Асимптотика решений некоторых сингулярно возмущенных краевых задач для линейных гиперболических уравнений и систем с неполными вырождениями

Многие прикладные задачи физики, механики, техники, химии и биологии описываются с помощью дифференциальных уравнений, содержащих малые или большие параметры, называемых возмущенными уравнениями. В зависимости от характера возмущения такие задачи подразделяются на регулярно возмущенные и сингулярно возмущенные задачи. Математические основы регулярной теории возмущений подытожены в монографиях К.0.Фридрихеа /70/ и Т. Като /46/. По сравнению с регулярно возмущенными задачами исследование сингулярно возмущенных задач представляет большую трудность. В таких задачах вырожденная задача принадлежит другому типу, чем исходная задача, и возникают трудности в качественном исследовании поведения решения невырожденной задачи. Фундаментальные работы А. Н. Тихонова /61,62,63/, посвященные теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных, дали мощный импульс интенсивному развитию теории сингулярных возмущений.

Одной из трудных проблем в теории сингулярно возмущенных задач для дифференциальных уравнений является построение асимптотических разложений по малому параметру решений для рассматриваемых задач. Решения сингулярно возмущенных задач дщя дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных зависят от параметра как регулярным, так и сингулярным образом. Сущность асимптотического метода малого параметра состоит в том, чтобы, отделив эти зависимости одну от другой, построить равномерно пригодные асимптотические приближения. Среди асимптотических методов созданных применительно к сингулярно возмущенным задачам с погранслойным характером решений, следует отметить весьма эффективный метод погранслойных функций, развитый М. И. Вишиком и Л. А. Люстерником /17/ для сингулярно возмущенных линейных дифференциальных уравнений, А. Б. Васильевой /II-14/ для сингулярно возмущенных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, М. И. Иманалиевым /25,26/ для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем. Этот метод в настоящее время получил название «метод пограничных функций». Дальнейшее развитие метода пограничных функций получило в работах В.А.Треноги-на /64,65,66/, В. А. Тупчиева /67,68/, В. Ф. Кутузова /2,3/.

С.А.Ломов /48−52/ разработал метод регуляризации сингулярно возмущенных задач с помощью перехода в пространство большой размерности, индуцированной исходной задачей, и замены исходного сингулярно возмущенного оператора на регулярный оператор. Метод С. А. Ломова применим к широкому спектру задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными.

В.Ф.Бутузов /4−8/ разработал метод угловых пограничных функций, который является дальнейшим существенным обобщением и развитием метода пограничных функций. Метод В. Ф. Бутузова применим к сингулярно возмущенным краевым задачам с двумя и более соприкасающимися вязкими краевыми границами для уравнений с частными производными.

Л.С.Понтрягин, Е. Ф. Мищенко и Н. Х. Розов /53−56,59,60/ разработали метод расчета релаксационных колебаний, описываемых сингулярно возмущенными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Среди других асимптотических методов, разработанных каждый для определенного круга задач, можно отметить метод сращивания асимптотических разложений /9,20,57,74/, метод усреднения Крылова — Боголюбова — Митропольского /I/ и др.

При изучении краевых задач для уравнений или систем выше первого порядка, когда быстрые переменные или производные от медленных переменных на начальном многообразии неограничены при стремлении малого параметра к нулю, исследование сингулярно возмущенных задач не поддается указанным методам. Впервые задача Коши с начальным скачком для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной была изучена М. И. Вшиком, Л. А. Люстерником /18/ и К. А. Касымовым /27/. Характерной особенностью таких задач является то, что решение невырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю стремится к решению вырожденного уравнения, но уже с измененным начальным условием. В таком случае говорят, что имеет место явление начального скачка. Наиболее общие случаи задач Коши с начальными скачками для сингулярно возмущенных нелинейных систем обыкновенных и интегро-дифферен-циальных уравнений, а также для систем и уравнений в частных производных гиперболического типа изучены К. А. Касымовым /27−36/.

В приложениях нередко возникают задачи, которые в математической постановке приводят к краевым задачам для сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Например, в задачах, связанных с решением уравнения Навье-Стокса при малой вязкости среды естественным образом возникают сингулярно возмущенные задачи /52/, или в задачах химической кинетики /7/, или в подземной гидромеханике, связанной с исследованием гидродинамических параметров пласта, возникает сингулярно возмущенная смешанная задача гиперболического типа /75/. Среди сингулярно возмущенных краевых задач для уравнений с частными производными представляют особый теоретический интерес краевые задачи с двумя и более соприкасающимися вязкими границами. Оказалось, что метод пограничных функций, разработанный применительно к задачам с одной вязкой границей или с двумя, но не соприкасающимися, в этом случае не проходит. Потребовалось существенная модификация и обобщение метода погранфункций для таких задач. В работах В. Ф. Бутузова изучены сингулярно возмущенные краевые задачи с двумя и более соприкасающимися вязкими границами трех основных типов-эллиптического, параболического и гиперболического с полными вырождениями при помощи метода, названного им методом угловых погранфункций. Сингулярно возмущенные краевые задачи с двумя и более соприкасающимися вязкими границами для линейных гиперболических систем /39/, сингулярно возмущенные смешанные паевые задачи с начальным скачком и без него гиперболического типа с неполными вырождениями /42,43,44/ исследуются также при помощи метода угловых погранфункций. Однако, по сравнению с сингулярно возмущенными задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений сингулярно возмущенные задачи для уравнений с частными производными изучены крайне мало. Это связано с тем обстоятельством, что теория уравнений с частными производными крайне сложна и менее разработана, нежели теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому дальнейшая разработка асимптотических методов решения сингулярно возмущенных задач для уравнений с частными производными, модификация и обобщение известных методов асимптотического интегрирования таких задач является актуальной темой математических исследований.

Многие сингулярно возмущенные краевые задачи гиперболического типа рассматриваются в областях, содержащих угловые граничные точки. В окрестности точки соприкосновения двух вязких границ возникает явление углового погранслоя, для качественного и количественного описания которого обычный метод пограничных функций является недостаточным. Для исследования асимптотического поведения решений таких задач в окрестностях угловых граничных точек применяется метод угловых пограничных функций. Суть этого метода состоит в том, что для описания пограничного слоя в окрестности угловых граничных точек вводятся специальные функции, называемые угловыми погранфункциями, играющие существенную роль в асимптотическом представлении решения в окрестности этих угловых граничных точек.

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению сингулярно возмущенных краевых задач с начальными скачками и с угловыми граничными точками для систем и уравнений гиперболического типа с неполными вырождениями. Диссертация состоит из данного введения, десяти параграфов, разбитых на три главы, и списка цитированной литературы.

1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методыв теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

2. Бутузов В. Ф. К вопросу об асимптотике решений и.д.у. с малым параметром при производной. Д.У., 1966, 2 й 3, с.391−406.

3. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения одной задачи для нелинейного и.д.у. с малым параметром при производной Д.У., 1968, 4, № 3, с.491−507.

4. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравненияyYв прямоугольной области. Д.У., 1973, 9 В 9, с.1054−1660.

5. Бутузов В. Ф. Об асимптотике решений сингулярно возмущенныхуравнений эллиптического типа в прямоугольной области. -Д.У., 1975, II, 1Ь 6, C. I030-I04I.

6. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярновозмущенных задачах для гиперболических уравнений. Ма-тем. сб., 1977, 104 № 3, с.460−485.

7. Бутузов В. Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задачхимической кинетики с учетом диффузии ДАН СССР, 1978, 242 J& 2, с.268−271.

8. Бутузов В. Ф., Нестеров А. В. 0 некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями. ДАН СССР, 1982, 263 Я 4, с.786−789.

9. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенныхдифференциальных уравнений. М.: МИР, 1968. 10. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М., Наука, 1973.

10. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых краевых задачдля квазилинейных уравнений с малым параметром при старшей производной. ДАН СССР, 1958, 123 В 4, с.583−586.

11. Васильева А. Б. Построение равномерного приближения длярешений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Матем. сб. I960, 50 Jfc I, с.43−58.

12. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач дляобыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. УМН, 1963, 18 № 3, с.15−86.

13. Васильева А. Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966;1976 гг. УМН, 1976, 31 6, с. 102−122.

14. Васильева А. Б., Иманалиев М. И. Асимптотика решения задачиКоши для и.д.у. с малым параметром при производной. ЖВМ и МФ, 1966, 781, с. 61−69.

15. Васильева А. Б., Топчиев В. А. Асимптотические формулы длярешения краевой задачи для уравнения 2-порядка с мальм параметром при старшей производной. ДАН СССР, I960, 135 Jfc 5, с.1035−1037.

16. Вишик М. И., Лгастерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для жн.дифф.уравн. с малым параметром. -УМН, 1957, 12 Гв 5, с./3−122.

17. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифф. уравнений, содержащих малый параметр. ДАН СССР, I960, 132 JS 6, 251−253.

18. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Некоторые вопросы возмущенийкраевых задач для дифференциальных уравнений в частныхпроизводных лАН СССР, 1959, 129 В 6, с.1203−1205.

19. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., МИР, 1967.

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

21. Джавадов М. Г. Смешанная задача для гиперболического уравнения с малым параметром при старших производных. ДАН СССР, 1963, 152 В 4, с.790−793.

22. Джавадов М. Г. Задача Коши для гиперболического уравненияс малым параметром при старших производных. ИАН Аз, ССР, серия физ.-мат. и тех. наук, 1963, й 6.

23. Дородницын А. А. Асимптотическое решение уравнения Ван дерПоля. DMM, 1947, II, с.313−328.

24. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярновозмущенных интегро-дифф.систем. Фрунзе: Илим, 1972.

25. Иманалиев М. И. Колебания и устойчивость сингулярно возмущенных интегро-дифф.систем. Фрунзе: Илим, 1974.

26. Касымов К. А. Об асимптотике решения задачи Коши с большиминачальными условиями для нелинейных обыкновенных дифф. уравнений, содержащих малый параметр. УМН, 1962, 17 В 5, с.187−188.

27. Касымов К. А. Асимптотическое поведение решений задачиКоши с начальным скачком для системы дифф. уравнений с малым параметром при производной. В сб. «Уравнения мат. физики и функ. анализ», Алма-Ата, 1966, с.16−24.

28. Касымов К. А. 0 начальном скачке для обыкновенных нелинейныхДифф. уравнений, содержащих малый параметр. В сб." Ддфф. уравнения и их применение", Алма-Ата, 1967, с.84−87.

29. Касимов К. А. О задаче Коши с начальными скачками. Вестник АН КазССР, 1968, 6, с.54−57.

30. Касымов К. А. Асимптотика решения задачи с начальным скачком для нелинейных систем и.д.у., содержащих малый параметр при старшей производной. ИАН КазССР, сер.физ.-мат., 1968, № 5.

31. Касымов К. А. О задаче с начальным скачком для нелинейныхсистем д.у., содержащих малый параметр ДАН СССР, 1968, 179 }Ь 2, с.275−278.

32. Касымов К. А. Асимптотика решения задачи с начальным скачком для нелинейных систем д.у. с малым параметром при старшей производной. ДАН СССР, 1969, 189 $ 5, с.941−944.

33. Касымов К. А. Асимптотика решения задачи с начальным скачком для гиперболических уравнений второго порядка, содержащих малый параметр. Ш СССР, 1970, 195 JS I, с.28−31.

34. Касымов К. А. Асимптотика решения задачи с начальным скачком для гиперболических уравнений, вырождающихся в параболическое уравнение. ИАН КазССР, сер.физ.-мат., 1970, $ 5.

35. Касымов К. А. Асимптотика решения задачи с начальными скачками для системы дифф. уравнений гиперболического типа с малым параметром при производной. ДАН СССР, 1971, 196 2, с.274−277.

36. Касымов К. А., Кадыкенов Б. М. Асимптотическое разложениерешения задачи Коши для систем линейных гиперболических уравнений с малым параметром. ИАН КазССР, сер. физг-мат., 1974, В 5.

37. Кадыкенов Б. М. Асимптотическое разложение решения безначальной краевой задачи для систем линейных гиперболическихуравнений с малым параметром. ИАН КазССР, сер. физ.-мат., 1975, В 5.

38. Кадыкенов Б. М. Асимптотическое разложение решения задачитипа Гурса для систем линейных гиперболических уравнений с малым параметром. В сб. «Вопросы прикл. математики и механики», вып.2, Алма-Ата, 1975.

39. Кадыкенов Б. М., Касымов К. А. Построение асимптотическогоразложения решения безначальной краевой задачи для одного гиперболического уравнения с малым параметром. В кн. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам. Фрунзе, 1975, с.197−200.

40. Кадыкенов Б. М. Асимптотическое разложение решения задачис начальным скачком для многомерных гиперболических уравнений. Тезисы докладов У1-Казахстанской конференции по математике и механике. Алма-Ата, 1977, ч.1, с. 21.

41. Кадыкенов Б. М. Об асимптотике решения смешанной задачи длясингулярно возмущенных гиперболических уравнений 2-поряд-ка. В кн. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам. ч.1, Алма-Ата, 1979, с.36−38.

42. Кадыкенов Б. М. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной смешанной задачи с начальныгл скачком для гиперболических уравнений второго порядка. Вест. АН КазССР, 1983, В 5, с.33−35.

43. Кадыкенов Б. М. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной смешанной задачи с большой начальной скоростью для гиперболических уравнений с неполным вырождением. ИАН КазССР, сер. физ.-мат., 1983, 3, с.68−70.

44. Кадыкенов Б. М., Касымов К. А. 0 задаче Коши с начальнымскачком для сингулярно возмущенных гиперболических уравнений, вырождающихся в уравнение 1-порядка. ДУ, 1983, 19 й 12, C.2II4−2I22.

45. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: МИР, 1972.

46. Курант Р. Уравнения с частными производными.-М.: МИР, 1964.

47. Ломов С. А. Асимптотическое поведение решений обыкновенныхдифф. уравнений второго порядка, содержащих малый параметр.-Тр. МЭИ, 1962, 42, с.99−144.

48. Ломов С. А. Степенной погранслой в задачах с сингулярнымвозмущением. ИАН СССР, сер.матем., 1966,30 й 3, с.525−572.

49. Ломов С. А. Об одном методе регуляризации сингулярных возмущений. ДАН СССР, 1967, 177 В 6, с.1273−1275.

50. Ломов С. А. Формализм неклассической теории возмущений. ДАН СССР, 1973, 212 № I, с.33−36.

51. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений.М.: Наука, 1981.

52. Мищенко Е. Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнения, содержащих малые параметры. ИАН СССР, сер. матем., 1957, 21 № 5,с.627−654.

53. Мищенко Е. Ф. Асимптотическая теория релаксационных колебаний, описываемых системами второго порядка. Матем. сб., 1958, 44 № 4, с.457−480.

54. Мшценко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Доказательство некоторых асимптотических формул для решений дифф. уравнений с малым пара-метром.-ИАН СССР, сер.матем., 1959, 23 й 5, с.643−660.

55. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малымпараметром и релаксационные колебанил.М.:Наука, 1975.

56. Найфэ А. Х. Методы возмущений. М.: МИР, 1976.

57. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М. 1961.

58. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений системдифф. уравнений с малым паршетром при высших производных.-ИАН СССР, 1957, 21:3, с.605−626.

59. Розов Н. Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы. Вестник МГУ, матем. и мех., 1964, $ 2, с.70−82.

60. Тихонов А. Н. 0 зависимости решений дифф. уравнений от малогопараметра. Матем. сб., 1948, 22 (64).

61. Тихонов А. Н. О системах дифф. уравнений, содержащих параметры. -Матем.сб., 1948, 27 (69).

62. Тихонов А. Н. Системы дифф. уравнений, содержащих малые параметры при производных. Матем.сб., 1952, 31 (73).

63. Треногин В. А. Об асимптотике решений квазилинейных гиперболических уравнений с гиперболическим погранслоем. -Тр. МФТИ «Исследования по механике и прикл. математике», 1962, вып.9, с. II2-I27.

64. Треногин В. А. Асимптотика и существование решения задачиКоши для дифф. уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. ДАЛ СССР, 152:1, 1963, с.63−66.

65. Тупчиев В. А. О существовании, единственности и асимптотикерешения краевой задачи для системы дифф. уравнений с малым параметром. Д/Ш СССР, 1962, 142:6, с.1261−1264.

66. Фридрихе К. О. Возмущение спектра операторов в гильбертовомпространстве. М.: МИР, 1969.

67. Фридрихе К. О. Асимптотические явления в математическойфизике. Математика, 1957, I, В 2, с.79−94.

68. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МИР, 1970.

69. Коул. Д&. Методы возмущений в прикладной математике. М.:МИР, 1972.

70. Парный И. А. Подземная гидромеханика.Гостехиздат., 1948.

71. Сысоева Т. Н. Асимптотическое разложение решения сингулярновозмущенной гиперболической системы дифф.уравнений. Методы малого параметра и их применение. Тезисы лекций и кратких научных сообщений Всесоюзной школы-семинара, Шнек, 1982, с. 114.

72. Цымбал В. Н. Вырождение гиперб. уравнения 2-порядка в обыкновенное. Вестник Львовск. ун-та, сер. мех.-мат., вып.12, 1977, с.37−39.