Управление хаотической динамикой

Пусть у системы (1) доступна измерению только скалярная выходная координата y (t) = h (x (t)). Вектором запаздывающихкоординат (delayedcoordinates) называется вектор-функция .Относительно этого вектора исходная модель системы (1) приводится к виду ˙.Из теорем вложения [11] следует, что если N > 2n, где n — порядок исходной системы (1), то в общем случае имеется диффеоморфизм между пространством состояний исходной системы и подпространством состояний преобразованной системы такой, что если исходная система имеет аттрактор некоторой размерности, то аттрактором такой же размерности будет обладать и преобразованная система. Отображение Пуанкаре (Poincaremap), называемое также точечное отображение, отображение последования вводится в предположении, что имеется T-периодическое решение уравнения (1), проходящее через некоторую точку (т. е. для всех t ≥ t0 и). Пусть S — гладкая поверхность, определяемая уравнением s (x) = 0, где — гладкая скалярная функция. Предположим, что траектория трансверсально пересекает S в, т. е. выполнено, .Можно показать, что решение, начинающееся в точке поблизости от точки обязательно пересечет поверхность s (x) = 0 хотя бы еще один раз. Здесь τ = τ(x) — время первого возврата и x (τ) — точка первого возврата. Размерность аттрактора.

Аттрактор может быть в каком-то смысле гораздо беднее, чем исходное фазовое пространство. Можно сказать, что аттрактор имеет размерность гораздо меньшую, чем пространство состояний. Теория размерности активно изучалась в начале XX в. в работах Хаусдорфа, П. С. Урысона и П. С. Александрова. Топология научилась отвечать на вопрос, что такое размерность множества.

Идея топологической размерности, грубо говоря, состоит в следующем. Представим себе, что мы живём внутри множества, т. е. в мире, в котором нет точек, кроме тех, которые принадлежат нашему множеству. Живя в этом мире, можно с помощью формальных операций научиться отвечать на вопрос о том, какова его размерность. Можно задать этот вопрос и про множество Кантора, но сначала подумаем над тем, какой ответ нам хотелось бы получить. Для этого заметим, что отрезок (одномерное множество) разрезается на 2 вдвое меньших части, квадрат (двумерный объект) — на 4, а куб — на 8 вдвое меньших частей. Размерность в этом случае получается как логарифм количества частей по основанию коэффициента подобия. Канторово множество распадается на две половины, каждая из которых подобна ему с коэффициентом 1/3, поэтому естественным был бы ответ dim C = log3 2. Однако этот замечательный ответ никак нельзя получить, живя внутри канторова множества.

Если игнорировать тот факт, что оно расположено на прямой, и считать одинаковыми те множества, которые можно получить друг из друга с помощью гомеоморфизма (взаимно однозначного непрерывного в обе стороны отображения), то ничего, кроме ответа «нуль», получить нельзя. Что же касается соленоида, то его топологическая размерность равна 1. При этом ответ будет одинаков независимо от того, во сколько раз сжимается бублик и сколько раз он наматывается, лишь бы отображение оставалось взаимно однозначным со своим образом. Определим теперь другое понятие размерности, дающее нам тот ответ, который нам нужен. Эта размерность называется хаусдорфовой. Её определение существенно использует тот факт, что наблюдатель живет не внутри множества, а, что гораздо более естественно, в объемлющем пространстве. Идея определения хаусдорфовой размерности состоит в следующем. Предположим, что мы почти ничего не знаем о множестве, оно у нас спрятано в чёрном ящике.

Но этот чёрный ящик — не просто глухая коробка, а некий автомат, которому можно задавать вопросы. Будем считать, что наше множество «хорошее», т. е. про него известно, что это либо кривая, либо поверхность, либо тело в трёхмерном пространстве. Мы можем задавать вопросы про объём, длину и площадь нашего множества. Пусть, например, автомат ответил, что длина множества бесконечна, площадь равна 1, а объём равен 0. Легко догадаться, что это именно поверхность, так как у линии была бы нулевая площадь, а у тела — ненулевой объём. Определение хаусдорфовой размерности основано на аналогичных соображениях, но оно будет работать и в том случае, когда в качестве множества мы возьмём, например, соленоид или множество Кантора. Правда, «количество вопросов» будет гораздо больше.

Будем задавать вопросы следующего типа: а правда ли, что наше множество можно покрыть конечным числом шаров, суммарный d-мерный объём которых будет сколь угодно маленьким? Теперь скажем это более формально.Определение. Говорят, что множество M имеет нулевой d-мер-ный объём, если для всякого найдётся конечный набор шаров имеющих радиусы соответственно и таких, что и В этом случае мы будем писать, что Vd (M) = 0. В этом определении важно то, что число d не обязано быть целым! Оно может быть произвольным положительным вещественным числом. Вычисление энтропии.

В теории динамических систем, энтропия динамической системы — число, выражающее степень хаотичности её траекторий. Различают метрическую энтропию, описывающую хаотичность динамики в системе с инвариантной мерой для случайного выбора начального условия по этой мере, и топологическую энтропию, описывающую хаотичность динамики без предположения о законе выбора начальной точки. При этом, вариационный принцип утверждает, что для непрерывной динамической системы на компактном множестве, топологическая энтропия равна супремуму метрических, взятому по всем возможным выборам инвариантных мер данной системы. Вычисление автокорреляционной функции.

Автокорреляционная функция служит мерой корреляции между двумя значениями величины c (t), разделенными временным интервалом t. В хаотическом режиме С (t) быстро (обычно — экспоненциально) убывает, в регулярном режиме автокорреляционная функция С (t) либо постоянна, либо осциллирует. Вычисление характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям.

Определение: Решение автономной системы дифференциальных уравнений называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения системы с достаточно близкими к исследуемому решению начальными условиями стремятся к нему при, то есть. Рассмотрим решение y (t) линейной системы и определим для него показатель Ляпунова по формуле.

В силу теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению стационарное решение (особая точка) системы асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова линейной системы первого приближения отрицательны. Теорема: Если траектория автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений остается в ограниченной области и не стремится к особой точке при, то по крайней мере один показатель Ляпунова линеаризованной на этом решении системы равен нулю.

Заключение

.

В данной курсовой работе рассмотрены вопросы поведения нелинейных систем дифференциальных уравнений обладающих хаотической динамикой. Рассмотрены следующие задачи: нахождения особых точек;

линеаризации модели в особых точках;

нахождения собственных чисел матрицы Якоби и проверка особых точек на гиперболичность;

определения вида особых точек;

определения характеристических показателей Ляпунова;

построения переходных процессов, исследование зависимости от начальных условий;

исследования инвариантной меры;

исследования эргодичности и перемешивания;

определения типа аттрактора;

определения размерности аттрактора;

вычисления энтропии;

вычисления автокорреляционной функции;

вычисления характеристических показателей Ляпунова по фазовым траекториям. Рассмотренные вопросы сопровождаются примерами.

Список литературы

Магницкий Н.А., Сидоров С. В., Новые методы хаотической динамики, М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика. СПб.: Наука, 2003.

Шашихин.

В. Н. Хаос и нелинейная динамика. Регулярная и хаотическая динамика: учеб.

пособие / В. Н. Шашихин. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. — 210 с.Малинецкий.

Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. ;

М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 336 с. Андриевский Б.

Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения. I. Методы. Автоматика и телемеханика. 2003, (5). C. 3−45.Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: Методы и приложения.

II. Приложения. Автоматика и телемеханика. 2004, (4), C.3−34.LiT., YorkeJ.A. Periodthreeimplieschaos. A mer.

M ath. M onthly. 1975. V. 82.

pp. 985—992.Гукенхеймер

Дж., Ф. Холмс. Нелинейныеколебания, динамическиесистемыибифуркациивекторныхполей. М.: Изд-во.

УРСС, 2002.OttE., GrebogiC., YorkeG. C ontrollingchaos. P hys. R ev.

L ett. 1990. V.

64. (11) 1196—1199.