Математическое моделирование и исследование динамики внутреннего пути свертывания крови

Система гемостаза, представляющая собой сложный многоступенчатый процесс, позволяет организму осуществлять остановку кровотечения и восстановление нормального кровотока. Схематически процесс гемостаза выглядит следующим образом [1,42]. При повреждении стенки сосуда первым этапом работы системы гемостаза является сужение сосуда. Второй этап — закупорка поврежденного участка с помощью тромбоцитарной пробки, которая является достаточно рыхлым образованием и непроницаема только для клеток крови. Окончательная остановка кровотечения происходит в’ходе вторичного гемостаза, когда включается ферментативная система свертывания. В результате ее работы образуется полимер белкафибрина, который плотно изолирует место повреждения стенки сосуда.

С биохимической точки зрения ферментативная система свертывания крови представляет собой каскад протеолитических реакций, охваченный петлями положительных и отрицательных обратных связей. В процессе работы коагуляционного каскада продукт каждой реакции является катализатором для следующей реакции [52]. Таким образом достигается усиление слабого инициирующего сигнала. Этот каскад реакций активации заканчивается образованием тромбина, фермента, являющегося ключевым для образования фибринового сгустка [56]. Эффективность свертывания обеспечивается «взрывной» кинетикой образования тромбина, которая достигается включением мощных положительных обратных связей. Положительные обратные связи возникают, когда в системе уже существует тромбин, который способен активировать так называемые кофакторы. Соответствующие активные факторы каскада связываются с активированными кофакторами в ферментативные комплексы, которые, в свою очередь, выступают в роли каталитических ферментов для реакций основного каскада. При этом известно [13, 40], что тромбин, помимо кофакторов, активирует также белок плазмы — протеин С. Активированный протеин С осуществляет отрицательную обратную связь в ферментативной системе свертывания, расщепляя два главных кофактора каскада [27,33], и препятствуя, тем самым, образованию ферментативных комплексов. Таким образом, в системе гемостаза заложен механизм торможения роста тромба.

Большое количество ферментов, участвующих в процессе свертывания, наличие петель положительных и отрицательных обратных связей приводит к необходимости построения математических моделей, описывающих гомогенную кинетику процесса свертывания.

Анализ литературных данных показал, что теоретические исследования системы свертывания в гомогенных системах посвящены в основном исследованиям ее пороговых свойств. С точки зрения качественной теории дифференциальных уравнений пороговое поведение системы означает, в частности, наличие бифуркации при некоторых значениях параметров системы уравнений. Цель работы.

Построение математической модели свертывания крови, основанной на современных биохимических представленияхтеоретическое исследование кинетики свертывания крови при активации по внутреннему пути и анализ влияния основных биохимических параметров на качественное поведение системы свертывания с помощью построенной модели. Задачи исследования.

1. Построить математическую модель внутреннего пути свертывания крови, основанную на современных молекулярных представлениях о природе процесса.

2. Провести варьирование параметров модели в пределах их экспериментальной неопределенности с целью добиться количественного соответствия с экспериментальными данными.

3. Провести анализ полученной многомерной нелинейной системы дифференциальных уравнений с целью выявления в ней быстрых и медленных переменных. Учитывая временную иерархию построенной модели, свести ее к системе уравнений меньшего порядка и провести детальное исследование редуцированной системы.

Научная новизна работы.

Впервые построена математическая модель свертывания крови, основанная на современных молекулярных представлениях о природе процесса, и количественно описывающая существующие экспериментальные данные in vitro. Модель представляет собой систему восьми нелинейных дифференциальных уравнений. Показано, что характерные времена достижения квазистационарных концентраций для разных переменных системы различаются на несколько порядков. В результате система уравнений, описывающих свертывание, порождает три системы меньшего порядка, а переменные делятся на три группы: сверхбыстрые, быстрые и медленные.

Установлено, что системы сверхбыстрых и быстрых переменных имеют единственное устойчивое стационарное состояние при всех биохимически осмысленных концентрациях переменных. Показано, что в системе медленных переменных в зависимости от параметров могут существовать различные динамические режимы. В частности, найдены устойчивые стационарные решения, соответствующие «жидкому» или «свернувшемуся» состояниям плазмы кровив некоторой области изменения параметров эти стационарные решения сосуществуют. Найдены также решения, описывающие колебательные режимы свертывания крови. Исследованы изменения параметров, приводящие к смене динамических режимов.

Научно-практическое значение работы.

Полученные результаты позволяют лучше понять природу основных нарушений свертывания крови, приводящих к тяжелым патологиям. Например, синдром диссеминированного внутрисосудистого свертывания, согласно модели, возникает, когда параметры сдвигаются так, что система свертывания впадает в автоколебательный режим. В модели такой режим возникает при сильной активации системы в сочетании со сниженной концентрацией Са. Экспериментальная проверка подобных предсказаний модели позволит глубже понять природу некоторых патологических процессов и разработать новые методы их лечения.

Результаты работы используются в экспериментальных исследованиях, проводимых в Гематологическом научном центре (ГНЦ) РАМН. Работа также может представлять интерес для исследователей, занимающихся вопросами нелинейной динамики.

Положения, выносимые на защиту:

1. Гомогенная кинетика свертывания плазмы крови in vitro может быть описана системой восьми обыкновенных дифференциальных уравнений. Переменными модели являются концентрации основных веществ, участвующих в процессе свертывания. Результаты вычислений, выполненных с помощью построенной модели, хорошо согласуются с рядом экспериментальных данных.

2. Модель описывает процессы, происходящие с резко различными характерными временами. Это позволяет для изучения хода процесса свертывания на больших временах использовать редуцированные системы из меньшего числа уравнений, полученные методом квазистационарных концентраций.

3. В редуцированной модели, в зависимости от параметров, существуют различные динамические режимы: устойчивые стационарные решения, соответствующие «жидкому» и свернувшемуся" состояниям плазмы и периодические решения, соответствующие автоколебательному режиму свертывания. В широком диапазоне изменения параметров в системе наблюдается бистабильность двух типов: сосуществование двух устойчивых особых точек или сосуществование устойчивых особой точки и предельного цикла.

выводы.

1. Построена математическая модель свертывания крови, основанная на современных представлениях о молекулярных процессах, протекающих в ходе образования тромба. Модель состоит из восьми обыкновенных дифференциальных уравнений и количественно хорошо описывает гомогенную кинетику свертывания плазмы крови in vitro.

2. Анализ модели показал, что для системы свертывания характерны три масштаба времени: за времена порядка долей секунды достигаются квазистационарные состояния двух каталитических комплексов факторов свертывания — теназы и протромбиназы. Времена порядка секунд характерны для более медленных переменных. Система самых медленных движений включает в себя концентрации тромбина, фактора Ха, и протеина С, которые изменяются с характерными временами порядка минут.

3. На основании выявленной иерархии времен осуществлена редукция полной системы уравнений и получена система трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которая довольно хорошо описывает экспериментальные данные и сохраняет все основные черты исходной модели на временах порядка минут и более.

4. Исследование редуцированной системы показало, что в редуцированной модели в зависимости от параметров могут существовать различные динамические режимы: устойчивые стационарные состояния, соответствующие «жидкому» и «свернувшемуся» состояниям крови, автоколебательный режим свертывания, бистабильность двух типов — сосуществование «жидкого и «свернувшегося» состояния при одних и тех же значениях параметров, и сосуществование устойчивого стационарного состояния с автоколебательным режимом. Для бистабильных режимов в широком диапазоне параметров наблюдается гистерезис. Найдены границы областей существования различных режимов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Фазоилу Иноятовичу Атауллаханову, за внимание, поддержку и помощь в работе. Автор благодарит научного консультанта профессора Эммануила Эльевича Шноля за неоценимую помощь, оказанную при подготовке диссертации и критические замечания. Выражаю признательность директору ИМПБ РАН д.ф.-м.н. Виктору Дмитриевичу Лахно за содействие подготовке работы. Автор также благодарит сотрудницу лаборатории физической биохимии ГНЦ РАМН Александру Валерьевну Похилко за предоставленный экспериментальный материал и совместную работу. Выражаю благодарность также другим сотрудникам лаборатории физической биохимии крови ГНЦ РАМН за оказанную помощь и содержательные обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации исследованы фазовые портреты нелинейной трехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в различных областях трехмерного пространства параметров. В пространстве параметров были выделены области, в которых реализуются различные типы поведения системы и построены соответствующие фазовые портреты. Для этого была рассмотрена имитационная математическая модель внутреннего пути свертывания крови из восьми обыкновенных дифференциальных уравнений и осуществлена ее редукция до трех уравнений.

При построении модели учтены реакции ферментативного каскада, в том числе активация факторов X и II в прямом каскаде, две петли обратных связей через активацию кофакторов тромбином, одна отрицательная обратная связь через активацию протеина С тромбином с последующей инактивацией кофакторов. Кроме того, в модель были введены уравнения, описывающие кинетику ферментативных комплексов — теназы протромбиназы. Поэтому предложенная модель объединяет все ранее предпринятые попытки теоретического исследования системы свертывания. Еще одним важным отличием рассмотренной модели от предложенных ранее является предположение о том, что концентрация кальция в системе имеет решающее значение на стадии сборки ферментативных комплексов (а не активации факторов X и II). Поэтому в рассмотренной модели S-образная зависимость от концентрации кальция включена в константы скорости сборки теназы и протромбиназы.

В Главе 2, при верификации модели, нами подбирались кинетические константы скорости активации кофакторов V и VIII с целью достижения наилучшего согласия с экспериментальными кинетическими кривыми, полученными Похилко А. В. [75, 76]. Проведенный анализ показал, что достаточно хорошее согласие с экспериментом достигается при двух наборах констант активации кофакторов, при этом каждому набору соответствует своя функция зависимости от концентрации кальция. Следует отметить, что оба набора констант характеризуются большой разницей между величинами активации кофакторов. Т. е. если скорость активации кофактора V порядка 2 мин,'1 то в этом случае скорость активации кофактора VIII должна быть меньше в 10 000 раз. Если же скорость активации кофактора V мала, то возрастает скорость активации кофактора VIII и петля обратной связи через кофактор VIII становится сильнее, чем через пятый.

Построенная в главе 2 модель демонстрирует пороговое поведение в зависимости от концентрации кальция в системе, которое качественно и количественно соответствует экспериментальным данным [75, 76]. Следует отметить, что верификация модели производилась по кинетике тромбина на начальном этапе свертывания, т. е. при выключенной отрицательной обратной связи. В этом случае, при переходе концентрации кальция через критическое значение, в системе наблюдается экспоненциальный рост концентраций всех ферментов. При включении отрицательной обратной связи через активацию протеина С тромбином при переходе концентрации кальция через критическое значение, в системе наблюдается колебательный режим. Это означает, что при включении отрицательной обратной связи в системе меняется характер бифуркации особой точки системы.

При осуществлении редукции системы использовался тот факт, что ферментативные реакции проходят с существенно различными скоростями. Анализ литературных данных показал, что предпринятые ранее попытки редукции систем подобного рода, основанные на имперических соображениях, в целом, соответствуют полученным в настоящей работе результатам. Существенным отличием редуцированной системы, рассмотренной в настоящей работе, является ее трехмерность. Анализ трехмерной редуцированной системы позволил высказать гипотезу о том, что она, имеет притягивающую двумерную инвариантную поверхность, в которой лежат ее особые точки и предельные циклы. При начальных данных вне этой поверхности, траектории стремятся к одному из аттракторов (точке или циклу), лежащих на этой поверхности. Это, по-видимому, означает, что реально система медленных движений квазидвумерна, и что истинные две медленные переменные являются не концентрациями факторов, а их комбинациями.

При исследовании пространства параметров системы были найдены границы областей параметрического пространства, внутри которых реализуются различные типы поведения системы. На границах областей происходят соответствующие изменения характера особых точек системы.

В работе показано, что в широком диапазоне значений параметров в фазовом пространстве системы существует устойчивый предельный цикл, что подтверждает результаты, полученные в работе [78].

Было показано, что в широком диапазоне параметров в системе существует область, в которой система имеет три особые точки. В этом случае возможна ситуация, когда в системе наблюдается бистабильность. Т. е. в зависимости от начальных концентраций ферментов система может приходить в одно из двух устойчивых стационарных состояний. В системе также найден другой тип бистабильности: в системе существует два аттрактора: устойчивая особая точка и устойчивый предельный цикл, разделенные неустойчивым предельным циклом. Тогда в зависимости от начальных данных траектории системы либо приходят в устойчивое стационарное состояние, либо в системе наблюдаются колебания.

Кроме того возможна ситуация, когда при наличии в системе трех особых точек только одна из них является устойчивой. В этом случае система зависимости от начальных концентраций ферментов может приходить в устойчивое стационарное состояние двумя качественно различными способами: в одном случае это происходит монотонно, в другом — наблюдается импульсный рост концентраций ферментов, после чего система приходит в устойчивое стационарное состояние.