Вероятностно-статистическое моделирование динамической эволюции малых тел при тесных сближениях (вычислительный эксперимент)

Актуальность.

Изучение динамической эволюции траекторий малой компоненты ближнего и дальнего космоса имеет большое значение по многим причинам. Во-первых, целый ряд экологических катастроф на Земле связан непосредственно с бомбардировками поверхности телами как естественного, так и искусственного происхождения. Во-вторых, экологическое состояние верхних слоев стратосферы непосредственно связано с безопасной эксплуатацией искусственных спутников, энергетические установки которых в большинстве своем работают на ядерном топливе. Поэтому при расчете орбит движения, запаса прочности обшивок и наружного оборудования ИСЗ следует учитывать пространственную населенность и энергетические характеристики метеороидных роев, которые пересекает Земля в процессе своего движения. В-третьих, планирование трасс движения для межпланетных космических аппаратов требует долгосрочных прогнозов поведения малой компоненты Солнечной системы и оценки ее влияния на динамику их полета.

Потенциальную угрозу околоземным и, в большей степени, межпланетным космическим аппаратам представляют образования естественного происхождения: метеороидные рои, кометы, пояса астероидов, фрагменты выбросов вследствие эруптивных процессов, происходящих на различных объектах Солнечной системы, а также отдельные метеороиды и их комплексы, захваченные на околоземную орбиту. К таким же объектам относятся реликтовые хранилища кометного вещества: пояса Уипла-Кейпера, Оорта и др. [12, 25, 45, 98, 99, 104, 133 и др.].

Большое влияние на динамическую эволюцию орбит комет и астероидов, а также других малых тел Солнечной системы оказывают гравитационные возмущения со стороны планет и особенно тесные сближения с ними [42, 75]. Согласно результатам, полученным Хоулманом и Висдом [118], зонами относительной стабильности в Солнечной системе являются пояс астероидов, обширная область за Нептуном и узкий пояс между Ураном и Нептуном. Остальное обширное пространство подвержено сильным и вековым возмущениям со стороны системы.

В условиях, когда каталогизация мелких фрагментов невозможна, статистическое моделирование их пространственного распределения является фактически единственным способом получения оценок динамических характеристик малой компоненты Солнечной системы. Построение математических моделей поведения отдельных объектов, а также комплексов малых тел необходимо для решения как теоретических, гак и сугубо практических задач: прогнозирование пространственного распределения объектов, подготовка проведения наблюдений и других. Разработка и испытание различного рода космического оборудования также невозможны без использования соответствующих моделей.

Большинство нелинейных математических моделей — неинтегрируемы, для них нельзя получить решение в аналитическом виде, что приводит к необходимости применения методов вычислительной математики и соответствующих технологий для получения решений нелинейных систем уравнений [21].

Нелинейные модели, которые изучаются и рассматриваются в небесной механике, в той или иной степени обладают чувствительностью к точности начальных данных. Одним из фундаментальных результатов нелинейной динамики является осознание принципиальных ограничений в области получения прогноза даже для простейших нелинейных динамических систем [43, 60, 65, 115]. Учет неопределенности начальных условий особенно важен при исследовании небесномеханических объектов, имеющих тесные сближения с возмущающими телами.

Стохастическое варьирование начальными значениями переменных и параметров системы позволяет выявить множество особенностей системы и получить структуру пространства траекторий, что, в конечном итоге, позволяет построить более полноценный прогноз поведения системы, а также установить степень влияния неопределенностей переменных и параметров системы на устойчивость системы к начальным данным.

Стохастическое моделирование на основе методов Монте-Карло позволяет дать вероятностное описание динамической эволюции орбит объектов исследования и построить наиболее адекватные вероятностно-статистические компьютерные модели. Вероятностно-статистическое моделирование, учитывающее особенности дискретного характера компьютерных моделей, на основе новых технологий обработки и представления информации, как единственное универсальное средство построения решения задач эволюции, позволяет получить более полную информацию о динамических характеристиках движения объектов, поведение которых изучается. Такое понимание компьютерного и математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик-явлений, но также описание и изучение основных их качественных свойств.

Широко известные специалисты ВВЦ РАН в области численных методов и вычислительного эксперимента Самарский А. А. и Михайлов А. П. в своей монографии [81] пишут: «компьютерное моделирование при решении задач динамической эволюции составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно не только приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим методам, но в целом ряде задач является единственно возможным способом их исследования и построения прогноза эволюции» .

Построение адекватных вероятностно-статистических моделей эволюции траекторий малых тел в гравитационном поле при тесных сближениях с массивными телами представляет одну из актуальных задач небесной механики.

Цели и задачи настоящей работы.

Целью настоящей работы является разработка новых методов исследования небесно-механических аспектов сложной хаотической динамики математических моделей эволюции траекторий короткопериодических комет и метеороидного вещества в межпланетном пространстве.

Практическая реализация этой концепции приводит к необходимости разработки способов математической формализации задач динамической эволюции траекторий малых тел, стохастических моделей вычислительного эксперимента и численных схем Монте-Карло.

Работа выполнялась по следующим основным направлениям.

1) разработка и обоснование вероятностно-статистической модели динамической эволюции траекторий малых тел в рамках пространственной задачи N-тел;

2) исследование влияния тесных сближений малых тел Солнечной системы с другими телами большой массы на динамическую эволюцию их траекторий в рамках пространственной задачи четырех и шести тел в условиях неопределенности начальных данных;

3) исследование и учет влияния процесса компьютерной редукции на результаты вычислительного эксперимента;

4) численное моделирование процесса эруптивного выброса с поверхности кометы с учетом влияния движения родительского тела на структуру траекторий нового образования, сформированного из продуктов выброса;

5) сравнительный анализ полученных результатов вероятностно-статистического моделирования динамической эволюции траекторий ряда короткопериодических комет Солнечной системы с результатами, полученными на основе классических детерминированных методов.

Основной метод выполнения работы — теоретическое исследование в сочетании с технологиями вероятностно-статистического моделирования и вычислительного эксперимента с привлечением наблюдательных данных при анализе эволюции конкретных небесных объектов и результатов моделирования.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

1) разработана, обоснована и доведена до практической реализации схема проведения вычислительных экспериментов на основе вероятностно-статистической модели, имитирующей динамическую эволюцию траекторий малых объектов естественного происхождения в условиях неопределенности начальных данных;

2) определены области регулярной и стохастической динамики в общей эволюции траекторий для ряда короткопериодических комет, определены моменты времени и начальные условия, при которых наиболее вероятен переход от одного типа динамики к другому;

3) получены количественные оценки роста стохастического хаоса в динамической эволюции траекторий для ряда короткопериодических комет;

4) определены наиболее вероятные области устойчивого и неустойчивого движения некоторых короткопериодических комет в условиях неопределенности начальных данных и параметров математической модели и ограниченной информативности схем вычислительного эксперимента;

5) разработаны численные вероятностно-статистические технологии исследования траекторий малого тела в сферах влияния тел большой массы;

6) разработан вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;

7) исследовано влияние процесса компьютерной редукции на получаемые результаты при компьютерном моделировании на примере конкретных небесномеханических задач, предложен способ сглаживания процесса редукции.

Научная и практическая значимость.

Работа направлена на решение проблем, способствующих расширению знаний об окружающем космическом пространстве, динамической эволюции траекторий его малых объектов. Разработанные вероятностно-статистические модели и методы исследования нелинейных динамических систем небесной механики позволяют описывать поведение таких систем (либо отдельных их объектов) в условиях неопределенности начальных данных и параметров системы и резкого изменения переменных движения при тесных сближениях с возмущающими телами. Эти методы позволяют получать решения нелинейных динамических систем небесной механики, недоступные классическим методам. Результаты могут быть использованы для: а) вероятностного описания динамической эволюции траекторий малых объектовб) определения и описания областей регулярного движения и областей вероятного перехода к хаотической динамике, с возможностью оценки масштабов роста хаотического поведения и его вероятностного описанияв) определения начальных условий, при которых происходят выбросы на устойчивые или неустойчивые орбиты, на орбиты с определенными параметрамиг) построения карт плотности траекторий комплексов малых объектов, выявления зон наиболее вероятной концентрации и расхождения траекторий, а также для определения моментов времени разделения траекторий на группы.

Сведения такого характера могут быть использованы как для планирования наблюдений, так и для прогноза метеороидной опасности при планировании протяженных космических миссий. Одним из важных практических преимуществ результатов, получаемых в процессе использования компьютерной модели, является их целочисленный характер. Это упрощает их возможную дальнейшую компьютерную обработку без потерь точности.

На защиту выносится;

1) вероятностно-статистическая схема вычислительного эксперимента, позволяющая имитировать и исследовать динамическую эволюцию траекторий малых объектов Солнечной системы с учетом влияния гравитационных возмущений в условиях неопределенности начальных данных;

2) вероятностно-статистический метод моделирования динамики малых тел в сферах влияния тел большой массы в рамках задачи N-тел в условиях неопределенности начальных данных;

3) вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;

4) количественные и качественные оценки параметров динамической эволюции траекторий и пространственно-временных масштабов роста стохастического хаоса в динамике движения короткопериодических комет Брукса 2, Неуймина 3, Отермы, Лекселя, Швассмана-Вахмана 1, Энке;

5) вероятностно-статистический способ оценки и уменьшения влияния компьютерной редукции на результаты численного моделировании.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

— международном конгрессе «Энергетика — 3000» (ИАТЭ, г. Обнинск, 12−16 октября, 1998 г.);

— на научной конференции «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики» (ГАИШ, г. Москва, 7−9 декабря, 1998 г.);

— на научно-технической конференции «Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (ИАТЭ, МНТ-V)» (г. Обнинск, 14−17 июня, 1999 г.);

— на научной конференции «XXXIV Научные чтения, посвященные разработке творческого наследия К.Э. Циолковского» (г. Калуга, 14−16 сентября, 1999 г.);

— на научной конференции «Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы» (ЦИПК, г. Обнинск, 25−29 октября, 1999 г.);

— на «1-ой Российской конференции молодых ученых по математическому моделированию» (филиал МГТУ им. Н. Э. Баумана, г. Калуга, 12−14 апреля, 2000 г.);

— на научной конференции «XXXV Научные чтения, посвященные разработке творческого наследия К.Э. Циолковского» (г. Калуга, 12 — 14 сентября, 2000 г.);

— на научной конференции «Новые результаты аналитической и качественной небесной механики» (ГАИШ, г. Москва, 5−6 декабря, 2000 г.);

— на научной конференции «Околоземная астрономия XXI века» (г. Звенигород, 21−25 мая, 2001 г.).

— на семинарах Совета по небесной механике (ГАИШ, г. Москва, 9 октября 2001 г., 8 октября 2002 г.).

— на семинаре «Проблемы происхождения и эволюции кометно-астероидного вещества в Солнечной системе и проблема астероидной опасности» (ИНАСАН, г. Москва, 25 сентября 2002 г.).

Диссертация основана на цикле работ, выполненных автором в 1998;2002 гг. В совместно опубликованных статьях полный объем работ по составлению алгоритмов вычислительного эксперимента выполнен лично автором при научном руководстве и консультациях по вопросам постановки задачи и интерпретации результатов моделирования профессора, доктора физико-математических наук Н. В. Куликовой и доцента, кандидата физико-математических наук А. В. Мышева. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах (одна в печати).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты и выводы, полученные в данной работе, можно сформулировать следующим образом:

1) разработана и доведена до практической реализации вероятностно-статистическая модель динамики траекторий малых тел в сферах влияния я ел большой массы в рамках задачи N-тел в условиях неопределенности начальных данных;

2) разработан вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;

3) исследовано влияние тесных сближений короткопериодических комет с планетами-гигантами на дальнейшую эволюцию их траекторий в рамках пространственной задачи N-тел (рассматривались варианты N=4 и N=6) — определены области регулярной и стохастической динамики, моменты времени наиболее вероятного перехода от одного типа динамики к другому в общей эволюции ряда короткопериодических комет в условиях неопределенности начальных данныхописана и определена пространственная структура множества орбит ряда малых тел Солнечной системы;

4) исследовано влияние процесса компьютерной редукции на получаемые результаты при компьютерном моделировании на примере конкретных небесномеханических задач и предложен способ сглаживания процесса редукции;

5) проведены вычислительные эксперименты, имитирующие процесс эруптивного выброса с поверхности кометы в разных точках орбиты, и описана пространственно-временная структура торового объема траекторий новых образований, сформированных из продуктов выброса;

6) проведен сравнительный анализ полученных результатов вероятностно-статистического моделирования динамической эволюции траекторий ряда короткопериодических комет Солнечной системы с результатами, полученными на основе классических детерминированных методов;

7) полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что пространство решений математических моделей эволюции малых объектов в задаче N-тел имеет сложную, неоднородную структуру и не представляет собой регулярный характер.

Предлагаемые вероятностно-статистические компьютерные модели и технологии вычислительного эксперимента позволяют выявлять и описывать сложное хаотическое поведение комплексов малых объектов задачи N-тел при тесных сближениях с телами большой массы в условиях неопределенности начальных данных и параметров системы. Используемая методика формализации задачи N-тел и технологии проведения вычислительного эксперимента позволяют исследовать эволюцию системы в условиях детерминированного и стохастического хаоса.

В данной работе исследование моделей небесномеханических систем проводится не в фазовом пространстве, а в пространстве-времени, что является несомненным преимуществом. Целочисленный характер основных компонентов вероятностно-статистической модели, значений ячеек-клеток вероятностиых карт, дает преимущества в ее реализации и эксплуатации на компьютере: во-первых, скорость выполнения целочисленных операций в компьютерной системе намного выше скорости выполнения операций с плавающей точкойво-вторых, это дает экономические преимущества при хранении целочисленных данных в памяти компьютера.

Результаты вычислительных экспериментов имитации эволюции ряда комет позволили более информативно описать динамику объекта в системе N-тел в условиях неопределенности начальных данных, что невозможно сделать в рамках теорий движения классической небесной механики. Получаемые вероятностные карты позволяют определить практически любые вероятностные характеристики системы и провести дальнейший более детальный анализ процесса эволюции. Вероятностные карты или «слепки» эволюции могут выступать исходными данными для других математических и компьютерных моделей.

Моделирование на основе методов Монте-Карло позволяет дать вероятностное описание динамической эволюции орбит небесномеханических объектов и построить наиболее адекватные компьютерные модели. Компьютерное моделирование на основе новых вычислительных технологий обработки и представления информации, как универсальное средство построения решения задач эволюции, позволяет получить исчерпывающую информацию о динамических характеристиках движения объектов. Математическое и вероятностно-статистическое компьютерное моделирование эволюции орбит небесномеханических систем в условиях неопределенности начальных танных позволяет не просто уточнить количественные характеристики динамики, но также описать и изучить их основные качественные свойства. Последнее важно для нелинейных систем, пиведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.

Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность своим научным руководителям и педагогам доктору физико-математических наук, профессору Нэлли Васильевне Куликовой и кандидату физико-математических наук, доценту Алексею Владимировичу Мышеву за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в ходе выполнения работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.