Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Развитие концепции динамического хаоса в СССР. 
1950-1980-е годы

Диссертация: Развитие концепции динамического хаоса в СССР. 1950-1980-е годы
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Истоком одной из этих линий явилась проблема интегрирования дифференциальных уравнений, которая является важнейшей как для самой математики, так и для ее приложений. Первоначально сам вопрос об интегрируемости не ставился, все задачи подразделялись на проинтегрированные и непроинтегрированные. Поворотным пунктом в понимании принципиального различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми… Читать ещё >

Развитие концепции динамического хаоса в СССР. 1950-1980-е годы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Перечень использованных сокращений
  • Глава I. Предыстория динамического хаоса: физические корни и истоки исследований систем со сложным поведением (1880−1940-е годы)
    • 1. 1. Точка отсчета — качественные методы. А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов (1881−1918)
      • 1. 1. 1. Качественная теория дифференциальных уравнений
      • 1. 1. 2. Вопросы устойчивости
      • 1. 1. 3. Фигуры равновесия вращающихся жидкостей. Бифуркации
      • 1. 1. 4. Ж.Адамар и геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны (1898)
    • 1. 2. Дж.Биркгоф. Теория динамических систем. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А.Андронова
      • 1. 2. 1. Дж.Биркгоф и теория динамических систем
      • 1. 2. 2. Начальный период исследований динамических систем в СССР
      • 1. 2. 3. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А.Андронова
    • 1. 3. Начальный период эргодической теории. Работы Н.С.Крылова
      • 1. 3. 1. Истоки эргодической теории. Первые эргодические теоремы
      • 1. 3. 2. Работы Н. С. Крылова по обоснованию статистической механики
    • 1. 4. Развитие теории турбулентности
      • 1. 4. 1. Статистическая теория турбулентности. Теория А.Н.Колмогорова
      • 1. 4. 2. Зарождение турбулентности. Линейная теория гидродинамической неустойчивости В. Гейзенберга
    • 1. 5. Выводы
  • Глава II. Теория динамических систем (1950−1980-е годы)
    • 2. 1. Предварительные замечания
    • 2. 2. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера
      • 2. 2. 1. Состояние «основной проблемы» динамики до работ Колмогорова (1954 г.)
      • 2. 2. 2. Формулировка Колмогоровым основных положений теории КАМ
      • 2. 2. 3. Проблема доказательства: Ю. Мозер и В. И. Арнольд. Первые применения теории К AM
      • 2. 2. 4. Программа Чебышева-Колмогорова
    • 2. 3. Эргодическая теория. Гиперболические системы
      • 2. 3. 1. К-системы и метрическая энтропия. Развитие энтропийного направления эргодической теории
      • 2. 3. 2. Гиперболические системы. Работы С. Смейла и Д. В. Аносова (1960-е гг.)
    • 2. 4. Теория бифуркаций. Гомоклинические структуры
      • 2. 4. 1. Теория бифуркаций
      • 2. 4. 2. Гомоклинические структуры. Работы С. Смейла, Ю. И. Неймарка, Л. П. Шильникова, В. К. Мельникова, В. И. Арнольда (1960−1970-е гг.)
    • 2. 5. Алгоритмическая сложность
    • 2. 6. Выводы
  • Глава III. Хаос в гамильтоновых системах (конец 1950-х -1980-е гг.)
    • 3. 1. Новые задачи теории нелинейных колебаний. Стохастическая неустойчивость
      • 3. 1. 1. Начало исследований. Критерий Чирикова
      • 3. 1. 2. Проблема Ферми-Паста-Улама. Задача об ускорении Ферми
      • 3. 1. 3. Интерпретация ФПУ-проблемы Б. В. Чириковым и Ф.М.Израйлевым
      • 3. 1. 4. Вычислительный эксперимент
    • 3. 2. Проблема зарождения хаоса. Стохастический слой. Стандартное отображение
    • 3. 3. Слабый хаос и стохастическая паутина
      • 3. 3. 1. Диффузия Арнольда
      • 3. 3. 2. Паутина Заславского
    • 3. 4. Биллиардные задачи. Квазислучайная динамика
      • 3. 4. 1. Гиперболические биллиарды. Работы Я.Г.Синая
      • 3. 4. 2. Квазислучайная динамика в финальных движениях в задаче трех тел (В.М.Алексеев, 1960-е гг.)
    • 3. 5. Выводы
  • Глава IV. Диссипативный хаос (1960−1970-е гг.)
    • 4. 1. Лазерный аттрактор (1963 г.)
    • 4. 2. Состояние вопроса о возможности хаоса в маломерных диссипативных системах к началу 1970-х гг
    • 4. 3. Аттрактор Лоренца и другие аттракторы
      • 4. 3. 1. Аттрактор Лоренца. Работа В. С. Афраймовича, В. В. Быкова и
  • Л.П.Шильникова
    • 4. 3. 2. Квазиаттракторы. Отображений Заславского
    • 4. 4. Теория турбулентности, новые подходы, новые надежды (1960−1970-е гг.)
    • 4. 4. 1. Плазменная турбулентность
    • 4. 4. 2. Гидродинамическая турбулентность. Сценарии перехода к хаосу
    • 4. 5. Выводы
  • Глава V. Многообразие аспектов феномена хаоса
    • 5. 1. Хаос и неинтегрируемость
      • 5. 1. 1. Интегрируемые системы. Э. Бур, Ж. Лиувилль (1955 г.). Переход к неинтегрируемости. А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф (1881−1927 гг), В. И. Арнольд (1963 г.)
      • 5. 1. 2. Неинтегрируемость в гамильтоновых системах
      • 5. 1. 3. Качественное интегрирование в диссипативных системах
    • 5. 2. Методологические аспекты динамического хаоса
    • 5. 3. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов
    • 5. 4. Особенности открытия динамического хаоса
    • 5. 5. Динамический хаос и случайность
    • 5. 6. Хаос и самоорганизация
      • 5. 6. 1. Нелинейное уравнение диффузии. Работы А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, И. Г. Петровского, Н. С. Пискунова (1937 г.), Я. Б. Зельдовича,
  • Д.А.Франк-Каменецкого (1938 г.)
    • 5. 6. 2. Структуры и хаос в астрономических объектах (планетные кольца, Галактики, комета Галлея). Работы А. М. Фридмана и Н.Н.Горькавого
  • 1980-е гг.), Б. В. Чирикова и В. В. Вечеславова (1989 г.)
    • 5. 7. Выводы

Открытие динамического хаоса явилось одним из крупнейших достижений науки XX века. Прогресс науки обеспечивают не только новые фундаментальные теории, он может происходить при изменении точки зрения на уже сложившиеся области, и это может существенно повлиять на. научную картину мира в целом. Такой пример как раз демонстрирует теория хаоса, не только описывающая широкий круг явлений практически во всех разделах современной классической и квантовой физики, но и приведшая к концептуальным изменениям в основаниях научного знания.

Целью настоящей работы является исследование предпосылок, процесса формирования и развития теории динамического хаоса с упором на вклад отечественной науки в данную область.

Актуальность работы.

Доньютоновская механика в основном имела качественный характер, еще не были сформулированы законы динамики и не разработаны адекватные математические средства. Новый этап начинается в XVII в. с формулировки этих законов и создания анализа бесконечно малых. За отправную точку примем выход в свет «Начал» Ньютона (1687). После этого начинается блистательный двухвековой период, отмеченный многими крупнейшими достижениями, среди которых главное место занимают количественные методы.

В физике XVII — XIX вв. доминирующее место занимала динамическая базовая модель. Она основывалась на модели физического пространства — континууме, и на классической механике. Классическая механика составила фундамент механистической картины мира, в которой все многообразие физических явлений стремились свести к движению И' взаимодействию материальных точек. Первичной математической структурой при таком описании явились обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с заданными начальными условиями. Важнейшее место в такой модели отводилось концепции об однозначности связей, всеобъемлющей роли динамических закономерностей, которую традиция связывает с именем Лапласа, сформулировавшего ее в наиболее радикальной форме [291].

В появившейся во второй половине XIX в. электромагнитной картине мира динамическая модель не претерпела кардинальных изменений. Изменения коснулись формы динамического закона (уравнения Максвелла) и динамических переменных. Состояние системы стало задаваться не координатами и скоростями, как в классической механике, а векторами полей или потенциалами. Математическая постановка задач электродинамики свелась к решению дифференциальных уравнений в частных производных с заданными начальными и граничными условиями.

В течение более чем 200-летнего развития точного естествознания Нового времени сложилась фундаментальная физическая парадигма, сохранившая свое значение и по настоящее время. Согласно классической динамической модели: 1) мир можно разложить на отдельные элементы, '2) состояние каждого элемента можно описать через динамические переменные, 3) эволюция состояния во времени задается динамическими законами [99]. Сложился идеал научной рациональности, в основе которой лежат простота описания, регулярность, определенность, полнота информации. Все в мире управляется жесткими, однозначными законами, нет места неопределенности и случайности.

Сквозная линия, проходящая через всю классическую механику и электродинамику вплоть до конца XIX в., заключалась в том, что в основу решаемых задач были положены интегрируемые системы. Интегрируемость дифференциальных уравнений является тонким и сложным понятием, и представления о ней начали складываться лишь в середине XIX в. Не касаясь здесь строгих определений, отметим, что интегрируемость непосредственным образом связана с простым поведением системы. Интегрируемые системы демонстрируют простые движения, такие как, например, периодические и квазипериодические движения. В интегрируемых системах достигался идеал исчерпывающего описания на языке траекторий. Считалось, что на основе таких систем можно было объяснить в главных чертах все многообразие явлений нашего мира.

Разнообразие физических задач требовало выхода за рамки интегрируемых систем. Небесная механика еще в XVIII в. столкнулась с неинтегрирусмой задачей (и далеко не сразу это было понято) — знаменитой проблемой трех тел, остающейся до наших дней неисчерпаемым источником новых задач и новых идей. Однако подход к такого рода задачам строился на основе интегрируемых систем, а неинтегрируемость рассматривалась в виде поправок. В небесной механике для таких случаев были разработаны различные варианты теории возмущений.

С появлением классической электродинамики характер рассматриваемых задач не претерпел коренных изменений. В основу по-прежнему были положены интегрируемые системы. Предсказание электромагнитных волн, многочисленные явления, связанные с ними — отражение, преломление, поляризация света, эффекты Фарадея, Керра, Зеемана, давление света и многое другое — все эти результаты были получены с помощью интегрируемых систем [498].

Хотя данная работа посвящена классической физике, затронутые выше аспекты касаются и квантовой теории. В квантовой механике имеется своя динамическая переменная — волновая функция, которая подчиняется уравнению Шредингера — уравнению динамического типа. Знание динамической переменной (волновой функции) позволяет получить со всей возможной полнотой информацию о состоянии квантовой системы.

Старая квантовая теория была построена на основе интегрируемых систем, и она имеет в своем активе ряд крупных достижений, таких как, например, теория Бора-Зоммерфельда или объяснение эффекта Штарка [754]. Однако последовательные и систематические методы решения квантовых задач смогла дать лишь квантовая механика. Центральной проблемой квантовой механики является решение задач на собственные значения для физической величины. В квантовой механике также существуют системы двух типов. К одному из них относятся системы, для которых задача на собственные значения разрешима, что представляет квантовый эквивалент интегрируемых систем классической механики. Помимо них имеются системы, для которых задача на собственные значения является неразрешимой, по крайней мере, в рамках теории возмущений [430].

На основе разрешимых систем были построены различные варианты квантовомеханической теории возмущений, ставшей основным расчетным методом в квантовой механике, и позволившей решить необозримое множество самых разных задач. Сложные случаи старались свести к одночастичным задачам, к системе невзаимодействующих частиц и полей. Отсюда родились различные теории среднего поля, самосогласованного поля и др. Концепция квазичастиц, играющая огромную роль в современной физике, восходит к идее невзаимодействующих нормальных мод из теории, линейных колебаний. Облик современной физики в значительной степени сложился под воздействием тех задач, в основу рассмотрения которых были положены интегрируемые и разрешимые системы. Интегрируемость и ее аналоги являются некоторым синтетическим принципом, охватывающим значительную часть физики.

Возвращаясь к классической механике, отметим, что интегрируемые системы составляют лишь малую долю физических систем. Подавляющее большинство физических систем неинтегрируемо. Для них характерны неустойчивость, наличие сложных движений, многообразие поведения, недостижимость получения всей полноты информации, когда знание состояния в данный момент времени не позволяет однозначно предсказать все будущее и прошлое системы. Помимо традиционного подхода, когда неинтегрируемость учитывалась в виде поправок к интегрируемым системам, возможна другая точка зрения. Неинтегрируемые системы рассматривают сами по себе, как самостоятельный объект, не пытаясь исходить из интегрируемых систем. Проводится изучение строения всего многообразия решений. Главное внимание теперь уделяется не решению как таковому, а качественным характеристикам системы, ее поведению и эволюции, дополненных количественным исследованием.

Новый подход оказался чрезвычайно плодотворным. На первый план выступили неустойчивые системы. Прошло время простого описания. На • этом пути произошло открытие хаоса. Оказалось, что с хаосом связан тип сложных движений динамических систем, принципиально отличных от известных ранее простых движений, таких как периодические и квазипериодические движения. Причем следует подчеркнуть, что хаотическое поведение может быть у систем уравнений с простыми правыми частями, как, например, в широко известной модели Лоренца.

Понятие сложности обычно ассоциировалось со сложным устройством системы, с большим числом степеней свободы, что характерно для биологических объектов или систем статистической механики. Между интегрируемыми системами и эргодическими системами статистической механики существовал глубокий разрыв. Он свидетельствовал о наличии фундаментальной нерешенной проблемы классической физики: каким образом появляются статистические закономерности? Открытие хаоса способствовало значительному прогрессу в разрешении этих трудностей и углубленному пониманию динамического и статистического описания. Оказалось, что область проявления статистических законов намного шире, чемэто традиционно предполагалось. Хаотическим поведением могут обладать просто устроенные системы. Динамическое и статистическое описание являются не двумя противоположностями, принципиально отличающиеся между собой. Они сосуществуют, дополняют друг друга, характеризуют разные стороны одного и того же объекта. Исследования хаоса приоткрыли наличие сложности втаких объектах, которые традиционно относили к системам с простым поведением. В этом контексте само явление динамического хаоса представляет, хотя и очень важную, но все же частность. Проявление сложности очень многообразно и изучение этого только начинается. Далеко не все явления допускают адекватную интерпретацию, исходя из небольшого числа фундаментальных законов, — свое воздействие явным образом оказывает внешний мир с его безграничной сложностью. Исследования хаоса способствуют плюралистическому взгляду на" мир, когда сосуществуют явления разных типов. г.

Хаос представляет собой типичное свойство динамических систем, он весьма распространен и проявляется практически во всех областях современной физики. Можно сказать, что системы, демонстрирующие только регулярное поведение, являются редкими.

То, что хаотическое поведение не всегда обнаруживается, связано либо с его присутствием в узкой области параметров, либо оно проявляется на очень больших временах, либо экранируется другими, более сильными процессами. Новый этап в развитии знаний потребовал принципиально новых взглядов, новой системы понятий и нового языка. Все это оказало глубокое воздействие на наши представления о физическом мире.

Исследования хаоса по-новому высветили и дали новые импульсы к изучению целого ряда проблем, имеющих общефизическое и общенаучное значение.

Лежащая в основе механистической картины мира динамическая модель обусловила преобладание динамического описания. С другой стороны, статистическая механика привела к появлению статистического описания. Эти два способа описания породили глубинные вопросы о существе законов, лежащих в основе физического мира, соотношении динамического и статистического, что является фундаментальным, первичным, а что производным, вторичным?

Приобрел другое освещение, и наметились новые подходы к имеющему многовековую историю вопросу о природе случайности, вероятности.

Картина мира, основанная на строгом детерминизме, оказалась неполной. Определились ограничения на возможности предсказуемости, на соотношение детерминизма — индетерминизма. Исследования хаоса привели к новому взгляду на вопросы устойчивости — неустойчивости, локального описания — глобального подхода, хаотичности — упорядоченности.

Несколько слов по поводу терминологии. Термин «динамический хаос» в настоящее время является общепринятым. Он был предложен в 1975 г. в работе Т. Ли и Дж. Йорке [673]. Однако, как вспоминает Я. Г. Синай [468,470], еще до появления работы [673] термин «детерминированный хаос» использовался Б. В. Чириковым и Дж.Фордом. В теории динамических систем был распространен термин «эргодичность». По воспоминаниям Ф. М. Израйлева [217], в конце 1960;х гг. обсуждался термин «хаотичность», но он не утвердился. Поэтому остановились на термине «стохастичность», хотя он и не отражает существа дела.

Научная новизна.

Основные результаты, изложенные в ряде статей автора, можно сформулировать следующим образом.

Впервые в мировой историко-научной литературе систематически изложены предпосылки, становление и развитие концепций динамического хаоса. В работе показано, что открытие динамического хаоса явилось закономерным результатом перехода от изучения динамических систем с простым поведением к динамическим системам со сложным характером движения. Открытие хаоса явилось сложным и противоречивым процессом. К нему привело несколько линий развития, которые сложным образом переплелись, воздействуя друг на друга.

Истоком одной из этих линий явилась проблема интегрирования дифференциальных уравнений, которая является важнейшей как для самой математики, так и для ее приложений. Первоначально сам вопрос об интегрируемости не ставился, все задачи подразделялись на проинтегрированные и непроинтегрированные. Поворотным пунктом в понимании принципиального различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами стали фундаментальные работы А. Пуанкаре (1881−1899) [433,718,434], для которого одним из главных стимулов стали задачи небесной механики. Пуанкаре заложил основы качественных методов в теории дифференциальных уравнений, что оказало глубокое воздействие на всю математику и ее приложения. Наш соотечественник А. М. Ляпунов рассмотрел более частную задачу качественной теории дифференциальных уравнений — устойчивость движения, и развил общую теорию устойчивости (1892) [303]. Качественная теория означала переход к принципиально иной стратегии исследования. Преобладающими стали топологические, теоретико-групповые и вероятностные методы. Пришло осознание того, что проблемы динамики связаны с качественным поведением траекторий во всем фазовом пространстве, на смену локальному подходу должно прийти глобальное рассмотрение. При таком подходе на передний план выходит исследование общей структуры движений системы.

Под влиянием идей Пуанкаре Дж. Биркгоф ввел понятие динамической системы (1912,1927) [576], претерпевшее длительное развитие от механической системы с конечным числом степеней свободы до произвольной системы безотносительно к ее происхождению, эволюция которой однозначно определяется начальными состояниями. С 1930;х гг. теория динамических систем стала одним из направлений исследований Московской математической школы. В настоящее время теория динамических систем является самостоятельным разделом математики и составляет ее заметную часть. Взлет теории динамических систем приходится на 1950;1970;е гг., когда был получен целый ряд очень глубоких результатов. Успехи теории динамических систем явились одним из главных факторов, приведших к открытию хаоса.

Качественные методы, теория динамических систем оказались востребованным математическим аппаратом для нужд прикладных задач — радиотехники и теории автоматического регулирования. Эти задачи, главным образом в трудах Нижегородской.

Горьковской) школы в 1930;е гг. стимулировали создание теории нелинейных колебаний, что стало еще одной линией развития, приведшей к открытию хаоса.

В физике существовали нелинейные теории (гидродинамика, небесная механика, релятивистская теория тяготения), но преобладающее место занимал линейный поход, с помощью которого были достигнуты огромные успехи. Вершиной стала теория линейных колебаний с доведенным до совершенства математическим аппаратом. Все линейные системы являются интегрируемыми. Полагалось, что линейного языка достаточно для понимания основных закономерностей. Нелинейности вводились как поправки к линейным системам, им отводилась роль довеска, уточняющего детали. Главная особенность линейных уравнений состоит в том, что линейная комбинация двух решений снова дает решение. На этой основе можно получить описание любой, сколь угодно сложной линейной физической системы.

Совершенно иная ситуация в нелинейных системах, в которых комбинация двух решений не приводит к новому решению. Нелинейную систему нельзя представить в виде суммы независимых частей, ее необходимо рассматривать во всей ее целостности и сложности. Отсюда ясно, что для нелинейных систем адекватным является глобальное рассмотрение. Эволюция нелинейных систем может осуществляться разными путями, на смену однозначности приходит возможность множественности путей развития, многообразия в поведении описываемых объектов. Новые задачи в разных разделах физики привели к необходимости ввести нелинейность в число «первых принципов». Нелинейное мышление, у истоков которого стояли Л. И. Мандельштам и А. А. Андронов [5,144], должно было стать неотъемлемым элементом физико-математической культуры.

Следующая линия исходит из существования двух фундаментальных моделейдинамической и статистической, описывающих два разных уровня реальности. Появление в физике вероятностных представлений и статистических законов связано с созданием статистической механики (Дж К. Максвелл, 1859- Л. Больцман, 1872). Статистический подход по своему стилю и основным идеям радикально отличается от динамического описания. Поиски универсальных объединяющих основ обусловили стремление представить одно из описаний в качестве первичного и таким образом их объединить При доминировании механистической картины мира первенство отводилось динамическому описанию, отсюда возникло стремление получить статистические законы, исходя из динамики (эргодическая гипотеза). На этом пути возникла эргодическая теория, изучающая статистические свойства динамических систем. Эргодическая теория вошла составной частью в теорию динамических систем и играет важнейшую роль в теории хаоса.

Еще одна линия в открытии хаоса связана с исследованиями турбулентности. Две области теории турбулентности — зарождение турбулентности, когда возбуждается небольшое число степеней свободы, и развитая турбулентность, неотъемлемой частью которой стала статистическая теория турбулентности — в значительной степени стимулировали изучение хаотической динамики. Вопросы зарождения турбулентности способствовали формированию понятия сценария перехода от регулярного движения к хаотическому и использованию теории динамических систем, ее идей и понятийного аппарата.

Описанные в литературе истоки и предпосылки хаоса в данной работе значительно расширены и углублены.

До сих пор речь шла о предыстории хаоса. Саму историю хаоса отнесем к отрезку времени с середины 1950;х до середины 1980;х гг. Тогда феномен хаоса был обнаружен в различных физических системах, установлены его характеристики, развита теория и начались экспериментальные исследования. Указанный период представляет заметный рубеж для развития науки вообще. Тогда в одном временном интервале сошлись и переплелись несколько факторов, которые в совокупности оказали мощное воздействие на прогресс рассматриваемой области знания. Во-первых, глубокие изменения претерпела в силу внутренней логики развития математики теория динамических систем. Другой предпосылкой явились внешние условия. В 1940;1950;е гг. были поставлены и начали осуществляться «большие» проекты, позволившие развернуть научные исследования в невиданных ранее масштабах: атомная проблема, управляемый термоядерный синтез (УТС), освоение космического пространства, сверхзвуковая авиация и др. Реализация этих проектов дала жизнь не одному направлению фундаментальной науки, в том числе и в интересующей нас области. Это привело к постановке новых физических задач (создание новых ускорителей, установок для УТС и др.), которые заострили интерес к нелинейным динамическим системам. Огромное значение имело создание ЭВМ и развитие на этой основе вычислительного эксперимента, что позволило изучать системы, недоступные аналитическим методам. Вычислительная техника не только способствовала обнаружению феномена хаоса, но и привела к пониманию проблемы, позволила сделать первые шаги в реализации идеи диалога человек-машина.

Вопросы периодизации всегда являются сложным делом. Предлагаемая ниже периодизация истории 'хаоса может быть неоднозначной, однако каждый из периодов характеризуется отчетливо выделенными тенденциями.

Выделим следующие три периода:

1. От формулировки Колмогоровым основных положений теории KAM (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера) в 1954 г. до конца 1950;х гг., когда начался мощный взлет теории динамических систем, появился вычислительный эксперимент, что привело к постановке новых физических задач;

2. С конца 1950;х до конца 1970; гг.- в этот период произошли основные события. Был твердо установлен феномен хаоса в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных физических системах, была обнаружена широкая распространенность хаоса в физических системахпришло понимание явления и построена их теория;

3. С конца 1970;х до середины 1980;х гг. — распространение теории, в это время было получено огромное количество результатов по хаотической динамике в конкретных системах, приобрели большую интенсивность экспериментальные исследования хаоса, произошло осознание тесной связи хаоса и упорядоченности.

Мощный взлет теории динамических систем связан в первую очередь с именем.

A.Н.Колмогорова. Два фундаментальных достижения Колмогорова — теория KAM и работы по эргодической теории — в значительной степени определили в последующие десятилетия развитие теории динамических систем во всем мире. Б. В. Чириковым был сформулирован носящий его имя простой физический критерий перехода к хаосу в гамильтоновых системах. В Новосибирской школе начались обширные исследования хаотической динамики. Вычислительный эксперимент наряду с теорией и лабораторным экспериментом стал самостоятельным методом научного исследования.

Второй период можно назвать временем «великих перемен». Установление феномена хаоса в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных физических системах связано с именами Э. Лоренца, Б. В. Чирикова и Г. М. Заславского, М. Эно и К. Хейлеса, Я. Г. Синая,.

B.М.Алексеева. Происходил бурный рост теории динамических систем, в первую очередь, в Москве (А.Н.Колмогоров, В. И. Арнольд, Я. Г. Синай, Д. В. Аносов В.И.Оселедец, Я. Б. Песин, В. К. Мельников, М. В. Якобсон, А. Б. Каток и др.), Нижнем Новгороде (Ю.И.Неймарк, Л. П. Шильников и их ученики) и на Западе, главным образом в США и во Франции (С.Смейл, Д. Рюэль, Ф. Такенс, Р. Боуэн, Ю. Мозер, Дж. Мезер, С. Ньюхаус, Дж. Палис, М. Пейксото, Р. Том и др.). Была создана теория совершенно необычных математических объектов — фракталов (Б.Мандельброт). Все это легло в основу математического аппарата хаоса. Была обнаружена широкая распространенность хаоса в реальных физических системах, чему в огромной степени способствовало развитие метода вычислительного эксперимента. Начались исследования квантового хаоса.

Для третьего периода характерно распространение теории больше вширь, чем вглубь, когда заложены основы теории и происходит освоение новых территорий. Было получено огромное количество результатов по хаотической динамике в конкретных системах. Некоторые из них имеют принципиальный характер и вошли в основы теории (слабый хаос и стохастическая паутина). На рубеже второго и третьего периодов начались экспериментальные исследования хаоса, которые приобрели большую интенсивность. Еще одна сторона этого периода состоит в осознании, быть может, самой удивительной особенности данной области — тесной связи хаоса и упорядоченности.

В предыстории хаоса, его открытии и последующих исследованиях доминирующую роль сыграла математика. Поэтому место хаоса и его влияние на физику невозможно обсуждать, не имея в виду глубокое взаимодействие математики и физики. В описание хаотической динамики вошли объекты, чуждые классической математике, такие как фрактальные множества, дробные размерности, странные аттракторы. В исследования хаоса стали привлекаться разные области математики: современная дифференциальная геометрия, теория непрерывных групп, топология, символическая динамика, теория, вероятностей, вариационное исчисление в целом и др. До этого некоторые из них находили весьма ограниченное применение для решения физических задач. К открытию хаоса привели обстоятельный и математически строгий анализ задач классической физики. Постановка задачи в такой форме не была характерной для решения проблем" физики, вспомним в этой связи понятие «физический уровень строгости». В итоге были выявлены не просто детали отдельных фрагментов, а пришло совершенно иное понимание ситуации в целом.

В исследованиях хаоса имелось несколько теоретических* программ. Программа Пуанкаре-Биркгофа имеет глобальный ' характер. Она предполагает изучение всех возможных типов движения динамических систем. Другая программа — программа Андронова-Смейла сосредоточена на изучении типичных свойств, которые присущи большей части динамических систем. Программа Чебышева-Колмогорова базировалась на строгой постановке и решении трудных в математическом плане и представляющих значительный интерес в физическом отношении задач с применением разнообразных методов современной математики, что вело к выявлению всех существенных особенностей проблем. Изучение хаоса проходило при взаимодействии и конкуренции этих программ. Сами программы имели более широкий характер, чем исследования только явления хаоса.

Впервые в мировой литературе явления хаоса рассмотрены в контексте понятия сложности. В исследованиях хаоса была выявлена иерархия сложности, открывающая возможность для определенной классификации. В математическом отношении объектом рассмотрения стали неинтегрируемые системы, которые стали изучаться с самых разных сторон (К.Зигель, В. И. Арнольд, Ю. Мозер, В.В.Козлов). При их анализе продуктивно используются методы различных областей математики. Были сделаны первые шаги в формализации самого понятия сложности (А.Н.Колмогоров, П. Мартин-Лёф). Нелинейная динамика в контексте сложности характеризует выход физики на качественно другой уровень развития. Мир интегрируемых систем однообразен и относительно беден событиями. Внимание стало акцентироваться на тех особенностях изучаемых систем, которые ранее игнорировались. Переход к неинтегрируемым системам, рассмотрение с позиций сложности привели к тому, что значительно расширился круг изучаемых явлений.

Наличие точек опоры во многих естественнонаучных областях, привлечение идей и методов разных разделов математики, механики, физики, астрономии обусловили междисциплинарность нового подхода. Понятие сложности может стать фундаментом нового синтеза науки в противовес все углубляющейся специализации.

Очень часто, говоря об открытии хаоса, ограничиваются диссипативными системами. Для таких систем в установлении принципиально новых сложных движений ключевое значение имели три работы — Э. Лоренца [687], С. Смейла [746] и Д. Рюэля и Ф. Такенса [729], причем они были выполнены в течение менее чем одного десятилетия (1963;1971). Однако не меньшее значение, как для понимания феномена, так и для приложений, имеет хаотическое поведение в гамильтоновых системах. Здесь открытие хаоса происходило шаг за шагом в течение длительного времени и заняло период в восемь десятилетий (1890−1969). В эти исследования было вовлечено большое количество ученых, получено много первостепенных результатов, в том числе применимым к любым динамическим системам. Гамильтонову хаосу в историческихи методологических работах уделено значительно меньше внимания, чем диссипативному. Поэтому в данной работе автор попытался восполнить этот пробел.

Впервые в мировой историко-научной литературе отмечено место и значение динамического хаоса в физике и в науке в целом.

Особое внимание уделено вкладу отечественной науки в теорию хаоса. Этот вклад столь велик, что в значительной степени определяет современный облик данной области знания. Не будет преувеличением сказать, что вклад отечественной науки в изучение хаоса сопоставим с тем, что внесли все остальные страны. К примеру, в язык мировой науки прочно вошли такие понятия, как теория Колмогорова-Арнольда-Мозера, энтропия Колмогорова-Синая, диффузия Арнольда, биллиарды Синая, системы Аносова, бифуркация Неймарка, отображение Чирикова, система Шильникова, паутина Заславского. Этот список можно продолжить, тем более, что многие понятия теории хаоса не носят имена первооткрывателей. С другой стороны отметим, что роль отечественной науки в данной области на Западе недооценивается. Этот факт признается и западными историками науки (см., например, [566]).

Представления хаоса приобрели общефизический и общенаучный характер. Хаос привел к новому взгляду на ряд старых фундаментальных вопросов, на соотношение закономерного и случайного, динамического и статистического, устойчивого и неустойчивого и т. д. В работе просуммирован и обобщен ряд методологических аспектов динамического хаоса. Один из основных итогов в изучении динамического хаоса состоит в том, что, хотя фундаментальные уравнения теории давно установлены и не меняются, получение следствий из них может привести к важным концептуальным изменениям.

Основная литература по теории и истории динамического хаоса.

Первое систематическое изложение теории хаоса было дано в диссертации Б. В. Чирикова, опубликованной в 1969 г. небольшим тиражом (100 экз.) в виде препринта [526] и в монографии Г. М. Заславского [180]. В диссертации Чирикова с помощью критерия перекрытия резонансов рассматривается зарождение и развитие хаоса в гамильтоновых системах, и развитые методы применяются для решения многочисленных физических задач. Работа Чирикова была затем издана в ЦЕРН в Женеве (1970). Однако, труднодоступность работы Чирикова затруднила ознакомление с ней широкого круга физиков. Распространению идей хаоса очень способствовали монография Г. М. Заславского [180] и обзор Г. М. Заславского и Б. В. Чирикова [201]. В 1979 г. в Physics Reports был опубликован обзор Чирикова [595], получивший широкую известность во всем мире. В нем дано изложение основ теории хаоса в гамильтоновых системах.

Важное значение в развитии исследований хаоса имели Горьковские школы по колебаниям и волнам, первая из которых была организована в марте 1972 г. Материалы этих школ целиком заняли два «номера журнала Известия вузов. Радиофизика [385,386], а затем стали выходить отдельными сборниками в издательстве Наука [387−393]. Позднее эти сборники стали переиздаваться издательством Springer. В Горьковских школах проблемы хаоса обсуждались во всех аспектах и в самом широком контексте.

Распространению идей хаотической динамики в диссипативных системах очень способствовали обзоры А.В.Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича [144], А. С. Монина [332] и М. И. Рабиновича [439], опубликованные в одном и том же номере Успехов физических наук. Например, по свидетельству Д. И. Трубецкова [494], именно обзор Рабиновича пробудил интерес к хаосу в Саратовском университете, который ныне является одним из центров исследований в этой области в России.

С 1978 г. издательство Springer стало выпускать специальную серию, посвященную вопросам хаоса и самоорганизации. Первой книгой этой серии была Синергетика Г. Хакена, вскоре переведенная на русский язык [509]. В этой книге дано общее введение в предмет. В следующей книге Хакена (тоже переведенной на русский язык [510]) последовательно изложены главные идеи и математический аппарат. Хаос и самоорганизация предстают у Хакена как две составляющие единого целого — нелинейной динамики. В конце 1970;х гг. нелинейная динамика сложилась как самостоятельное направление. В 1980;е гг., особенно во второй половине, нарастет поток литературы по предмету. Остановимся на наиболее примечательных публикациях.

В 1981 г. в издательстве Мир под редакцией Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова вышел сборник Странные аттракторы [482], куда вошли основополагающие работы Э. Лоренца, Д. Рюэля и Ф. Такенса, Б. Мандельброта, Дж. Йорке и др. в том же году Springer выпустил сборник Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под редакцией Х. Суинни и Дж. Голлаба (русский перевод 1984 г. [154]). Среди авторов — О. Е. Ланфорд, Дж. Гуккенхеймер, Д. Д. Джозеф и др. Оба сборника посвящены хаотической динамике в диссипативных системах. В 1984 г. вышел сборник Синергетика под редакцией Б. Б. Кадомцева [474]. Примечательным из этого сборника является обзор Ж.-П.Экмана [616], посвященный возникновению хаоса при переходе к турбулентности.

Нельзя не упомянуть еще два труда — монографии, А Лихтенберга и М. Либермана Регулярная и стохастическая динамика, изданной в 1983 г. (русский перевод 1984 г. [295]) и1 Г. М. Заславского Стохастичностъ динамических систем (1984) [182]. В обеих книгах последовательно представлены основные идеи, математический аппарат, и развитые методы применены к многочисленным физическим задачам. Рассматриваются как гамильтоновы, так и диссипативные системы, но основной упор делается на гамильтонов хаос. Кроме того, в книге Заславского приведены ранние результаты исследований квантового хаоса. Примечательными по теории хаоса являются книга М. Табора [485] и два обзора А. Ю. Лоскутова [297,298].

Очень ясное изложение основных идей, понятий и фактов современной теории динамических систем дано в книге В. И. Арнольда и А. Авец Эргодические проблемы классической механики, изданной в Париже в 1967 г. [563] (русский перевод 1981 и 1999 гг. [65]). Благодаря своим достоинствам эта книга является одной из самых цитируемых в мировой литературе. Изложению некоторых математических аспектов хаотической динамики посвящена книга Ю. Мозера Лекции о гамилътоновых системах, изданная в 1968 г. (русский перевод 1973 г. [329]). Систематическое изложение современного понимания всего круга вопросов о математической структуре уравнений динамики дано в книге Арнольда Математические методы классической механики, изданной в 1974 г. [53]. Книга Арнольда оказала огромное влияние на утверждение теории гамильтоновых систем как самостоятельного раздела теории динамических систем. Современный взгляд на классическую механику с учетом последующих достижений теории динамических систем и краткая история даны во втором издании объемистой книги Р. Абрагама и Дж. Марсдена Основания механики [553]. Она не переведена на русский язык, но на Западе эта книга получила широкую известность. Очень ценным и известным во всем мире пособием по эргодической теории является книга И. П. Корнфельда, Я. Г. Синая и С. В. Фомина [276], в которой эргодическая теория представлена в широком контексте теории динамических систем. Другой примечательный труд — лекции В. М. Алексеева Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики на 19-й летней Украинской математической школе в 1971 г., и изданные в Киеве в 1976 г. Эти-лекции-с дополнениями и приложениями были переизданы в 1999 г. [13]. Современное изложение теории динамических систем дано в книге А. Б. Катка и Б. Хассельблата [231]. чОсобое место занимает серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления., издающаяся с 1985 г. под редакцией Р. В. Гамкрелидзе. Серия была задумана-как своего рода энциклопедия современной математики. В предисловии от редколлегии к первому тому говорится: «Тома настоящей серии будут содержать сводное изложение всех основных разделов современной математики* и ее приложений, увиденные глазами-работающих сейчас математиков в системе ценностей последних десятилетий. Статьи серии-будут вполне доступными не только специалистам-математикам в смежных областях, но и физикам, механикам и другим научным работникам, профессионально пользующимся математикой в своей работе и заинтересованным тематикой статьи» [174]. Первый том открывается, обзором-Обыкновенные дифференциальные уравнения. В томах, посвященных теории динамических систем, рассматриваются гладкие динамические системы, эргодическая теория, теория бифуркаций, теориякатастроф, особенности гладких отображений и т. д. [35,66−72,174,175,224]. Среди авторов этих обзоров В. И. Арнольд, Я. Г. Синай, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, А. М. Вершик, Я. Б, Песин, М. В. Якобсон и другие известные математики. В настоящее время серия насчитывает более ста томов, она вся переведена на английский язык.

Много ценной информации. содержится в трудах и воспоминаниях В. И. Арнольда [55,5864,73], Д. В. Аносова [31−34], Я. Г. Синая [465,466,468,469], Л. П. Шильникова [544], Ю. И. Неймарка [380,381,383], Ю. Мозера [702], М. Эно [645], С. Смейла [750,751], Д. Рюэля [448], Г. М. Заславского [779], С. Улама [500], в комментариях к трудам А. Пуанкаре [434], А. М. Ляпунова [479], А. Н. Колмогорова [263], юбилейном издании Колмогоров [270], в воспоминаниях о М. А. Леонтовиче [4,135], Л. И. Мандельштаме [5,144], Г. И. Будкере [3], Б. В. Чирикове [570], Дж. фон Неймане [765], А. Б. Мигдале [136], Ю. Л. Климонтовиче [237].

Особую ценность представляют письма и устная информация, полученная автором от создателей данной области знания, активных участников описываемых событийГ.М.Заславского [183−187,189], Б. В. Чирикова [531], Я. Г. Синая [470,472], Ю. И. Неймарка [382], А. М. Фридмана [351,355], Ф. М. Израйлева [217,218], А. Н. Ораевского [409,410].

В целом историко-научной литературы, посвященной нелинейной динамике, имеется немного. Особенно это касается заключительного периода, когда произошло открытие хаоса в конкретных физических системах. В историко-научной литературе главным образом нашла отражение в той или иной степени лишь предыстория хаоса.

Отдельные стороны предыстории и открытия хаоса в разной степени затрагиваются в обзорах и монографиях, посвященных динамическому хаосу и синергетике. Единственное, известное автору, относительно полное изложение предыстории и открытия хаоса дано в работе Д. Обена и А. Д. Дальмедико [566]. Причем отметим, что в этой работе предпринят гораздо более взвешенный подход по отношению к достижениям отечественной науки, чем это обычно бывает в исследованиях, выполненных на Западе. Однако работа-[566] больше 1 исходит из социокультурных позиций и в ней мало уделено внимания проблемам о месте и значении хаоса в физике и в общей структуре научного знания. Кроме того, в этой работе слабо затронут или вообще не затронут целый ряд важнейших вопросов теории динамических систем и, в особенности, гамильтонова хаоса.

По затронутым вопросам примечательна книга Ф. Диаку и Ф. Холмса «небесные встречи» [611], в том числе, по вкладу отечественной науки. Однако развиваемые там положения об открытии хаоса являются весьма дискуссионными (см. п. 4.5). В книге Дж. Глейка «Хаос» [156] дано популярное изложение открытия хаоса. Она написана живо и ярко, переведена на многие языки и получила известность во всем мире, в том числе и в России. В то же время изложение является крайне тенденциозным, и создает искаженные представления об открытии хаоса. Это касается не только европейского и советского вкладов, но и достижений американских ученых.

Заслуживает внимания сборник на французском языке Хаос и детерминизм [591]. Среди авторов, помимо историков науки, такие известные математики, как Я. Г. Синай и Ж.-К.Йоккоз. В статьях сборника рассмотрено творчество Пуанкаре, Адамара, Лапласа, вопросы детерминизма, турбулентности, устойчивости Солнечной системы и др.

Специально достижениям отечественной науки в области хаоса посвящена работа С. Дине [612]. Учитывая тот факт, что в западной литературе достижениям отечественной науки отведено относительно небольшое место, автор сначала знакомит читателя с советскими исследованиями в физике и математике вообще, лишь после этого переходит к самому предмету. Однако вследствие обширности предмета и очень небольшого объема статьи изложение является крайне фрагментарным. В литературе полнее исследована деятельность Нижегородской школы в период жизни А. А. Андронова, как в отечественных, так и в зарубежных исследованиях. В первую очередь это работы Е. С. Бойко, подытоженные в двух монографиях [96,97], и работы [420,605,606]. Систематическое изложение истории динамического хаоса дано в монографии автора [361].

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Изучение двух фундаментальных проблем классической' физики — обоснование статистической механики и возникновение турбулентных течений, а также проблема интегрирования уравнений динамики и нелинейные задачи физики и техники явились предпосылками исследований, приведших к открытию динамического хаоса (1880-еначало 1950;х гг.).

2. В' этот период были" развиты качественные методы (А.Пуанкаре, А. М. Ляпунов, Дж. Биркгоф), при использовании которых на первый план вышли описание поведения систем и их эволюции. Качественные методы нашли применение и получили дальнейшее развитие в задачах радиофизики и теории автоматического регулирования (Б.Ван дер Поль, Л. И. Мандельштам, А.А.Андронов), где фундаментальное значение имела нелинейность.

3. Решающее место в открытии и исследованиях хаоса занимают математический формализм, глубокое взаимодействие математики и физики.

4. Огромный вклад в открытие и изучение хаоса внесла отечественная наука, который в значительной степени определяет современный облик рассматриваемой области знания. На характер этого вклада наложили определенный отпечаток социальные, экономические, культурные и другие условия в СССР.

5. Предложена периодизация истории хаоса (1950;е — 1980;е гг.). В первый период были сформулированы основные положения теории KAM (1954) — одной из главных составляющих в фундаменте теории хаосапоставлены новые физические задачи, обусловившие открытие хаосастремительно развивалась теория ДСпоявился вычислительный эксперимент, сыгравший ключевую роль в открытии хаоса.

6. Открытие хаоса было сделано в 1960 гг. относительно независимо в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных системах. Оно явилось закономерным итогом развития физики и математики. Открытие хаоса в диссипативных системах можно изобразить цепочкой Э. Лоренц — С. Смейл — Д. Рюэль, Ф. Такенс, хотя феномен хаоса также проявился в ряде других исследований в разных областях физики.

7. В гамильтоновых системах к открытию хаоса привели задачи физики плазмы и физики ускорителей (Б.В.Чириков, Г. М.Заславский), астрофизики (М.Эно, К. Хейлес), биллиардные задачи (Я.Г.Синай), проблемы небесной механики (В.М.Алексеев). Если открытие диссипативного хаоса с некоторой степенью полноты рассмотрено в литературе, то истории гамильтонова хаоса почти не уделено внимания. В работе сделана попытка восполнить этот пробел.

8. Показано значение теории ДС, составившей математическую основу феномена хаоса, без которой понимание явления было бы невозможно. Бурное развитее теории ДС происходило главным образом в Германии, СССР, США и во Франции.'.

9. Рассмотрены методологические аспекты концепции хаоса, имеющие общефизическое и общенаучное значение, среди которых впервые затронут вопрос о том, как при получении следствий из давно сложившейся фундаментальной теории могут происходить глубокие концептуальные сдвиги. Проблемы хаоса позволили также наметить новые подходы к пониманию случайности и необходимость их связи с понятием сложности.

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы докладывались на Международной юбилейной конференции, посвященной столетию В. Гейзенберга (2001) и конференции, посвященной столетию П. Дирака и Ю. Вигнера (2002) в Москве, ИИЕТ РАНконференции в МПГУ, посвященной столетию А. В. Перышкина (2002) в МосквеМеждународной конференции «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность» (2004) в Москве, ИКИ РАНна семинарах в ИИЕТ РАН, в Физическом институте РАН им. П. Н. Лебедева, в Институте философии РАН, на общемосковском семинаре «Синергетика» в МГУ.

Появлению этой работы способствовал коллектив сектора истории физики, механики и астрономии ИИЕТ РАН. Автор имел возможность обсудить отдельные вопросы с рядом ведущих специалистов по теории хаоса, получить от них ценную информацию. Приношу глубокую благодарность уже ушедшим из жизни Г. М. Заславскому, Б. В. Чирикову, А. Н. Ораевскому, А. А. Веденову, Ю. А. Данилову, Г. М. Идлису, а также А. М. Фридману,.

Я.Г.Синаю, Ю. И. Неймарку, Ф. М. Израйлеву, А. И. Нейштадту, Д. С. Чернавскому, Д. И. Трубецкову, П. С. Ланда, Вл.П.Визгину, Н. С. Ерохину, Д. Обену, И. Гузевич, А. Д. Дальмедико, В. И. Аршинову, В. И. Когану, Г. М. Идлису, С. С. Демидову, Н. В. Вдовиченко, А. В. Кессениху, А. И. Володарскому, А. А. Печенкину.

Структура и объем диссертации

.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации 368 страницы, 26 рисунков, список литературы насчитывает 779 наименований.

5.7. Выводы.

1. Хаос тесно связан с интегрируемостью уравнений движения. Понятие интегрируемости получило точное определение лишь для гамильтоновых систем (Ж.Лиувилль, В.И.Арнольд). В диссипативных системах используются аналогии (качественное интегрирование, А.А.Андронов), имея в виду системы с простым поведением. Неинтегрируемость означает не отсутствие решения, а сложный характер поведения решений.

2. Исследования, хаоса оказали влияние на современное понимание устройства мира. Традиционно в точном естествознании считалось, что устройство мира в главных чертах можно объяснить на основе небольшого числа фундаментальных принципов. Все остальное воспринималось как извлечение следствий. Исследования хаоса показали, что получение следствий может привести к глубоким концептуальным изменениям в науке.

3. Исследования хаоса показали ограниченность понятия изолированной физической системы, возможности ее описания только на динамическом или только на статистическом уровне вследствие присутствия в одной и той же области движений разных типов. В системах с локальной неустойчивостью при известных уравнениях движения имеются принципиальные ограничения в возможности предсказания поведения системы. Значительно сузились возможности интерполяции, а тем более экстраполяции результатов измерений.

4. Новая область привела к формированию нового языка и новой системы понятий. При этом математические и физические аспекты тесно переплелись. Сложность изучаемых задач сделала неизбежной потерю части информации. Менее полное описание потребовало применения качественных методов и других математических структур, что привело к использованию для физических задач нетипичных для них математических понятий и категорий (теоремы существования и единственности, различие между рациональными и иррациональными числами и др.).

5. Открытие хаоса имеет ряд особенностей по сравнению с другими крупными научными достижениями. Поскольку все новые результаты относились к уровню получения следствий, потребовалось значительное время для признания их принципиальной новизны. Создание теории хаоса потребовало установления следующих ее черт: наличия сложных движений, принципиально отличных от известных простых движений в системах небольшой размерностиопределения механизма сложного поведенияустойчивости хаосаширокой распространенности хаоса в самых различных физических системах. Все это обусловило длительный период исследований, после которого стало возможным говорить об открытии хаоса.

6. Исследования хаоса выявили иерархию сложности движений: от динамического описания на языке траекторий к статистическим характеристикам хаотического движения и затем к еще более высокому уровню сложности, когда сосуществуют области регулярности и хаоса. Для гамильтоновых систем классификацию движений удается провести более детально: регулярные движения, эргодические движения, системы со слабым перемешиванием, с сильным перемешиванием, с кратным перемешиванием, К-системы, системы Бернулли, системы с разделенным фазовым пространством. 7. Комплекс проблем, связанных с хаосом, позволил наметить иной подход к пониманию случайности и ее связи с необходимостью и закономерностью. Теория вероятностей рассматривает тот класс случайных явлений, для которых имеет место устойчивость частот, случайность можно охарактеризовать как равномерную. Понятие случайности намного шире и богаче, чем традиционно рассматривалось. При многообразии форм движения их главным отличительным признаком может выступить понятие сложности, которое можно рассматривать в числе первичных фундаментальных характеристик явлений действительности.

7. В процессах самоорганизации происходит выделение небольшого числа параметров порядка (Г, Хакен), определяющих динамику системы. В процессах самоорганизации значительную роль играет нелинейное уравнение диффузии (А.Н.Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов, Я. Б. Зельдович, Д.А.Франк-Каменецкий). Яркий пример самоорганизации дают исследования в астрономии (А.М.Фридман, Н. Н. Горькавый, Б. В. Чириков, В.В.Вечеславов). Имеет место своего рода взаимодействие случайности и детерминизма. В реальных системах не присутствуют в «чистом виде» ни хаос, ни упорядоченность, которые представляют собой предельные состояния. Хаос и упорядоченность сосуществуют, кооперируются и трансформируются друг в друга.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Традиционно в> физике считалось, что статистическое описание возникает при возбуждении большого числа степеней свободы, либо вследствие внешних случайных воздействий, либо случайность присутствует в начальных данных. Историю открытия хаоса в течение восьми десятилетий можно рассматривать как историю пересмотра этих интуитивных представлений.

2. Исследования хаоса привели к пониманию того, что существует тип сложных движений ДС, принципиально отличных от известных простых движений. Хаотическим поведением могут обладать системы небольшой размерности, описываемыми уравнениями с простыми правыми частями. Хаос оказался присущим большей части ДС и проявляется практически во всех основных областях современной физики.

3. Открытие хаоса относится к 1960;м гг. и к его открытию привели насущные задачи физики, механики, техники, а также внутренняя логика развития математики. Принципиальную роль сыграл вычислительный эксперимент.

4. В исследованиях хаоса еще раз проявилась «непостижимая эффективность, математики и аналитической механики». Классическая механика оказалась далеко не исчерпанной, и пример хаоса это ярко демонстрирует. Математический формализм дал. возможность обнаружить принципиально новые явления в рамках существующего физического фундамента.

5. Исследования хаоса имеют междисциплинарный характер. В, теории хаоса воплощены понятия и методы разных областей математики и точного естествознания. Идеи теории хаоса вышли далеко за пределы первоначально очерченных рамок и проникают не только во все естественные науки и все расширяющийся круг разделов техники.

6. Одним из главных факторов в открытии хаоса явились задачи, потребовавшие изучения нелинейных систем. Нелинейность вошла в число основных физических принципов, нелинейные системы стали рассматриваться как самостоятельные сущности с развитием адекватного математического аппарата.

7. В открытии хаоса прослеживаются два главных этапа — математический и физический. На математическом этапе были обнаружены сложные движения в ряде математических моделей и созданы средства для их описания. На физическом этапе такие движения были открыты в реальных физических системах и установлена их широкая распространенность.

8. В открытии и формировании основных понятий хаоса, изучении его свойств выдающееся место занимает отечественная наука, которая в значительной степени определяет современный облик этой области знания. Результаты А. М. Ляпунова, Л. И. Мандельштама, А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина, А. Н. Колмогорова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Н. С. Крылова, Л. Д. Ландау, В. И. Арнольда, Я. Г. Синая, Д. В. Аносова, Б. В. Чирикова, Г. М. Заславского, Ю. И. Неймарка, Л. П. Шильникова, В. И. Оселедца и др. во всем мире признаны классическими.

9. Проявления хаотического движения различаются в гамильтоновых и диссипативных системах. Для диссипативных систем характерно образование странных аттракторов. В гамильтоновых системах движение можно классифицировать в соответствии с мерой их сложности. В реальных системах сосуществуют области с регулярным и хаотическим движением (системы с разделяющимся фазовым пространством, квазиаттракторы). В этом случае становится затруднительным использование существующих методов, поскольку и динамические, и статистические методы разработаны для однородной упорядоченности и однородного хаоса.

10. Исследования хаоса дополнили существующую естественнонаучную картину мира. Главные представления об устройстве мира сосредоточены не только на уровне физических основ теории. Извлечение следствий из них также могут привести к концептуальным сдвигам без изменения теоретического фундамента. Открытие хаоса явилось составной частью вероятностной революции, преобразившей модель мироздания и всего стиля научного мышления.

11. Исследования хаоса привели" к необходимости пересмотра ряда физических положений. Выявились принципиальные ограничения на возможности предсказания поведения системы, которое во многих случаях приобретает статистический характер. В другую плоскость перешли вопросы соотношения объекта и наблюдателя, процесса измерения. Значительно сузились возможности интерполяции, а тем более экстраполяции результатов измерений.

12. Исследования хаоса позволили наметить новый подход к пониманию природы случайности и ее связи с необходимостью и закономерностью. За основу берется понятие сложности, представляющей первичную фундаментальную характеристику явлений действительности. Сделаны первые успешные шаги по формализации понятия сложности. Проявления сложности варьируются в очень широких пределах — от минимального (регулярность, динамическое описание), до сильного проявления (полная нерегулярность, статистическое описание). Сложность выступает в максимальной степени в системах, в которых одновременно присутствуют и регулярность, и хаос.

13. Исследования сложной динамики происходили при взаимодействии и конкуренции нескольких исследовательских программ. Программа Пуанкаре-Биркгофазадала общее направление развития теории динамических систем. Ее конкретизация и сужение, воплощенные в программах Андронова, эргодической теории, гиперболической теории, программе Чирикова, Арнольда, а также в программе Чебышева-Колмогорова привели к построению ряда разделов современной теории ДС и теории нелинейных явлений.

14. Хаос теснейшим образом связан с процессами самоорганизации, что представляет своеобразную форму взаимодействия случайности и упорядоченности. В реальных системах упорядоченность и хаос не существуют в «чистом виде», а в разных пропорциях присутствуют обе компоненты.

15. Представления о хаосе приобрели общефизический и общенаучный характер. Под другим углом зрения предстали вопросы части и целого, закономерности и случайности, динамического и статистического, устойчивого и неустойчивого и т. д. •.

16. Отметим то, что не отражено в данной работе или чему уделено недостаточно внимания. Незатронутыми остались вопросы экспериментального изучения хаоса и связанных с этим проблем. Такие исследования интенсивно проводятся в Нижегородском и Саратовском университетах, МГУ, Институте прикладной физики РАН (Н.Новгород), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва) и в ряде других исследовательских учреждений. Не затронута история развития исследований квантового хаоса, которая представляет самостоятельную и интенсивно развивающуюся область. В малой степени-рассмотрена связь хаоса с процессами самоорганизации. Этот предмет столь обширен, что более или менее его серьезное рассмотрение требует отдельных исследований. То, что вошло в данную работу, тоже не претендует на исчерпывающее описание. Но, думается, что основные, принципиальные моменты изложены с определенной полнотой.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.К., Гребенников Е. А. Леонард Эйлер и развитие астрономии в России // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. М.: Наука, 1988. — С. 238−253.
  2. . Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970. — 152 с.
  3. Академик Г. И. Будкер. Очерки, воспоминания. Новосибирск: Наука, 1988. — 200 с.
  4. Академик М. А. Леонтович. Ученый, учитель, гражданин. М.: Наука, 2003. — 511 с.
  5. Академик Л. И. Мандельштам. К столетию со дня рождения. М.: Наука, 1979. -312 с.
  6. П.С. Пуанкаре и топология / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. /Т. 2. М.: Наука, 1972. — С. 808−816.
  7. П.С., Немыцкий В. В. Вячеслав Васильевич Степанов. М.: Изд-во МГУ, 1956.-60 с.
  8. В.М. Квазислучайные динамические системы. I, II, III // Математический сборник. 1968. — Т. 76. — № 1. — С. 72−134- 1968. — Т. 77. — № 4. — С. 545 601- 1969. — Т. 78.-№ 1.-С. 3−50.
  9. В.М. Комментарии к «Новым методам небесной механики» Пуанкаре / Пуанкаре А. // Избранные труды.: В 3 т. / Т.1. М.: Наука, 1971. — С. 752−756.
  10. В.М. Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики // Девятая летняя математическая школа. Киев: Институт математики АН УССР. — 1972.-С. 212−341.
  11. В.М. Предисловие к кн.: Р.Боуэн. Методы символической динамики. -М.: Мир, 1979.-С. 5−8.
  12. В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика //УМН.-1981.-Т. 36.-В. 4.-С. 161−176.
  13. В.М. Лекции по небесной механике. Ижевск: РХД, 1999. 160 с.
  14. A.B. Роль физики в изменении смысла понятия «вероятность» // ИИФМ 1998−1999. М.: Наука, 2000. — С. 214−238.
  15. A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний.- М.: Физматлит, 1959. -916 с.
  16. A.A. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. — С. 32−71.
  17. A.A. Теория точечных преобразований Пуанкаре-Брауэра-Биркгофа и теория нелинейных колебаний // Вестник АН СССР. 1944. — № 6. — С. 176−182.
  18. A.A. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956. — 540 с.
  19. A.A., Леонтович Е. А. К теории изменений качественной структуры разбиения фазовой плоскости на траектории // ДАН СССР. 1938. — Т.21. — № 9. — С. 247 252.
  20. A.A., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметров // Ученые записки Горьковского университета. 1939. — В. 6. — С. 3−32.
  21. A.A., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. — 568 с.
  22. A.A., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. — 488 с.
  23. A.A., Леонтович М. А., Мандельштам Л. И. К теории адиабатических инвариантов // Журнал русского физико-химического общества. 1928. — Т. 60. — № 5. -С. 413−419.
  24. A.A., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. — Т. 14. -№ 5. — С. 247−252.
  25. Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // ДАН СССР. 1962. — Т. 145. — № 4. — С. 707 709.
  26. Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН. М.: Наука, 1967. — С. 3−209.
  27. Д.В. Бернулли автоморфизм // Математическая энциклопедия. Т.1. -М.: Советская Энциклопедия, 1977. — С. 418.
  28. Д.В. Метрическая транзитивность // Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Советская Энциклопедия, 1982. — С. 666−667.
  29. Д.В. Пуанкаре-Бендиксона теория // Математическая энциклопедия. Т. 4.- М.: Советская Энциклопедия, 1984. С. 753−754.
  30. Д.В. О вкладе Н.Н.Боголюбова в теорию динамических систем // УМН. -1994.-Т. 49.-В. 5.-С. 5−20.
  31. Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. М.: МЦНМО, 2000. — Вып. 1. — С. 74.
  32. Д.В. Пуанкаре и проблемы Оскара II // ИМИ. 2001. II серия. — В. 6 (41). -С. 57−72.
  33. Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. — С. 1−18.
  34. Д.В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением. // Итоги науки и техники. Совр. пробл. мат. Фундам. направления. Динамические системы- 9. / ВИНИТИ, 1985. Т. 66. — С. 5−248.
  35. Д.В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие эргодические системы // УМН. -1967. Т. 22. — В. 5. — С. 107−172.
  36. П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. М.-Л.: ОНТИ, 1936.-372 с.
  37. В.И. Малые знаменатели. I. Отображение окружности на саму себя // Известия АН СССР. Серия Математика. 1961. — Т. 25. — № 1. — С. 21−86.
  38. В.И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае // ДАН' СССР. -1961. Т. 137. — № 2. — С. 255−257.
  39. В.И. О рождении условно периодического движения из семейства периодических движений//ДАН СССР. 1961. -Т. 138. -№ 1. — С. 13−15.
  40. В.И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1962. — Т. 142. — № 4. -С. 758−761.
  41. В.И. О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем // ДАН СССР. 1962. — Т. 145. — № 3. — С. 487−490.
  42. В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. -Т. 18.-В. 5.-С. 13−40.
  43. В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963. — Т. 18. — В. 6. — С. 91−192.
  44. В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики // Сибирский математический журнал. 1963. — Т. 4. — № 2. — С. 471−474.
  45. В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. — Т. 156. — № 1. — С. 9−12.
  46. В.И. Проблема устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем // Труды Международного конгресса математиков. Москва 1966.- М.: Мир, 1968. С. 387−392.
  47. В.И. Нормальные формы для функций вблизи вырожденных критических точек, группа Вейля для Ak, Dk и Ej< и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения. 1972. — Т. 6. — С. 254−272.
  48. В.И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы // УМН. 1975. — Т. 30. — В. 5. — С. 3−65.
  49. В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 304 с.
  50. В.И. Экспоненциальное разбегание траекторий и его гидродинамичекие приложения // Н. Е. Кочин и развитие механики. М.: Наука, 1984. — С. 185−193.
  51. В.И. Теория катастроф // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986. — С. 219−277.
  52. В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.- 472 с.
  53. В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. М.: Наука, 1989. — 96 с. ч
  54. В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. — 128 с.
  55. В.И. ЯБ и математика // Природа. 1992. — № 2. — С. 105−108.
  56. В.И. Избранное- 60. М.: Фазис, 1997. — XLVIII + 770 с.
  57. В.И. Некоторые нелинейные задачи / Арнольд В. И. // Избранное-60. -М.: Фазис, 1997. С. 335−334.
  58. В.И. Математические задачи в классической физике / Арнольд В. И. // Избранное-60. М.: Фазис, 1997. — С. 553−574.
  59. В.И. Об А.Н.Колмогорове / Арнольд В. И. // Избранное-60. М.: Фазис, 1997.- С. 653−677.
  60. В.И. От суперпозиций до теории KAM / АрнольдВ.И. // Избранное-60. -М.: Фазис, 1997. С. 727−740.i325
  61. В.И. От проблемы Гильберта о суперпозициях до динамических систем //Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. — С. 19−51.
  62. В.И. А.Н.Колмогоров и естествознание // УМН. 2004. — Т. 59. — В. 1. -С. 25−44.
  63. В.И. Недооцененный Пуанкаре // УМН. 2006. — Т. 61. — В. 1. — С. 3−24.
  64. В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. -Ижевск: РХД, 1999. 284 с.
  65. В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-5. М.: ВИНИТИ, 1986. — 220 с.
  66. В.И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982. — 304 с.
  67. В.И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромии и асимптотики интегралов. М.: Наука, 1984.-336 с.
  68. В.И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности. I. Локальная и глобальная теория / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-6.- М.: ВИНИТИ, 1988.-256 с.
  69. В.И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности. II. Классификация и приложения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-8. М.: ВИНИТИ, 1989. 256 с.
  70. В.И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. М.: ВИНИТИ, 1985. — С. 5−139.
  71. В.И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.
  72. В.И., Мешалкин Л. Д. Семинар А.Н.Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958−59) // УМН. 1960. — Т. 15. — В. 1. — С. 247−250.
  73. В.Л., Фридман A.M. Вихревая структура в газовом диске галактики Mrk 1040 // Письма в «Астрономический журнал». 1993. — Т. 19. — № 9. — С. 787−797.
  74. B.C. Странные аттракторы и квазиаттракторы // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова думка, 1985. — С. 2124.
  75. B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. — Т. 234. — № 2. — С. 336−339.
  76. B.C., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды Московского математического общества. -1982. Т. 44. — С. 150−212.
  77. A.B., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности // УМН. 1983. — Т. 38. — В. 4. — С. 133−187.
  78. Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. — 256 с.
  79. Г. И. Уравнение диффузии / Колмогоров А. Н. // Избранные труды. Кн. 1. М.: Наука, 1985. — С. 416−420.
  80. Н.Г., Прохоров A.M. Теория молекулярного генератора и молекулярного усилителя мощности //ДАН СССР. 1955. — Т. 101. — № 1. — С. 47−49.•82. Басов Н. Г., Прохоров A.M. Молекулярный генератор и усилитель // УФН. 1955. -Т. 57.-В. З.-С. 481−501.
  81. Н.Г., Прохоров A.M. Теория молекулярного генератора и молекулярного усилителя мощности // ЖЭТФ. 1956. — Т. 30. — В. 3. — С. 560−563.
  82. A.B. Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике адронов // УФН. 1995. — Т. 165. — № 6. — С. 645−660.
  83. H.H., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. — 496 с
  84. А. Введение к книге: Дж. фон Нейман. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971. — С. 20−48.
  85. Г. П., Зеленый Л. М., Мухин P.P., Фридман A.M. и др. Георгий Моисеевич Заславский // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. — Т. 17. — № 1. — С. 137−149.
  86. Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986. — 176 с.
  87. С.К. Гидродинамика: проблемы и парадоксы // УФН. 1995. — Т. 165. — № 3. — С. 299−330.
  88. П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. — 240 с.
  89. H.H. О некоторых статистических методах в математической физике.- Киев: Изд-во АН УССР, 1945. 128 с.
  90. H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1958. — 408 с.
  91. H.H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984. — 597 с.
  92. Е.С. Феномен преемственности в развитии научной школы (на материале истории школы нелинейных колебаний Мандельштама-Андронова) // Школы в науке. -М.: Наука, 1977. С. 319−346.
  93. Е.С. Школа академика А.А.Андронова. М.: Наука, 1983. — 200 с.
  94. Е.С. Александр Александрович Андронов. М.: Наука, 1991. — 256 с.
  95. Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТТЛ, 1953. — 556 с.
  96. Бом Д. Квантовая теория. М.: Наука, 1965. — 728 с.
  97. Бор Н. Теория атома и принципы описания природы / Бор Н. // Избр. труды, т. 2. -М.: Наука, 1971.-С. 62−71.
  98. Борис Валерианович Чириков // УФН. 1998. — Т. 168. — № 7. — С. 813−814.
  99. A.B., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд. дом «Удмурт, университет», 1999. — 464 с.
  100. A.B., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем.- Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2003. 296 с.
  101. М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев, 1934. — 316 с.
  102. A.A. Топологическая энтропия и сложность по А.Н.Колмогорову // УМН.- 1974.-Т. 29.-В. 6.-С. 157−158.
  103. A.A. О сложности траекторий динамической системы // УМН. 1978. — Т. 33.-В. 1.-С. 207−208.
  104. H.H. Качественное интегрирование одной системы п дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл // ДАН СССР. -1961. Т. 139. -№ 1.-С. 9−12.
  105. Г. И. Термоядерные реакции в системе с магнитными пробками // Физика плазмы и проблема управляемых реакций. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР, 1958. — С. 3−31.
  106. Л.А., Синай Я. Г. Об основной теореме рассеивающих биллиардов // Математический сборник. 1973. — Т. 90. — № 3. — С. 415−431.
  107. Л.А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. — С. 212−226.
  108. Л.А., Синай Я. Г., Чернов Н. И. Статистические свойства двумерных гиперболических биллиардов // УМН. 1991. — Т. 46. — В. 4. — С. 43−92.
  109. А.И. Возвращение «Интеграла» // Научное сообщество физиков СССР. 1950−1960-е годы. Вып. 1. — С.-Птб.: Изд-во РХГА, 2005. — С. 569−618.
  110. Н.П., Калашников В. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории сложных систем. М.: 1973. — 439 с.
  111. В.А., Романовский Ю, М., Яхно В, Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах // УФН. 1979. — Т. 128. — В. 4. — С. 625−666.
  112. Н.В. Развитие фундаментальных принципов статистической физики в первой половине XX века. М.: Наука, 1986. — 160 с.
  113. A.A., Велихов Е. П., Сагдеев Р. З. Нелинейные колебания разреженной плазмы//Ядерный синтез. 1961. — Т. 1. — № 1. — С. 82−105.
  114. A.A., Рудаков Л. И. О взаимодействии волн в сплошных средах // ДАН СССР. 1964. — Т. 159. — № 4. — С. 767−770.
  115. Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. — 192 с.
  116. Г. Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике / Вейль Г. // Математическое мышление. М.: Наука, 1989. — С. 24−41.
  117. Г. Геометрические идеи Римана, их влияние и связи с теорией групп // ИМИ. В. 32−33. — М.: Наука, 1990. — С. 250−290.
  118. Е. Инвариантность в физической теории / Вигнер Е. // Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. — С. 9−19.
  119. В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М.: Наука, 1972. — 242 с.
  120. Вл. П. Математика в квантово-релятивистской революции // Физика XIX—XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах. М.: Янус-К, 1997. — С. 7−30.
  121. Вл.П. Устное сообщение от 23.11.2004.
  122. К.Дж. Ренормализационная группа и критические явления // УФН. -1983.-Т. 141.-В. 2.-С. 193−220.
  123. К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.-256 с.
  124. Р.Ф. Структура аттракторов Лоренца // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.-С. 58−72.
  125. Н. Я математик. — М.: Наука, 1964. — 356 с.
  126. A.M., Красильщик И. С. Что такое гамильтонов формализм? // УМН.- 1975. Т. 30. — В. 1.-С. 173−198.
  127. A.M., Купершмидт Б. А. Структура гамильтоновой механики // УМН.- 1977. Т. 32. — В. 4. — С. 175−236.
  128. П., Ли М. Колмогоровская сложность: двадцать лет спустя // УМН. -1988.-Т. 43.-В. 6.-С. 129−166.
  129. В.М. Международный симпозиум по нелинейным колебаниям в Киеве // УМН. 1962. — Т. 17. — В. 2. — С. 215−265.
  130. Воспоминания об академике М. А. Леонтовиче. М.: Наука, 1996. — 448 с. 136: Воспоминания об академике А. Б. Мигдале. — М.: Физматлит, 2003. — 256 с.
  131. Вул Е.Б., Синай Я. Г., Ханин K.M. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. — Т. 39. — В. 3. — С. 3−37.
  132. Н.К., Шильников Л. П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I, II // Математический сборник. 1972.- Т. 88. -№ 4. С. 475−492- 1973. Т. 90. -№ 1. — С. 139−156.
  133. A.B. О второй (1973 г.) школе по колебаниям и волнам в нелинейных распределенных системах // Известия вузов. Радиофизика. 1974. — Т. 17. — № 4. — С. 427 430.
  134. A.B. О третьей (1975 г.) школе по колебаниям и волнам в нелинейных распределенных системах // Известия вузов. Радиофизика. 1976. — Т. 19. — № 5−6. — С. 631−633.
  135. Гапонов-Грехов A.B. Предисловие // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. — С. 34.
  136. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М. И. Л. И. Мандельштам и современная теория колебаний и волн // УФН. 1979. — Т. 128. — В. 4. — С. 579−624.
  137. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М. И. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры // Физика XX века. Развитие и перспективы. М.: Наука, 1984. — С. 219−280.
  138. К.Ф. Сборник статей: К 100-летию со дня смерти, 1855−1955. М.: Изд-во АН СССР, 1956.-310 с.
  139. В. Жизнь в физике // УФН. 1970. — Т. 102. — В. 2. — С. 303−312.
  140. В. Физика и философия. Часть и целое. М.- Наука, 1990. -400 с.
  141. И.М., Колмогоров А. Н., Яглом A.M. К общему определению количества информации // ДАН СССР. 1956. — Т. 111. — № 4. — С. 745−748.
  142. И.М., Колмогоров А. Н., Яглом A.M. Количество информации и энтропия для непрерывных распределений // Труды 3-го Всесоюзного математического съезда, Москва, июнь-июль 1956. М.: Изд-во АН СССР, 1958. — С. 300−320.
  143. И.М., Яглом A.M. О вычислении количества информации случайной функции, содержащейся в другой функции // УМН. 1957. — Т. 12. — В. 1. — С. 3−52.
  144. В.Г., Лазуткин В. Ф. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость //УМН. 2001. — Т. 56. — В. 3. — С. 79−142.
  145. Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. — Кн. 1. — 350 е.- Кн. 2. — 285 с.
  146. Дж. Хаос. С.-Пб.: Амфора, 2001. — 400 с.
  147. В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 436 с.
  148. М.А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. — 262 с.
  149. C.B., Тураев Д. В., Шильников Л:П. О моделях с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. — Т. 320. — № 2. — С. 269−272.
  150. H.H., Фридман A.M. О резонансной природе колец Урана, определяемой его неоткрытыми спутниками // Астрономический циркуляр. 1985. — № 1391. — С. 1−2- Письма в «Астрономический журнал». — 1985. — Т.11. — № 9. — С. 717−720.
  151. H.H., Фридман A.M. Физика планетных колец // УФН. 1990. — Т. 160. -В. 2.-С. 169−237.
  152. H.H., Фридман A.M. Физика планетных колец. М.: Наука, 1994. -348 с.
  153. А.З., Ораевский А. Н. Переходные процессы в молекулярном генераторе // Радиотехника и электроника. 1964. — Т.9. — № 3. — С. 524−532.
  154. A.A. Теория вероятностей Р. Фон Мизеса: история и философско-методологические основания // ИМИ. 1999. — В. 3 (36). — С. 198−220.
  155. Дж. Странный, странный аттрактор / Марсден Дж, Мак-Кракен М. // Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. — С. 284−293.
  156. Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2003. — 560 с.
  157. Ю.А. Нелинейность // Знание-сила. 1982. — № 11. — С. 34.
  158. Ю.А. Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам // Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.: Наука, 1989: — С. 5−15.
  159. Ю.А. Устное сообщение от 26.06.2002.
  160. Ю.А., Кадомцев Б. Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983. — С. 5−16.
  161. С., Петрова С. С., Симонов H.H. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. — С. 80−183.
  162. Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. — 320 с.
  163. М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. 380 с.
  164. Динамические системы-1 // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — 244 с.
  165. Динамические системы-2 // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.2. — М.: ВИНИТИ, 1985. — 312 с.
  166. P.JI. Теория информации / Колмогоров А. Н. // Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. — С. 254−257.
  167. A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974. — 178 с.
  168. В.Н., Тумин A.M. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука, 1987.-280 с.
  169. Н.Е. Вихри. Теория крыла. Авиация / Жуковский Н. Е. // Полное собрание сочинений. Т. 5. M.-JL, 1937. — 490 с.
  170. Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. М.: Наука, 1970. — 144 с.
  171. Г. М. Стохастические волновые процессы. Препринт НИРФИ, Горький, 1973. -№ 41.
  172. Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. — 272 с.
  173. Г. М. Письменное сообщение от 25.11.2003.
  174. Г. М. Письменное сообщение от 02.12.2003.
  175. Г. М. Письменное сообщение от 04.03.2004.
  176. Г. М. Письменное сообщение от 26.03.2007.
  177. Г. М. Письменное сообщение от 06.05.2007.
  178. Г. М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. — 288 с.
  179. Г. М. Устное сообщение 25.08.2006.
  180. Г. М., Захаров М. Ю., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников A.A. Генерация упорядоченных структур с осью симметрии из гамильтоновой динамики // Письма в ЖЭТФ. 1986. — Т. 144. — В. 7. — С. 349−353.
  181. Г. М., Захаров М. Ю., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников A.A. Стохастическая паутина и диффузия частиц в магнитном поле // ЖЭТФ- 1986. — Т.91. -В. 5.-С. 500−516.
  182. Г. М., Рачко Х.-Р.Я. Особенности перехода к турбулентному движению // ЖЭТФ. 1979. — Т.76. — В. 6. — С. 2052−2064.
  183. Г. М., Сагдеев Р. З. О пределах статистического описания нелинейного волнового поля //ЖЭТФ. 1967. — Т. 52. — В. 4. — С. 1081.
  184. Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. — 368 с.
  185. Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников A.A. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структура с симметрией «квазикристалл» // УФН. 1988. — Т. 156.-В. 2.-С. 193−251.
  186. Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников A.A. Стохастическая паутина и симметрия структур // Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.: Наука, 1989.-С. 84−106.
  187. Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. — 236 с.
  188. Г. М., Филоненко H.H. Стохастическая неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазилинейного приближения // ЖЭТФ. 1968. — Т.54. -В. 5.-С. 1590−1602.
  189. Г. М., Филоненко H.H. Статистические свойства энергетического спектра «скользящих» электронов с перемешивающимися классическими траекториями // ЖЭТФ. 1973. — Т.65. — В. 2. — С. 643−656.
  190. Г. М., Чириков Б. В. О механизме ускорения Ферми в одномерном случае // ДАН СССР. 1964. — Т. 159. — № 2. — С. 306.
  191. Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний//У ФН.- 1971.- Т. 105.-В. 1.-С. 3−39.
  192. В.Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972. — Т. 62. — В. 5. — С. 1745−1759.
  193. В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. — Т. 17. — № 4. — С. 431−476.
  194. В.Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности // Основы физики плазмы. Т. 2. М.: Энергоатомиздат, 1984. — С. 48−79.
  195. В.Е. Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн // Основы физики плазмы. Т. 2. М.: Энергоатомиздат, 1984. — С. 79−118.
  196. А.К., Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов // УМН. 1970. -Т. 25.-В. 6.-С. 85−127.
  197. Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Журнал физической химии. 1938. — Т. 12. — В. 1. — С. 100−105.
  198. Я.Б. К теории распространения пламени // Журнал физической химии. 1948.-Т. 22.-С. 27−48.
  199. Я.Б. Автобиографическое послесловие / Зельдович Я. Б. // Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная. М: Наука, 1985. — С. 435−446. г
  200. К. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959. — 302 с.
  201. С.Л. Самопересечение комплексных сепаратрис и несуществование интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // ПММ. 1981. -Т. 45 (3). — С. 564.
  202. Знакомый незнакомый Зельдович. В воспоминаниях друзей, коллег, учеников. -М: Наука, 1993. 352 с.
  203. А. Пути познания в физике. М: Наука, 1973. — 320 с.
  204. Д.Н. Современные методы статистической теории неравновесных процессов. М.: ВИНИТИ, 1980. — 228 с.
  205. Г. Р., Медвинский А. Б., Цыганов М. А. От динамики популяционных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике // УФН. 1994. — Т. 164. — В. 10. — С. 1041−1072.
  206. Н.И. Дополнения редактора / Аппель П. // Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. М.-Л.: ОНТИ, 1936. — С. 317−370.
  207. Ф.М. Устное сообщение от 2.07.2004 г.
  208. Ф.М. Письменное сообщение от 17.07.2004.
  209. Ф.М., Хисамутдинов А. И., Чириков Б. В. Численные эксперименты с нелинейной цепочкой. Препринт 252. Новосибирск: ИЯФ СОАН СССР, 1968. — 38 с.
  210. Ф.М., Чириков Б. В. Статистические свойства нелинейной струны // ДАН СССР. 1966. — Т. 166. — № 1. — С. 57−59.
  211. Ф.М., Чириков Б. В. Стохастичность простейшей динамической модели с разделенным фазовым пространством. Препринт 191. Новосибирск: ИЯФ СОАН СССР, 1968.-64 с.
  212. Ф.М., Чириков Б. В. Некоторые численные эксперименты с простейшей моделью турбулентности // Программирование и математические методы решения физических задач. Дубна, 1974. — С. 266−277.
  213. Ю.С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнения Навье-Стокса // УМН. 1981. — Т. 36. — В. 3. — С. 243−244.
  214. Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики». Фундаментальные направления. Динамические системы 1−9. М.: ВИНИТИ, 1985−1991.
  215. Йоккоз Ж.-К. Недавнее развитие динамики // Международный конгресс математиков в Цюрихе. Избранные доклады. М.: Мир, 1999. — С. 349−380.
  216. .Б. Турбулентность плазмы // Вопр. теории плазмы. 1964. — Вып. 4. -С. 188−339.
  217. .Б., Конторович В. М. Теория турбулентности в гидродинамике и плазме // Известия вузов. Радиофизика. 1974. — Т. 17. — № 4. — С. 511−540.
  218. Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. -1948. Т. 3.-В. 6.-С. 89−185.
  219. С.П., Мелехин В. Н. Микротрон. М.: Наука, 1969. — 211 с.
  220. Д.Л., Йорке Дж.А. Предтурбулентность: режим, наблюдаемый в течении жидкости, описываемой моделью Лоренца // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. — С. 213−238.
  221. А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. — 768 с.
  222. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965. — 408 с.
  223. Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических представлений («Эрлангенская программа») // Об основаниях геометрии / Под ред. А. П. Нордена. — М.: ГИТТЛ, 1956.- С. 399−434.
  224. Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1. М.: Наука, 1989. — 456 с.
  225. Ю.Л. Что такое турбулентность? // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. — Т. 3. — № 2. — С. 7−37.
  226. Ю.Л. Климонтович. Воспоминания коллег и его личные заметки о людях науки / Под ред. В. С. Анищенко, В. Эбелинга и Ю. М, Романовского. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005.- 118 с.
  227. В.И. Устное сообщение от 17.12.2003.
  228. В.В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // ПММ. 1978. — Т. 42 (3). — С. 400−406.
  229. В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980.-230 с.
  230. В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. — Т. 38. — В. 1. — С. 3−67.
  231. В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. -Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995. 430 с.
  232. В.В., Колесников H.H. Об интегрируемости гамильтоновых систем // Вестнтник МГУ, серия математика, механика. 1976. — № 6. — С. 88−91.244″. Колебания и бегущие волны в химических системах / Под ред. Р. Филди и М.Бургер. М.: Мир, 1988. — 720 с.
  233. А.Н. Общая теория меры и исчисление вероятностей // Труды Коммунистической Академии. Раздел математика. 1929. — Т.1. — С. 8−21.
  234. А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — M.-JL: ОНТИ, 1936. -80 с.
  235. А.Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина // УМН. 1938. — № 5. — С. 52−56.
  236. А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. — Т. 30. — № 4. — С. 299−303.
  237. А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости // ДАН СССР. 1941. — Т. 31. — № 6. — С. 538−541.
  238. А.Н. Рассеяние энергии при локально-изотропной турбулентности // ДАН СССР. 1941.-Т. 32.-№ 1.-С. 19−21.
  239. А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе //ДАН СССР. 1953. — Т. 93. — С. 763−766.
  240. А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. — Т. 98. — № 4. — С. 527−530.
  241. А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Ргос. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam, 1954. — V. 1. — P. 315−333.
  242. . А.Н. Теория вероятностей // Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1956. — С. 252−284.
  243. А.Н. Теория передачи информации // Сессия АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. М.: Изд. AITCCCP, 1957. — С. 66−69.
  244. А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. — Т. 119. — № 5. — С. 861−864.
  245. А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. — Т. 124. — № 4. — С. 754−755.
  246. А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» //Проблемы передачи информации. 1965. — Т. 1. -№ 1.- С. 3−11.
  247. А.Н. К логическим основам теории информации и теории1вероятностей // Проблемы передачи информации. 1969. — Т. 5. — № 3. — С. 3−7.
  248. А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. 1972. — Т. 25. — В. 2. — С. 101−106.
  249. А.Н. О таблицах случайных чисел // Семиотика и информация. М.: ВИНИТИ, 1982. — В. 18. — С. 3−13.
  250. А.Н. Комбинаторные основания теории информации и исчисления вероятностей // УМН. 1983. — Т. 38. — В. 4. — С. 27−36.
  251. А.Н. Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. — 458 е.- Кн. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. — 1986. — 532 е.- Кн. 3. Теория информации и теория алгоритмов. — 1987. — 304 с.
  252. А.Н. К работе об уравнении диффузии / Колмогоров А. Н. // Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. — С. 416.
  253. А.Н. К работам по турбулентности / Колмогоров А. Н. // Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. — С. 421.
  254. А.Н. К работам по классической механике / Колмогоров А. Н. // Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. — С. 433.
  255. А.Н. О логических основаниях теории вероятностей / Колмогоров А. Н. // Избранные труды. Кн. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.-С. 467−471.
  256. А.Н. К работам по теории информации и некоторым ее применениям / Колмогоров А. Н. // Избранные труды. Кн. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. — С. 251−253.
  257. Колмогоров. Истина-благо. / Под. ред. А. Н. Ширяева. М.: Физматлит, 2003. — 382 с.
  258. А.Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Математика и механика. 1937. — Т. 1. — В. 6. — С. 1−26.
  259. А.Н., Успенский В. А. К определению алгоритма // УМН. 1958. — Т. 13.-В. 4.-С. 3−28.
  260. А.Н., Успенский В. А. Алгоритмы и случайность // Теория вероятностей и ее приложения. 1987. — Т. 32. — В.З. — С. 425−455.
  261. Колмогоров в воспоминаниях учеников. М.: Изд-во МЦНМО, 2006. — 472 с.
  262. .П. Предисловие редактора / Пуанкаре А. // Фигуры равновесия жидкой массы. Москва-Ижевск: РХД, 2000. — С. 6−8.
  263. И.П., Синай Я. Г., Фомин C.B. Эргодическая теория.- М.: Наука, 1980. -383 с.
  264. Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // УФН. -1989. -Т. 158, — В. 1. С. 108.
  265. В.П. А.Б.Мигдал как педагог // Воспоминания об академике
  266. A.Б.Мигдале. М.: Физматлит, 2003. — С. 136−139.
  267. P.M. Фракталы и хаос. М.: Постмаркет, 2000. — 352 с.
  268. Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1950.-208 с.
  269. С.П. Ренормхаос в системах, демонстрирующих удвоение периода // Нелинейные волны. Физика и астрофизика. М.: Наука, 1993. — С. 286−299.
  270. С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. — 296 с.
  271. О.В. Исследования Н.С.Крылова по обоснованию статистической механики // ИИФМ. М.: Наука, 1987. — С. 80−96.
  272. О.В. История обоснования статистической механики. М.: Наука, 1988.- 184 с.
  273. Г. Гидродинамика. М., Л.: ОГИЗ, 1947. — 928 с.
  274. П.С. Гидродинамическая турбулентность и когерентные структуры // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. — Т.З. — № 2. — С. 4−5.
  275. Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. — Т. 44. — № 8. — С. 339−342.
  276. Л.Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. — 568 с.
  277. Л.Д., Пятигорский Л. Механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1940. — 200 с.
  278. O.E. Странные аттракторы и турбулентность // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984. — С. 22−46.
  279. П.С. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908. — 206 с.
  280. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. — 196 с.
  281. Г. У. Взлет и падение идей в турбулентности // УФН. 1984. — Т. 143.1. B. 4.-С. 641−656.
  282. В.Ф., Молочев В. И., Морозов В. Н., Никитин В. В., Семенов A.C. Динамическая неустойчивость полупроводникового лазера при низких температурах // Письма в ЖЭТФ. 1974. — Т. 19. — В. 12. — С. 747−749.
  283. ЛихтенбергА., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. — 528 с.
  284. А.Ю., Михайлов А. Ю. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. — 272 с.
  285. А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики // УФН. -2007.-Т. 177. -№ 9. -С. 1−26.
  286. А.Ю. Очарование хаоса // УФН. 2010. — В печати.
  287. П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // УМН. 1992. — Т. 47. — В. 6. — С. 59−140.
  288. О. Приложение к статье Р.Вильямса «Изображение аттрактора Лоренца, полученное с помощью компьютера» // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. — С. 73−74.
  289. A.M. Об усточивости эллипсоидальных форм равновесия вращающихся жидкости. СПб.: Издание Академии Наук, 1884. — IV + 109 с.
  290. A.M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // Сообщения Харьковского математического общества. 1888. — 2-я сер. — Т. 1. — С. 7−60.
  291. A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892. — XI + 250 с.
  292. A.M. Об одной задаче Чебышева // Записки Академии Наук по Физико-математическому отделению. 1905. — 8 сер. — Т. 17. — № 3. — С. 1−32.
  293. A.M. Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. — 540 с.
  294. A.M. О форме небесных тел / Ляпунов A.M. // Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. — С. 303−322.
  295. Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.
  296. Е.А. Идеалы единства и простоты в современном научном познании // Вопросы философии. 2003. — № 12. — С. 100−112.
  297. . Фракталы и турбулентность: аттракторы и разброс // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.- С. 47−57.
  298. . Фрактальная геометрия природы. М.: Инст. компьют. исслед., 2002. — 656 с.
  299. Л.И. Предисловие к кн.: Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. — 916 с.
  300. А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М., Л.: ГИТТЛ, 1951.- 128 с.
  301. Дж. Соотношение между уравнениями Навье-Стокса и турбулентностью // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. — С. 7−20.
  302. Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии. М.: Мир, 1988. — 352 с.
  303. Мартин-Леф П. О понимании случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения. 1966. — Т. 11.- № 1. — С. 198−200.
  304. К. Задача трех тел. Москва-Ижевск: Инст. компьют исслед., 2004. — 640 с.
  305. В.П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987. — 352 с.
  306. Дж. Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера / Мозер Ю. // КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.: РХД, 2001. — С. 7−27.
  307. В.К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. — Т. 148. — № 6. — С. 1257−1260.
  308. В.К. Об устойчивости центра при периодических во времени возмущениях // Труды Московского математического общества. 1963. — Т. 12. — С. 3−52.
  309. Дж. Рождение квантовой механики// УФН. 1977. — Т. 122. — В. 4. — С. 719−744.
  310. А.Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975. — 336 с.
  311. Р. фон. Вероятность и статистика. М.-Л.: Гос. изд-во, 1930. — 250 с.
  312. М.А. Избранные очерки о зарождении и взрослении- радиофизики в горьковско-нижегородских местах. Н. Новгород: Изд-во ИПФ РАН, 1997. — 244 с.
  313. М.Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1939. — Т. 22. — № 5. — С. 236−240.
  314. С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957.-512 с.
  315. P.A. Случайная величина // Физическая энциклопедия. Т. 5. М.: Большая Российская Энциклопедия, 1994. — С. 559−560.
  316. Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. — 169 с.
  317. Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем // УМН. -1981.-Т. 36.-В. 5.-С. 109−151.
  318. В.Н. О.Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX в. // ИМИ. 1978. — Вып. 23. — С. 32−55.
  319. A.C. О природе турбулентности // УФН. 1978. — Т. 125. — В. 1. — С. 97−122.
  320. A.C. О когерентных структурах в турбулентных течениях // Этюды о турбулентности. М.: Наука, 1994. — 292 с.
  321. A.C., Яглом A.M. О законах мелкомасштабных турбулентных движений жидкостей и газов // УМН. 1963. — Т. 18. — В. 5. — С. 93−114.
  322. A.C., Яглом A.M. Механика турбулентности // Механика в СССР. 196 872. Т. 2. М.: Физматгиз, 1970. — С. 461−505.
  323. A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Т.1. С.-Птб: Гидрометеоиздат, 1992. — 692 с.
  324. Г. Некоторые направления развития теории турбулентности // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. — С. 49−76.
  325. P.P. Развитие идей А.А.Андронова в современной теории нелинейных явлений // Преподавание физики в высшей школе. № 23. — М., 2002. — С. 333−342.
  326. Мухин Р. Р. Первые математические модели для описания активных сред: волны «заселения» и волны распространения пламени // ИИФМ. М.: Наука, 2002. — С. 277 285.
  327. P.P. Развитие В.Гейзенбергом некоторых проблем гидродинамики // ИИФМ. М.: Наука, 2003. — С. 129−138.
  328. P.P. А.Н.Колмогоров и статистическая теория турбулентности // ИИФМ. -М.: Наука, 2003. С. 296−306.
  329. P.P. Колмогоров и теория KAM: заметки к истории ее создания // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. — Т. 11. — № 1. — С. 3−11.
  330. P.P. Развитие Колмогоровым энтропийного направления эргодической теории // ИМИ. 2003. — В. 8(43). — С. 18−26.
  331. P.P. Вычислительный эксперимент: что это такое? // История науки и техники. 2003. — № 3. — С. 23−29.
  332. P.P. Современное развитие представлений о динамике планетных колец // Историко-астрономические исследования. М.: Наука, 2003. — С. 34−41.
  333. P.P. П.Дирак, скобки Пуассона и проблема интегрируемости гамильтоновых систем // ИИФМ. М.: Наука, 2003. — С. 63−72.
  334. P.P. Симметрия и хаос // История науки и техники. 2004. — № 6. — С. 2−12.
  335. P.P. Отечественные школы нелинейной динамики // Сб. трудов Межд. конф. МСС-04 «Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность», Москва, 23−25 ноября 2004. М.: УРСС, 2004. — С. 226−231.
  336. P.P. Динамический хаос в гамильтоновых системах (по работам Г. М. Заславского 1960-х 1970-х годов) // ИИФМ. — М.: Наука, 2005. — С. 223−239.
  337. P.P. Динамический хаос и физика лазеров // ИИФМ. М.: Наука, 2005. — С. 372−385.
  338. P.P. «Для понимания структуры и природы колец старые методы небесной механики оказались неприменимыми». Интервью с А. М. Фридманом // ВИЕТ. 2005. — № З.-С. 157−168.
  339. P.P. Современное развитие динамики и хаос. Об академике Б. В. Чирикове // Вестник РАН. 2005. — Т. 75. — № 3. — С. 233−241.
  340. P.P. К истории развития нелинейной динамики. Динамический хаос // Научное сообщество физиков СССР. 1950−1960-е годы. Вып. 1. С.-Пб.: Изд-во РХГА, 2005. — С. 433−470.
  341. P.P. Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. — Т. 14. — № 1. — С. 3−24.
  342. P.P. Структуры и хаос в галактиках // Историко-астрономические исследования. М.: Наука, 2006. — С. 10−20.
  343. P.P. Физика плазмы и нелинейная динамика // ИИФМ. М.: Наука, 2006. -С. 210−219.
  344. P.P. Методологические аспекты динамического хаоса // Вопросы философии.- 2006. № 11. — С. 85−93.
  345. P.P. Качественное интегрирование диссипативных систем. Исторический аспект // Нелинейный мир. 2006. — Т. 5. — С. 113−127.
  346. P.P. Возникновение турбулентности, динамические системы и хаос // ИИФМ. М.: Наука, 2007. — С. 34−366.
  347. P.P. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов // Вестник РАН. 2007. — Т. 77. — № 3. — С. 227−234.
  348. P.P. Очерки по истории динамического хаоса (исследования в СССР в 1950—1980-е годы). М.: ВЕСТ-КОНСАЛТИНГ, 2007. — 390 с.
  349. P.P. Турбулентность по Ландау, странные аттракторы и пути перехода к хаосу // История науки и техники. 2008. — № 4. — С. 18−29.
  350. P.P. Может ли просто устроенная система вести себя сложно и непредсказуемо? Математические биллиарды // История науки и техники. 2008. — № 6. — С. 2−8.
  351. P.P. Из истории гамильтонова хаоса: исследования стохастичности нелинейных систем в трудах Новосибирской школы // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. — Т. 16. — № 5. — С. 67−82.
  352. P.P. Из истории гамильтонова хаоса: биллиарды // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. — Т. 16. — № 6. — С. 86−98.
  353. P.P. Является ли механика Ньютона завершенной? Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера // История науки и техники. 2010. — № 4. — С. 46−56.
  354. P.P. Предсказание погоды, система Лоренца и лазерный аттрактор // История науки и техники. 2010. — № 6. — С. 14−22.368. «Наука в Сибири». 28 июня 1990. — № 23−24.
  355. Научное сообщество физиков СССР. 1950−1960-е годы. / Сост и ред. В. П. Визгин и А. В. Кессених. Вып. 1. С.-Пб.: Изд-во РХГА, 2005. — 720 с.
  356. Нейман фон Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971. -384 с.
  357. Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний I, И, III // Известия вузов. Радиофизика. 1958. — № 1. — С. 5−6, 41−66- № 2. — С. 95−117- № 5, 6.-С. 146−165.
  358. Ю.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров // ДАН СССР. 1959. — Т. 129. — № 4. — С. 736−739.
  359. Ю.И. Некоторые методы исследования динамических систем // Труды 2-го Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. В.2. М.: Наука, 1965.-С. 97−111.
  360. Ю.И. О движениях, близких к двоякоасимптотическому движению // ДАН СССР. 1967. — Т. 172. — № 5. — С. 1021−1024.
  361. Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. — С. 137−156.
  362. Ю.И. Структура движений динамической системы в окрестности гомоклинической кривой // Труды 5-й летней математической школы, 1967. Киев: Институт математики АН УССР, 1968. — С. 400−433.
  363. Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1972. 472 с.
  364. Ю.И. Стохастичность в динамических системах // Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика. Горький: Изд-во ГГУ, 1973. — С. 3−11.
  365. Ю.И. О возникновении стохастичности в динамических системах // Известия вузов. Радиофизика. 1974. — Т. 17. — № 4. — С. 602−607.
  366. Ю.И. Основная математическая модель современной науки и теория колебаний / Неймарк Ю. И. // Математические модели естествознания и техники. В. 3. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1997. — С. 336−354.
  367. Ю.И. Сухой остаток. Н. Новгород: Нижегор. Гум. Центр, 2000. — 144 с.
  368. Ю.И. Письменное сообщение от 16.01.2004.
  369. Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.-423 с.
  370. А.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой // ПММ. 1984. — Т. 48. — № 2. — С. 197−204.
  371. Нелинейные волны // Известия вузов. Радиофизика. 1974. — Т. 17. — № 4.
  372. Нелинейные волны // Известия вузов. Радиофизика. 1976. — Т. 19. — № 5, 6.
  373. Нелинейные волны / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979. — 360 с.
  374. Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность / Под ред. М. И. Рабиновича. М.: Наука, 1980. — 220 с.
  375. Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1981.-244 с.
  376. Нелинейные волны. Самоорганизация / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. М.: Наука, 1983. — 264 с.
  377. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. -М.: Наука, 1987.-400 с.
  378. Нелинейные волны. Динамика и эволюция / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. М.: Наука, 1989. — 400 с.
  379. Нелинейные волны. Физика и астрофизика / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. М.: Наука, 1993.-360 с.
  380. Нелинейные системы гидродинамического типа. / Под ред. А. М. Обухова. М.: Наука, 1974. — 160 с.
  381. В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.
  382. В.В., Степанов В. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения II Математика в СССР за тридцать лет. 1917−1947. М.: Физматгиз, 1948. — С. 481−517.
  383. H.H. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Функциональный анализ и его приложения. 1971. — Т. 5. — В. 4. — С. 82−83.
  384. H.H. Метод последовательных канонических замен переменных / Мозер Ю. // Лекции о гамильтоновых системах. Добавление. М.: Мир, 1973. — С. 150 164.
  385. Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. — 344 с.
  386. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. — 304 с.
  387. С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. — Т. 37. — В. 5. — С. 3−49.
  388. С.П. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // ИМИ. 2002. — В. 7 (42). — С. 326 356.
  389. С.П. и др. Яков Григорьевич Синай (к 60-летию со дня рождения) // УМН. 1996. — Т. 51.- В. 4. — С. 179−191.
  390. A.M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // ДАН СССР. -1941. Т. 32. — № 1. — С. 22−24.
  391. A.M. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа //ДАНСССР. 1969.-Т. 184.-№ 2.-С. 309−312. '
  392. А.Н. К теории молекулярного генератора // Радиотехника и электроника. 1959. — Т. 4. — В. 4. — С. 718−723.
  393. А.Н. Молекулярные генераторы. М.: Наука- 1984. — 296 с.
  394. А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. — Т. 4. — № 1. С. 3−32.
  395. А.Н. Письменное сообщение от 25.09.2002.
  396. А.Н. Устное сообщение от 17.04.2003.
  397. А.Н., Успенский. A.B. Режим пульсаций мощного излучения квантовых генераторов // Труды ФИАН. 1965. — Т. 31. — С. 96−111.
  398. Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978, — 168 с.
  399. В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математического общества. 1968. — Т. 19. — С. 179−210.
  400. А. Митчелл Джей Фейгенбаум / Пайс А. // Гении науки. М.: Инститзт коми, исслед., 2002. — С. 110−136.
  401. ., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.-301 с.
  402. Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория//УМН. 1977. — Т. 32. — В. 4. — С. 55−112.
  403. Я.Б. Геодезические потоки с гиперболическим поведением траекторий и связанные с ними объекты // УМН. 1981. — Т. 36. — В. 4. — С. 3−51.
  404. Я.Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 2. — ВИНИТИ, 1985. — С. 123−173.
  405. A.A. Философия Рихарда фон Мизеса через призму его контактов с советскими учеными // Вопросы философии. 2000. — № 3. — С. 43−52.
  406. A.A. Понятие автоколебаний и развитие теории нелинейных колебаний // ИМИ. 2003. — В. 8(43). — С. 209−240.
  407. A.C., Рабинович М. И. О странных аттракторах в физике // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. — С. 176−192.
  408. И.Б. К истории качественных методов в теории дифференциальных уравнений // ИМИ. 1997. — В. 2(37). — С. 283−292.
  409. Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. — 464 с.
  410. А.Д., Вязьмин, А.В., Журов А. И., Казенин Д. А. Справочник по точным" решениям уравнений тепло- и массопреноса. М.: Факториал, 1998. — 368 с.
  411. Л. Гидроаэромеханика. М.: РХД, R & С Dynamics, 2000. -576с.
  412. Предисловие к кн.: Н. Н. Горькавый, А. М. Фридман. Физика планетных колец: -М.: Наука, 1994.-С. 3−11.
  413. И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1964. — 314 с.
  414. И. От существующему к возникающему. М.: Наука, 1985. — 328 с.
  415. И., Николис Ж. Биологический порядок, структуры и неустойчивости //УФН. 1973. — Т. 109. — В. 3. — С. 517−544.
  416. И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 240 с.
  417. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969. — 240 с.
  418. Ю.В. Случайная величина // Математическая энциклопедия. Т.5. М.: Советская Энциклопедия, 1985.- С. 9−10.
  419. А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 392 с.
  420. А. Новые методы небесной механики. / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. М.: Наука, 1971. — Т. 1. — 772 е.- 1972. — Т. 2. — 998 с.
  421. А. Аналитическое резюме / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. Т. 3. М.: Наука, 1974. — С. 580−655.
  422. А. Наука и метод / Пуанкаре А. // О науке. М.: Наука, 1983. — С. 284 403.
  423. А. Ценность науки / Пуанкаре А. // О науке. М.: Наука, 1983. — С. 153 282.
  424. А. Теория вероятностей. Ижевск: РХД, 1999. — 280 с.
  425. М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН. 1978. -Т. 125,-В. 1. — С. 123−168.
  426. М.И., Фабрикант А. Л. Нелинейные волны в неравновесных средах // Известия вузов. Радиофизика. 1976. — Т. 19. — № 5−6. — С. 721−766.
  427. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. -М.: Наука, 1998.-255 с.
  428. Р. Принципы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1984.-382 с.
  429. С.Н. Экспериментальная проверка поведения заряженных частиц в адиабатической ловушке // Атомная энергия. 1959. — Т. 6. — В. 6. — С. 623−629.
  430. В.А. Об основных понятиях теории меры // Математический сборник. -1949.-Т. 25.-№ 1.-С. 107−150.
  431. В.А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // УМН. 1949. — Т. 4. — В. 2. — С. 57−128.
  432. В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. 1967. — Т. 22. — В. 5. — С. 3−56.
  433. С.М. Академик Л.И.Мандельштам // Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981. — С. 8−30.
  434. Д. Случайность и хаос. Москва-Ижевск: РХД, 2001. — 192 с.
  435. Р.З. Сколько каши было съедено // Академик М. А. Леонтович. М.: Наука, 2003. — С. 287−290.
  436. A.A., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.-480 с.
  437. A.M. Н.Н.Боголюбов и нелинейная механика // УМН. 1994. — Т. 49. -В. 5.-С. 103−146
  438. Ю.В. Вероятностная революция в науке. М.: Научный мир, 1999. — 144 с.
  439. Ю.В. Вероятность как загадка бытия и познания // Вопросы философии. -2006.-№ 1.-С. 80−94.
  440. Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. М.: Физматлит, 2001. — 288 с.
  441. Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. — Т. 124.-№ 4.-С. 768−771.
  442. Я.Г. Вероятностные идеи в эргодической теории // Proc. Intern. Congr. of Mathematicians. Stockholm, 15−22 August 1962. Stockholm, 1962. — P. 540−559.
  443. Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики //ДАН СССР. 1963. — Т. 153. — № 6. — С. 1261−1264.
  444. Я.Г. Несколько замечаний о спектральных свойствах эргодических динамических систем //УМН. 1963. — Т. 18. — В. 5. — С. 41−47.
  445. Я.Г. Классические динамические системы со счетнократным лебеговским спектром. II // Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. — Т. 30. — № 1. — С. 1568.
  446. Я.Г. Асимптотика числа замкнутых геодезических на компактных многообразиях отрицательной кривизны // Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. — Т. 30. — № 6. — С. 1275−1296.i
  447. Я.Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы // Функциональный анализ и его приложения. 1968. — Т. 2. — № 1. — С. 64−89.
  448. Я.Г. Построение марковских разбиений // Функциональный анализ и его приложения. 1968. — Т. 2. — № 3. — С. 70−80.
  449. Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями // УМН. 1970. — Т. 25.-В. 4.-С. 141−192.
  450. Я.Г. О законе универсальности Фейгенбаума // Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. М.: Наука, 1980. — С. 24−28.
  451. Я.Г. Случайность неслучайного // Природа. 1981. — № 3. — С. 72−80.
  452. Я.Г. Эргодическая теория / Колмогоров А. Н. // Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. — С. 275−279.
  453. Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматлит, 1995.- 202 с.
  454. Я.Г. Как математики изучают хаос // Математическое просвещение. Третья серия. 2001. — В. 5. — С. 32−46
  455. Я.Г. Как математики и физики нашли друг друга // Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. — С. 417−426.
  456. Я.Г. Письменное сообщение от 04.03.2005 г.
  457. Я.Г. Воспоминания об А.Н.Колмогорове // Колмогоров в воспоминаниях учеников. М.: Изд-во МЦНМО, 2006. — С. 205−207.
  458. Я.Г. Письменное сообщение от 26.03.2007.
  459. Я.Г., Чернов Н. И. Эргодические свойства некоторых систем двумерных дисков и трехмерных шаров // УМН. 1987. — Т. 42. — В. 3. — С. 153−174.
  460. Синергетика. / Под ред. Б. Б. Кадомцева. М.: Мир, 1984. — 248 с.
  461. К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел // ДАН СССР. 1960. — Т. 133. — № 2. — С. 303−306.
  462. У .М. Небесная механика. М.: Мир, 1965. — 503 с.
  463. С. Топология и механика // УМН. 1972. — Т. 27. — В. 2. — С. 77−133.
  464. С. Математические проблемы следующего столетия // Современные проблемы хаоса и нелинейности. Москва-Ижевск: РХД, 2002. — С. 280−303.
  465. В.И. Очерк научных трудов А.М.Ляпунова / Ляпунов A.M. // Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. — С. 341−450.
  466. Солитоны. М.: Мир, 1983. — 408 с.
  467. Л.Н. Творчество Анри Пуанкаре // ВИЕТ. 1963. — В. 15. — С. 30−46.
  468. Странные аттракторы. / Под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова. М.: Мир, 1981.- 254 с.
  469. Дж. Теория звука. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1955. — 503 с.
  470. Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1964. — 236 с.
  471. М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001.-320 с.
  472. В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1992. — 396 с.
  473. Техника в ее историческом развитии. 70-е годы XIX начало XX в. — М.: Наука, 1982. -512 с.
  474. В.М. Жизнь и творчество Андрея Николаевича Колмогорова // УМН.- 1988.-Т. 43.-В. б.-С. 3−33.
  475. В.М. О двух письмах А.Н.Колмогорова к П. С. Александрову // ИМИ.- В. 8(43). М.: Янус-К, 2003. — С. 11−18.
  476. А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. — Т. 39. — № 5.-С. 195−198.
  477. В.В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. — 448 с.
  478. Д.И. Колмогоров, Петровский, Пискунов, Фишер и нелинейное уравнении диффузии // Известия вузов. Прикладная нелиная динамика. 1997. — Т.5. — № 6. С. 85−94.
  479. Д.И. Письменное сообщение от 06.12.2002.
  480. Турбулентные течения. М.: Наука, 1977. — 124 с.
  481. А. А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. -524 с.
  482. Э. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937. — 588 с.
  483. Э. История теории эфира и электричества. Москва-Ижевск: РХД, 2001 -512 с.
  484. С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964. — 170 с.
  485. С. Приключения математика. Москва-Ижевск: РХД, 2001. — 272 с.
  486. В.А. Колмогоров, каким я его помню. / Успенский В. А. // Труды по НЕматематике. М.: ОГИ, 2002. — С. 1068−1163.
  487. В.А. Четыре алгоритмических лица случайности // Математическое просвещение. 2006. — В. 10. — С. 71−108.
  488. В.А., Семенов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987. — 272 с.
  489. В.А., Семенов А. Л., Шень А. Х. Может ли (индивидуальная) последовательность нулей и единиц быть случайной? // УМН. 1990. — Т. 45. — В. 1. — С. 105−162.
  490. В.М. Об уравнениях колебаний молекулярного генератора // ЖЭТФ. 1957.- Т. 33. В. 4. — С. 945−947.
  491. М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. -Т. 141.-В. 2.-С. 343−374.
  492. Фейнмановские лекции по физике. Т. 7. М.: Мир, 1966. — 302 с.
  493. A.M., Сагдеев Р, 3., Хоружий A.B., Поляченко Е. В. Наблюдаемые проявления хаоса в спиральных галактиках // Труды совещания «Наблюдаемые проявления хаоса в реальных астрономических объектах», Москва, 2002. М.: Изд-во МГУ, 2002. — С. 1−17.
  494. Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. — 406 с.
  495. Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самооргнизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. — 423 с.
  496. П. Лекции по эргодической теории. Москва-Ижевск: РХД, 2001. — 132 с.
  497. А.Я. Метрические задачи теории иррациональных чисел // УМН. 1936.- В. 1. С. 7−32.
  498. А.Я. Математические основания статистической механики. М.-Л., 1943. -102 с.
  499. А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // УМН. 1953. Т. 8. В. 3. С. 3−20.
  500. А.Я. Об основных теоремах теории информации // УМН. 1956. — Т. 11. -В. 1.-С. 17−75.
  501. А.Я. Частотная теория Р.Мизеса и современные идеи теории вероятностей // Вопросы философии. 1961. — № 1. — С. 91−102- № 2. — С. 77−89.
  502. Ю.А. Научные школы в физике. Киев: Наукова думка, 1987. — 400 с.
  503. В.Н. Развитие представлений о плазменной турбулентности // УФН. -1972. Т. 108. — В. 1. — С. 143−176. .
  504. Ю.В. История науки и обучение науке (на примере понятий «случайность» и «вероятность») // ВИЕТ. 1989. — № 4. — С. 17−28.
  505. Ю.В. О природе случайности. М.: Центр систем, исслед., 2001. — 272 с.
  506. Ю.В. Что такое вероятность. Эволюция понятия (от древности до Пуассона) // ИМИ. 2001. — В. 6 (41). — С. 34−56.
  507. П.Л. Теория механизмов / Чебышев П. Л. // Полное собрание сочинений. Т. 4. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. — 255 с.
  508. A.B. Комментарии «Analysis situs» и дополнения / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. / Т. 2. М.: Наука, 1972. — С. 976−982.
  509. Н.Г. Комментарий к главе I работы «Общая задача об устойчивости движения» / Ляпунов A.M. // Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. — С. 451 456.
  510. .В. Резонансные процессы в магнитных ловушках // Атомная энергия. 1959.-Т. 6.-В. 6.-С. 630−638.
  511. .В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт 267. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969. — 314 с.
  512. .В. Стохастические волновые процессы. Препринт НИРФИ. Горький, 1973.-№ 42.
  513. .В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1978. — 78 с.
  514. .В. Жизнь это творчество // Академик Г. И. Будкер. — Новосибирск: Наука, 1988. — С. 67−77.
  515. .В. Аномальная диффузия в микротроне и критическая структура на границе хаоса // ЖЭТФ. 1998. — Т. 110.-В. 4. — С. 1174−1185.
  516. .В. Письменное сообщение 17.11.2003.
  517. А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. — Т. 16. — № 1. — С. 61−71.
  518. К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. — 628 с.
  519. О.Б. Понятие случайности от Аристотеля до Пуанкаре // ИМИ. В. 1(36).-№ 1. -М.:Янус-К, 1995.-С. 85−105.
  520. К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963. — 829 с.
  521. К. Бандвагон / Шеннон К. // Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд. иностр. лит, 1963. — С. 667−668.
  522. Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений //ДАН СССР. 1965. — Т. 160. — № 3. — С. 558−561.
  523. JI.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // ДАН СССР.- 1967.-Т. 172.-№ 1. С. 54−57.
  524. Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в окрестности гомоклинической кривой // ДАН СССР. 1967. — Т. 172. — № 2. — С. 298 301.
  525. Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Математический сборник. 1967. — Т. 174. — № 3. — С. 378−397.
  526. Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник. 1970. — Т. 81. — № 1.-С. 92−103.
  527. Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца / Марсден Дж, Мак-Кракен М. // Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. — С. 317 335.
  528. Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наук, думка, 1985. — С. 118−124.
  529. Л.П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. — С. 465−489.
  530. Л.П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. — 416 с.
  531. А.Н. Математическая теория вероятностей. Очерк истории становления. / Колмогоров А. Н. // Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. — С. 102 129.
  532. М. Фракталы, хаос, степенные законы. Москва-Ижевск: РХД, 2001. -528 с.
  533. М. Молекулярная самоорганизация и ранние стадии эволюции // УФН. -1973.- Т. 109.- В. 3. С. 545−589.
  534. Этюды о турбулентности. М.: Наука, 1994. — 291 с.
  535. А.П. Исторический очерк / Степанов В. В. // Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950. — С. 428−457.
  536. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. М.: Фазис-Мирос, 1999. — 256 с.
  537. Abraham R., Marsden J. Foundations of Mechanics. Reading, Mass.: The Benjamin Publ. Co., 1978.-806 p.
  538. Adler R.L., Konheim A.G., McAndrew M.H. Topological Entropy // Trans. AMS. -1965.-V. 114.-N2.-P. 309−319.
  539. Afraimovich V.A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors //Nonlinear dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. — P. 1−34.
  540. Anderson K.G. Poincare’s discovery of homoclinic points // Archive for History of Exact Science. 1994. — V. 48. — P. 133−147.
  541. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1949- Oxford: Pergamon / Addison-Wesley, 1966. — 816 p.
  542. Aranson I.S., Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. The onset and spatial development of turbulence in flow systems // Physica D. 1988. — V. 33. — P. 1−20.
  543. Arecci F.T., Lapucci A., Meucci R. Poincare versus Bolzmann in Shilnikov phenomena // Physica D. 1993. — V. 62. — P. 186−191.
  544. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure // Comm. Math. Phys. 1981. — V. 79. — P. 573−579.
  545. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillations with chaotic behaviour: an illustration of a theorem by Shilnikov // J. Stat. Phys. 1982. — V. 27. — P. 171−182.
  546. Arnold V.I. Kolmogorov’s hydrodynamic attractors // Proc. Roy. Soc. London: Ser. A. 1991.-V. 434.-P. 19−22.
  547. Arnold V.I., Avez A. Problemes Ergodiques de la Mecanique Classique. Paris.: Gauthier-Villars, 1967. — II + 243 p.
  548. Arnold V., Khesin B. Topological Methods in Hydrodynamics. N.Y.: SpringerVerlag, 1998. — 374 p.
  549. Aubin D. From catastrophe to chaos: the modeling practices of applied topologists // Changing Images in Mathematics. L.-N.Y.: Routledge, 2001. — P. 255−279.
  550. Aubin D., Dahan Dalmedico A. Writing the history of Dynamical Systems and Chaos // Historia Mathematics 2002. — V. 29. — P. 273−339.
  551. Aubin D. Written report 06.02.2004.
  552. Barrow-Green J. Oscar II’s prize competition and the error in Poincare’s memoire on the three body problem // Archive for History of Exact Science. 1994. — V. 48. — P. 107−131.
  553. Battimelli G. On the history of the statistical theories of turbulence // Revista Mexicana de Fisica. 1986. — V. 32. — P. 3−48.
  554. Bellisard J., Bohigas O., Casati G., Shepelyansky D.L. Classical Chaos and its Quantum Manifestations // Physica D. 29 March 1999. — Special issue.
  555. Bendixson I. Sur les courbes definies par des equations differentielles // Acta Math. -1901.-V. 24.-P. 1−88.
  556. Berman G.P., Izrailev F.M. The Fermi-Pasta-Ulam problem: 50 years progress // Chaos. 2005. — V. 15. — 15 101. — P. 1−49.
  557. Bessi U., Cherchia L., Valdinochi E. Upper bounds on Arnold diffusion time via Mather theory // J. Math. Pure Appl. 2001. — V. 80. — N 1. — P. 105−129.
  558. Birkhoff G.D. Quelques theorems sur les mouvements des systemes dynamiques // Bull. Soc. Math. France. 1912. — V. 40. — P. 305−323.
  559. Birkhoff G.D. Proof of Poincare’s Geometric Theorem // Trans. AMS. 1913. — V. 14. -P. 14−22.
  560. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. — IX + 295 P
  561. Birkhoff G.D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. — V. 17. — P. 650−660.
  562. Birkhoff G.D. Nouvelles recherches sur les systemes dynamiques // Memoire Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei. 1935. — V. 53. — P. 85−216.
  563. Bohm D., Burshop E. The characteristics of electrical discharges in magnetic field. -N.Y.- 1949.
  564. Bolzmann L. Uber der Warmegleichgewicht zwischen meharatomigen Gasmolekulen // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. 1871. — B. 63. — S. 397−418.
  565. Bour J. Sur l’integration des equations differentielles de la Mecanique Analytic // J.Math. Pure et Appl. 1855. — V. 20.- P. 185−200.
  566. Bruns H.E. Uber der Integrate des Vielkorper-Problems // Acta Math. 1887. — V. 11. -P. 25−96.
  567. Campbell D., Rosenau P., Zaslavsky G.M. Introduction: The Fermi-Pasta-Ulam problem The first fifty years // Chaos. — 2005. — V. 15. — 15 101. — P. 1−4.
  568. Carati A., Galgani L., Giorgilli A. The Fermi-PastaUlam problem as a challenge for the foundations of physics // Chaos. 2005. — V. 15. — 15 105. — P. 1−8.
  569. Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order:
  570. The equation y-k (-y2)y+y-bAkcos (A, t + a), k large//J. London Math. Soc. 1945. -V. 20.-Part3.-N79.-P. 180−189.
  571. Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order:1. The equation y+ kf (y, y) + g (y, k) = pit) = px (t) + kp2 (t) — k > 0, f (y) > 1 // Ann. Math. 1947. V. 48. — N 2. — P. 472−494- 1949. — V. 50. — P. 504−505.
  572. Chabert J.-L., Dahan- Dalmedico A. Les idees nouvelles de Poincare // Chaos et determinism. / Sous la direction de la A. Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992.-P. 274−305.
  573. Chabert J.-L. Hadamard et les geodesiques des surfaces a courbures negative // Chaos et determinism // Chaos et determinism. Sous la direction de la A. Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. — P. 306−330.
  574. Chaitin G.J. On the length of programs for computing finite binary sequences: statistical consideration//J. Assos. Comp. Mach. 1969. — V. 16. — P. 145−159.
  575. Chaos. 2005. V. 15. — 15 101.
  576. Chaos et determinism / Sous la direction de la A. Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. — 416 p.
  577. Chazy J. Sur l’allure finale de movement dans le probleme des trois corps quand le temp croit indefiniment // Ann. De l’Ecole Norm. Sup., 3 ser. 1922. — V. 39. — P. 29−130.
  578. Chernikov A.A., Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zakharov M.Yu., Zaslavsky G.M. Minimal chaos and stochastic webs //Nature. 1987. — V. 326. — P. 559−563.
  579. Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space // Ann. de l’Institut Poincare, B. 1994. — V. 60. — P. 1−144.
  580. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Reps. 1979. — V. 52. — № 5. — P. 263−379.
  581. Chirikov B.V. Linear and Nonlinear Dynamical Chaos // Open Sys. and Information Dyn. 1997.-N4.-P. 241−280.
  582. Chirikov B.V., Izrailev F.M. Some numerical experiments with a nonlinear mapping: stochastic component // Colloq. Intern, du C.N.R.S. Tousouse, 1973. — P. 409−428.
  583. Chirikov B.V., Vecheslavov V.V. Chaotic dynamics of comet Halley // Astron. Asrophys. 1989. — V. 221. — P. 146−154.
  584. Church A. On the concept of a random sequence // Bull. AMS. 1940. — V. 46. — N 2. -P. 130−135.
  585. Churchill W.S. The Second World War. V. 1. L.: Cassel & Co. ltd., 1949. — 724 p.
  586. Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion // Astron. -. 1962. V. 67.-N l.-P. 1−14.
  587. Contopoulos G. A classification of the integrals of motion // Astron. J. 1963. — V. 138. -N4.-P. 1297- 1305.
  588. Dahan Dalmedico A. La renaissance des systemes dynamiques aux Etats-Unis apres la deuxieme guerre mondiale // Suppl. Rendiconti dei circolo math. Palermo. 1994. Ser. II. — Y. 34. — P. 133−166.
  589. Dahan Dalmedico A. History and Epistemology of Models: Meteorology (1946−1963) as a Case Study // Arch. Hist. Sci. 2001. — V. 5. — P. 395−422.
  590. Dahan Dalmedico A. Andronov’s school and the «Chaos» Reconfiguration // Proc. Inter. Andronov Conference. Nizhny Nov. 2002. — V. II. — P. 644−660.
  591. Dahan Dalmedico A., Gousevich I. Early Developments of Nonlinear Science in Soviet Russia: The Andronov School at Gorkiy // Science in Context. 2004. — V. 17. — N '/a. — P. 235 265.
  592. Darwin G.H. Further consideration of stability of the pear-shaped figure of a rotating mass of liquid // Phys. Trans, of the Roy. Soc. of London. 1908. — Ser. A. — V. 207. — P. 1−19.
  593. Davydov A.S. The role of solitons in the energy and electron transfer in one-dimensional molecular systems // Physica D. -1981. № 3. — P. 1−22.
  594. Delauney C.E. Theorie du Mouvement de la Lune. Paris, 1860.
  595. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1989. — 336 p.
  596. Diacu F., Holmes P. Celestial Encounters: The Origin of Chaos and Stability. -Princeton: Princeton Univ. Press, 1996. -XV + 233 p.
  597. Diner S. Les voies du chaos deterministe dans l’ecole russe // Chaos et determinism. / Sous la direction de la A. Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. -P. 331−370.
  598. Doob J: The Development of Rigor in Mathematical Probability // Development of Mathematics 1900−1950. / Ed. J.-P.Pier. Basel et al.: Birkhauser, 2000. — P. 157−169.
  599. Drummond W.E., Pines D. Nonlinear stabilization of plasma oscillations // Nucl. Fusion Supp. 1962. — N 3. — P. 1049.
  600. Duhem P. La theorie physique, son objet, sa structure. Paris: Chevalier et Riviere, 1906. -450 p.
  601. Eckmann J.-P. Roads to turbulence in Dissipative Dynamical Systems // Rev. Mod. Phys. -1981. V. 53. — N 4. — Part 1. — P. 643−654.
  602. Elliot J.L., Dunham E., Mink D. The rings of Uranus // Nature. 1977. — V. 267. — N 5609. — P. 328−330.
  603. Erenfest P., Erenfest T. Begriffische Grundlagen statistischen Auffassung in der Mechanik // Enzyklopedie der mathematischen Wissinschaften. 1911. — B. 4. — S. 32−131.
  604. Evans J.W., Fenichel N., Feroe J.A. Double impulse solutions in nerve axon equations // SIAM J. Appl. Math. 1982. — V. 142. — P. 219−234.
  605. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class on nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978. — V. 19. — N 1. — P. 25−52.
  606. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1979. — V. 21. -N 6. — P. 669−706.
  607. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist // Phys. Zs. 1923. — B. 24. — S. 261−265.
  608. Fermi E. On the origin of cosmic radiation // Phys. Rev. 1949. — V. 75. — P. 11 691 174.
  609. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Study of non Linear Problems // Studies of Nonlinear Problems. I. Los Alamos Report. LA, 1940. — 1955.
  610. Filonenko N.N., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities. Part II //Nucl. Fusion. 1967. — V. 7. — P. 253−266.
  611. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Ann. Eugenics. 1937. — V. 7. — P. 355−369.
  612. Frisch U., Orszag S. Turbulence: challenges for theory and experiment // Physics Today. January 1990. — P. 24−32.
  613. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura' K.M. Method for the solving the Korteveg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. — V. 19. — P. 1095−1097.
  614. Golden Years of Moscow Mathematics // History of Mathematics. V. 6 / Eds. S. Zdravkovska, P.L.Duren. N.Y.-L., 1993. — 272 p.
  615. Gollab J.P., Swinney H.L. Onset of turbulence in a rotating fluid // Phys. Rev. Lett. -1975.-V. 35,-P. 927−930.
  616. Grasiuk A.Z., Oraevsky A.N. Transient processes in a beam maser // Proc. 4th Intern. Congr. Microwave Tubes. Sheveningen, Holland. 1962. — P. 446−450.
  617. Grasiuk A.Z., Oraevsky A.N. The Dynamics of quantum oscillator // Estratto de Rendiconti della Scuola Intrn. Di Fisica «E.Fermi «, XXXI Corso. Varenna, Italy. 1963. — P. 192−193.
  618. Hadamard J. Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geodesiques // J. Math, pures et appl. 1898. — V. 4. — P. 27−73.
  619. Hadamard J. Lectures on Cauchy’s Problem. New Haven, 1923. — 316 p.
  620. Haken H. Analogy between higher Instabilities in Fluids and Lasers // Phys. Lett.1975.-V. 53.-N l.-P. 77−79.
  621. Hasselblatt В., Katok A. The development of dynamics in the 20th century and the contribution of Jurgen Moser. // Ergod. Th.& Dynam. Sys. 2002. — V. 22. — P. 1343−1364.
  622. Hedlund G.A. The dynamic of geodesic flows // Bull. AMS. 1939. — V. 45. — P. 241 260.
  623. Heisenberg W. Die absoluten Dimensionender Karmanschen Wirbelbewegung // Physik. Zeitschr. 1922. — Bd. 23. — S. 363−366.
  624. Heisenberg W. Uber Stabilitat und Turbulenz von Flissigkeitsstromen // Ann. der Phys. 1924. — Bd.74. -N 15. — S. 577−624.
  625. Heisenberg W. Zur statistischen Theorie der Turbulenz // Zs. Phys. 1948. -Bd. 124.-S. 628−651.
  626. Heisenberg W. On the theory of statistical and isotropic turbulence // Proc. Roy. Soc. 1948. — Ser. A, — No. 195. — P. 402−406.
  627. Heisenberg W. On the stability of laminar flow // Proc. Intern, Congr. of Math. -Cambridge, USA, 1950. V. 2. — P. 292−296. .
  628. Heisenberg W. Significance of Sommerfeld’s work today // Physics of the one- and two-electron atoms. Amsterdam, 1969. — P. 44−52.
  629. Henon M. A two-dimensional mappings with a strange attractor // Com. Math. Phys.1976. V. 50. P. 69.
  630. Henon M. This Week’s Citation Classic // Current Contents. 1988. — N 4.- P. 18.
  631. Henon M., Heiles С. The applicability of the third integral of motion- some numerical experiments // Astron. J. 1964. — V. 69. — N 1. — P. 73−79.
  632. Holmes P. Poincare, Celestial Mechanics, Dynamical-systems Theory and «Chaos» // Phys. Rep. 1990.- V. 193.-N3.-P. 137−163.
  633. Hopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl., 1937. — IV + 835 S.
  634. Hopf E. Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. 1939. — B. 91. — S. 261−304. / Рус. пер.: Э.Хопф. УМН. — 1949. — Т. 4. — В. 2. — С. 129−170.
  635. Hopf Е. Abzweigung einer peridischen Losung von einer Stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phys. Sachsische Akademie der Wissenschaften Leipzig. -1942.-B. 94.-S. 1−22.
  636. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. — V. 1. — P. 303−322.
  637. Kampe de Feriet J. Les fonction aleatoires stationaires et la theorie statistic de la turbulence homogene // Ann. Soc. Sei. Bruxelles. 1939. — V. 59. — P. 145−194.
  638. Kliinchin A.Ya. Zu Birkhoffs Losung des Ergodeproblems // Math. Ann. 1931. — B. 107. — S. 485−488.
  639. Kolmogorov A.N. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente presque partout // Fund. Math. 1923. — V. 4. — P. 324−328.
  640. Kolmogorov A.N. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout // Comt. Rend. -1926.-V. 183.-P. 1327−1329.
  641. Kolmogorov A.N. Grundberiffe der Wahrscheinlichkeitsrehung. Berlin: SpringerVerl., 1933.- 62 S.
  642. Kolmogoroff A.N. Sulla teoria di Voterra delia lotta per l’esistenzia // G.Ist.ital. attuar. 1936. — V. 7. — P. 74−80.
  643. Kolmogorov A.N. On tables of random numbers // Sakhya Ser. A. 1963. — V. 25. — N 4.-P. 369−376.
  644. Kolmogorov A.N. On logical foundations of probability theory // Lect. Notes in Math. -1983.-N 1021. P. 1−5.
  645. Kolmogorov in perspective. R.I.: AMS, 2000. — 230 p.
  646. Koopman B.O. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S. 1931. — V. 17. — P. 315−318.
  647. Kryloff N., Bogoliouboff N. La theorie generale de la mesure dans son applications a l’etude des systeme dynamiques de la mecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. — V. 38. -P. 65−113.
  648. Krylov N.S. Works on the foundations of statistical physics. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1977.-284 p.
  649. Krylov N.M., Bogoliubov N. Introduction to non-linear mechanics. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1943. — 106 p.
  650. Lascar J. La stabilite du systeme solaire H Chaos et determinism / Sous la direction de la A. Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. — P. 170−211.
  651. Lax P. Jurgen Moser, 1928−1999. // Ergod. Th.& Dynam. Sys. 2002. — V. 22. — P. 1337−1342.
  652. Leaute H. Sur les oscillations a longues periodes dans les machines actionees par des moteurs et sur les moyens de prevenir ces oscillations // J. Ecole Polytechniques. 1885. -Cahier55.-P. 1−126.
  653. Leray J. Etude de diverses equations integrais non linearais et de quelques problemes que pose l’hydrodynamique // J.Math. Pures Appl. 1933. — V. 12. — P. 1−82.
  654. Leray J. Essai sur le mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parios // J.Math. Pures Appl. 1934. — V. 13. — P. 341−418.
  655. Leray J. Essai sur le mouvements d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math. 1934. — V. 63. — P. 193−248.
  656. Levinson N. A second order differential equation with singular solutions // Ann. Math. 1949. -V. 50. -N 1. — P. 126−153.
  657. Lewis B., Elbe G. On the theory of flame propagation // J.Chem. Phys. 1934. — V. 2. -N8. — P. 537−546.
  658. Li T.-Y., Yorke J.A. Period Three Implies Chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. — V. 82. — P. 982−985.
  659. Liapounoff A.M. Sur la stabilite des figures ellipsoidales d’equlibre d’un liquid anime d’un movement de rotation // Ann. de la faculte des sciences de l’Univ. de Toulouse. 1904. — 2 ser.- T. 6.-P. 5−116.
  660. Liapounoff A.M. Sur le figures d’equilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse liquide homogene douee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generale du probleme // St.-Pbg. Imprim. de l’Acad. des Se. 1906. — IV + 225 p.
  661. Lin C.C. On the stability of two-dimensional parallel now // Quart. Appl. Math. 1945.-V3. — No. 2. — P. 117−142- No. 3. — P. 218−234- No. 4. — P. 277−301.
  662. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’equation de Riccati // J.Math. Pures et Appl. -1841.-P. 1−13,36.
  663. Liouville J. Note a l’occasion du memoire precident de M. Edmond Bour // J.Math. Pure et Appl. 1855. — V. 20. — P. 201−202.
  664. Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: III. Theequation y- k{ y2) y+ y = b/j.k, cos (/Jt + a) for large k, and its generalization // Acta Math. — 1957. — V. 97. — N 3−4 — P. 267−308.
  665. Littlwood J.E. On the non-linear differential equations of the second order: IV. Thegeneral equation y+ kf (y)y+ g (y) = bkp{(p),
  666. Littlwood J.E. On the number of stable periods of a differential equation of the Van der Pol type // JRE Trans. Circuit Theory. 1960. — V. 7. — N 4. — P. 535−542.
  667. Lo Bello A. On the Origin and History of Ergodic Theory // Bolletino di Storia delle Scienze Mathematiche. 1983. — N. 1. — P. 37−75.
  668. Lorenz E. The Statistical Prediction of Solutions of Dynamic Equations // Proc. Intern. Symp. on Numerical Weather Prediction in Tokio, November 1960. Tokio: Meteorol. Soc. of Japan, 1962. — P. 629−635.
  669. Lorenz E. Deterministic Nonperiodic Flow // J.Atmosph. Sci. 1963. — V. 20. — P. 130 141.
  670. Lumley J.L., Yaglom A.M. A Century of Turbulence // Flow: Turbulence and Combustion. 2001. — V. 66. — P. 241−286.
  671. Lyapunov A.M. Probleme generale de la stabilite du movement. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1947. — 375 p.
  672. Manneville P. From temporal to spatio-temporal chaos (and turbulence?) // Physics of Earth and Planetary Interiors. 1995. — V. 88. — P. 1−15.
  673. Manneville P., Pomeau 'Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems // Physica ID. 1980. — P. 219−226.
  674. Markov A.A. Sur une propriete generale des ensemble minimaux de Birkhoff // Comp. Ren. Acad. Sci. 1931. — V. 193. — P. 823−825.
  675. Martin-Lof P. The definition of random sequences // Information and control. 1966. -V. 9.-N6.-P. 602−619.
  676. Mathematical foundation of turbulent viscous flows // CIME summer school Martina Franca, Italy, Sept. 2003. Sci. report. — P. 3−4.
  677. McLaughlin J.B., Martin P.C. Transition to turbulence of a statistically stressed fluid // Phys. Rev. Lett. 1974. — V. 33. — P. 1189−1192.
  678. Millis R.L., Wasserman L.H., Birch P.V. Detection of rings around Uranus // Nature. -1977.-V. 267.-P. 330−331.
  679. Mira C. Some historical aspects of nonlinear dynamics: possible trends for the future // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. — V. 7. — N 9. — P. 2145−2173.
  680. Mors M., Hedlund G.A. Symbolic dynamics, I, II // Amer. J. Math. 1938. — V. 60. — P. 815−866- 1940.-V. 62.-P. 1−42.
  681. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1961. — V. 47. — P. 1824−1831.
  682. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annuals // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. 1962. — Kl. — P. 1−20.
  683. Moser J. Dynamical systems past and present // Proc. Intern. Congr. Math, Berlin 1998. — V. 1. — Bielefeld: Univ. Bielefeld, 1998. — P. 381−402.
  684. Moser J. Recollections // The Arnoldfest. Proceedings of a Conference in Honour of V.I.Arnold for his Sixtieth Birthday. Providence, Rhode Island: AMS, 1999. — P. 19−21.
  685. Neimark Yu.I. Mathematical Models in Natural Science and Engineering. N.Y.: Springer, 2003. — 570 p.
  686. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equations. -Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1960. 523 p.
  687. Neumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. -1932.-V. 18.-P. 70−82.
  688. Neumann von J. Matematische Grundlagen der Quanten mechanic. Berlin, 1932. -262 S.
  689. Newhouse S. Non-density of axiom A (a) on S2 // Proc. AMS symp. pure math. 1970. -V. 14.-P. 191−202.
  690. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinetly many sinks // Topology. 1974. — V. 13. -Nl.-P. 9−18.
  691. Newhouse S.E., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm (m = 3 or more) // Comm. Math. Phys. 1978. — V. 64. — P. 35−40.
  692. Orr W. The stability or. instability of the steady motions of a liquid // Proc. Roy. Irish Acad. 1906. — A 27. — V. 27. — P. 9−68,69−138.
  693. Parker M.W. Did Poincare Really Discover Chaos? // Stud. Hist. Phyl. Mod. Phys. -1998.-V. 29.-N4.-P. 575−588.
  694. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathem. Zeitschr. 1930. — Bd. 31. — S. 748−766.
  695. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. — V. 1.-N2.-P. 101−120.
  696. Plancherel M. Beweis der Unmoglichkeit ergodischer mechanischer Systeme // Ann.Phys. 1913. — B. 42. — S. 1061−1063.
  697. Plato von J. The method of arbitrary functions // Brit. J. Phil. Sei. 1983. — V. 34. — P. 37−47.
  698. Poincare H. Sur l’equilibre d’un masse fluide animee d’un mouvement de rotation // Compte rendue Acad. Sei. 1885. — V. 100. — P. 346−348.
  699. Poincare H. Sur l’equilibre d’un masse fluide animee d’un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. -V.l.- P. 259−380.
  700. Poincare H. Sur le probleme des trois corps et les equations de la Dynamique // Acta Math. 1890. -V. 13. — P. 1−270.
  701. Poincare H. Analysis situs // J. Ecole Polytechniques. II ser. 1895. — Cahier 1. — P. 1121.
  702. Poincare H. Sur la stabilite d’equilibre des figures piriformes affectees par une masse fluide animee en rotation // Phylos. Trans. 1902. — Ser. A. — Y. 198. — P. 333−373.
  703. Poincare H. Sur les lignes geodesiques des surfaces convexes // Trans. AMS. 1905. -V. 6. — P. 237−274.
  704. Poincare H. Sur un theoreme de geometrie // Rendicont: Circolo mat. Palermo. 1912. -V. 33.-P. 375−407.
  705. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems // Comm. Math. Phys. 1980. — V. 74. — P. 189−197.
  706. Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1954. Amsterdam: North Holland Publ. Co., 1957. — 582 p.
  707. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1895. — V. A 186. — P. 123 164.
  708. Richardson L.F. Weather prediction by numerical process. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1922. — 226 p.
  709. Rosenbluth M.N., Sagdeev R.Z., Taylor J.B., Zaslavsky G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities //Nucl. Fusion. 1966. — V. 6. — P. 297−300.
  710. Rosental A. Beweis der Unmoglichkeit ergodischer Gassysteme // Ann.Phys. 1913. -B. 42. — S. 796−806.
  711. Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. — V. 20.-P. 167−192.
  712. Saltzman В. Finite amplitude free convection as an initial value problem I // J.Atmosph.Sci. 1962. — V. 19. — P. 329−341.
  713. Schwarzschild К. Zur Quantenhypotese // Berliner Berichte. 1916. — S. 548−550.
  714. Shannon C. A Mathematical Theory of Communication // The Bell System Tech. J. -1948. V. 27. — P. 379−423, 623−656.
  715. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn I.W. Metallic phase with long-rage orientational order and no translational symmetry // Phys. Rev. Lett. 1984. — V. 53. — P. 19 511 953.
  716. Sheynin O.B. On the History of the Statistical Method in Physics // Arch. hist. ex. sei. 1985. — V. 33. — N 4. — P. 352−382.
  717. Sheynin O.B. Poincare’s Work on Probability // Arch. hist. ex. sei. 1991. — V. 42. — N2.-P. 137−171.
  718. Shilnikov L.P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. — V. 7. — N 9. — P. 1053−2001.
  719. Siegel C.L. On the integrals of canonical systems // Ann. Of Math. 1941. — V. 42. — N3. P. 806−822.
  720. Siegel C.L. Uber die Normalform analitischer Differentialgleichungen in der Nahe einer Gleichgewichtslosung // Nachr.Akad. Wiss. Gottingen, math.-phys. 1952. — Kl. IIa, Jarg. — S. 21−30.
  721. Siegel C.L. Uber die existence einer Normalform analytischer Hamiltonischer Differentialgleichungen in der Nahe einer Gleichgewichtslosung // Math. Ann. 1954. — B. 128. — S. 144−170.
  722. Sinai Y.G. Development of Krylov’s ideas / Krylov N.S. // Works on foundation of the statistical physics. Princeton: Princeton Univ. Press, 1980. — P. 239−281.
  723. Sinai Yu.G. Mathematical Problems of Turbulence // Physica A. 1999. — V. 263. — P. 565−566.
  724. Singer D. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval // SIAM Journ. on Appl. Math. 1978. — V. 35. — N 2. — P. 260−267.
  725. Sklar L. Physics and chance. Camb.: CUP, 1993.-438 p.
  726. Smale S. Morse inequalities for a dynamical system // Bull. AMS. 1960. — V. 66. — P. 43−49.
  727. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Труды Международного симпозиума по нелиным колебаниям. Киев -1961. Киев: АН УССР, 1963. — С. 365−366.
  728. Smale S. Structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. — V. 73. — P. 747−817.
  729. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points // Differential and Combinatorial Topology. Princeton, NJ.: Princeton Univ. Press, 1965. — P. 63−80.
  730. Smale S. Dynamical systems on n-dimensional manifolds // Differential equations and dynamical systems. Proc. intern, symp. Puerto Rico, 1965. N.Y. London: Acad. Press, 1967.- P.483−486.
  731. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. AMS. 1967. — V. 73. — P. 747−817.
  732. Smale S. The story of the higher dimensional Poincare conjecture // The Math. Intelligencer. 1990. -V. 12.- P. 44−51.
  733. Smale S. Chaos: Finding a horseshoe on the beaches of Rio // The Math. Intelligencer.- 1998. V. 20.-P. 39−44.
  734. Solomonoff R.J. A formal theory of inductive inference // Information and control. -1964. N 7. — P. 1−22, 224−254.
  735. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodyhamischen Erklarung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen. Proc. 4th Int. Congr. Rome. 1908. -P. 116−124.
  736. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Vieweg, 1919.
  737. Stackel P. Uber die integration der, Hamilton-Jakobischen Differentialgleichung mittels der Separation der Variabein. Habilationschrift. Halle, 1891.
  738. Staude O. Uber eine Gattung doppelt reel periodischer Funktionen zweier Varanderlicher // Math. Ann. 1887. — B. 29.- S. 468.
  739. Sucker R. On invariant aurfaces and bifurcation of periodic solution of ordinary differential equations // Comm. Pure and Appl. Math. 1965. — V. 18. — N 4. — P. 717−732.
  740. Tabor M. Modern dynamics and classical analysis // Nature. 1984. — V. 30. — P. 277 285.
  741. Taylor G.I. Statistical theory of turbulence // Proc. Roy. Soc. 1935. — V. A151. — N 873.-P. 421−478.
  742. Thom R. Sur les travaux de Stephen Smale // Труды Международного конгресса математиков. Москва 1966. М.: Мир, 1968. — С. 25−28.
  743. Thom R. Stabilite sructurelle et morphogenese. Paris: Ediscience, 1972.
  744. Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow// Phys. Rev. 1953. -No. 5.-P. 780−783.
  745. Thompson W., Tait P.G. Treatise on Natural Philosophy. The last edition: Univ. of Michigan Library, 2001. — 572 p.
  746. Tikhomirov V.M. A.N.Kolmogorov // Golden Years of Moscow Mathematics. N. Y.-L., 1993.-P. 101−127.
  747. Ulam S. John von Neumann, 1903−1957 // Bull. AMS. 1958. — V. 64. — N 3. — P. 1−49.
  748. Ulam S. On some statistical properties of dynamical systems // Proc. 4-th Berkely Sympos. Math. Prob. Berkely — Los Angeles, 1961. — V. 3. — P. 315.
  749. Ulam S., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bull. AMS. 1947.-V. 53. -N 11. -P. 1120.
  750. Van der Pol B. A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations // Radio Review. 1920. — V. 1. — P. 701−710.
  751. Van der Pol B., Van der Mark J. Frequency Demultiplication // Nature. 1927. — V. 120. — P. 363−364.
  752. Veblen O. George David Birkhoff // Biographical Memoirs. V. 80. Washington, D.C.: The National Academy Press, 2001. — P. 1−14.
  753. Xia Z. Arnold diffusion in the elliptic restricted three-body problem // J. Dynamics and Diff. Equations. 1993. — V. 5. — N 2. — P. 219−240.
  754. Xia Z. Arnold diffusion and oscillating solutions in the planar three-body problem // J. Diff. Equations. 1994. — V. 110. — P. 289−321.
  755. Weiss C.O., Abraham N.B., Hubner U. Homoclinic and heteroclinic chaos in a singlemode laser//Phys. Rev. Lett. 1988. — V. 61.-N 14. — P. 1587−1588.
  756. Whitney H. On singularities of mappings of Eucledian spaces I. Mappings of plane into the plane // Ann. Math. 1955. — V. 62. — P. 374−410.
  757. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. — V. 15. — P. 240−243.
  758. Zaslavsky G.M. The simplest case of a strange attractor // Phys. Lett. 1978. — V. 69A. -N 3. — P. 145−147.
  759. Zaslavsky G.M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999. — V. 52. — P. 39−45.
  760. Zaslavsky G.M. Hamiltonian chaos and fractional dynamics. Oxford: Oxford Univ. Press, 2004.-421 p.
  761. Zaslavsky G.M. Long way from FPU-problem to chaos // Chaos. 2005. — V. 15.15 103.-P. 1−10.ihjgjg YJW16% et/i.jl/U-^ TV1
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!