Геометрические характеристики нормированных пространств больших размерностей

Работа посвящена некоторым вопросам локальной теории банаховых пространств. Эта теория, возникшая в шестидесятые годы под влиянием работ Гротендика [32], [33] и теоремы Дворецкого [24] о почти сферических сечениях выпуклых тел, является мощным инструментом для изучения геометрических свойств бесконечномерных банаховых пространств. Это, в первую очередь, связано с тем, что многие свойства обусловлены лишь локальной структурой пространства. Локальная теория разрабатывалась в большом количестве работ известных математиков и использует разнообразную, весьма непростую технику (в частности, связанную с применением вероятностных методов для доказательства существования «патологических» примеров). Несмотря на большое количество работ, локальная теория далека от завершённости и содержит множество открытых вопросов.

Многие результаты локальной теории получены благодаря привлечению теоретико-вероятностных соображений. Классический способ доказательства существования объектов, обладающих специальными свойствами, состоит в проверке того, что эти объекты заполняют множество большой меры. Этот метод стал интенсивно использоваться в геометрии банаховых пространств в середине семидесятых годов двадцатого века. К тому времени были приведены достаточно прозрачные вероятностные доказательства теоремы Дворецкого о почти сферических сечениях выпуклых тел (Мильман [13], Фигель [27], Шанков-ский [48]) и появился знаменитый пример Энфло [26] банахова пространства без свойства аппроксимации, конструкция которого почти сразу приобрела вероятностный характер (Дэви [23]). Примерно в то же время появился интерес к изучению конечномерных нормированных пространств. Многие вопросы теории банаховых пространств получили содержательную интерпретацию на конечномерном уровне, а решение ряда бесконечномерных проблем было получено «склейкой» конечномерных результатов. Дополнительный интерес к геометрии конечномерных нормированных пространств возник после публикации работ Глускина [5], Мильмана и Шехтмана [42], в которых к изучению геометрических свойств были привлечены вероятностные методы. Как следствие появилась возможность изучения свойств типичных конечномерных пространств.

Целью работы является изучение асимптотического поведения различных мер «непохожести» нормированных пространств и выпуклых тел. Основной мерой «непохожести» нормированных пространств является расстояние Банаха-Мазура d (X, Y). Эта величина определяется следующим образом:

Х, У) = Ы{\Т\х^у\Т-1\у^х: Т <Е 1(Х, У), Г — изоморфизм }.

Отметим, что помимо классического расстояния Банаха-Мазура в локальной теории банаховых пространств исследуются и различные его обобщения. Например, слабое расстояние Банаха-Мазура, введённое Томчак-Егерманн [54]: а (Ых) а (Ыу) d (X, Y) = sup |max a (Idy)' a (Idx), где супремум берётся по всем нормам, а на операторных идеалах. Отметим, что d (X, У) ^ d (X, У) для всех пар пространств X и У одинаковой размерности.

В этой работе помимо расстояния Банаха-Мазура в различных ситуациях исследуется поведение объёмных отношений и модифицированного расстояния Банаха-Мазура. Для любых конечномерных пространств X и Y таких, что dimX ^ dim У, определим обобщённое объёмное отношение Vr (X, У) следующим образом vol Вх 1/п.

Vr {X, Y) = inf s где п = dimX. При Y = t мы получаем классическое объёмное отношение vr (X), являющееся, как известно, важной геометрической характеристикой пространства X. Для n-мерного пространства Y в случае X = получим внешнее объёмное отношение outvr (y) пространства Y. В случае, когда dimX = dim У, с помощью обобщённого объёмного отношения можно модифицировать классическое понятие расстояния Банаха-Мазура. Модифицированное расстояние Банаха-Мазура д (Х, У) согласно [14] определим равенством д (Х, Y) = Vr (X, Y) • Vr (Y, X).

Величины In d (X, Y) и 1пд (Х, У) являются метриками на множестве.

Шп всех n-мерных пространств. Ясно, что d (X, Y) ^ d (X, Y). Верхняя d (X, Y) оценка для отношения. ' известна лишь тривиальная. В работе d (X, Y) ^ устанавливается, что тривиальная оценка ^^ ^ ^ п точна по порядку в полиномиальной шкале.

Расстояние d (X, Y) неявно использовалось в работе [5] для нахождения диаметра компакта Минковского, а также в работе [9] для вывода оценок расстояния Банаха-Мазура между пространствами 1рп. Величина (Vr (X, У))" рассматривалась Макбетом в работе [37] и Леви [36] (см. также [8]) для множества выпуклых, не обязательно центрально симметричных, n-мерных тел. В работе Гианнополоса и Хартзолаки [28] доказывается, что для любых выпуклых тел Vr (/f, L) ^ Су/пптг, где с — некоторая абсолютная константа. Расстояние д (Х, У) и объёмное отношение Уг (Х, У) исследовалось также в работах Храброва [14, 15].

Объёмное отношение vr (X) = Vr (X, впервые появилось в работе Шарека [49] и совместной работе Шарека и Томчак-Егерманн [52] в связи с почти сферическими сечениями выпуклых тел. Кубическое объёмное отношение X) изучалось Боллом в работе [19] для оценок объёмов сечений куба. Гордон, Мейер и Пажор в работе [30] получили нижние оценки для проекционных констант через объёмные отношения. Гордон и Юнг в работе [31] изучали объёмные отношения, в случае, когда пространство X конечномерно, а V = £р.

Излагаемый в данной диссертации материал подразделён на пять глав, нумерация параграфов сплошная. Первая глава содержит некоторые предварительные сведения. Для удобства читателя здесь приведены точные формулировки большинства используемых ниже результатов.

Вторая глава содержит ряд вспомогательных утверждений, использующихся при доказательстве основных результатов. В параграфе 3 приводятся свойства абсолютно выпуклых тел К С Мп, у которых объёмное отношение уг (К) или внешнее объёмное отношение оиЬут (К) имеет максимально возможный в степенной шкале порядок у/п. Одним из основных примеров тел с экстремальным огйуг является многогранник К такой, что С К С В и количество вершин многогранника К имеет порядок п. Это следует из оценки (2.8) для объёма многогранника. Именно среди таких многогранников отыскиваются шары нормированных пространств, обладающих патологическими свойствами. Одну из ключевых ролей при этом играют следующие два свойства этих многогранников:

1) если К и К2 — многогранники такие, что В С К{ С В и количество вершин у каждого не превосходит 8п, то количество вершин у выпуклой оболочки объединения не превосходит 25п и ои^г (сопу (/^1 и К2)) ^ с (5)у/п.

2) если Е — подпространство размерности к = дп и Ре — соответствующий ортогональный проектор, то.

Оказывается, что эти свойства можно обобщить на произвольные тела. Нетривиальные неравенства получаются и в случае произвольных внешних объёмных отношений. Напомним, что если К — абсолютно выпуклое тело в R", то s-ым объемным числом тела К называется величина пn f vol PEK1/S vs (K) = sup ——T E: dim E=s VOl Bg J где Ре — ортогональная проекция на подпространство Е. Доказаны следующие теоремы (см. теоремы 3.1 и 3.2).

Теорема 0.1. Пусть К — абсолютно выпуклое тело в — эллипсоид минимального объёма для К. Предположим, что outvr (ii') = ау/п. Тогда при s = 1, 2, ., п и) •.

Теорема 0.2. 1) Пусть К и L — абсолютно выпуклые тела в В — эллипсоид минимального объёма для К и для L. Предположим, что outvr (К) = ау/п и outvr (L) = Ьу/п. Тогда outvr (conv (К U L)) ^ ^ • у/п.

2) Пг-стъ К и L — абсолютно выпуклые тела в Шп, — эллипсоид максимального объёма для К и для L. Предположим, что vy (K) = ау/п и vr (L) = Ьу/п. Тогда vt (I (П L) ^ с • аЬ • V", где с — некоторая абсолютная константа.

В параграфе 4 приведена оценка гауссовой меры линейного образа тела. Её аналоги для многогранников появлялись в работах Шарека [50, 51]. Доказана теорема (см. 4.1).

Теорема 0.3. Пусть даны положительные числа о и агильбертовы пространства Н и Н, причём dim Н = к, абсолютно выпуклое тело В С Н, оператор W: Я -> Н, удовлетворяющий условию Sk0(W) ^ 1, и случайная величина д, определенная на некотором вероятностном пространстве (0,2,7^), с распределением из класса iV (0,<72-#). Тогда.

Параграф 5 посвящен доказательству оценки мощности £-сети для некоторых множеств в пространстве операторов L (R", Rn). Расстояние в пространстве операторов при этом понимается с точки зрения операторной нормы в пространстве L (l2n, tДоказательства теорем этого параграфа в целом повторяют рассуждения, предложенные Глускиным [5].

Основным результатом третьей главы является теорема 6.1. Эта теорема усиливает результат Шарека [50] о построении инвариантной нормы со специальными свойствами. В параграфе б приведены необходимые обозначения, сформулирована сама теорема в самом общем виде, а также для удобства приведены формулировки в некоторых частных случаях.

Пусть Г — некоторая конечная подгруппа в GL (n) мощности s и.

С = тах7бГ IMk-^.

Мы будем считать, что оператор Т Е М'(к, а, Г) (удовлетворяет модифицированному «subspace mixing property»), если существуют подпространства L С Я С 1 такие, что 7Я = 7*Я = Я для всех 7 Е Г, dimL ^ к и для всех х Е L имеет место неравенство ||Ря±Т:г||2 ^ Доказана теорема (см. теорему 6.1).

Теорема 0.4. Пусть единичный шар нормированного пространства Е имеет вид absconv{aj}j^in С где 5 — некоторое положительное число. Тогда для любого $ > 0 существует Г-инвариантная норма || • ||я в R" такая, что — Ц2 ^ || ¦ ||в ^ С|| • \е и если оператор Т лежит в классе то ЦГЦ^^д ^ ^с^Д s) y/n.

Следующий параграф 7 содержит описание построения требуемой нормы. Параграф 8 посвящен доказательству ключевого утверждения, об оценке вероятности того, что конкретный оператор, обладающий некоторыми дополнительными свойствами имеет в построенном пространстве большую норму. И, наконец, параграф 9 содержит собственно доказательство обобщения теоремы Шарека. Это доказательство основано на оценке из параграфа 8 и оценке мощности е-сети в некотором подмножестве пространства операторов.

Последний параграф этой главы посвящен применению обобщённой теоремы Шарека для доказательства того, что тривиальная оценка dpf У) ^ П точна по П0РЯДКУ в полиномиальной шкале. При этом используется конструкция, предложенная Рудельсоном [45].

Для любого нормированного пространства X положим.

Хт = ХфХф. фХ сумма m слагаемых по типу ?2), для двух n-мерных нормированных пространств X и Y определим пространства W и W2, исходя из соотношений W = Xm+i © Ym и W2 = Хт Ф Ym+1.

В этом параграфе приводится доказательство утверждения, предложенного Рудельсоном в работе [45] без доказательства: можно ввести нормы в пространствах X и Y таким образом, что расстояние Банаха-Мазура между W и W2 будет не меньше, чем с (т)п. Сформулируем это утверждение более точно (см. теорему 10.1).

Теорема 0.5. В n-мерных векторных пространствах X и Y можно ввести норму так, что будет иметь место неравенство d (Wi, W2) ^ сгсНтИ^, где сч ^ е~еАт, для некоторой положительной абсолютной константы А.

В работе [15] обсуждается вопрос, насколько велико может быть отношение обычного расстояния Банаха-Мазура к его модифицированному аналогу. Там же приводится пример пространств, для которых й{Х, У) ^ у/п/ 1пп • д (Х, У). Мы же доказываем следующую теорему (см. теорему 10.2).

Теорема 0.6. Существуют две последовательности нормированных пространств Хп и Уп таких, что (НтХп = (11тУп 4 оо и имеет место неравенство.

1{Хп, Уп) ! д (Х", У") ^ «' где {?» «} — некоторая последовательность, стремящаяся к нулю.

Четвёртая глава посвящена изучению конечномерных нормированных пространств, единичные шары которых получены как выпуклые оболочки поворотов некоторого абсолютно выпуклого тела.

В параграфе И мы исследуем класс, А г нормированных пространств размерности п, единичные шары которых имеют вид:

Ви = СОПУ и и и{В)),.

76 Г где В — п-мерный октаэдр, Г — конечная группа, состоящая из ортогональных операторов, действующих в Еп, а ?/ — «случайное» ортогональное преобразование, параметризующее получающееся пространство ЕцЦелью является оценка диаметра класса Л г в метрике Банаха-Мазура и в её модифицированном аналоге.

Класс Аг является обобщением класса А, рассмотренного в работе [39], когда группа состоит лишь из тождественного оператора, и где доказано, что в классе, А существуют экстремально далекие в смысле расстояния Банаха-Мазура пространства. В параграфе 11 мы развиваем это результат в двух направлениях. Первый результат устанавливает, что экстремально далекие пространства существуют и в классах Ат, несмотря на то, что шары в этих пространствах инвариантны относительно действия операторов из группы Г и, таким образом, являются более гладкими" по сравнению с шарами в пространствах класса А. В случае если мощность 5 группы Г имеет порядок тгс диаметр класса Аг в степенной шкале имеет порядок п, если же я = 0(ехр (п?)), то диаметр Лг оценивается снизу величиной 8п1~11е. При этом оказывается, что экстремально далекие пространства в классе Лг не просто существуют, но составляют «подавляющее большинство». Отметим, что, как доказала Томчак-Егерманн [55], ¿—диаметр множества всех симметричных п-мерных нормированных пространств (то есть когда группа симметрии состоит из 2пп элементов) имеет порядок у/п. Линденштраус и Шанковский [35] дали оценку на ¿—диаметр множества всех п-мерных нормированных пространств, обладающих 1-безусловным базисом, то есть, когда группа симметриЙ состоит из 2″ элементов. Они доказали, что диаметр этого класса в полиномиальной шкале не превосходит п2/3. Храбров в работе [16] доказал, что даже если одно из пространств обладает 1-безусловным базисом, то модифицированное расстояние между ними не превосходит сп¾.

Второй результат связан с оценкой диаметра класса Аг в модифицированной метрике Банаха-Мазура, которая, как показано в работе [15] и параграфе 10, в некоторых случаях может быть существенно слабее классической метрики Банаха-Мазура. Оказывается, однако, что при 8 = 0(пс) диаметр класса Ат в 5-метрике совпадает с классическим в степенной шкале.

Пусть ц — нормированная мера Хаара на ортогональной группе 0(п), в — мощность группы Г С 0(п). Тогда имеет место теорема (см. теорему 11.1).

Теорема 0.7. 1) Существуют константы с, Е (0,1) такие, что для всякого п ^ 1 выполнено неравенство ц х ц ({(и, V)? 0(п) х 0(п): ¿-(Ец, Еу) > с («)п}) ^ 1 — сп2, где ф) = С1 • (1п (16 $))-17.

2) Существуют константы Сз > 0 и c e-<*in2/Vinin (i6S)n}) ^ i с"..

В работе [39] исследуются нормированные пространства, единичные шары которых имеют вид conv (B* U UBгде U — это некоторый ортогональный оператор. Выясняется, что такие пространства часто обладают патологическими свойствами. В частности, подавляющее число пар ортогональных операторов дают пространства, расстояние Банаха-Мазура между которыми имеет порядок п, то есть максимально возможный в степенной шкале. В рассуждениях, предложенных в [39], шар В можно заменить на произвольный многогранник К такой, что В С К С количество вершин у которого имеет порядок п. Это соображение играет одну из ключевых ролей в параграфе И, результаты которого обобщают результаты работы [39]. В параграфе 12 мы развиваем соответствующие результаты на случай произвольного абсолютно выпуклого тела К. Доказана следующая теорема (см. теорему 12.1)..

Теорема 0.8. Пусть К, Кч, L и L2 — абсолютно выпуклые тела в В — эллипсоид минимального объема для Ki и Ь (. Предположим, что outvY (Ki) = а{у/п и outvr (L,-) = Ь{у/п. Пусть Gu — пространство с шаром convoi U UK2), a Fy — пространство с шаром conv (Li U VL2), где U и V — ортогональные операторы. Тогда существуют константы с, С G (0,1) такие, что для всякого п ^ 1 выполнено неравенство ц х n{{(U, V) е 0(п) х 0{п): d{Gu, Fv) > C (aia2M2)20rc}) ^ 1 — с" ..

Одно из утверждений работы параграфа И относится к построению экстремально далеких тел в модифицированной метрике Банаха-Мазура, которая, как показано в параграфе 10, в некоторых случаях может быть существенно слабее классической метрики Банаха-Мазура. Доказана следующая теорема (см. теорему 12.2)..

Теорема 0.9. В условиях теоремы 12.1 для любого е > 0 существуют константы с, С — C (ai, a,2,bi, b2,?) Е (0,1) такие, что для всякого п ^ 1 выполнено неравенство р X n ({{U, V) Е 0(п) х 0(п): d (Gv, Fv) > Cnl~?}) > 1 — cn..

Оптимальное значение е существенно зависит от а, — и 6j. В случае, когда а, — и 6- имеют порядок константы, подходит то же значение е, что и в параграфе 11..

Пятая глава посвящена обобщению некоторых классических результатов для расстояния Банаха-Мазура на модифицированное расстояние. Пример Энфло [26] пространства без свойства аппроксимации породил следующую конечномерную проблему: существует ли последовательность пространств Хп Е ШТП с неограниченно растущей базисной константой Ьс (Хп)? Ответ на этот вопрос даёт следствие из результата Шарека теоремы 2.10. Из этой теоремы нетрудно вывести, что существует пространство X Е 9Л&bdquoтакое, что если для некоторого пространства У Е ЯЯп и проектора Р имеет место неравенство ЦРЦу^у ^ cq, то гЧ cS I п d{X, Y со у 1птг где 8 = ^min{rankP, п — rankP}. Указанное пространство охватывает случай произвольного <5, но для каждого конкретного 8 можно построить пространство с несколько лучшей оценкой. Используя теорему 2.9, можно получить, что для любого 8 Е (0- 1) существует пространство X Е Шп такое, что если для некоторого пространства Y Е Шп и проектора Р такого, что 8 =^minjrankP, п — rankP}, имеет место неравенство ||Р||у"у ^ cq, то.

Гл где c (?) — некоторая константа, зависящая только от O. В частности bc (X) ^ Cy/n..

Мы обобщаем результат Шарека в параграфе 13. Доказана теорема (см. теорему 13.1)..

Теорема 0.10. Существует n-мерное нормированное пространство X такое, что если для некоторого n-мерного нормированного пространства Y и проектора Р имеет место неравенство ЦРЦу^у ^ со, то с (11 тг½ д (х, Y) ^ - min U1 — J — ..

Со L lnn + lj In3'2п где Ь = i min{rank Р, п — rank Р}, ас — некоторая абсолютная константа..

Пусть X — n-мерное нормированное пространство с шаром Вх, L — подпространство размерности к = 5п и Bi = Вх П L. Определим объёмное отношение где инфимум берётся по всем линейным операторам U: X —L таким, что U (BX) С BL..

Очевидно, что если P? — проектор на подпространство L, то, положив U = p? jj, получим, что ^ Vr (L, X). Как было отмечено, из теоремы Шарека 2.10 следует, что существует такое n-мерное нормированное пространство X, что для любого подпространства L верна оценка \PL\x^x > cmin{?, 1.

В параграфе 14 мы развиваем этот результат и доказываем, что на самом деле у построенного Шареком пространства велики не только нормы проекторов ЦРхЦх-^х?110 и объёмные отношения Vr (L, X). Оценка при этом получится несколько хуже, но порядок в степенной шкале сохранится. Доказана теорема (см. теорему 14.1)..

Теорема 0.11. Существует п-мерное нормированное пространство X такое, что для любого подпространства Ь размерности 6п имеет место неравенство 6 ПГ ч401п (С<�Ип2п)7 V 1п3 п ' где с и С — абсолютные константы..

Последние два параграфа посвящены рассмотрению комплексных нормированных пространств. Перенесение результатов на комплексный случай обычно не сложно. Чаще всего достаточно рассматривать п-мерное комплексное пространство, как вещественное пространство размерности 2п. При таком «вещественном» подходе к комплексным пространствам возникает естественный вопрос, не определяется ли комплексная структура вещественной геометрией пространства. Иначе говоря, существуют ли неизометричные комплексные пространства, изо-метричные в вещественном смысле? Второй вопрос, это вопрос возможности введения комплексной структуры в вещественном нормированном пространстве. Именно он обсуждается в параграфе 15..

Из теоремы Шарека 2.9 можно извлечь следующее утверждение: существует 2гс-мерное вещественное нормированное пространство X такое, что для любого п-мерного комплексного нормированного пространства У имеет место неравенство с1ш (Х, У) ^ сл/п, где с — некоторая абсолютная константа..

Это утверждение обобщается на случай модифицированного расстояния (см. теорему 15.1)..

Теорема 0.12. Существует 2п-мерное вещественное нормированное пространство X такое, что для любого п-мерного комплексного нормированного пространства У, имеет место неравенство п дш (Х, У) > с.

1п3/2 п.

Для любого п-мерного комплексного нормированного пространства X рассмотрим пространство X, совпадающее с X по запасу элементов, в котором произведение о х скаляра Л на элемент х? X определяется равенством Л о х = х, где Л — число, комплексно сопряженное с Л. Операция сложения и норма в X наследуются из X (тем самым в вещественном смысле пространства X и X изометричны)..

Ответ на вопрос о том, определяется ли комплексная структура пространства его вещественной геометрией даёт следствие из теоремы Шарека 2.9: существует тг-мерное комплексное нормированное пространство X такое, что ^ сп.

В параграфе 16 мы обобщаем этот результат на случай модифицированного расстояния Банаха-Мазура (см. теорему 16.1)..

Теорема 0.13. Существует п-мерное комплексное нормированное пространство X такое, что.

1п п.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [2], [3], [4]..

1. Банах С. С. Курс функционального анал1зу // Кшв.: Радяньска школа. 1948..

2. Бахарев Ф. JI. Экстремально далекие нормированные пространства с дополнительными ограничениями // Матем. Заметки. 2006. Т. 79. С. 339−352..

3. Бахарев Ф. JI. Оценки максимальных расстояний между пространствами, нормы которых инвариантны относительно заданных групп операторов // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2006. Т. 333. С. 3342..

4. Бахарев Ф. Я. Обобщение некоторых классических результатов на случай модифицированного расстояния Банаха-Мазура // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2006. Т. 333. С. 17−32..

5. Глускин Е. Д. Диаметр компакта Минковского примерно равен п // Функц. анал. и его прил. 1981. Т. 15. № 1. С. 72−73..

6. Глускин Е. Д. Экстремальные свойства ортогональных параллелепипедов и их приложения к геометрии банаховых пространств // Мат. сб. 1988. Т. 136 (178). № 1(5). С. 85−96..

7. Глускин Е. Д. Конечномерные аналоги пространств без базиса // Докл. Акад. Наук СССР. 1981. Т. 216. С. 72−73..

8. Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел // М.: Наука. 1971..

9. Гурарий В. ИКадец М. И., Мацаев В. И. О расстояниях между конечномерными аналогами пространств IP // Мат. сб. Т. 170(112). т. 1966. С. 481−489..

10. Дэй М. М. Нормированные линейные пространства. М.: ИЛ. 1961.И. Загускин В. Л. Об описанных и вписанных эллипсоидах экстремального объёма // УМН. Т. 13. № 6. 1958. С. 89−93..

11. Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу: учебное пособие вузов. 2-ое изд., перераб. и доп. СПб.: Невский ДиалектБХВ-Петербург. 2004..

12. Мильман В. Д. Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел // Функц. анализ и его прилож. Т. 5. № 4. 1971. С. 28−37..

13. Храброе А. И. Обобщенные объёмные отношения и расстояние Банаха-Мазура // Мат. Заметки. Т. 70, № 6. 2001. С. 918−926..

14. Храброе А. И. Оценки расстояний между суммами пространств tvn // Вестн. С. -Петербург, ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 3 (№ 17). С. 57−63..

15. Храброе А. И. Расстояния между пространствами с безусловными базисами // В сб. Проблемы математического анализа. Вып. 23. Новосибирск, Тамара Рожковская. 2001. С. 206−220..

16. Barany, I., Fiiredi, Z. Computing volume is difficult // Discrete Comput. Geom. 2. 1987. P. 319−326..

17. Barany, I., Fiiredi, Z. Approximation of the sphere by polytopes having few vertices // Proc. Amer. Math. Soc. 102. № 3. 1988. P. 651−659..

18. Ball K. Volumes of sections of cubes and related problems // Geometric aspects of functional analysis (1987;88). P. 251−260, Lecture Notes in Math. 1376. Springer. Berlin-New York. 1989..

19. Bourgain J., Milman V. Sections euclidiennes et volume des corps convexes symetriques // C. R. Acd. Sci. Paris. A 300.1985. P. 435−438..

20. Bourgain J., Milman V. New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rn // Inventiones Math. 88. № 2. 1987. P. 319 340..

21. Danzer L., Laugwitz D., Leuz H. Uber das Lownersche Ellipsoid undsein Analogen unter deu einem Eikorper einbeschriebener Ellipsoiden// Arch. Math. 8. 1957..

22. Davie A. M. The approximation problem for Banach spaces // Ecole Polytech. Palaiseau. Bull. London. Math. Soc. 5 (1973). P. 261−266..

23. Dvoretzky A. Some results on convex bodies and Banach spaces // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem. 1960). 1961. P. 123−160. Jerusalem Academic Press, JerusalemPergamon, Oxford..

24. Dvoretzky A., Rogers C. A. Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36. 1950. P. 192−197..

25. Enflo P. A counterexample to approximation problem for Banach spaces // Acta Math. 130 (1973). P. 309- 317..

26. Figiel T. A short proof of Dvoretzky’s theorem on almost spherical sections 11 Compositio Math. 33 (1976). P. 297−301..

27. Giannopoulos A., Hartzoulaki M. On the volume ratio of two convex bodies. // Bull. London Math. Soc. 34. № 6. 2002. P. 703−707..

28. Giannopoulos A. A., Milman V. D. Euclidean structure in finite dimensional normed spaces // «Handbook on the Geometry of Banach spaces». Vol. 1, W. B. Johnson and J. Lindnstrauss eds. Elsevier Science 2001. P. 707−779..

29. Gordon Y., Meyer M., Pajor A. Ratios of volumes and factorization through 4o // Illinois J. Math. 40. № 1. 1996, P. 91−107..

30. Gordon Y., Junge M. Volume ratios in Lp-spaces // Studia Math 36. 1999. № 2. P. 147−182..

31. Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires // Memoirs AMS. 16. Amer. Math. Soc. Providence. R.I. 1955..

32. Grothendieck A. Resume de la theorie metrique des produits tensoriels topologiques // Bul. Soc. Mat. Sao Paulo 8. 1956. P. 1−79..

33. John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions // Courant anniversary volume. Interscience. New York. 1948. P. 187−204..

34. Lindenstrauss J., Szankowski A. On the Banach-Mazur distance between spaces having an unconditional basis // Aspects of positivity in functional analysis (Tubingen, 1985). P. 119−136. North-Holland Math. Stud. 122. Amsterdam-New York. 1986..

35. Levi F. W. Uber zvei Satze von Herrn Besicovitch // Arch. Math. 3. 1952. P. 125−129..

36. Macbeath A. M. A compactness thoerem for affine equivalence-classes of convex regions // Canad. J. Math. 3. № 1. 1951. P. 54−61..

37. Mankiewicz P. Subspace mixing properties of operators in Rn with applications to Gluskin spaces // Studia Math. 1988. Vol. 88. №. 1. P. 51−67..

38. Mankiewicz P., TomczakJaegermann N. Rotating the unit ball of ?" 11 C. R. Acad. Sei. Paris, 1998. T. 327. Serie I. P. 167−172..

39. Mankiewicz P., Tomczak-Jaegermann N. Quotients of finite-dimensional Banach spacesrandom phenomena // «Handbook on the Geometry of Banach spaces», Vol. 2, W. B. Johnson and J. Lindnstrauss eds. Elsevier Science 2003, P. 1201−1246..

40. Milman V. D. Topics in Asymptotic Geometric Analysis // Proceedings of «Visions in Mathematics Towards 2000». GAFA 2000. 2000. Spec. Vol. P. 792−815..

41. Milman V. D., Schechtman G. Asymptotic theory of finite dimentional normed spaces // Lecture Notes in Math. Vol. 1200. Springer-Verlag. Berlin and New York. 1986..

42. Pajor A., Tomczak-Jaegermann N. Volume ratio and other s-numbers of operators related to local properties of Banach spaces// J. Funct. Anal. 1989. Vol. 87. №. 2. P. 273−293..

43. Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry//Cambridge University Press, Cambridge, 1989..

44. Rudelson M. Estimates of the weak distance between finite-dimensional Banach spaces // Israel J. Math. 1995. Vol. 89. №. 1−3. P. 189−204..

45. Saint-Raymond J. Sur le volume des corps convexes symetriques // Seminaire Initiation a l’Analyse. 80/81. Exp. № 11, Universite P. et M. Curie, Paris..

46. Santalo L. Un invariante afin para los cuerpos convexos del espacio de n dimensiones // Portugal Math. 8. 1949. P. 155−161..

47. Szankowski A. On Dvoretzky’s theorem on almost spherical sections of convex bodies // Israel J. Math. 17 (1974). P. 325−338..

48. Szarek S. J. On Kasin’s almost Euclidean orthogonal decomposition of t // Bull. Acad. Polon. Sci. 26. 1978. P. 691−694..

49. Szarek S. J. On the existence and uniqueness of complex stpucture and spaces witn «few» operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1986. Vol. 293. P. 339−353..

50. Szarek S. J. The finite dimensional basis problem with an appendix on nets of Grassmann mainfolds // Acta Math. 1983. Vol. 151. P. 153−179..

51. Szarek S. J., Tomczak-Jaegermann N. On nearly Euclidean decomposition of some classes of Banach spaces // Compositio Math 40. 1980. 367−385..

52. Tomczak-Jaegermann N. Banach-Mazur distances and finite-dimensional operator ideals // Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol. 38. Longman Scientific k, Technical. Harlow. New York. 1989..

53. Tomczak-Jaegermann N. The weak distance between Banach spaces // Math. Nachrichten. 1984. Vol. 119. P. 291−307..

54. Tomczak-Jagermann N. The Banach-Mazur distance between symmetric spaces // Israel J. Math. 46. 1983. P. 40−66..