Эффективные характеристики случайно неоднородных сред

Решающую роль в восприятии окружающего мира играют характеристики, сохраняющиеся (в замкнутых системах). Среди них имеются такие универсальные, как масса, количество движения, момент количества движения, энергия и энтропия. В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физикомеханической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений. Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами. Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой, согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.

При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того, трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы.

Уравнение теплопроводности имеет вид: [pic] [pic] (1) выражает тот факт, что изменения теплосодержания определенной массы вещества, заключенного в единице объема, определяется различием между притоком и вытеканием энергии — дивергенцией плотности теплового потока [pic], при условии что внутренних источников энергии нет. Тепловой поток пропорционален градиенту температуры и направлен в сторону ее падения; [pic]- коэффициент теплопроводности.

При разработке методов иследования композиционных материалов весьма трудно и, по-видимому, не имеет смысла (в тех случаях, когда это можно практически реализовать) полностью учитывать структуру копмозита. В связи с этим возникла необходимость связать механику композитных материалов с механизмами элементов конструкций, развивающимися обычно в рамках континуальных процессах. Эта задача решается в процессе создания теории определения приведенных свойств композитных материалов различных структур (слоистые, волокнистые и др.), при описании их поведения в рамках континуальных представлений. Таким образом совершается переход от кусочнооднородной среды к однофазной.

Рассмотрим двухфазный композитный материал, представляющий собой матрицу, в которой случайным образом распределены включения второй фазы (армирующий элемент), имеющий приблизительно равноосную форму. Количество включений достаточно велико на участке изменения температуры. Пусть некая характеристика матрицы — [pic], а включений — [pic]. Тогда можно представить композит, как новый материал, с характеристиками промежуточными между характеристиками матрицы и включений, зависящей от объемной доли этих фаз.

[pic],.

(2) Где [pic] [pic] [pic] Подстановка (2) в (1) дает: [pic] (3).

Имеем операторы: [pic].

(4а) [pic].

(4б) После преобразования Фурье получаем.

[pic] [pic].

Уравнение для функции Грина [pic] и [pic] где [pic].

(5).

[pic] - ур. Дайсона. (6) [pic].

Функция Грина [pic]описывает однородный материал со средними характеристиками определяемые по правилу смесей (2), а оператор [pic] можно назвать оператором возмущения, поскольку он определяет форму и расположение неоднородностей.

Решим уравнение итерациями [pic].

Вычислим сначала [pic].

[pic] Здесь [pic] [pic] [pic] [pic].

[pic].

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] (7).

Теперь определим [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

Теперь необходимо вычислить [pic] [pic].

[pic] Таким образом [pic].

(8).

Подставляем в (6) равенство (8) [pic] [pic], где [pic] и [pic].

(9).

Подставляем (5) в (9) [pic].

[pic] [pic].

[pic].

где [pic] и [pic].

[pic].

(10) [pic] (11) где [pic], [pic].

(12).

[pic] [pic] [pic] [pic][pic] [pic].

[pic] (13).

1. Ограничимся первым приближением.

`[pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic].

(14).

[pic] [pic].

Рассмотрим:

[pic] [pic] [pic] [pic] (15) 2. Ограничимся вторым приближением.

[pic] [pic].

(16) [pic] [pic] [pic].

(17).

Из (12) найдем: [pic] (18) Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим: [pic] (19) Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13), получим: [pic][pic] [pic] Коэффициентами при [pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем, А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (14) [pic] подставляя (17), найдем [pic] (20).

Подставляя (18) в (11) с учетом (16), получим: [pic] (21).

Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13), получим: [pic] [pic] Коэффициентами при [pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем, А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (15).

[pic] [pic] (22).

3. Ограничимся третьим приближением.

[pic] [pic] (23).

Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:

[pic] (24).

Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13), получим [pic] [pic] [pic] Коэффициентами при [pic] ,[pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем, А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (14), а с[pic]- из-за (18).

[pic].

[pic] (25).

Подставляя (18) в (11) с учетом (23), получим: [pic] (26).

Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13), получим: [pic] [pic] Коэффициентами при [pic] ,[pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем, А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (15), а с[pic]- из-за (22).

[pic].

[pic] (27).

Анализ [pic] и [pic] показывает, что [pic] и [pic] дейсвительные коэффициенты, а [pic]- мнимые.

1. Т. Д. Шермергор «Теория упругости микронеоднородных сред» М., «Наука», 1977. 2. Г. А. Шаталов «Эффективные характеристики изотропных композитов как задача многих тел».

МКМ, № 1, 1985.