Вынужденные колебания упругой системы

Вынужденные колебания упругой системы

Расчетная схема

Для повышения динамического качества станков нормируют амплитуду колебаний холостого хода, которые являются результатом различных возмущений со стороны подшипников качения и привода. Широкий спектр частот возмущающих воздействий и большое число несущих звеньев станка с различными собственными частотами по всем координатным осям создают благоприятные условия для возникновения резонанса. Общие свойства вынужденных колебаний можно рассмотреть на примере простейшей системы с одной степенью свободы, с одной сосредоточенной массой т, жесткостью c и коэффициентом вязкого сопротивления b. На систему действует циклическая внешняя возмущающая сила F₀ sinwt. Основное уравнение механики связывает силы внешнего воздействия с силами инерции. Согласно основному уравнению механики

или F_упр + F_неупр + F_внеш = F_инерц,

Уравнение можно представить в виде

Если заданы начальные условия (t=t₀, y=y₀,), общее решение уравнения имеет вид

где y_cm = F₀/c — статический прогиб.

Решение можно представить в виде

y = ae^-btsin (щ₀₁t + ₁) + Asin (wt —).

Первая часть решения представляет собственные затухающие колебания с собственной циклической частотой щ₀₁, амплитудой ae^-bt и углом начальной фазы ₁. Скорость затухания зависит от множителя b в показателе степени е^-bt, т. е. от коэффициента неупругого сопротивления.

Вторая часть решения уравнения — вынужденные колебания упругой системы с частотой возмущающего воздействия w и амплитудой А. Эти вынужденные колебания зависят от соотношения собственной циклической частоты щ₀ (при b=0) и частоты возмущающего воздействия w.

Возможны несколько частных случаев при решении основного уравнения. Колебания при отсутствии вынуждающей силы и сил вязкого сопротивления при b=0 и Fsin wt=0 решение имеет вид

y = C₁sin щ₀t = C₂cos щ₀t или y = a sin (щ₀t +)

Колебания имеют гармонический характер.

Круговая частота щ₀, частота f и период Т собственных колебаний не зависят от начальных условий и поэтому являются постоянной характеристикой данной системы.

Рис. 1. Гармонические вынужденные колебания

Период собственных колебаний

T = 2p/ щ₀.

Частота собственных колебаний

f = 1/T = щ₀ /2p.

Колебания при отсутствии вынуждающей силы и наличии сил вязкого сопротивления.

При b0, щ₀>b и Fsinwt=0 учитываются силы неупругого сопротивления и решение отличается наличием множителя e^-bt.

y = e^-bt(C₁sin щ₀₁t + C₂cos щ₀₁t) или

y = ae^-bt sin (щ₀₁t +),

где .

Колебания из-за сопротивления неупругих сил с течением времени затухают, так как множитель e^-bt уменьшается.

Рис. 2. Затухающие гармонические вынужденные колебания

По модулю величина sin(щ₀₁t + ) не может быть больше единицы. Поэтому амплитуда затухания заключается между двумя кривыми

y =+ ae^-bt и y = - ae^-bt.

Это значит, что в любой реальной конструкции собственные колебания затухают при любом малом коэффициенте неупругого сопротивления b0, и не учитываются при установившемся процессе.

Собственная круговая частота щ₀₁, частота f и период колебаний Т практически не зависят от сил вязкого сопротивления так как щ₀>b и отношение b²/щ₀² мало

T₁ = 2p/щ₀₁ =,

f = 1/T₁ = щ₀₁/2p =.

Интенсивность затухания собственных колебаний определяется логарифмическим декрементом затухания

.

Даже очень небольшое значение коэффициента вязкого сопротивления приводит к очень интенсивному затуханию колебаний. Например, при b=0,1 щ₀, Т₁1,005Т величина логарифмического декремента затухания оказывается равной =2, а амплитуда десятого колебания почти в 500 раз меньше амплитуды первого колебания y₁₀=0.195y₁.

Колебания под воздействием вынуждающей силы и при сопротивлении неупругих сил

При b 0 и Fsinwt 0 решение основного уравнения имеет вид

y = ae^-btsin (щ₀₁t+₁) + Asin (wt-).

Этот случай представляет интерес при переходных процессах, так как при установившемся процессе можно учитывать только вынужденные колебания:

y = Asin (wt-),

где = y_ст

— амплитуда вынужденных колебаний;

— статический прогиб от силы F₀;

— динамический коэффициент;

— сдвиг фазы вынужденных колебаний относительно фазы возмущающей силы.

Из последних уравнений следует, что вынужденные колебания являются незатухающими, а их амплитуда зависит от отношения возмущающей частоты к собственной w/щ₀ и величины вязкого сопротивления b/щ₀₁. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы w и не зависит от параметров колеблющейся системы.

Время переходного процесса t_п можно определить, задаваясь пренебрежительно малой амплитудой собственных колебаний, например, при а=0,1А из уравнения

y = ae^-bt sin (щ₀₁t +),

аe^-bt = 0,1А,

t_п = .

Характер переходного процесса зависит от соотношения частот w/щ₀. При равенстве собственной и вынуждающей частоты возникает резонанс колебаний, который является особым случаем в работе любой технической системы. Отдельный интерес вызывают также дорезонансная и зарезонансная области частот.

1. Амплитуда вынужденных колебаний при малых значениях частоты внешней возмущающей силы ??<< щ₀ равна статическому прогибу A=y_cm, а динамический коэффициент равен единице =1. В этом случае амплитуда вынужденных колебаний не зависит от сил вязкого сопротивления.

Рис. 3. Незатухающие гармонические вынужденные колебания при собственной частоте большей, чем частота возмущающей силы

2. При частоте вынужденных колебаний значительно превосходящей частоту собственных колебаний w?>>щ₀ можно принять

т.е. повышением частоты вынужденных колебаний w— можно сделать амплитуду этих колебаний А сколь угодно малой (см. рис. 4).

Рис. 4. Незатухающие гармонические вынужденные колебания при собственной частоте меньшей, чем частота возмущающей силы Примерно при равенстве частот собственных колебаний и возмущающей силы возникает резонанс колебаний и амплитуда быстро возрастает до величины А_рез.

.

Рис. 5. Влияние возмущающей частоты и вязкого сопротивления на амплитуду колебаний при резонансе колебаний Точное значение отношения резонансной частоты w?/щ₀ находят по экстремальному значению подкоренного выражения динамического коэффициента. Обозначив (w?/щ₀)² = х, получим

f (x) = (1-x)² + 4x;

f ^/(x) = -2 + 2x +4 = 0;

.

Следует подчеркнуть, что при резонансе амплитуда возрастает не мгновенно, а пропорционально времени

.

Это позволяет переходить через опасную зону резонанса, не опасаясь развития больших колебаний.

Амплитуда колебаний А_рез при резонансе растет по линейному закону.

Рис. 6. Нарастание амплитуды во времени при резонансе

вязкий сопротивление амплитуда резонан

1. Орликов М. Л. Динамика станков. — 2-е изд. перераб. и доп. — К.: Выща школа. Головное изд-во, 1989. — 272 с.; 8 табл.; 138 ил. — Билиогр.: 70 назв.

2. Металлорежущие станки и автоматы: Учебник для машиностроительных втузов / Под ред. А. С. Проникова. — М.: Машиностроение, 1981. — 479 с., ил. (стр. 144−184).

3. Кудинов В. А. Динамика станков. — М.: Машиностроение, 1967. — 360 с.

4. Металлорежущие станки: Учебник для машиностроительных втузов / Под ред. В. Э. Пуша. — М.: Машиностроение, 1985. — 256 с., ил. (стр. 357−411).

5. Попов В. И., Локтев В. И. Динамика станков. — К.: Технiка, 1975. — 135 с.

6. Детали и механизмы металлорежущих станков, т. 1. / Под ред. Д. Н. Решетова. — М.: Машиностроение, 1972. — 664 с.

7. Детали и механизмы металлорежущих станков, т. 2. / Под ред. Д. Н. Решетова. — М.: Машиностроение, 1972. — 520 с.

8. Кедров С. С. Колебания металлорежущих станков. М., «Машиностроение», 1978, 199 с. с ил.

9. Ривин Е. И. Динамика привода станков. — М.: Машиностроение, 1966, 203 с.

10. Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов. Справочное пособие. — М.: Машиностроение, 1968.