Зависимость коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Тема: Зависимость коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To.

Целью выполнения курсовой работы является развитие и закрепление навыков работы с табличным процессом Microsoft Excel, изучаемый в курсе информатики и применение их для самостоятельного решения с помощью компьютера задач из предметной области, связанной с исследованиями, а также закрепление навыков программирования на языке QBasic.

Задание к курсовой работе

Построить эмпирические формулы по исходным данным своего варианта тремя способами: используя стандартные средства Excel, проведя расчеты в табличном процессоре Excel, а также проведя вычисления по программе, написанной на языке программирования, изучавшимся в курсе «Информатика».

Во всех вариантах требуется:

Построить в EXCEL график таблично заданной функции y=f (x).

Вычислить в EXCEL (либо составить программу на языке программирования) коэффициент корреляции для случая линейной зависимости между параметрами «y» и «x» .

В зависимости от вида графика и величины коэффициента корреляции выбрать несколько классов эмпирических функций из следующих возможных вариантов: линейная функция y=a₁+a₂x; степенная функция; экспоненциальная функция; квадратичная (полиномиальная) функция y=a₁+a₂x+a₃x²; логарифмическая функция y=a₁ + a₂ ln x.

Для выбранного класса функций построить в EXCEL отдельные графики линий тренда, с выводом уравнений и коэффициентов детерминированности.

Составить алгоритм вычислений эмпирических функций по методу наименьших квадратов в виде блок-схемы.

Написать программу для вычисления коэффициентов эмпирических формул по методу наименьших квадратов на языке программирования высокого уровня, выбрав и описав предварительно метод решения систем линейных уравнений. Вычислить для каждой эмпирической формулы коэффициент детерминированности (достоверности).

Отладить программу и провести вычисления с выводом результатов в файл. Распечатать результаты вычислений в виде таблиц, снабдив их необходимыми пояснениями.

Вычислить в EXCEL коэффициенты выбранных эмпирических функций, решив системы линейных уравнений матричным методом. Построить отдельные графики теоретических функции, наложить на эти графики линию фактических данных. Вычислить коэффициент детерминированности.

Распечатать результаты вычислений в EXCEL в виде таблиц, снабдив их необходимыми пояснениями.

Сравнить все три результата вычислений (в EXCEL, на языке программирования и полученные при построении линии тренда), сделать выводы. Определить, какая из полученных эмпирических формул наилучшим образом аппроксимирует функцию y=f (x).

11. Экспериментальные значения зависимости коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Содержание курсовой работы

Построение графика зависимости таблично заданных значений коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Рис. 1 График зависимости таблично заданных значений коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Часто при анализе фактических результатов измерений или экспериментов возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между этими фактическими величинами.

Для нахождения аналитической взаимосвязи между двумя величинами X и Y производят ряд наблюдений; в результате получается таблица измеренных значений.

Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.

Если между величинами X и Y существует некоторая функциональная зависимость, но ее аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача — найти эмпирическую формулу: Y^Т =F (x, a₁, a₂,., a_m), где a₁, a₂,., a_m — коэффициенты.

Элементы теории корреляции

График теоретической функциональной зависимости Y^T(x), полученный по найденной эмпирической формуле, называется кривой регрессии. Для проверки согласия (справедливости) построенной кривой регрессии с результатами эксперимента, как правило, используют следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми величинами. Он показывает, насколько хорошо, в среднем, может быть представлена (вычислена) одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

где — средне арифметические значения по Х и У соответственно.

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе r к 1, тем теснее линейная связь между x и y, и тем более справедлива аппроксимация таблично заданной функции линейной зависимостью.

Особо подчеркнем, что если коэффициент корреляции существенно меньше 1, это не означает отсутствие зависимости между параметрами x и y. Это означает только, что не применима линейная аппроксимация, но можно искать аппроксимирующую зависимость среди степенных, экспоненциальных, квадратичных и других классов функций.

Вычислим в Excel коэффициент корреляции для случая линейной зависимости между параметрами «y» и «x» .

Расчеты в данной таблице производятся по простейшим формулам: в ячейках N29 и O29 находим средние значения заданных параметров по формулам =СРЗНАЧ (N3:N27) и =СРЗНАЧ (O3:O27), затем в ячейках P3 и Q3 находим разнсть между заданными и средними значениями параметров по формулам =N3-$N$ 29 и =O3-$O$ 29, которые размножаются на весь столбец, после этого в ячейке R3 находим произведение полученных величин, а в ячейках S3 и T3 — их квадраты (=P3*Q3, =P3², =Q3²), указанные формулы также размножаем на весь столбец, в дальнейшем найдем суммы данных и полученных величин в ячейках N28, O28, R28, S28, T28 (=СУММ (N3:N27), =СУММ (O3:O27), =СУММ (R3:R27), =СУММ (S3:S27), =СУММ (T3:T27)). В итоге в ячейке N30 рассчитаем коэффициент корреляции r по формуле =R28/(КОРЕНЬ (S28)*КОРЕНЬ (T28)).

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине равен 0,771. Это говорит о том, что взаимосвязь между данными параметрами не очень хорошо аппроксимируется линейной зависимостью и означает, что необходимо искать аппроксимирующую зависимость среди степенных, экспоненциальных, квадратичных и других классов функций.

Аппроксимация функции kpi=f (Tpi/Toi) многочленом второй степени

Построим в Excel отдельный график таблично заданных значений с нанесенной на него линией тренда квадратичного типа, выводом уравнения и коэффициента детерминированности

Рис. 2 График квадратичной аппроксимации функции kpi=f (Tpi/Toi)

Из построенной линии тренда и коэффициента детерминированности видно, что квадратичная зависимость очень точно отображает экспериментальные данные.

Cоставим уравнение аппроксимированной линии второй степени k= (Tpi/Toi)²+ a₂ (Tpi/Toi) + a_3. Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты a₁, a₂ и a₃. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:

Найдем значение сумм заданных параметров, чтобы составить эту систему.

где n=25

Поясним расчеты, произведенные в данной таблице: в ячейках C2, D2, E2, F2, G2 возведем параметр x в степень: от второй до шестой (=B2², =B2³, =B2⁴, =B2⁵, =B2⁶), в ячейках I2, J2, K2 найдем значения произведений xy, x²y и x³y соответственно (=H2*B2, =H2*(B2²), =H2*(B2³)).Все указанные формулы размножаем по всему столбцу. В дальнейшем найдем суммы данных и полученных величин в интервале B27: K2 по формулам =СУММ (B2:B26), =СУММ (C2:C26), =СУММ (D2:D26), =СУММ (E2:E26), =СУММ (F2:F26), =СУММ (G2:G26), =СУММ (H2:H26), =СУММ (I2:I26),

=СУММ (J2:J26), =СУММ (K2:K26).

коэффициент регулятор двигатель excel

Таблица 2

Матрицу, А составляем из правых частей уравнений системы, а матрицу B из левых Коэффициенты a₁, a₂ и a₃ вычисляем по формуле [a]=[А^-1]*B. Три составляющие вектора [a] будут искомыми коэффициентами a₁, a₂ и a₃.

Таблица 3

Поясним, что обратную матрицу находим по формуле =МОБР (AL17:AN19), а вектор Х по формуле =МУМНОЖ (AL23:AN25;AP17:AP19)

В матрице, А вычислились коэффициенты a1=4,134, a2=-5,96, и a3=2,084. Подставим эти коэффициенты в многочлен второй степени и получим формулу аппроксимированной функции k= 4,134(Tpi/Toi) ²-5,96(Tpi/Toi)+ 2,084

Аппроксимация функции kpi=f (Tpi/Toi) многочленом третьей степени

Построим в Excel отдельный график таблично заданных значений с нанесенной на него линией тренда полиномиального типа, выводом уравнения и коэффициента детерминированности Рис. 3 График полиномиальной аппроксимации функции kpi=f (Tpi/Toi)

Из графика видно, что полиномиальная функция практически полностью отображает экспериментальные данные.

Cоставим уравнение аппроксимированной линии: степени k= a₁(Tpi/Toi) ³+ a₂(Tpi/Toi)² + a₃(Tpi/Toi) + a_4. Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты a₁, a₂, a₃ и a₄. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:

где n=25

Согласно таблице 2 матрицу, А составляем из правых частей уравнений системы, а вектор B из левых.

Коэффициенты a₁, a₂, a₃ и a₄ вычисляем по формуле [a]=[А^-1]*B. Три составляющие вектора [a] будут искомыми коэффициентами a₁, a₂, a₃ и a₄

Таблица 4

Поясним, что обратную матрицу находим по формуле =МОБР (V17:Y20), а матрица B по формуле =МУМНОЖ (V23:Y26;AA17:AA20)

Подставим эти коэффициенты в многочлен третьей степени и получим формулу аппроксимированной функции k= -10,9225(Tpi/Toi)³ +22,142 (Tpi/Toi)² — 14,4(Tpi/Toi) + 3,0886

Аппроксимация cтепенной функции kpi=f (Tpi/Toi)

Построим в Excel отдельный график таблично заданных значений с нанесенной на него линией тренда степенного типа, выводом уравнения и коэффициента детерминированности

Рис. 4 График полиномиальной аппроксимации функции kpi=f (Tpi/Toi)

Из графика видно, что степенная функция практически полностью отображает экспериментальные данные.

Cоставим уравнение аппроксимированной линии степени k = a₁(Tpi/Toi) ^a2_. Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты a₁и a_2. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:

Для нахождения коэффициентов a₁ и a₂ степенную зависимость надо линеаризовать. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства k = a₁(Tpi/Toi) ^a2, в результате чего получится соотношение:

ln (ki) = ln a₁ + a₂ ln (Tpi/Toi)

Обозначим ln (ki), ln A₁, ln (Tpi/Toi) соответственно через z, b, t получим: z = b+ a₂t

Согласно таблице 5 матрицу, А составляем из правых частей уравнений системы, а вектор B из левых.

Таблица 5

Коэффициенты a₁, a₂, a₃ и a₄ вычисляем по формуле [a]=[А^-1]*B. Три составляющие вектора [a] будут искомыми коэффициентами a₁ и a₂ .

Таблица 6

Поясним, что обратную матрицу находим по формуле =МОБР (AE17:AF18), а матрица oтветов по формуле =МУМНОЖ (AE23:AF24;AH17:AH18)

Подставим эти коэффициенты в многочлен третьей степени и получим формулу аппроксимированной функции k = 0,047 (Tpi/Toi) ^(-1,761)

Вычисление коэффициента детерминированности

Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится еще одна характеристика — коэффициент детерминированности. Поясним подробно, что означает этот коэффициент и как он определяется.

Напомним, что вычисленные по эмпирической формуле при каждом значении Х_i значения Y_i^T, обычно, называют теоретическими, в отличие от исходных, эмпирических данных Y_i

Вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных, обозначив эту сумму S_ост.

Полученная величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных. Чем больше S_ост, тем хуже выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные и, наоборот, чем меньше S_{ост ,} тем лучше выбранная функция описывает экспериментальные данные.

Введем понятие регрессионной суммы квадратов:

Эта величина S_регр характеризует разброс теоретических данных относительно среднего значения.

В теории корреляции доказано следующее равенство:

Обозначим, тогда, очевидно, справедливо следующее равенство: S_полн = S_регр + S_{ост .}

Коэффициент детерминированности R² определяется по формуле:

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с полной суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности R², который показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если коэффициент детерминированности равен 1, то имеет место полная корреляция фактических данных с выбранной теоретической моделью. В противоположном случае, если коэффициент корреляции близок к нулю, то уравнение регрессии выбрано неудачно и не может использоваться для вычисления значений функции.

По данному методу строим таблицу Excel, где производим соответствующие расчеты.

Сначала рассчитаем коэффициент детерминированности для случая квадратичной зависимости между параметрами «y» и «x». Поясним расчеты, произведенные в данной таблице 6: в ячейке AN32 найдем теоретические значения Y_i^T по формуле =$AQ$ 25*((AM32)^2)+$AQ$ 24*(AM32)+$AQ$ 23, затем в ячейке AP32 находим квадрат

разности между теоретическими и экспериментальными значениями параметров по формуле =(AN32-AO32)^2, потом в ячейке AQ32 находим квадрат разности между теоретическими и средними значениями параметров по формуле =(AN32-$O$ 29)^2

Таблица 7

После этого вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных в ячейке AO57 по формуле =СУММ (AP32:AP56).Затем рассчитаем регрессионную сумму квадратов в ячейке AO58 по формуле =СУММ (AQ32:AQ56). В ячейке AO59 вычислим значение S_полн по формуле =AO57+AO58. В ячейке AO60 вычислим значение коэффициента детерминированности R² по формуле =1-AO57/AO59.

Затем рассчитаем коэффициент детерминированности для случая полиномиальной зависимости между параметрами «y» и «x». Поясним расчеты, произведенные в таблице 7: в ячейке X32 найдем теоретические значения Y_i^T по формуле =$AB$ 26*((W32)^3)+$AB$ 25*((W32)^2)+$AB$ 24*(W32)+$AB$ 23.

Таблица 8

Затем в ячейке Z32 находим квадрат разности между теоретическими и экспериментальными значениями параметров по формуле =(X32-Y32)^2, потом в ячейке AA32 находим квадрат разности между теоретическими и средними значениями параметров по формуле =(X32-$O$ 29)^2.

После этого вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных в ячейке Y57 по формуле =СУММ (Z32:Z56).Затем рассчитаем регрессионную сумму квадратов в ячейке Y58 по формуле =СУММ (AA32:AA56). В ячейке Y59 вычислим значение S_полн по формуле =Y57+Y58. В ячейке Y60 вычислим значение коэффициента детерминированности R² по формуле =1-Y57/Y59.

Теперь рассчитаем коэффициент детерминированности для случая степенной зависимости между параметрами «y» и «x» .

Поясним расчеты, произведенные в данной таблице: в ячейке X32 найдем теоретические значения Y_i^T по формуле =$AI$ 24*AF32+$AI$ 23, затем в ячейке AI32 находим квадрат разности между теоретическими и экспериментальными значениями параметров по формуле=(AG32-AH32)^2, потом в ячейке AJ32 находим квадрат разности между теоретическими и средними значениями параметров по формуле=(AG32-$O$ 29)^2

Таблица 9

Из полученных значений коэффициента детерминированности видно, что полиномиальная функция лучше всего отображает экспериментальные значения.

Алгоритм решения систем линейных уравнений

Для расчета коэффициентов аппроксимирующих функций в программе QBasic будем использовать метод Крамера. Для квадратичной зависимости составляем по методу наименьших квадратов систему уравнений:

Для нее находим главный определитель:

(1)

находим вспомогательные определители:

(2)

(3)

(4)

Коэффициенты вычисляем по формулам Крамера:

Подставляем коэффициенты в уравнение и получаем уравнение аппроксимирующей кривой.

Для полиноминальной зависимости составляем по методу наименьших квадратов систему уравнений:

Для нее находим главный определитель:

(5)

находим вспомогательные определители:

(6)

(7)

(8)

(9)

Коэффициенты вычисляем по формулам Крамера:

Далее для степенной зависимости составляем по методу наименьших квадратов систему уравнений:

для нее находим главный определитель:

затем находим вспомогательные определители:

коэффициенты b и а₂ находим по формулам Крамера:

Блок — схема программы, выполненной на языке QBasic

Программа, написанная на языке программирования Qbasic

CLS

DIM R, n (25), M (25)

FOR i = 1 TO 25

READ n (i)

NEXT i

FOR i = 1 TO 25

READ M (i)

NEXT i

ns = 0

Ms = 0

DATA 0.10,0.13,0.16,0.19,0.22,0.25,0.29,0.33,0.37,0.41,0.45,

DATA 0.49,0.53,0.57,0.61,0.65,0.69,0.73,0.77,0.81,0.85,0.89,0.93,0.97,1.00

DATA 2.07,1.65,1.27,0.95,0.73,0.52,0.41,0.34,0.29,0.24,0.21,

DATA 0.17,0.15,0.13,0.12,0.11,0.10,0.09,0.08,0.07,0.06,0.05,0.05,0.04,0.04

FOR i = 1 TO 25

ns = ns + n (i)

Ms = Ms + M (i)

NEXT i

ncp = ns / 25

Mcp = Ms / 25

PRINT USING «ncp= #.####, Mcp= #.####»; ncp; Mcp

REM Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

CLS

REM Введение значений

n = 25

DIM x (25)

DATA 0.10,0.13,0.16,0.19,0.22,0.25,0.29,0.33,0.37,0.41,0.45,0.49,0.53,

DATA 0.57,0.61,0.65,0.69,0.73,0.77,0.81,0.85,0.89,0.93,0.97,1.00

FOR i = 1 TO n

READ x (i)

NEXT i

DIM y (25)

DATA 2.07,1.65,1.27,0.95,0.73,0.52,0.41,0.34,0.29,0.24,0.21,0.17,0.15,

DATA 0.13,0.12,0.11,0.10,0.09,0.08,0.07,0.06,0.05,0.05,0.04,0.04

FOR i = 1 TO n

READ y (i)

NEXT I

DIM t (25), z (25)

FOR i = 1 TO n

t (i) = LOG (x (i))

z (i) = LOG (y (i))

NEXT i

REM «Вычисление сумм»

Sx = 0

Sx2 = 0

Sx3 = 0

Sx4 = 0

Sx5 = 0

Sx6 = 0

Sy = 0

Sxy = 0

Sx2y = 0

Sx3y = 0

St = 0

St2 = 0

Sz = 0

S (t * z) = 0

FOR i = 1 TO n

Sx = Sx + x (i)

Sx2 = Sx2 + (x (i)) ^ 2

Sx3 = Sx3 + (x (i)) ^ 3

Sx4 = Sx4 + (x (i)) ^ 4

Sx5 = Sx5 + (x (i)) ^ 5

Sx6 = Sx6 + (x (i)) ^ 6

Sy = Sy + y (i)

Sxy = Sxy + y (i) * x (i)

Sx2y = Sx2y + y (i) * (x (i)) ^ 2

Sx3y = Sx3y + y (i) * (x (i)) ^ 3

St = St + t (i)

St2 = St2 + t (i) ^ 2

Sz = Sz + z (i)

Stz = Stz + (t (i) * z (i))

NEXT i

REM «Вычисление коэффициента корреляции «

S1 = 0

S2 = 0

S3 = 0

xcp = Sx / n

ycp = Sy / n

FOR i = 1 TO n

S1 = S1 + (x (i) — xcp) * (y (i) — ycp)

S2 = S2 + (x (i) — xcp) ^ 2

S3 = S3 + (y (i) — ycp) ^ 2

NEXT i

R = S1 / (SQR (S2) * SQR (S3))

PRINT «Коэффициент корреляции «

PRINT «r = «; R

REM «Вычисление коэффициентов»

PRINT «Коэффициенты кубической функции «

A111 = Sx2 * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx4 + Sx3 * Sx4 * Sx5

A112 = Sx4 * Sx4 * Sx4 + Sx2 * Sx5 * Sx5 + Sx3 * Sx3 * Sx6

A11 = A111 — A112

A121 = Sx * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx5 * Sx4

A122 = Sx4 * Sx4 * Sx3 + Sx * Sx5 * Sx5 + Sx2 * Sx3 * Sx6

A12 = A121 — A122

A131 = Sx * Sx3 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx2 + Sx2 * Sx4 * Sx4

A132 = Sx4 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx6 + Sx4 * Sx5 * Sx

A13 = A131 — A132

A141 = Sx * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx4 * Sx3 + Sx2 * Sx4 * Sx3

A142 = Sx3 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx5 + Sx4 * Sx4 * Sx

A14 = A141 — A142

DETpol = n * A11 — Sx * A12 + Sx2 * A13 — Sx3 * A14

A11A41 = Sx2 * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx4 + Sx3 * Sx4 * Sx5

A11A42 = Sx4 * Sx4 * Sx4 + Sx2 * Sx5 * Sx5 + Sx3 * Sx3 * Sx6

A11A4 = A11A41 — A11A42

A12A41 = Sx * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx5 * Sx4

A12A42 = Sx4 * Sx4 * Sx3 + Sx * Sx5 * Sx5 + Sx2 * Sx3 * Sx6

A12A4 = A12A41 — A12A42

A13A41 = Sx * Sx3 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx2 + Sx2 * Sx4 * Sx4

A13A42 = Sx4 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx6 + Sx4 * Sx5 * Sx

A13A4 = A13A41 — A13A42

A14A41 = Sx * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx4 * Sx3 + Sx2 * Sx4 * Sx3

A14A42 = Sx3 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx5 + Sx4 * Sx4 * Sx

A14A4 = A14A41 — A14A42

DETA4 = Sy * A11A4 — Sxy * A12A4 + Sx2y * A13A4 — Sx3y * A14A4

A11a31 = Sxy * Sx4 * Sx6 + Sx2y * Sx5 * Sx4 + Sx3 * Sx3y * Sx5

A11a32 = Sx3y * Sx4 * Sx4 + Sxy * Sx5 * Sx5 + Sx3 * Sx2y * Sx6

A11a3 = A11a31 — A11a32

A12a31 = Sy * Sx4 * Sx6 + Sx2y * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx5 * Sx3y

A12a32 = Sx3y * Sx4 * Sx3 + Sy * Sx5 * Sx5 + Sx2 * Sx2y * Sx6

A12a3 = A12a31 — A12a32

A13a31 = Sy * Sx3 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sxy + Sx2 * Sx4 * Sx3y

A13a32 = Sx3y * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sxy * Sx6 + Sx4 * Sx5 * Sy

A13a3 = A13a31 — A13a32

A14a31 = Sy * Sx3 * Sx5 + Sxy * Sx4 * Sx3 + Sx2 * Sx4 * Sx2y

A14a32 = Sx2y * Sx3 * Sx3 + Sxy * Sx2 * Sx5 + Sx4 * Sx4 * Sy

A14a3 = A14a31 — A14a32

DETA3 = n * A11a3 — Sx * A12a3 + Sx2 * A13a3 — Sx3 * A14a3

A11a21 = Sx2 * Sx2y * Sx6 + Sx3 * Sx3y * Sx4 + Sxy * Sx4 * Sx5

A11a22 = Sx4 * Sx2y * Sx4 + Sx2 * Sx3y * Sx5 + Sxy * Sx3 * Sx6

A11a2 = A11a21 — A11a22

A12a21 = Sx * Sx2y * Sx6 + Sx3 * Sx3 * Sx3y + Sy * Sx5 * Sx4

A12a22 = Sx4 * Sx2y * Sx3 + Sx * Sx3y * Sx5 + Sy * Sx3 * Sx6

A12a2 = A12a21 — A12a22

A13a21 = Sx * Sxy * Sx6 + Sx3 * Sx3y * Sx2 + Sy * Sx4 * Sx4

A13a22 = Sx4 * Sxy * Sx3 + Sy * Sx2 * Sx6 + Sx4 * Sx3y * Sx

A13a2 = A13a21 — A13a22

A14a21 = Sx * Sxy * Sx5 + Sx2 * Sx2y * Sx3 + Sy * Sx4 * Sx3

A14a22 = Sx3 * Sxy * Sx3 + Sx2 * Sy * Sx5 + Sx4 * Sx2y * Sx

A14a2 = A14a21 — A14a22

DETA2 = n * A11a2 — Sx * A12a2 + Sx2 * A13a2 — Sx3 * A14a2

A11a11 = Sx2 * Sx4 * Sx3y + Sx3 * Sx5 * Sxy + Sx3 * Sx4 * Sx2y

A11a12 = Sx4 * Sx4 * Sxy + Sx2 * Sx5 * Sx2y + Sx3 * Sx3 * Sx3y

A11a1 = A11a11 — A11a12

A12a11 = Sx * Sx4 * Sx3y + Sx3 * Sy * Sx5 + Sx2 * Sx2y * Sx4

A12a12 = Sx4 * Sx4 * Sy + Sx * Sx5 * Sx2y + Sx2 * Sx3 * Sx3y

A12a1 = A12a11 — A12a12

A13a11 = Sx * Sx3 * Sx3y + Sy * Sx5 * Sx2 + Sx2 * Sxy * Sx4

A13a12 = Sx4 * Sx3 * Sy + Sx2 * Sx2 * Sx3y + Sxy * Sx5 * Sx

A13a1 = A13a11 — A13a12

A14a11 = Sx * Sx3 * Sx2y + Sx2 * Sx4 * Sy + Sx2 * Sxy * Sx3

A14a12 = Sx3 * Sx3 * Sy + Sx2 * Sx2 * Sx2y + Sxy * Sx4 * Sx

A14a1 = A14a11 — A14a12

DETA1 = n * A11a1 — Sx * A12a1 + Sx2 * A13a1 — Sx3 * A14a1

A4pol = DETA4 / DETpol

A3pol = DETA3 / DETpol

A2pol = DETA2 / DETpol

A1pol = DETA1 / DETpol

PRINT «A4 = «; A4pol

PRINT «a3= «; A3pol

PRINT «a2= «; A2pol

PRINT «a1= «; A1pol

PRINT «Коэффициенты квадратичной функции «

D1 = n * (Sx2 * Sx4 — Sx3 * Sx3)

D2 = Sx * (Sx * Sx4 — Sx3 * Sx2)

D3 = Sx2 * (Sx * Sx3 — Sx2 * Sx2)

DETkvad = D1 — D2 + D3

A31k = Sy * (Sx2 * Sx4 — Sx3 * Sx3)

A32k = Sxy * (Sx * Sx4 — Sx3 * Sx2)

A33k = Sx2y * (Sx * Sx3 — Sx2 * Sx2)

A3kvad = (A31k — A32k + A33k) / DETkvad

A21k = n * (Sxy * Sx4 — Sx2y * Sx3)

A22k = Sx * (Sy * Sx4 — Sx2y * Sx2)

A23k = Sx2 * (Sy * Sx3 — Sxy * Sx2)

A2kvad = (A21k — A22k + A23k) / DETkvad

A11k = n * (Sx2 * Sx2y — Sx3 * Sxy)

A12k = Sx * (Sx * Sx2y — Sx3 * Sy)

A13k = Sx2 * (Sx * Sxy — Sx2 * Sy)

A1kvad = (A11k — A12k + A13k) / DETkvad

PRINT «A3 = «; A3kvad

PRINT «A2= «; A2kvad

PRINT «A1= «; A1kvad

PRINT «Коэффициенты cтепенной функции «

DETst = n * St2 — St * St

b = (Sz * St2 — St * Stz) / DETst

A2st = (n * Stz — Sz * St) / DETst

PRINT «b= «; b

PRINT «A2st= «; A2st

A1st = EXP (b)

PRINT «A1st= «; A1st

REM «Вычисление коэффициентов детерминированности «

PRINT «Коэффициент детерминированности кубической функции «

Soctp = 0

Sрp = 0

FOR i = 1 TO n

yt = A1pol * x (i) ^ 3 + A2pol * x (i) ^ 2 + A3pol * x (i) + A3pol

Soctp = Soctp + (yt — y (i)) ^ 2

Spp = Spp + (yt — ycp) ^ 2

NEXT i

Sp = Soctp + Spp

R2p = 1 — Soctp / Sp

PRINT «R2p= «; R2p

PRINT «Коэффициент детерминированности квадратичной функции «

Soctk = 0

Sрk = 0

FOR i = 1 TO n

yt = A1kvad * x (i) ^ 2 + A2kvad * x (i) + A4kvad

Soctk = Soctk + (yt — y (i)) ^ 2

Spk = Spk + (yt — ycp) ^ 2

NEXT i

Sk = Soctk + Spk

R2k = 1 — Soctk / Sk

PRINT «R2k= «; R2k

PRINT «Коэффициент детерминированности cтепенной функции «

Soctst = 0

Sрst = 0

FOR i = 1 TO n

yt = A1st * (x (i)) ^ (A2st)

Soctst = Soctst + (yt — y (i)) ^ 2

Spst = Spst + (yt — ycp) ^ 2

NEXT i

Sst = Soctst + Spst

R2st = 1 — Soctst / Sst

PRINT «R2st= «; R2st

END

Вывод результатов программы, написанной на языке программирования Qbasic

Коэффициент корреляции

r = -.7 707 419

Коэффициенты кубической функции

A4 = 3.122 272

a3= -14.57 152

a2= 22.43 726

a1= -11.6 395

Коэффициенты квадратичной функции

A3 = 2.84 466

A2= -5.964 647

A1= 4.133 727

Коэффициенты cтепенной функции

b= -3.55 763

A2st= -1.76 095

A1st= 4.70 8676E-02

Коэффициент детерминированности кубической функции

R2p= .9 677 999

Коэффициент детерминированности квадратичной функции

R2k= .8 650 472

Коэффициент детерминированности cтепенной функции

R2st= .9 559 788

Вывод В курсовой работе рассмотрено три варианта теоретической зависимости коэффициента усиления регулятора k от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To тремя способами (в EXCEL, на языке программирования высокого уровня и при построении линии тренда). Вычисления трех независимых расчётов сходятся, следовательно, — расчёты верны.

В связи с тем, что r далек от единицы (r=-0,771), можно сделать вывод, что уравнение линейной функции недостаточно хорошо отображает зависимость экспериментальных данных коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To. Сравнивая значения коэффициентов детерминированности, видно, что уравнение степенной зависимости практически полностью отображает экспериментальные данные (рис.4). Но все же коэффициент детерминированности полиноминальной зависимости третьего порядка (рис.3) наиболее близок к единице (0,967), значит данный тип уравнения наилучшим образом показывает взаимосвязь между коэффициентом усиления регулятора k от соотношением постоянных времени регулятора Tp и двигателя To.

Библиографический список

Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. М., Финансы и статистика 1997.

Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. М., Финансы и статистика. 1997.

В.Б. Комягин. Программирование в Excel-5 и Excel-7 на языке Visual Basic. М., Радио и связь. 1996.

Н. Николь, Р. Альбрехт. Excel 5.0 Электронные таблицы. М., Изд. «ЭКОМ», 1996. Винтер П. Microsoft Word 97: справочник — СПб: Питер, 1998. — 320 с.

Гончаров А. Excel 97 в примерах — СПб: Питер, 1997. — 336 с.

С.Л. Иванов. Повышение ресурса трансмиссий горных машин на основе оценки энергонагруженности их элементов. С-Пб, РИЦ СПГГИ, 1999