О совместных приближениях решениями эллиптических уравнений в пространствах обобщенных функций

Теория равномерных аппроксимаций голоморфными и гармоническими функциями — глубоко исследованная область комплексного анализа и теории потенциала, базовыми результатами которой являются теоремы Вейерштрас-са (см. [1], Гл. 8, § 2.2), Рунге [2], Уолша-Лебега (см. [3], с.56), Лаврентьева (см. [3], с.70), Келдыша-Дени ([4], [5]), Мергеляна [6], Витушкина [7]. В работе А. Г. Витушкина [7], посвященной вопросам равномерного приближения функций рациональными дробями на компактах в С, был предложен локали-зационный метод, который в дальнейшем получил распространение на задачи аппроксимации функций решениями (произвольных) однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами (ОЭУПК) на компактных множествах X в 1SLN в нормах (топологиях) различных классов функций. В работах А.Г. О’Фаррелла ([8], [9]), Т. Бэгби [10], Дж. Вер-деры ([11], [12], [13]), П. В. Парамонова [14] и других авторов (см. [15], [16] и обзор литературы в этих работах) были получены аналоги известных емкостных критериев Витушкина для большинства задач аппроксимации функций решениями ОЭУПК на компактах в M. N в метриках пространств Lp, Lipa, Ст, ВМО, Wg. После того, как А.Г. О’Фаррелл [17] доказал инвариантность (и непрерывность) оператора Витушкина в широком классе так называемых «конкретных банаховых пространств» — КБП (так О’Фаррелл назвал линейные подмногообразия в (Cq°)* = (Cq°(M.n))* со своими банаховыми нормами и определенным набором свойств, см. § 1.1 далее), появился цикл работ, посвященных задачам аппроксимации (обобщенных) функций решениями ОЭУПК в нормах КБП на замкнутых множествах X в R^. Их результатами стали «абстрактные» аналоги локализационной теоремы Бишопа, теорем Рунге, Рот, Нерсесяна, Аракеляна (см. [18], [19]), а также ряд других утверждений, важных в приложениях. В частности, были получены новые интересные результаты о граничных свойствах решений общих ОЭУПК (см. [20], [21]). Тем не менее, «абстрактных» аналогов емкостных критериев Витушкина для КБП получить не удалось: даже сам, но себе емкостный подход в контексте общих КБП представляется весьма громоздким.

1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 0001−618 и № 04−01−720) и программы «Ведущие научные школы Российской Федерации» (проект НШ-2040.2003.1).

В указанных выше работах каждая из аппроксимационных задач посвящена приближениям в некоторой фиксированной норме, которая обладает определенными свойствами однородности и инвариантности. Ясно, что такие приближения не могут учитывать различные свойства гладкости приближаемых функций на разных подмножествах в X. Таким образом, весьма естественно возникает задача о совместной (одновременной) аппроксимации в нескольких (для начала в двух) различных нормах на (двух) разных компактах Х и Х2, X = X1UX2. Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22], [23], [24] и цитируемые там работы), где соответствующие нормы или топологии являются классическими: равномерная, поточечно-ограниченная, липшицева. В контексте аппроксимации в произвольных КБП данная задача рассматривается впервые. В принципе, возможен целый ряд различных постановок этой задачи. Наиболее естественным на наш взгляд является уитниевский подход, развитый в контексте иабстрактных" аппроксимаций в одной норме в работах [18], [19], [21].

Основной целью первой главы является получение «редукционной» теоремы (теоремы 1.1), сводящей задачу совместной аппроксимации в нормах двух КБП к задачам аппроксимации в каждой из этих норм по отдельности (последние задачи считаются априори решенными). Главная трудность здесь состоит в том, что соответствующий локализационный оператор Витушки-па, играющий существенную роль в таких задачах, как правило оказывается не инвариантным в естественным образом возникающих пространствах аппроксимации. В связи с этим локализационная теорема получена при некоторых ограничениях на множества Х и Х2 (X = Х U Х2), на которых осуществляется аппроксимация. Аналогичные ограничения возникают уже в простейших случаях равномерной рациональной аппроксимации (см. [25]), когда приближения исследуются на объединении двух компактов, на каждом из которых нужная аппроксимация имеет место. В качестве иллюстраций в главе 1 приводится ряд следствий теоремы 1.1, являющихся новыми даже для таких классических пространств аппроксимаций, как Cm (RN). Приводятся также примеры отсутствия совместной аппроксимации, указывающие на существенность ограничений, указанных в теореме 1.1.

Вторая глава посвящена исследованиям специальных функций множествтак называемых вместимостей компактных множеств в R^, тесно связанных с задачами аппроксимации решениями ОЭУПК (в частности, с условием.

ПК) в теореме 1.1). Приводятся двусторонние оценки вместимостей в терминах различных метрических характеристик соответствующих компактов.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М. «Наука». 1976.

2. С. Runge, Zur theorie der eindeutigen analytischen funktionen, Acta Math. 1885. V.6. p.228−244.

3. Т. Гамелин, Равномерные алгебры, M. «Мир». 1973.

4. М. В. Келдыш, О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, УМН. 1941. № 8. с.171−231.

5. J. Deny, Systemes totaux de functions harmoniques, Ann. Inst. Fourier. 1949. V.l. p.103−113.

6. С. H. Мергелян, Равномерное приближение функций комплексного переменного, Успехи матем. наук. 1952. т.7. № 2(48). с.31−122.

7. А. Г. Витушкин, Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений, Успехи матем. наук. 1967. т.22. № 6. с. 141−199.

8. A. G. O’Farrell, Hausdorff content and rational approximation in fractional Lipschitz norms, Trans. Amer. Math. Soc. 1977. V.228. p. 187−206.

9. A. G. O’Farrell, Rational approximation in Lipschitz norms II, Proc. Royal. Irish Acad. 1979. V.79A. p.104−114.

10. T. Bagby, Approximation in the mean by solution of elliptic equations, Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V.281. p.761−784.

11. J. Verdera, On Cm rational approximation, Proc. Amer. Math. Soc. 1986. V.97. p.621−625.

12. J. Verdera, BMO rational approximation and one-dimensional Hausdorff content, Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V.297. p.283−304.

13. J. Verdera, Cm approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon-Zygmund operators, Duke Math. Journal. 1987. V.55. № 1. p.157−187.

14. П. В. Парамонов, О гармонических аппроксимациях в С1-норме, Матем. сб. 1990. т. 181. № 10. с.1341−1365.

15. Дж. Вердера, М. С. Мельников, П. В. Парамонов, С1-аппроксимация и продолжение субгармонических функций, Матем. сб. 2001. т.192. № 4. с.37−58.

16. J. Verdera, Removability, capacity and approximation, Complex Potential Theory. NATO ASI Series. Kluwer Academic Publ. Dordrecht. 1994. p.419−473.

17. A. G. O’Farrell, T-invariance, Proc. Roy. Irish Acad. 1992. V.92A. №. p.185−203.

18. P. V. Paramonov and J. Verdera, Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of Euclidean space, Math. Scand. 1994. V. T4. p.249−259.

19. А. Бовен и П. В. Парамонов, Аппроксимация мероморфными и целыми решениями эллиптических уравнений в банаховых пространствах распределений, Матем. сб. 1998. т. 189. № 4. с.481−502.

20. A. Boivin, P. V. Paramonov, On radial limit functions for entire solutions of second order elliptic equations in R2, Publications Matematiques. 1998. V.42. p.509−519.

21. A. Boivin, P. M. Gauthier and P. V. Paramonov, Approximation on closed sets by analytic or meromorphic solutions of elliptic equations and applications, Canad. J. of Mathem. 2002. v.54. № 5. p. 945−969.

22. Lee A. Rubel and Arne Stray, Joint approximation in the unit disc, Journal of approximation theory. 1983. V.37. № 1. p.44−50.

23. Fernando P. Gonzalez and Arne Stray, Farrell and Mergelyan sets for Hp spaces, Michigan Math. Journal. 1989. V.36. p.379−386.

24. А. А. Даниелян, О некоторых задачах, возникающих из проблемы Рубеля об одновременной аппроксимации, Доклады РАН. 1995. т.341. № 1. с.10−12.

25. А. М. Davie and В. К. Oksendal, Rational approximation on the union of sets, Proc. Amer. Math. Soc. 1971. V.29. №. p.581−584.

26. D. Khavinson, Annihilating measures of the algebra R (X), J. Funct. Anal. 1984. V.58. p.175−193.

27. T. Gamelin, D. Khavinson, The isoperimetric inequality and rational approximation, Amer. Math. Month. 1989. V.96. № 1. p.18−30.

28. D. Khavinson, Symmetry and uniform approximation by analytic functions, Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V.101. № 3. p.475−483.

29. H. Alexander, Projections of polynomial hulls by analytic functions, J. Funct. Anal. 1973. V.13. № 3. p.13−19.

30. D. Khavinson, On uniform approximation by harmonic functions, Michigan Math. Journal 1987. V.34. p.465−473.

31. П. M. Готье, П. В. Парамонов, Аппроксимация гармоническими функциями в С1-норме и гармонический С1-поперечник компактных мноэюеств в Rn, Матем. заметки 1993. т.53. № 4. с.21−30.56.

32. Ю. А. Горохов, Аппроксимация гармоническими функциями в Ст-норме и гармоническая Ст-вместимость компактных множеств в Rn, Матем. заметки 1997. т.62. № 3. с.372−382.

33. Т. Husain, The open mapping and closed graph theorems in topological vector spaces, London. Oxford Univ. Press. 1965.

34. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics, V. I. New York. Academic Press. 1972.

35. И. M. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М. «Мир». 1973.

36. A. G. O’Farrell, The order of a symmetric concrete space, Proc. Roy. Irish Acad. 1988. V.88 A. № 1. p.39−48.

37. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, М. «Мир». 1986. в 4-х т. т.1.

38. JI. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, М. «Мир». 1986. в 4-х т. т.2.

39. В. С. Владимиров, Обобщенные функции в математической физике, М. «Наука». 1976.

40. J. Mateu, J. Orobitg, Lipschitz approximation by harmonic functions and some applications to spectral synthesis, Indiana Univ. Math. Journal. 1990. V.39. p.703−736.

41. P. Mattila, Geometry of sets and measures in euclidean spaces, Cambridge Univ. Press. 1995.

42. П. В. Парамонов, Некоторые новые критерии равномерной приближае-мости функций рациональными дробями, Матем. сб. 1995. т. 186. № 9. с.97−112.

43. П. В. Парамонов, Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R™, Матем. сб. 1993. т.184. № 2. с.105−128.

44. К. Ю. Федоровский, О равномерных приближениях функций п-аналитическими полиномами на спрямляемых контурах в С, Матем. зам. 1996. т.59. № 4. 604−610.

45. X. X. Кармона, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, О равномерной аппроксимации полианалитическими многочленами и задаче Дирихле для бианалитических функций, Матем. сб. 2002. т. 193. № 10. с.75−98.

46. В. М Weinstock, Uniform approximation by solutions of elliptic equations, Proc. Amer. Math. Soc. 1973. V.41. № 2. p.513−517.