Выбор рациональных параметров физически нелинейных конструкций летательных аппаратов

1.1 Литобзор

Интерес к задачам оптимизации конструкций существует очень давно. Задачи такого типа рассматривали такие известные ученые, как Галилей, Лагранж, Леви, Максвелл [2]. Ниже приводится не претендующий на полноту обзор работ по оптимизации и рациональному проектированию конструкций, в ходе которого отмечены моменты, представляющие интерес с точки зрения темы данной работы.

В течение нескольких последних десятилетий в значительной степени возросло количество работ, посвятттенных оптимизации конструкций, что было обусловлено развитием математических методов оптимизации и введением в практику проектирования расчетов на ЭВМ [2]. Исследования, проводившиеся ранее, в основном относятся к достаточно простым задачам [2]. Тем не менее, в то время были получены некоторые важные результаты.

Так, Леви, по-видимому, одним из первых рассмотрел при оптимизации конструкции работу ее внутренних сил или потенциальную энергию [87].

Максвелл [88] вывел формулу для объема материала равнопрочной статически неопределимой упругой фермы, впоследствии его результат стал известен как теорема Максвелла.

Мичеллом [89] была доказана теорема о форме легчайшей упругой фермы, передающей заданное усилие на заданную опорную поверхность, при заданном диапазоне напряжений в стержнях. В соответствии с этой теоремой ферма должна быть статически определимой и равнопрочной, а стержни должны располагаться вдоль линий главной деформации.

Следуя Леви, Уманский и Горбунов [60] использовали потенциальную энергию конструкции как средство для исследования ее массы, получив ряд интересных зависимостей. Но особо много внимания, начиная с 1939 г., уделил применению этой энергии к задачам оптимизации конструкций польский ученый З.Васютинский. В работах его школы (соответствующая библиография имеется, например, в [97]) задача о минимуме веса при заданной нагрузке заменяется в определенном смысле близкой к ней с точки зрения решения задачей о максимуме жесткости (минимуме работы внутренних сил) при заданном объеме материала. Наиболее полное, после указанной выше работы Леви, исследование статически неопределимых упругих ферм минимального веса было выполнено в классической работе И. М. Рабиновича [40].

Дальнейшее развитие исследований по оптимизации конструкций до середины 60-х годов нашего столетия шло по двум направлениям [41]: в нашей стране изучались в основном упругие конструкции, а за рубежом — задачи минимизации веса жестко-пластических конструкций.

Важнейшими из зарубежных работ, посвященных задачам оптимизации жестко-пластических конструкций при статическом нагружении, явились работа [79] и работы Прагера (см., например, [39, 94]). В работе [79] был получен важнейший критерий оптимальности — так называемый принцип равной мощности диссипации для однократно нагруженной жестко-пластической конструкции минимального веса.

Из отечественных исследований оптимальных статически неопределимых упругих конструкций здесь можно отметить работы А. И. Виноградова [11], который предложил алгоритм оптимального исчерпания запасов, А. А. Комарова [31], разработавшего методы и алгоритмы проектирования конструкций максимальной жесткости. А. И. Лурье [36] рассмотрел приложение теории оптимального управления к проектированию одномерных конструкций. Для выбора наилегчайшей основной системы из заданной статически неопределимой фермы Ю. А. Радцигом [42] была разработана специальная теория поиска минимума линейных модулярных функций.

Когда при проектировании начала использоваться мощная вычислительная техника, стало возможным производить расчет сложных конструкций произвольного вида, а также учитывать нелинейное поведение конструкций. При этом наряду с традиционными методами расчета, основанными на инженерных теориях (тонкостенных стержней, балок, пластин) [1, 8, 21], в настоящее время активно применяются численные методы, в особенности метод конечных элементов (см. например, [20, 22, 24, 69, 85]) как обладающий наибольшей универсальностью. Одним из достоинств метода конечных элементов по сравнению с другими численными методами является возможность естественным образом описывать расчетные схемы, имеющие границы раздела между областями из разных материалов. Проектированию конструкций, в которых используется несколько материалов, посвящены, например, работы [ 12, 67, 80]. В работе [80] выводится условие оптимальности для задач минимизации массы линейно-упругих конструкций с ограничениями, наложенными на заданные линейные комбинации узловых перемещений (таким образом можно вводить ограничения на обобщенные перемещения в конструкции либо на напряжения в линейно-упругой конструкции), состоящее в том, что линейная комбинация отношений плотностей виртуальной энергии деформации (то есть энергии деформации, соответствующей перемещениям в конструкции, задаваемым коэффициентами податливости) к плотностям материала равняется единице во всех активных элементах. Данное условие для статически неопределимых конструкций в общем случае отличается от часто применяемых в инженерной практике понятий равнопрочности и полной напряженности. Таким образом, во многих случаях может быть получена конструкция, обладающая массой, меньшей, чем масса равнопрочной конструкции (см. например, [43]).

Учет нелинейностей, возникающих при нагружении конструкций, особенно важен в авиастроении, где проектирование ведется по разрушающим нагрузкам [1]. Нелинейные эффекты, имеющие место в поведении нагруженных конструкций, принято разделять на три вида, называемые физической, геометрической и конструкционной нелинейностями [20]. Под физической нелинейностью понимается нелинейность связи «напряжение-деформация» (в рамках теории бесконечно малых деформаций). Геометрической нелинейностью называют нелинейность связи «деформация-перемещение», имеющую место при учете конечности перемещений. Проектированию с учетом геометрической нелинейности посвящены, например, работы [68, 71, 73, 83, 86, 90, 96]. Конструкционная нелинейность обусловлена изменением характера работы или взаимодействия конструктивных элементов в процессе деформирования, этот тип нелинейности проявляется в сложных конструкциях при изменениях поверхностей контакта (контактные задачи, см., например, [7]) и характеристик соединений элементов, при потере устойчивости элементов под действием больших сжимающих и сдвигающих напряжений (см. например, [15, 16, 19, 57]), при разрушении элементов и соединений [20].

Исходя из тематики настоящей работы, следует более подробно коснуться исследований, посвященных физической нелинейности. У традиционных материалов, используемых в авиационных конструкциях и имеющих на диаграмме напряжение-дсфирмация область линейной упругости, при выходе за границы этой области следует учитывать отклонение как от линейно-упругой, так и от жестко-пластической моделей. Используемое в данной работе понятие физической нелинейности не включает в себя жестко-пластическую модель. Из работ, посвященных оптимизации жестко-пластических конструкций, помимо [79] можно отметить работы В. Прагера (например, [39, 94]), в которых был разработан общий метод оптимизации конструкций, базирующийся на использовании соответствующих вариационных принципов, а также получены условия оптимальности для рамных конструкций минимального веса.

При проектировании авиационных конструкций всегда принималось во внимание отклонение от линейной модели поведения материала. Еще в тридцатых годах был разработан метод редукционных коэффициентов, позволяющий учитывать как пластичность материала, так и падение жесткости сжатых элементов после потери устойчивости [1, 8, 19]. Конструкция при этом представляется в виде балочной расчетной схемы, что позволяет использовать при расчетах простые соотношения сопротивления материалов. Благодаря своей эффективности данный метод активно используется и в настоящее время. Так, в работе [21] с помощью метода редукционных коэффициентов проведен анализ несущей способности ряда конструкций и выполнено сравнение полученных результатов с результатами, полученными при использовании линейно-упругой модели. Отмечено, что использование линейно-упругой модели, как правило, позволяет проектировать конструкцию «в запас».

Для учета нелинейности материала при анализе конечно-элементных расчетных схем на ЭВМ обычно используются такие методы, как метод переменных параметров упругости (другое его название — метод переменной жесткости, [24]), метод упругих решений (метод начальных напряжений, метод начальных деформаций, [24]), а также способ, использующий пошаговое приращение нагрузки от нуля до действующего значения (аналогично тому, как это делается для решения нестационарных задач) с применением на каждом шаге одного из указанных методов (переменных параметров упругости либо упругих решений) для итерационного уточнения [24, 85]. Последний способ позволяет производить вычисления для материалов, описываемых нелинейной теорией упругости, имеющей соотношения только для приращений напряжений и деформаций, а не для их полных значений.

Физическую нелинейность следует также учитывать при выборе материалов, используемых в проектируемой конструкции. Так, в работе [67] разработана методика выбора материалов и оптимальных параметров конструкций, обеспечивающих теоретически минимальную массу Показано, что когда сравниваемые материалы при одной и той же нагрузке находятся в разных зонах (например, один в зоне упругости, а другой уже в зоне пластичности), то оценка их весового качества традиционным способом (при помощи коэффициентов весового качества: удельной прочности, удельной жесткости и т. п.) может приводить к грубым ошибкам и, как следствие, к перетяжелению конструкции. Предлагаемая методика заключается в преобразовании формул или графиков расчета допускаемых напряжений в зависимость «нагрузка — масса», построении графиков в этих координатах и выявлении на них огибающей минимальных значений массы.

В работе [12] рассмотрена задача оптимального размещения нескольких материалов по сечению скручиваемого призматического стержня. Материалы предполагаются нелинейно-упругими или упругопластическими, количество каждого материала задано. Цель проектирования — максимизация или минимизация запасаемой упругой энергии при фиксированном угле закручивания единицы длины стержня. Показано, что эта проблема сводится к решению задачи кручения для некоторого нелинейного материала, закон состояния которого определяется данными оптимизационной задачи. Проект характеризуется наличием зон пространственных скользящих режимов управления, которые в данном случае представляют собой области, занятые бесконечно часто чередующимися слоями из исходных материалов, расположенных либо вдоль линий уровня функции Прандтля (задача максимизации момента), либо поперек их (задача минимизации веса проекта). Приводятся примеры проектов стержней круглого и квадратного поперечного сечения, изготовленных из двух упруго пластических материалов.

Отдельные вопросы для задач оптимизации однократно статически нагруженных ферм на основе использования степенной и билинейной зависимостей напряжение-деформация были рассмотрены в монографии [14]. Исследован класс равнонапряженных конструкций, получены условия, выделяющие из этого класса конструкцию с минимальным объемом материала.

Помимо явлений пластичности и нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями физическая нелинейность может иметь и иные проявления. Например, поведение конструкции является существенно нелинейным при действии динамических или ударных нагрузок (см., например, [5, 29, 35]). Нелинейности в поведении конструкции возникают также при работе в условиях повышенных температур. Они проявляются в ползучести, изменении характеристик материалов, релаксации и т. д. (см., например, [19, 25, 26, 33, 78]). Оптимизации в условиях стационарной ползучести посвящены работы [34, 94]. В работе [22] рассматривается применение метода конечных элементов для решения задач ползучести. Нелинейным образом ведут себя и конструкции, в которых использованы композиционные материалы [19, 23].

С точки зрения алгоритмического подхода работы по оптимизации и рациональному проектированию конструкций можно разделить на две группы [3]. Большее количество исследований проводится на основе анализа чувствительности (см., например, [68, 71, 72, 73, 82,.

83, 90, 96]), требующего вычисления соответствующих производных целевой функции, ограничений задачи и уравнений состояния. Этот подход позволяет строить алгоритмы оптимизации для произвольной критериальной функции и произвольной системы ограничений. Так, в работах школы проф. Ароры (например, [68, 71, 73, 96]) рассматриваются задачи одновременно и физически, и геометрически нелинейных конструкций. При этом используются соответствующие вариационные принципы, в которых учитывается влияние температурных условий.

В работе [72], авторы которой являются представителями школы проф. Майера, рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной изгибаемой упругопластической конструкции при ограничениях на перемещения и конструктивных ограничениях. Используется теория пластичности Майера и метод конечных элементов. Представлены примеры расчетов оптимальных конструкций.

В работе [70] на основе использования теории пластичности Майера проведен анализ чувствительности в задачах оптимизации ферм. Приведен пример численного определения фермы максимальной жесткости при ограничениях на объем и конструктивных ограничениях.

В работе [82] рассмотрена задача оптимального выбора расположения точек опирания изгибаемых балочных конструкций из материала со степенной зависимостью «напряжение-деформация». Точки опирания и начальные перемещения в них могут выбираться из соображений максимизации жесткости конструкции. Приведен пример, иллюстрирующий разработанный подход.

Помимо работ, базирующихся на анализе чувствительности, существует ряд работ, использующих так называемый метод критериев оптимальности [3]. Он характерен тем, что вначале при помощи математических преобразований либо интуитивных соображений выводится условие оптимальности, после чего разрабатывается алгоритм, целенаправленно изменяющий текущий проект для удовлетворения полученному условию. К этому типу работ можно отнести, например, работы [6, 45 — 49, 64, 65, 74, 75, 77, 84, 91 — 93, 95].

В работе [6] классические алгоритмы типа отношения напряжений, широко используемые для линейно-упругих задач, перенесены (без строгого обоснования) на задачи минимизации массы упру-гопластических упрочняющихся статически нагруженных оболочек, деформирование которых описывается ассоциированным законом течения.

Задача оптимизации упругопластических ферменных и балочных конструкций при одном статическом нагружении в условиях линейного изотропного упрочнения была рассмотрена в работах А. П. Чижаса [64, 65, 76], где на основе использования вариационных принципов данная задача сведена к двум парам двойственных задач оптимизации, одна из которых относится к переменным проектирования (параметрам конструкции), а вторая — к переменным состояния.

В работе [74] рассмотрена задача оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических балок из упрочняющегося материала, деформирование которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера по методу конечных элементов. Отыскивается минимум некоторой конечномерной функции стоимости, линейной по параметрам проектирования — геометрическим размерам сечения, при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Получены необходимые условия оптимальности первого порядка в рассмотренной задаче (условия Куна — Таккера). На основе этих условий построена численная процедура оптимизации конструкции, относящаяся к классу методов, основанных на использовании критериев оптимальности. Представлены примеры расчетов некоторых балочных конструкций.

В работе [75] рассмотрена задача оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических балок из упрочняющегося материала, деформирование которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера. Распределение конструктивных параметров предполагается гладким. Минимизируется некоторый линейный функционал параметров проектирования при ограничениях на перемещения и конструктивных ограничениях. Методами вариационного исчисления получены необходимые условия оптимальности первого порядка в рассмотренной задаче. Проведен качественный анализ нескольких примеров, допускающих аналитическое решение. Затем рассмотрено, как полученные континуальные условия оптимальности трансформируются при описании поведения конструкции по методу конечных элементов. Построена численная процедура оптимизации конструкции, относящаяся к классу методов, основанных на использовании критериев оптимальности. Приведены примеры расчетов конструкций.

В работе [77] получено условие постоянства потенциальной энергии деформации на поверхности оптимального трехмерного физически нелинейно-упругого тела со степенной зависимостью напряжение-деформация, нагруженного одной системой статических нагрузок. В качестве минимизируемой целевой функции рассматривалась податливость конструкции в виде общей дополнительной энергии, объем силового материала считался заданным. Разработаны алгоритмы оптимизации и приведены иллюстративные примеры расчетов.

В работе [81] для сжатых колонн в отсутствие ограничений по потере устойчивости было получено условие постоянства напряжений в качестве условия оптимальности для задачи минимизации объема материала при заданной обобщенной податливости.

В работе [84] рассмотрены задачи оптимизации однократно статически нагруженных упругопластических ферм, поведение которых описывается в соответствии с теорией пластичности Майера. Отыскивается минимум некоторой линейной функции параметров проектирования при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Получены соответствующие условия оптимальности. Разработана численная процедура поиска оптимального решения, приведены примеры расчетов.

В работе [91] исследовалась конструкция, составленная из линейно-упругих колонн и физически нелинейно-упругих двутавровых балок, нагруженная одной системой статических нагрузок. Было установлено, что условием минимума объема такой конструкции является условие равенства средних потенциальных энергий деформации для балок.

В работе [92] рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной физически нелинейной фермы при ограничениях на напряжения и конструктивных ограничениях. Получены соответствующие условия оптимальности. Разработана численная процедура для нахождения оптимальной конструкции, базирующаяся на линейной аппроксимации указанных условий. Приведен пример оптимизации конструкции 16-элементной фермы.

В работе [93] рассмотрена задача минимизации податливости однократно статически нагруженной конструкции заданной геометрии из физически нелинейного анизотропного материала со степенной зависимостью напряжение-деформация. Учитываются ограничения на объем материала, на напряжения, и конструктивные ограничения. Получен критерий оптимальности в виде условия постоянства потенциальной энергии деформации. Представлены результаты численных расчетов с использованием рекурсивной процедуры оптимизации, разработанной на основе полученного условия оптимальности.

В работе [95] рассмотрена задача минимизации веса однократно статически нагруженной физически нелинейной фермы при ограничениях на перемещения узлов и конструктивных ограничениях. Зависимость напряжение-деформация предполагается несимметричной (вследствие возможной потери устойчивости при сжатии) и заданной. Получены необходимые условия оптимальности первого порядка. На основе этих условий построена численная процедура оптимизации конструкции. Приведены примеры расчетов.

В работах С. В. Селюгина [45, 46, 47] рассмотрены задачи минимизации объема материала континуальных и дискретно описанных конструкций при ограничениях на податливость либо на допускаемые напряжения и конструктивных ограничениях, а такж минимизации податливости при фиксированном объеме материала и конструктивных ограничениях. Материал конструкций описывается гиперупругой моделью. В работе [45] рассмотрены балочные и рамные конструкции, в [46] исследованы конструкции, работающие в условиях плоского напряженного состояния (мембранные), в [47] — ферменные конструкции. Получены условия оптимальности для рассматриваемых задач. При одном случае нагружения для стержневых и мембранных конструкций указанные условия означают постоянство удельной потенциальной энергии деформации в тех местах оптимальной конструкции, где пассивно конструктивное ограничение, и фактически являются условиями постоянства уровня напряжений. Для балочных конструкций условия оптимальности соответствуют постоянству уровня напряжений на крайнем волокне балки. На основании полученных условий оптимума построены итерационные алгоритмы оптимизации дискретно описанных конструкций. Проведены тестовые расчеты.

Следует отметить, что почти все указанные выше работы, посвященные проектированию на основе как анализа чувствительности, так и метода критериев оптимальности, относятся к нелинейным конструкциям, выполненным из одного материала. Конструкции, проектируемые с использованием нескольких материалов, исследованы только в линейно-упругом случае.

Данная работа является развитием работ [45, 46, 47], на случай использования в конструкции нескольких физически нелинейных материалов, а также применения расчетных схем, включающих несколько типов конечных элементов. При этом исследуется различие в свойствах проектируемой конструкции, обусловленное использованием для ее материалов линейно-упругой и физически нелинейной моделей. Кроме того в работе рассмотрено проектирование агрегатов авиационных конструкций с учетом расчетных и эксплуатационных нагрузок.

Основные результаты работы докладывались на 38-й научной конференции МФТИ (1−4 декабря 1995 г.), 3-й Крымской Международной Математической школе (г. Алушта, 16−23 сентября 1996 г.) [52], Юбилейной научной конференции «Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики», посвященной 50-летию МФТИ, (29−30 ноября 1996 г.), 2-й научно-технической конференции молодых ученых ЦАГИ «Современные проблемы аэрокосмической науки» (10−11 апреля 1997 г.) [54], Всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Современные проблемы аэрокосмической науки» (г. Жуковский, 27−29 мая 1998 г.) [63], и опубликованы в сборниках МФТИ [62] и Трудов ЦАГИ [56], а также выпущены в виде ряда научно-технических отчетов [50, 51, 53, 55].

Автор выражает благодарность Г. Н. Замуле, К. М. Иерусалимскому, М. П. Тепеницыну, В. В. Чедрику.

6. выводы.

1. Получено необходимое условие локальной оптимальности для задачи минимизации общей дополнительной энергии конструкции, статически нагруженной одной системой консервативных нагрузок, при заданном значении массы силового материала и конструктивных ограничениях. Условие состоит в том, что величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к массовой плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения.

2. Получено необходимое и достаточное условие глобальной оптимальности для задачи минимизации массы силового материала при ограничении сверху на величину общей дополнительной энергии и конструктивных ограничениях, состоящее в том, что величина отношения средней по элементу удельной потенциальной энергии деформации к массовой плотности материала элемента имеет одно и то же значение для всех КЭ с пассивными конструктивными ограничениями, а в элементах с активными конструктивными ограничениями величина данного отношения не превосходит этого значения. Приведенная формулировка условия оптимальности совпадает с формулировкой условия оптимума для задачи минимизации общей дополнительной энергии конструкции при заданном значении массы и конструктивных ограничениях.

3. Разработан алгоритм минимизации податливости физически нелинейных конструкций заданной массы. Доказано, что применение данного алгоритма приводит к монотонному уменьшению величины общей дополнительной энергии (характеризующей податливость) конструкции.

4. Установлено, что при построении полностью напряженных конструкций из нескольких материалов использование линейно-упругой и упругопластической моделей приводит в общем случае к различным проектам, причем меньшее значение массы может иметь как физически нелинейный проект, так и линейно-упругий (в зависимости от комбинации используемых в конструкции материалов).

5. Показано, что построение конструкции из нескольких материалов, полностью напряженной при расчетных нагрузках и предельно допускаемых напряжениях аь, с использованием линейно-упругой модели материалов не всегда приводит к проектированию «в запас».

6. Показано, что в ряде случаев полностью напряженная конструкция из нескольких материалов является более тяжелой, чем конструкция, в которой напряжения в части элементов не достигли уровней для полностью напряженной конструкции, а величина отношения средней по КЭ удельной потенциальной энергии деформации к плотности постоянна для всех элементов с пассивными конструктивными ограничениями.