии с перечисленными выше целями и задачами диссертация построена следующим образом. В главе 1 кратко формулируются основные элементы метода статистической механики Гиббса, причем особый акцент сделан на вычисление не только средних значений, но и флуктуаций основных динамических величин (раздел 1.2). В разделе 1.3 изложены трудности, связанные с имевшимися ранее в литературе попытками нахождения флуктуаций давления.
Особое внимание уделяется корректному введению в метод Гиббса квазидинамических понятий объема, давления и сжимаемости (раздел 1.4), которое опирается на идеи метода квазисредних Боголюбова [8] (его краткое описание дано в Приложении 1).
В главе 2 приведена обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [10] (доказательство, полученное в работе Рудого и Суханова [3], находится в Приложении 2) и дано ее приложение к получению динамических уравнений состояний для классического релятивистского идеального газа (КРИГ)(раздел 2.3), а также дан анализ предельных случаев, соответствующих однородным (в смысле Эйлера) законам дисперсии (раздел 2.2). Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [3, 8, 10] позволяет получить выражение для динамического давления и его флуктуаций через первые и вторые производные от функции Гамильтона. Поэтому при вычислении температурных средних значений этих величин удается в противоположность высказанному ранее мнению ряда авторитетных исследователей [2, 4, 5, 6] полностью оставаться в рамках канонического подхода Гиббса.
Глава 3 посвящена получению термодинамических уравнений состояния, или равновесных средних значений динамических величин, а также их флуктуаций как в общем виде, так и конкретно для КРИГ в предельных однородных случаях (раздел 3.2.2) и в общем неоднородном случае (раздел 3.2.1). В разделах 3.1 и 3.2 рассмотрены наиболее важные и употребительные виды уравнений состояния (УС) для классического идеального газа с произвольным законом дисперсии.
Наряду со средними значениями внутренней энергии и давления релятивистского газа в диссертации рассмотрены (раздел 3.2) также и флуктуации этих величин: теплоемкость при постоянном объеме и средняя динамическая сжимаемость, причем последняя величина получена нами для КРИГ впервые. Существенно, что средняя сжимаемость относится к числу так называемых нетермодинамических средних, которые в отличие от обычных средних не могут быть получены посредством дифференцирования найденной для системы статистической суммы и требуют специального вычисления.
В разделе 3.1 показано, что термическое УС всегда имеет вид уравнения Клапейрона—Менделеева и устанавливает линейную связь между давлением и температурой. Показано также, что в отличие от термического УС калорическое и барокалорическое УС устанавливают линейную связь между внутренней энергией и температурой (и, соответственно, давлением и внутренней энергией) только в предельных случаях однородного (в смысле Эйлера) вида зависящей только от импульсов функции Гамильтона. В разделе 3.3.1 все полученные термодинамические соотношения конкретизируются для случая КРИГ, а в разделе 3.3.2 приведены точные формулы, удобные для построения низкотемпературных разложений.
В главе 4 на основе общих выражений, полученных в главе 3, построены низкои высокотемпературные разложения (разделы 4.1 и 4.2) для термических и калорических величин, а также для их равновесных тепловых флуктуаций. По аналогии с обычным, или фиксированным, показателем однородности для закона дисперсии, в диссертации введено и использовано (раздел 4.3) понятие эффективного, или зависящего от температуры, показателя однородности. Это понятие позволяет интерполировать барокалорическое уравнения состояния КРИГ в промежуточную область температур, сохраняя его привычный квазилинейный вид. Кроме того, эффективный показатель однородности оказывается весьма простым образом связан с теплоемкостью КРИГ и потому может быть определен экспериментально.
Важное значение для построения статистической механики КРИГ имеет раздел 4.4, где для КРИГ строится «двухтемпературное» разложениеоно обусловлено появлением в теории свободного квантового поля дополнительного энергетического (и, следовательно, температурного) параметра, который описывает возможное нарушение лоренц-инвариантности указанной теории. Ранее неизвестным в литературе является проведенный в разделе 4.4 анализ термодинамических следствий «деформации» обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых.
Предполагаемое (см., например, [21−23]) нарушение лоренц-симметрии очень мало, поскольку оно определяется отношением энергии частицы к энергии Планка. Однако, как показано в диссертации (разделы 4.4.3), это нарушение может оказывать влияние на термодинамические свойства газа при значительно меньших (по сравнению с планковскими) энергиях и температурах. В частности, этим обстоятельством обусловлены возможные практические приложения полученных в диссертации результатов (разделы 4.4.4), прежде всего к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий.
Аналогично, барокалорическое уравнение с эффективным показателем однородности может найти применение в ряде космологических моделей в рамках общерелятивистских теорий гравитации. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы в релятивистской ядерной физике например, при анализе термодинамической устойчивости фаейер-болов, «адронных мешков» и т. п. феноменологических моделей.
Наконец, рассчитанные в диссертации поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур (с учетом также не-лоренцевских слагаемых) могут быть полезны при анализе физических свойств идеального газа легких, в том числе безмассовых, частиц например, фотонов и различных видов нейтрино.
Основные результаты работы доложены на трех Всероссийских конференциях по проблемам математики, физики и химии (физические секции) (Москва, РУДН, 2005;2007 годы), на научных семинарах на кафедре теоретической физики РУДН. Также эти результаты приняты в качестве доклада на IX Международной конференции ФССО-07. Секция «Профессиональное физическое образование». 2007, 4−8 июня. Санкт-Петербург, РПГУ им. А. И. Герцена.
Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка научных публикаций автора и цитируемой литературы, а также трех приложений.
выводы.
В заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертации:
1. На основе общего подхода статистической механики Гиббса и метода квазисредних Боголюбова проведено комплексное исследование динамических и термодинамических свойств классического идеального релятивистского газа и выявлены характерные особенности, отличающие его от нерелятивистского случая.
2. Получены общие выражения для основных термодинамических величин давления и внутренней энергии, а также для равновесных флук-туаций этих величин, причем впервые в литературе для флуктуаций давления.
3. Впервые получено обобщение уравнения состояния, связывающего термодинамическое давление и внутреннюю энергию, посредством введения зависящего от температуры эффективного показателя однородности.
4. Впервые рассмотрены термодинамические следствия, к которым приводит деформация обычного релятивистского закона дисперсии свободных частиц за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых.
5. Впервые получена зависимость всех термодинамических величин классического идеального релятивистского газа от произвольного числа трансляционных степеней свободы частицы. on.
Научная новизна.
Научная новизна диссертационной работы определяется следующими положениями:
1. Впервые в рамках общего подхода статистической механики Гиббса на основе метода квазисредних Боголюбова и обобщенной теоремы Боголюбова—Зубарева получены и исследованы динамические уравнения состояния, связывающие функцию Гамильтона классического релятивистского идеального газа с его динамическим давлением и динамической сжимаемостью.
2. Показано, что, в отличие от ранее известного случая классического нерелятивистского идеального газа, в общем случае нарушается прямая пропорциональность между давлением и сжимаемостью, с одной стороны, и зависящей от импульсов части функции Гамильтона с другой, что связано с нарушением однородности (в смысле Эйлера) функции Гамильтона в промежуточной области значений импульсов.
3. Показано, что в ультрарелятивистской области указанная однородность и пропорциональность восстанавливаются и введено понятие эффективного (зависящего от импульса) показателя однородности.
4. Получены и исследованы в общем виде точные выражения для термодинамических уравнений состояния, а также получены регулярные разложения в низкои высокотемпературных областях для основных термодинамических величин, в том числе равновесных флуктуаций давления такого газа, которые также впервые найдены в диссертации.
5. Проведен анализ термодинамических следствий деформации обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых, обусловленных наличием максимальной, или планковской, энергии. Предсказана принципиальная возможность наблюдения соответствующих явлений при температурах значительно ниже планковской.
Научная и практическая ценность.
Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять связь функции Гамильтона системы с ее термодинамическими свойствами в рамках статистической механики Гиббса. Приводится новый простой метод по отысканию выражений для флуктуаций давления для сингулярного потенциала отталкивания стенок. Большинство существующих работ аппроксимируют этот потенциал с помощью регулярных функций, и в рамках этих аппроксимаций совершаются предельные переходы. В настоящей работе не делаются аппроксимации и результаты достигаются с помощью строгого математического аппарата обобщенных функций.
Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных в области космических лучей сверхвысоких энергий, космологических сценариев, релятивистской ядерной физики, а также физики массивных нейтрино.
