Взаимодействия двух радикально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

МИНЕСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАТАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет Кафедра вычислительной математики, информатики и методики ее преподавания

КУРСОВАЯ РАБОТА

взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Выполнил студент 146 группы: Вафин А.А.

Научный руководитель: д. ф. — м. н. Аганин А. А.

Казань — 2007

1. Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

2. Математическая модель взаимодействия пузырьков

3. Методика решения

4. Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

5. Заключение

6. Литература

7. Приложение. (Программа расчета).

К настоящему времени довольно хорошо изучена динамика отдельного пузырька газа в жидкости. Полученные в этом отношении результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение. Вместе с тем, в реальных жидкостях, как правило, присутствует не один, а множество пузырьков, так что свойства жидкостей существенно зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. В силу большей сложности этот вопрос является менее изученным, хотя он и имеет важное прикладное значение.

В данной курсовой работе исследуется взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости ранние выведенной математической модели. В принципе, такое взаимодействие можно изучать и на основе широко известных уравнений Навье-Стокса методом прямого численного моделирования. Однако такой подход пока не используется в силу больших потребностей компьютерного времени даже на современных компьютерах с высоким быстродействием. В модели, использующейся в курсовой работе, жидкость считается невязкой несжимаемой, пузырьки — осесимметричными. Пузырьки расположены сносно. Их общая ось симметрии направлена вертикально вдоль действия силы тяжести. Пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания, а скорости их вертикального пространственного перемещения считаются малыми. Используются три системы отсчета, одна неподвижная и две подвижные. В качестве неподвижной системы приняты декартовые координаты, а в качестве подвижных систем — сферические координаты. Начало отсчета радиальных координат в подвижных сферических системах отсчета связано с центрами пузырьков. Поверхности каждого из пузырьков представляются в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам нулевой, второй, третьей, четвертой и т. д. степеней. При этом сферическая гармоника нулевой степени описывает радиальную составляющую поверхности пузырька, а гармоники второй, третьей и т. д. степеней — отклонения от сферической формы в виде соответствующей гармоники (второй степени — эллипсоидальные отклонения, третьей — грушеобразные и т. д.).

Созданная математическая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, пространственного положения их центров и амплитуды отклонений от сферической формы пузырьков в виде сферических поверхностных гармоник. При выводе этих уравнений используются частные решения уравнения Лапласа в сферической системе координат и интеграл Коши-Лагранжа.

Постановка задачи в рамках уравнений динамики жидкости

Рассматривается динамика двух газовых пузырьков в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости. Динамика жидкости описывается уравнениями

. (1)

Здесь — время эйлеровых (неподвижных) систем координат, , (нижний индекс означает частную производную), — вектор скорости, — плотность жидкости, — давление,, ,, -направляющие векторы пространственных координат. Здесь и далее, если не оговорено противное, по повторяющимся индексам предполагается суммирование (здесь от 1 до 3).

Пузырьки расположены вдоль вертикальной оси неподвижной декартовой системы координат (рис.1).

На поверхности каждого пузырька выполняются следующие условия:

кинематическое

(2)

и динамическое

. (3)

Здесь — скорость точки поверхности пузырька, — нормаль к поверхности пузырька, верхние знаки указывают на отношение к внешней (+) и внутренней (-) сторонам поверхности.

Газ в пузырьках принимается гомобарическим (с однородным распределением давления) с давлением, изменяющимся по закону (Ван-дер-Ваальса)

(4)

где — начальное давление газа в пузырьке, — текущий и начальный объемы пузырька, — постоянная, — показатель адиабаты.

На бесконечном удалении от пузырьков давление жидкости совершает гармонические колебания

(5)

где — статическое давление в жидкости, , — амплитуда и частота колебаний.

Рассматриваются случай, когда форма пузырьков в интересующем промежутке времени остается относительно близкой к сферической.

Математическая модель взаимодействия пузырьков

В пятом приближении относительно уравнения динамики двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости представляют собой систему, состоящую из четырех дифференциальных уравнений относительно радиусов пузырьков, координат их центров

;

;

;

;

Методика решения

Имея четыре уравнения второго порядка относительно радиуса и положения центра пузырьков. Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

Получаем систему 8-и уравнений 1-го порядка относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков.

;

()/;

/;

/;

/;

/;

/;

;

()/;

()/;

()/;

/;

/;

()/;

;

/;

0;

()/;

()/;

/;

()/;

;

/;

0;

()/;

()/;

/;

()/;

Отсюда получаем данные уравнения в следующем виде:

Решим уравнение методом последовательных приближений.

В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.

Подставляя выражения, находим уравнения нулевого приближения:

В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.

Исходя из этого, можем записать следующую систему:

Полученные дифференциальные уравнения решаются методом Дортсмана-Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).

Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).

1. С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:

;

;

Решение для нулевого приближения для одного пузырька

;

Вводим замены:

;; ;;

= =;

— начальное давление газа в пузырьке;

; -давление газа в пузырьке.

А — константа Ван-дер-Ваальса;

— коэффициент поверхностного натяжения;

— давление газа в пузырьке;

— статическое давление в жидкости;

— Начальный радиус пузырька;

R — Радиус пузырька;

— Центр пузырька;

u — Вектор скорости жидкости;

-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где

— амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ().

— Плотность жидкости;

— Скорость звука в жидкости;

— Кинематический коэффициент вязкости

— расстояние между пузырьками.

;

;

Обозначим слагаемые и сомножители через:, :

;; ;

; ;

;

;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;;; = =;

;

;

;; ;

; ;

;

;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

Решение для первого приближения одного пузырька

;

;

;

;

();

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

Решение для второго приближения одного пузырька

;

;

;

();

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

Решение для третьего приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

Решение для четвертого приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Решение для пятого приближения одного пузырька

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

2. Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:

;

;

где, (j = 1, i = 2);

— Кинематический коэффициент вязкости;

, ,

Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

Для первого уравнения:

;

=;

;

;

;

0;

;

;

;

;

Для второго уравнения:

;

=;

;

;

;

0;

;

;

;

;