Влияние магнитного трения на динамику твердого тела в неконтактном подвесе

Одно из интенсивно развивающихся направлений современной техники связано с созданием и совершенствованием неконтактных подвесов, область применения которых непрерывно расширяется. Актуальность работы обусловлена развитием теории и технологии неконтактного подвешивания твердых тел в электрических и магнитных полях Дальнейшее развитие таких технологий невозможно без исследования влияния магнитного трения на динамику левитирующего тела. Под магнитным трением в работе понимаются процессы диссипации энергии при относительном движении твердого тела и источников магнитного поля в неконтактном подвесе. Магнитное трение вызывается вихревыми токами в проводящем материале твердого тела, гистерезисными явлениями в ферромагнитных материалах и сверхпроводниках.

Терминология. Преодоление силы притяжения Земли издавна является мечтой человечества. Свободное движение твердого тела без механического контакта с окружающими телами получило название левитации [153, 222, 236]. Техническая реализация этой идеи связана с разработкой неконтактных подвесов. Название «неконтактный подвес» будем использовать для обозначения устройств, где механическое взаимодействие между опорой и ротором заменяется силовым действием электрического или магнитного поля, которое обеспечивает левитацию подвижного тела. Известно, что согласно теореме Ирншоу и обобщению Браунбека в статической системе в вакууме можно осуществить устойчивый подвес лишь диамагнитных и сверхпроводящих тел. В работе рассматриваются магнитный, электродинамический, электростатический и сверхпроводящий подвесы.

В магнитном подвесе для обеспечения устойчивости положения равновесия тела в силовом поле используется система автоматического управления током электромагнитов (так называемый активный магнитный подвес). Другой путь — это подвес в переменном поле, устойчивость достигается специальной настройкой резонансных контуров, частоты которых изменяются при смещении тела из положения равновесия (магниторезонансный подвес) [172].

Электродинамический подвес основан на взаимодействии поля индуцированных токов в проводящем материале с исходным полем источника. В электростатических опорах твердое тело находится в регулируемом электрическом поле. В сверхпроводящих левитация обусловлена эффектом Мейс-снера (тела в сверхпроводящем состоянии, помещенные во внешнее магнитное поле, становятся диамагнитными).

Неконтактные опоры без механического взаимодействия между движущимися телами позволяют исключить механическое трение и приблизиться к «идеальной опоре» с существенно меньшими, по сравнению с подшипниками качения и скольжения, потерями энергии. Тем не менее, в неконтактных подвесах присутствует магнитное трение, которое оказывает существенное влияние на динамику твердого тела в магнитном поле.

Термин «магнитное трение» начал широко использоваться в конце 80-х годов XX века. Он возник по аналогии с принятой в технике терминологией. Дело в том, что одна из классификаций подшипников основана на характеристиках трения, а именно: подшипники качения — трение качения, скольжения — трение скольжения. Для обозначения диссипативных процессов в магнитных подшипниках и неконтактных опорах, стал применяться термин «магнитное трение» [219].

Область применения неконтактных опор. Кратко остановимся на использовании неконтактных подвесов в современной технике. По этому вопросу имеется весьма обширный обзор [236], но в нем оказались практически не затронутыми российские работы по этой проблеме. Различные области применения подвесов отражены в монографиях [58, 190, 147]. Остановимся на некоторых работах, выполненных за последние несколько десятилетий, в основном, российскими исследователями, которые не вошли в перечисленные обзоры.

Технология левитации во многом стала реальностью благодаря разработке чувствительных датчиков систем инерциальной навигации. Низкий уровень возмущающих моментов, действующих на чувствительный элемент, открывает широкие возможности для неконтактного подвешивания при создании прецизионных приборов различных типов: гироскопов, гирокомпасов, градиентометров [174].

Неконтактный гироскоп имеет ряд преимуществ по сравнению с другими датчиками инерциальных навигационных систем: высокая точность, безотказная длительная работа на выбеге ротора, малое энергопотребление, небольшие габариты и масса. Такой гироскоп мало подвержен износу, вследствие чего надежность прибора в основном определяется надежностью и сроком службы электронных элементов.

Наиболее низкий уровень возмущающих моментов получен в электростатическом гироскопе (ЭСГ), в котором ротор вывешивается в электрическом поле, а магнитное поле служит для управления движением левитирующего тела. Опыт эксплуатации на морских объектах электростатических гироскопов, созданных в ЦНИИ «Электроприбор», подтвердил высокую точность и достаточную надежность корабельных инерциальных навигационных систем на ЭСГ [215].

В апреле 2004 года был выведен на орбиту спутник «Gravity Probe В» (Гравитационный Зонд-Б), специально сконструированный для экспериментальной проверки общей теории относительности. Этому аппарату предстоит проверить правильность двух положений теории относительности Альберта Эйнштейна (об искривлении пространства-времени в окрестности массивных тел (в данном случае Земли) и о влиянии на этот процесс вращения Земли вокруг собственной оси). Для этого на зонде Gravity Probe В установлено четыре самых точных на сегодняшний день гироскопа с электростатическим подвесом ротора. Аппарату предстоит провести очень тонкие измерения. Об этом говорит порядок измеряемых величин: если теория Эйнштейна верна, то за год оси гироскопов отклонятся от первоначального положения на 6600 угловых миллисекунд (эффект вращения Земли будет еще меньше — 41 угловая миллисекунда) [229 ].

Гирокомпасы с электромагнитным подвесом чувствительного элемента среднего класса точности выпускаются в течение длительного времени и являются наилучшими для данного класса. Точность определения азимута таких приборов составляет 30 угловых секунд за время измерения 9 минут и 2 угловые минуты на периоде измерения 4 минуты [225]. Создаются гирокомпасы с магнитным подвесом, которые определяют плоскость меридиана с точностью до 3 угловых секунд.

Коррекция инерциальных навигационных систем, основанная на эпизодическом сравнении измеряемого гравитационного поля с имеющейся картой, позволяет повысить их точность. Разработаны градиентометры с магнитным подвесом, которые регистрируют неоднородности гравитационного поля Земли [36, 224]. Такие высокочувствительные приборы, кроме того, могут быть успешно использованы для геофизических исследований.

Развитие магнитных опор в значительной степени-стимулируется достижениями космической техники, где оборудование должно удовлетворять жестким требованиям. Магнитный подвес использован в маховиках и силовых гироскопах, предназначенных для управления ориентацией и для стабилизации углового положения космических аппаратов [173,214].

В высоковакуумных турбомолекулярных насосах, создающих вакуум.

10 Па, где недопустимо попадание загрязняющих смазочных масел в рабочую зону, для получения вакуума особой чистоты кроме магнитного подвеса предусмотрена возможность прогрева корпуса работающего насоса до 300.

400° С [19].

Малое трение в неконтактном подвесе позволяет раскручивать ротор до скоростей, ограниченных только прочностью материала. В магнитных опорах ультрацентрифуг и устройств для прочностных испытаний возникают центробежные ускорения, превосходящие в несколько десятков миллионов раз ускорение свободного падения [160, 238]. Имеется возможность определить не только прочность материалов на разрыв, но и адгезионные свойства покрытий [220].

Отсутствие механического контакта и связанного с ним трения в движущихся частях позволяет создавать подшипники с уникальными свойствами. Магнитные подшипники шпинделей инструментальных станков с частотой вращения 120 000 об/мин, статическая жесткость которых сравнима с шарикоподшипниками и которые обеспечивают стабилизацию оси вращения ротора с точностью до 0,5 мкм, помогают устранить износ и увеличить скорость обработки деталей [58, 59].

Осуществляется производство магнитных подшипников для мощных турбонасосов для горючих и агрессивных газов и жидкостей, турбокомпрессоров для циркуляции теплоносителя в атомных реакторах электрических станций. Подшипники этих машин дают возможность работы как в средах высокой чистоты так и в агрессивных средах, при высоких температурах и ресурсе в десятки тысяч часов [20, 69, 209].

Магнитные подвесы нашли применение в приборах для определения осей анизотропии в сферических ферромагнитных образцах, измерения эффективной константы анизизотропии и моментов вращательного гистерезиса [45]. Отсутствие сухого трения делает эти приборы более чувствительными, чем их прототипы с механическими подвесами.

Магнитная левитация является одним из способов осуществления бесконтактного движения высокоскоростного наземного транспорта, который обеспечивает комфорт, безопасность и соответствует современным экологическим требованиям. В 70 — 80 годы проделана огромная научно-исследовательская работа, рассмотрено большое число проектов высокоскоростного пассажирского транспорта на магнитной подвеске с линейным тяговым электроприводом [24, 25, 41, 51, 188, 198]. Разработаны оба вида транспортных подвесов — электродинамический и управляемый электромагнитный. Для электродинамического подвешивания экипажей созданы сверхпроводящие магниты и построен опытный образец экипажа на Украине отделением физико-технических проблем транспорта на сверхпроводящих магнитах «ТРАНСМАГ» [25]. На опытном полигоне в Подмосковье инженерно-научным центром по транспорту на электромагнитном подвесе ТЭМП были проведены ходовые испытания экспериментального вагона с управляемым подвесом массой 16 т. Специальная система подвески (электромагнитная лыжа) обладает адаптивностью к неровностям пути, чтобы не предъявлять особых требований к точности выполнения путевой структуры [11, 51]. Разработан проект скоростной дороги для связи центра г. Москвы с международным аэропортом Шереметьево.

Группа исследователей под руководством В. В. Козореза предложила использовать для транспорта «эффект магнитной потенциальной ямы» для сверхпроводящих систем [74, 158]. Сверхпроводящие магниты, учитывая последние достижения в области сверхпроводимости, могут найти применение в проекте корпорации «Gruinmin» (США) [255]. Поезда с электромагнитным подвесом и сверхпроводящими магнитами наиболее интенсивно развиваются в Японии. Поезд MLX01, состоящий из 3 вагонов достиг в декабре 2003 г. рекордной скорости — 581 км/час [250].

Индукционный подвес, так же как и электродинамический, основан на взаимодействии вихревых токов с изменяющимся во времени магнитным полем. В электродинамическом подвесе вихревые токи создаются в проводящем материале за счет движения источников, в индукционном — источники неподвижны, поле периодически меняется во времени. Такие системы широко используются при бестигельной плавке металлов [204] и для разработки систем для запуска тел в космос [218, 230, 231, 262].

Неконтактный подвес тел без затрат энергии значительно расширяет возможности и делает весьма перспективным применения диамагнитного подвеса. Теоретическая и экспериментальная возможность левитации диа-магнетиков в постоянном магнитном поле была показана Браунбеком. Примером реализации диамагнитного подвеса может служить система для прецизионного измерителя моментов сил с точностью 10″ 15 Н-м [26] и электрометр для поиска свободных кварков [27].

В работе [254] описан наклономер с диамагнитной массой, который регистрировал приливные колебания, сейсмические волны и микросейсмы. Необходимое демпфирование обеспечивалось вихревыми токами, индуцируемых в подвешенной массе при ее движении в магнитном поле подвеса.

Поскольку диамагнитные свойства таких материалов, как висмут и графит, которые обычно использовались для подвешивания, слабы, то до недавнего времени удавалось вывесить лишь небольшие массы порядка нескольких десятков миллиграммов. Появление новых материалов для постоянных магнитов и веществ с лучшими магнитными свойствами меняет ситуацию. Поиски теплозащитных покрытий космических кораблей привели к разработке промышленного метода получения пиролитического графита, магнитная восприимчивость которого в несколько раз больше, чем у обычного поликристаплического графита.

При помощи самарий-кобальтовых магнитов и пиролитического графита в Пермском университете в 1978 году удалось довести удерживаемый вес до 26,7 г [179]. Это на несколько порядков больше, чем было ранее. Наряду с высокой эффективностью, следует отметить простоту конструкции такого подвеса, когда вывешиваемый магнит располагается между диамагнитными пластинами и его вес компенсируется дополнительным неподвижным постоянным магнитом. Расчет силовых характеристик такого подвеса, анализ условий устойчивости и оценка максимальной массы, которую можно вывесить, проведены в работе [132].

Разработка диамагнитного подвеса потребовала оценки «динамических потерь» (в терминологии Уолдрона [259]), наиболее существенными из которых явились потери за счет вихревых токи в диамагнитном элементе.

Большой интерес вызывают неконтактные подвесы на основе высокотемпературных сверхпроводников и их приложение [158, 164, 216, 260].

Это далеко не полный перечень использования неконтактных подвесов, дополнительную информацию можно найти в цитируемой литературе.

Вычисление сил и моментов магнитного трения, обусловленных вихревыми токами. Широкое применение неконтактных подвесов и их дальнейшее совершенствование требует исследования динамики проводящего тела в магнитном поле. Для этого потребовалась разработка теории магнитного трения, лежащей на стыке двух классических дисциплин — теоретической механики и электродинамики.

При движении проводящего тела в магнитном поле подвеса возникают потери, обусловленные вихревыми токами. Необходимость исследования влияния вихревых токов на динамику вывешенного тела возникла при практическом использовании магнитных подвесов различных типов.

Оценка пондеромоторных сил и моментов явилась одним из главных звеньев проектирования активных магнитных подвесов ферромагнитных тел [226]. Вихревые токи ограничивали точность приборов и максимально допустимую скорость вращения ротора.

В электродинамических подвесах высокоскоростного наземного транспорта и при подвесе проводящих тел в переменном магнитном поле при плавке металлов задача расчета вихревых токов и пондеромоторой силы является одной из основных. Вихревые токи в таких системах используются для создания подъемной силы. В транспортных системах с активным магнитным подвесом силы магнитного трения, наряду с силами сопротивления воздуха, вызывают значительные потери энергии при движении. Отметим, что иногда для сил сопротивления при движении высокоскоростного транспорта используется термин «магнитное сопротивление» [11, 249], который нельзя признать удачным, поскольку он используется в магнитостатике при расчете магнитных цепей.

Определению вихревых токов в проводящем теле и вычислению сил при его движении в магнитном поле посвящено огромное число работ. Особенностью математического анализа проблем, связанных с решением задач о расчете сил магнитного трения в неконтактных подвесах, является зависимость индуцированного магнитного поля от движения твердого тела. В свою очередь, характер движения определяется магнитным полем. Решение такой самосогласованной задачи наталкивается на серьезные математические трудности исследования совместной системы уравнений динамики' твердого тела и уравнений электродинамики.

Обзор по вычислению сил и моментов сил, вызванных вихревыми токами, содержится в работах [82, 147, 187]. Следует обратить внимание на тот факт, что в большинстве статей, как правило, полагается постоянство скорости движения вывешенного тела. Часто такое предположение является недостаточным при решении динамических задач, на что и указано в монографии Ю. Г. Мартыненко [147].

Задача исследования произвольного движения левитирующего твердого тела весьма сложна для аналитического’и численного решения. С точки зрения приложений, основной интерес представляют интегральные характеристики сил и моментов и их влияние на динамику тела. Изучение поведения твердого тела в электромагнитном поле и разработка методов для решения соответствующих уравнений проводилось в работах [18, 71−75, 80, 144 -152, 169, 170, 185, 187, 189, 205, 221, 231, 241]. Отметим, что за последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в области применения асимптотических методов механики к решению задач, связанных с теорией левитации.

Один из подходов к решению задач расчета пондеромоторного воздействия магнитного поля на проводящее тело связан с решением уравнений Лагранжа-Максвелла [144, 167, 190, 191].

В ряде частных случаев для движущегося проводящего тела в магнитном поле удалось решить уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. Для проводящего шара наиболее полно анализ движения в магнитном поле приведен в серии работ Ю. М. Урмана и Р. В. Линькова [136 139]. Магнитное поле задавалось скалярным потенциалом в виде разложения по сферическим гармоникам, электродинамическая задача решалась методом разделения переменных. Важным методологическим приемом для анализа движения шара явилось использование «частотозависимой» функции, позволяющей выявить качественно различные режимы движения в зависимости от магнитного числа Рейнольдса.

Задача о движении твердого тела произвольной формы в магнитном поле для малой глубины проникновения поля в проводник (большие значения магнитного числа Рейнольдса) методом пограничного слоя сводится к исследованию интегродифференциального уравнения. В работах Ю. Г. Марты ненко и А. И. Кобрина [ 71, 73, 147 ] показано, что система уравнений разбивается на две независимые части: электродинамическую и механическую, которая не включает уравнений с частными производными. Такое разбиение позволяет существенно упростить решение. Аналогичный асимптотический подход применялся Б. И. Рабиновичем, В. Г. Лебедевым, А. И. Мытаревым для анализа и синтеза систем автоматического регулирования с учетом вихревых токов в проводящей путевой структуре и магнито-проводе силового магнита при подвешивании экипажей высокоскоростного наземного транспорта [181].

Другой предельный случай возникает для большой глубины проникновения поля в проводник (малые значения магнитного числа Рейнольдса). При помощи метода сингулярных возмущений исходная нестационарная задача сводится к серии стационарных краевых задач, зависящих лишь от формы тела [55, 72, 147]. Удается установить аналогию с хорошо изученной гидродинамической задачей о движении твердого тела с полостями, содержащими жидкость, и воспользоваться уже имеющимися решениями для анализа движения проводящего тела в магнитном поле.

Многие аспекты левитации тела в подвесе при малых значениях магнитного числа Рейнольдса изучены в связи с исследованием движения искусственных спутников и с разработкой систем ориентации космических аппаратов (за счет взаимодействия магнитного поля Земли с собственным магнитным полем спутника) [42, 145].

Асимптотические методы механики оказались плодотворными для бы-стровращающегося тела, когда можно указать составляющие, резко отличающиеся по своим временным масштабам. Эффективное разделение быстрых и медленных движений и позволяет в этом случае провести анализ движения проводящего ротора в неконтактном подвесе [146].

Основной особенностью движения твердого тела в неконтактном подвесе является значительное усложнение структуры моментов, действующих" на твердое тело, по сравнению с классической задачей о движении твердого тела около неподвижной точки. Полезной для понимания физической сущности процессов при движении быстровращающегося тела с неподвижной точкой оказалось представление моментов в виде суммы двух слагаемых, одно из которых Г. Г. Денисовым и В. Н. Комаровым названо консервативным, а другое — неконсервативным моментом [44]. В монографии Ю.Г. Мар-тыненко [147] показано, что момент сил, приложенных к твердому телу, ортогональный вектору кинетического момента всегда допускает такое разложение. Этот подход использован для построения общей теории моментного воздействия на левитирующее тело [147, 201].

Подводя итоги можно сказать, что для улучшения работы устройств с магнитными подвесами весьма важным становится включение в математическую модель, описывающую левитацию твердого тела, все большего числа факторов, позволяющих выявить ряд новых динамических эффектов. Оценка точности, обработка информации и, в конечном счете, создание конкурентоспособных приборов и устройств невозможны без учета влияния как конфигурации поля, так и формы тела на величину сил, обусловленных вихревыми токами. К настоящему моменту хорошо изучены проблемы, связанные с предположением о конфигурации поля — это движение твердого проводящего тела в однородном магнитном поле. При таком подходе главный вектор сил магнитного трения равен нулю и исследование динамики лишь частично отражает реальную ситуацию. Другое упрощение связано с формой тела — изучено движение проводящего шара и сферической оболочки в произвольном магнитном поле. Вопросы, связанные с движением тела, форма которого отличается от шара, в произвольном магнитном поле потребовали дальнейших исследований.

Устойчивость движения. Ключевой проблемой создания неконтактных подвесов является обеспечение устойчивости движения вывешенного тела. Как показывает история развития магнитных подвесов, созданные устройства зачастую оказывались неработоспособными. Одной из причин явились вихревые токи в материале вращающегося тела. Необходимость изучения влияния магнитного трения на устойчивость вращающегося ферромагнитного тела возникла при создании управляемого магнитного подвеса. Впервые анализ проблемы проведен Владимирским В. В. и Калебиным С. М. при испытании прерывателя потока нейтронов, который представлял собой вращающийся шар с отверстиями, вывешенный в магнитном поле. Начиная с определенной скорости вращения, возникало движение центра масс тела и осуществить неконтактное подвешивание было невозможно [33]. Теоретический анализ задачи движения проводящего шара в поле точечного магнитного заряда показал, что причиной неустойчивости являются силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии поля и направленные перпендикулярно вектору смещения центра масс шара относительно оси подвеса.

Аналогичные явления, связанные с неустойчивостью движения проводящего ротора наблюдались в электрических машинах. Для объяснения неустойчивости вращения роторов электрических машин в постоянном магнитном поле В. В. Болотин использовал концепцию внутреннего «вращающегося» трения [22]. Было показано, что в уравнениях возмущенного движения появляются циркуляционные (псевдогироскопические) силы.

Проблема устойчивости прямолинейного движения возникает при создании высокоскоростного транспорта с электродинамическим подвесом. Одно из преимуществ такого подвеса заключается в том, что, начиная с определенной скорости, за счет взаимодействия поля вихревых токов в проводящем полотне с полем магнита в вагоне, возможна левитация без применения специальных систем регулирования. Хотя авторы идеи использования электродинамического подвеса для транспортных систем считают одним из преимуществ его стабильность, вихревые токи, как показали натурные испытания, могут служить источником вертикальных колебаний экипажа высокоскоростного транспорта [235, 81].

Данные испытаний для поезда MLU-500 показали наличие вертикальных и поперечных колебаний экипажа, которые при скорости 300 км/ч составили ± 10 мм и ±20 мм (зазор 270 мм). Амплитуда колебаний уменьшалась с увеличением скорости движения. Угловые движения экипажа были незначительными [246, 249].

При испытании модели (1/25 натуральной величины) возникла серьезная проблема, связанная с возникновением вертикальных колебаний с частотой около 1 Гц [240]. Для обеспечения нормального режима эксплуатации потребовалось активное демпфирование.

Возбуждение хаотических колебаний при моделировании электродинамического подвеса рассмотрено в работе [163].

Вихревые токи в значительной степени определяют динамику ротора неконтактного подвеса и движение спутников в магнитном поле Земли и других планет. Значительное число работ, обзор которых можно найти в монографии [147], посвящено проблеме устойчивости движения проводящего твердого тела с закрепленной точкой в магнитном поле. Исследование динамики проводящего тела в магнитном поле при плоскопараллельных движениях проведено в работе [133].

Магнитное трение, вызванное гистерезисными явлениями при левитации в магнитном поле. Для уменьшения потерь на вихревые токи в современных приборах с неконтактным подвесом (например, в гироскопах [172]) применяются ферромагнитные материалы, обладающие большим удельным сопротивлением, либо шихтованные материалы для валов магнитных подшипников и для путевой структуры высокоскоростного наземного транспорта с магнитным подвесом. В таких материалах гистерезисные потери могут существенно превосходить потери на вихревые токи. Определение их величины и учет влияния на динамику объекта становится необходимым звеном инженерных расчетов.

В связи с открытием высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) [164], появляется возможность их практического использования для создания неконтактного подвеса. Большой интерес к этому классу сверхпроводников вполне оправдан, поскольку простота изготовления, повышенные значения критических температур, полей и токов делают их весьма перспективными.

Дальнейшие работы по увеличению точности приборов и совершенствование устройств с неконтактным подвесом требуют учета гистерезисных явлений. Кратко остановимся на результатах исследования гистерезисных процессов при вращении ротора в поле магнитного подвеса.

Число факторов, определяющих гистерезисные явления, велико: кристаллографическая анизотропия, механические напряжения, процессы вращения и смещения границ доменов, технология изготовления образцов, температура. Сложность их совместного учета затрудняет построение строгой теории на основе микрофизических концепций. Для практических расчетов широко применяются различные феноменологические модели [4, 14, 127, 175, 186] .

Одна из моделей связана с аппроксимацией петли гистерезиса. Такой подход использован в работе Белецкого В. В., А. А. Хентова [14], где сделаны упрощающие предположение о форме петли гистерезиса. Это позволило рассмотреть влияние перемагничивания в стержнях, связанных с космическим аппаратом, на движение спутника в магнитном поле Земли. Показано, что гистерезисные явления оказывают существенное влияние на динамику объекта (вращательный гистерезис не рассматривается).

В работе [127] для моделирования перемагничивания материала с доменной структурой используется уравнение Ландау-Лифшица.

Н.С.Акуловым предложена теория [4], согласно которой вращательный гистерезис в монокристаллах связан с анизотропией материала и процессами вращения доменов. Однако теория не построена для слабых полей (в этом случае преобладают процессы смещения границ доменов, а не вращения) и для поликристаллических материалов.

Брюхатов H.JI. и Гринчар Н. А. использовали теорию Н. С. Акулова и рассмотрели гистерезис магнитного вращения как процесс, происходящий при статистическом равновесии между комплексами спинов, переходящих от связи с кристаллической решеткой в связь с вращающимся магнитным полем, и комплексами спинов, увлекаемых решеткой [28].

Исходя из экспериментального факта линейной зависимости величины потерь на вращательный гистерезис от величины поля (в определенных пределах его изменения), О. Д. Поздеев предложил считать мощность потерь на вращательный гистерезис в элементе образца пропорциональной модулю скорости изменения индукции магнитного поля [175]. Эта модель описывает процессы при вращении в постоянном поле магнитного подвеса и дает возможность провести оценку величины потерь для вращающегося шара в полях с различной пространственной конфигурацией.

При движении ротора неконтактного подвеса изменяется его ориентация относительно поля. Так, например, в гироскопах момент сил зависит от угла между осью симметрии поля и осью вращения. В связи с этим большой интерес представляют экспериментальные данные о потерях при произвольной ориентации вектора напряженности магнитного поля относительно оси вращения ферритового шара [211].

Плодотворной при описании процессов перемагничивания в переменном поле оказалась концепция комплексной магнитной проницаемости, введенная В. К. Аркадьевым [5, 6]. Результаты В. К. Аркадьева, развитые в работах Л. Р. Неймана [165], широко используются в современных исследованиях и положены в основу при описании гистерезисных потерь как в ферромагнитных материалах [203], так и в сверхпроводниках [156].

Введение

комплексной магнитной проницаемости значительно упрощает задачу, сохраняя в ней наиболее существенное: наличие потерь на гистерезис, которые не зависят от частоты поля, и нелинейную зависимость между индукцией и напряженностью поля, которая рассматривается как функция координат. Достоинство комплексной магнитной проницаемости — достаточно простое описание свойств материалов, что позволяет исследовать весьма широкий круг задач при установившихся гармонических воздействиях внешнего поля. Компоненты комплексной проницаемости имеют энергетический смысл, что широко используется в инженерных расчетах [54, 178, 208].

Концепция комплексной магнитной проницаемости не описывает неустановившиеся и переходные процессы. Петля гистерезиса, согласно элементарным гипотезам, замыкается сразу же с первого цикла. В действительности, как показывает опыт, на первых трех-пяти циклах петля гистерезиса заметно отличается от установившегося значения в последующих циклах намагничивания, что можно объяснить лишь с позиций наследственной теории магнитного гистерезиса [196].

Для уменьшения потерь при вращении ротора гироскопа используется подвес тела в переменных полях [172]. Исследования по определению потерь в переключающихся импульсных полях выполнены в работе [48]. Для объяснения экспериментальных результатов полагается, что при вращении в переменном поле намагниченность не может мгновенно достигать своего стационарного значения. Учет процессов установления угла между векторами намагниченности и напряженности поля при вращении тела в импульсном переключающемся поле позволил построить зависимость величины потерь от частоты переменного поля и скорости вращения ротора.

Перейдем к обзору работ, связанных с изучением гистерезисных явлений при движении левитирующих тел в сверхпроводящем подвесе на основе.

ВТСП. Исследование магнитного трения позволяет оценить перспективы использования таких устройств в современной технике.

Гистерезисные потери присутствуют в низкотемпературных сверхпроводниках и существенно влияют на характеристики приборов [130, 210].

Левитация в сверхпроводящем подвесе на основе ВТСП имеет свои особенности. Механическое взаимодействие между ВТСП в смешанном состоянии и неоднородным магнитным полем достаточно сложно из-за сильного пиннинга [155, 156]. Сильный пиннинг является причиной столь необычного явления как гистерезис левитационной силы [247], устойчивая левитация магнита под сверхпроводником [251] (прослежена связь этого явления с гистерезисом намагничивания [253]). Подвес магнита под неодносвяз-ным сверхпроводником описан в работе [168]. Краткий обзор по проблемам магнитного трения при левитации сверхпроводников приведен в статье [219].

В ряде случаев, как и обычное трение, магнитное трение оказывается весьма полезным. Это обстоятельство используется при создании сверхпроводящих подвесов подвесов для транспортировки деталей в роботехниче-ских системах [260].

Важными вопросами в области приложений подвеса являются измерение и расчет подъемной силы при левитации сверхпроводника, т. е. определение грузоподъемности опоры.

В работе [258] измерили силу, действующую на магнит над диском из ВТСП при малых горизонтальных перемещениях магнита, и изучили крутильные колебания вдоль вертикальной оси. Для определения вида потенциальной кривой и общей энергии для преодоления потенциальной ямы магнит прикреплялся к стеклянной нити.

Аналогичные результаты получены методом резонансных колебаний постоянного магнита, свободно вывешенного над поверхностью ВТСП, и исследованы динамические потери [168]. Колебания с амплитудой меньше некоторой рассматриваются как квазиупругие, происходящие в диамагнитной области, без срыва вихрей с центров пиннинга.

Увеличение грузоподъемности подвеса за счет применения дополнительного магнита рассмотрено в работе [244].

Расчет подъемной силы на основе подсчета энергии вихрей, проникающих в сверхпроводник, выполнен в работе [232]. В статье [256] приведены результаты измерения силы в зависимости от высоты подвеса магнита. Сравнение эксперимента и теории, предложенной в работе [232], выявили значительные расхождения, особенно для малых значений зазора между магнитом и сверхпроводником. Экспериментальные данные дают меньшее значение величины подъемной силы. Показано, что свойства подвеса сильно зависит от состава сверхпроводника.

Для определения высоты, на которой находится магнит над сверхпроводящей пластиной, было предложено использовать эффективную магнитную проницаемость. Вычисления подтвердили приемлемость этой модели при подвесе небольших магнитов (характерные размеры сравнимы с величиной зазора), когда гистерезисные эффекты не наблюдались [258].

В работе [247] описан гистерезис «левитационной силы», т. е. зависимость подъемной силы от расстояния между магнитном и сверхпроводником зависит от предыстории движения магнита и сверхпроводника (она различна при удалении магнита от сверхпроводника и при его приближении к нему).

Таким образом, как показывает анализ литературных источников, к настоящему времени не разработано методов расчета подъемной силы, дающих хорошее совпадение с экспериментальными данными во всем диапазоне изменения зазора в подвесе.

Основные эксперименты по вращению и колебаниям твердого тела в подвесе на основе высокотемпературных сверхпроводников направлены, как правило, на определение физических параметров сверхпроводника и критического поля. Характер движения качественно меняется при достижении критических полей, зависит от состава сверхпроводника и его сверхпроводящих свойств.

Расчет тормозящей силы, действующей на движущийся над сверхпроводящей плоскостью проводник с током, проведен на основе модели Бина в работе [223] и в этой работе, по аналогии с механическим трением, используется понятие коэффициента магнитного трения.

Колебания маятника со сверхпроводящим шариком в магнитном поле использовались для определения свойств ВТСП [ 248 ]. В работе [261] изучались колебания магнита над СП 1-го рода и 2-го рода. Методом конформных отображений исследовано поведение диполя над идеальным СП и составлена функция Лагранжа, определены частоты колебаний электромеханической системы с 2 степенями свободы. В случае проникновение поля в проводник предлагается эмпирическая формула для подъемной силы.

Для исследования свойств высокотемпературных сверхпроводников измеряют механический момент, действующий на вращающийся сверхпроводник (метод «крутящего момента» [156]). Выделяется три составных части такого момента [156]:

1) эффект формы — образец стремится повернуться таким образом, чтобы его длинная «ось» (сторона с наибольшим размером) была направлена вдоль оси поля;

2) эффект анизотропии — магнитный момент анизотропного сверхпроводника в смешанном состоянии не параллелен внешнему магнитному полю (если оно не направлено вдоль одной из главных осей тензора анизотропии, что и приводит к появлению механического момента);

3) эффект пиннинга — при вращении образца во внешнем магнитном поле перестройка его вихревой структуры происходит с задержкой, приводящей к непараллельное&tradeмагнитного момента и поля.

Первые два механизма аналогичны явлениям, возникающим при вращении ферромагнитных образцов. Последний механизм, как и все явления, связанные с пиннингом, приводит к необратимости и потерям энергии при вращении образца. В медленно вращающемся магнитном поле появляется асимметрия зависимости механического момента, действующего на образец. Такая асимметрия появляется в смешанном состоянии, что и позволяет определить первое критическое поле. Определить критические значения полей позволяет и измерение момента, действующего на вращающийся сверхпроводник.

При помощи анизометра с торсионным подвесом измерен момент, действующий на вращающийся в однородном магнитном поле образец ВТСП [9, 10]. Величина момент представлена в виде суммы двух слагаемых, причем основной вклад вносит составляющая типа сухого трения, которая не зависит от скорости вращения. Влияние анизотропии образца при его вращении рассмотрено в работе [9]. В работе [85] рассмотрены динамические и диссипативные процессы в левитирующих и вращающихся высокотемпературных сверхпроводниках. Экспериментально показано, что левитирующий сверхпроводник не удается раскрутить вращающимся магнитным полем выше определенной угловой скорости.

Воздействие переменного поля на левитирующее в подвесе тело приводит к новым динамическим эффектам. В статье [194] описано исчезновение магнитного трения под действием слабого переменного поля при левитации сверхпроводника. При включении переменного поля возникает вращение магнита над сверхпроводящим кольцом [243]. Отмечен синхронизм в случае, когда угловая скорость магнита равна четверти частоты внешнего поля. Необычное поведение ВТСП в переменном поле описано в статье [195]. В зависимости от частоты внешнего поля сверхпроводник совершал колебания, либо вращался в ту или иную сторону.

Анализ литературы показывает, что в настоящее время проблемы магнитного трения изучены явно недостаточно. Целью работы является:

— исследование динамических эффектов, вызванных магнитным трением в неконтактном подвесе;

— разработка методов и алгоритмов расчета сил и моментов магнитного трения;

— анализ влияния формы поля и тела на силовые характеристики неконтактной опоры;

— разработка рекомендаций для проектирования неконтактных опор с улучшенными функциональными свойствами;

— экспериментальное изучение магнитного трения.

Методы исследования определялись спецификой расчетов и математических моделей. Использованы методы аналитической механики, теории поля, качественной теории дифференциальных уравнений и математической физики, асимптотические методы механики (метод многих масштабов и метод осреднения), методы численного моделирования.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, экспериментальной проверкой, сравнением с экспериментальными данными и результатами других авторов.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. В первых четырех главах исследуется магнитное трение, обусловленное вихревыми токами. Причем впервой, второй и третьей главе рассматривается динамика вращающихся тел, а в четвертой главе анализируется движение источников поля над проводящим полотном (высокоскоростные поезда). Магнитное трение, обусловленное.

— 274 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертационной работе изучено влияние магнитного трения на динамику твердого тела в неконтактном подвесе. Основные результаты состоят в следующем:

1. Исследовано влияние конфигурации магнитного поля на величину и направление сил в магнитном подшипнике с проводящим ротором.

2. Разработан метод вычисления токов, сил и моментов сил при движении проводника в неоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса. Показано, что силовое воздействие магнитного поля описывается тензорами магнитного трения, которые зависят от формы тела, а ранг определяется конфигурацией поля. Рассмотрено движение проводящего цилиндра в квазиоднородном поле.

Проведен анализ магнитного трения в магнитном подшипнике с проводящим ротором. Получены расчетные формулы для пондеромоторных сил, тормозящего момента и мощности потерь.

Изучено влияние магнитного трения на устойчивость движения центра масс абсолютно твердого тела в осесимметричном поле магнитной опоры. Указаны параметры системы магнитного подвеса с проводящим ротором, при которых движение устойчиво.

Показана возможность моделирования движения высокоскоростного транспорта Маглев на установках с вращающимся барабаном. Исследована устойчивость положения равновесия магнита над проводящим барабаном.

Предложена феноменологическая модель описания вращательного гистерезиса с использованием интегральных операторов.

3. Обнаружены новые динамические эффекты в неконтактных опорах:

— осесимметричное поле увеличивает подъемную силу в магнитном подшипнике без изменения величины тормозящего момента;

— циркуляционная сила в осесимметричном подвесе вызывают прямую прецессию проводящего ротора;

— магнитное трение приводит к взаимосвязи поступательных и вращательных движений твердого тела;

— при движении поездов Маглев возникает «отрицательное трение», которое может вызвать колебания силового магнита;

— воздействие переменного поля на магнит высокотемпературного сверхпроводящего подвеса стабилизирует его положение.

4. Разработаны способы улучшения функциональных свойств неконтактных опор за счет использования:

— прецессионных движений твердого тела в ультрацентрифуге с неконтактным подвесом для прочностных испытаний материалов и адгезионных свойств покрытий;

— феррожидкости для демпфирования колебаний тела в магнитном подвесе;

— дополнительных магнитных полей в высокотемпературных сверхпроводящих подвесах.

5. Проведено экспериментальное изучение магнитного трения:

— на специально созданной установке подтверждены расчетные формулы и зависимость характера возникающих движений проводящегоротора от формы магнитного поля в магнитном подшипнике;

— на установках с вращающимся барабаном, моделирующим движение поездов Маглев, изучена динамика силового магнита;

— показана возможность применения концепции эффективной магнитной проницаемости для расчета подъемной силы в высокотемпературном сверхпроводящем подвесе;

— измерены силы магнитного трения при движении магнита над ВТСП-керамикой и определена их зависимость от параметров системы;

— исследованы диссипативные процессы при вращении высокотемпературных сверхпроводников в магнитном поле.