Диагностирование характеристик автомобиля по собственным частотам его продольных колебаний

• Введение
• 1. Определение собственных частот продольных колебаний автомобиля
• 1.1 Классификация колебаний
• 1.2 Методы получения дифференциальных уравнений движения
• 1.3 Свободные колебания автомобиля
• 2. Влияние характеристик автомобиля на собственные частоты его колебаний
• 2.1 Влияние жесткости рессор на частоты колебаний
• 2.2 Влияние массы кузова на частоты колебаний
• 2.3 Влияние радиуса инерции центра масс на частоты колебаний
• 3. Обратная задача по диагностированию характеристик автомобиля
• 3.1 Постановка обратной задачи
• 3.2 Диагностирование жесткостей рессор автомобиля
• 3.3 Диагностирование массы кузова и радиуса инерции центра масс
• 3.4 Исследование задачи сохранения собственных частот
• 3.5 Программная реализация прямой и обратной задач
• Заключение

Решение поставленной задачи диагностирования характеристик автомобиля по частотам его колебаний важно в связи с увеличением дорожно-транспортных происшествий и опасностями, связанными с изношенностью основных фондов. Исследования подобной проблемы тесно связаны с прямой задачей по определению собственных частот продольных колебаний автомобиля и влиянию его характеристик на частоты колебаний.

Идентификация характеристик автомобиля по собственным частотам колебаний и сохранение заданных частот при изменениях его параметров является актуальным в связи с необходимостью решений задач акустической диагностики и виброзащиты механических систем. Действительно, колебания автомобиля, как механической системы, приводят часто к дребезжанию, вызывающему неприятные ощущения у пассажиров, что связано с нахождением частот колебаний в опасном для здоровья человека диапазоне. Поэтому для создания комфортных условий пассажирам возникает задача определения таких характеристик автомобиля, которые обеспечивали бы заданные частоты его колебаний.

Прямая задача по колебаниям автомобиля известна еще с классических учебников по теории колебаний, таких, как [3,4,14,17,18, 19,21,26]. Но в них изучаются лишь упрощенные модели продольных колебаний автомобиля. Более общая математическая модель продольных колебаний автомобиля, рассмотрена в. Задачам технической диагностики посвящено также большое количество работ. Известно, что процессы, протекающие в механизмах и двигателях, являются источником шума. Наука, изучающая возможности распознавания характеристик элементов механической системы по его шуму, носит название виброакустической диагностики. Задачи виброакустической диагностики могут быть различными. В работе Кузьмина Р. В. [18], например, рассматривались задачи обнаружения дефектов в судовых механизмах по шуму, вызываемому упругими колебаниями от соударения сопряженных деталей. В трудах Биргера И. А. [14], Артоболевского И. И. [3,4], Павлова Б. В. также решались задачи акустической диагностики механизмов.

Большое количество работ по виброакустической диагностике посвящено не только выявлению состояния двигателя по его шуму, но и также вопросам шумоподавления, это работы, например, Зинченко В. И. [17], Лапина А. Д. В работах Тимошенко С. П. излагаются основы общей теории колебаний. Близкие проблемам виброакустической диагностики задачи возникали также и в других работах. Так в трудах Аксенова А. Л., Тукмакова И. Б. исследовались задачи идентификации объектов по их акустическому отклику, а статья Васильева Н. А., Дворникова С. И. посвящена способу обнаружения шпал, потерявших плотный контакт с балластом насыпи, при помощи ударного возбуждения колебаний и анализа акустических сигналов. Задачи акустической диагностики закреплений по одному спектру для струн, мембран, стержней, пластин рассматривались Ахтямовым А. М. [5−7], а Сафиной Г. Ф. [22−24] - для полых труб и трубопроводов с жидкостью. Теория вопроса диагностики машин по вибрации, представлена в работах Авакян В. А. [1], Александрова А. А. [2], Баркова А. В., Барковой Н. А. [8−13], Болотина В. В. и других отечественных и зарубежных исследователей.

Целью работы является теоретическое исследование влияния характеристик автомобиля на собственные частоты его продольных колебаний и диагностирование характеристик по заданным значениям частот. Основными задачами работы являются:

рассмотрение прямой задачи по определению собственных частот продольных колебаний автомобиля;

исследование зависимостей собственных частот колебаний автомобиля от таких характеристик, как масса кузова, жесткости передних и задних рессор;

автомобиль колебание собственная частота постановка и решение обратной задачи диагностирования характеристик автомобиля по известным собственным частотам его колебаний;

доказательство единственности решения, вывод формул для коэффициентов жесткостей рессор и массы кузова автомобиля;

исследование задачи сохранения заданных частот колебаний автомобиля изменениях параметров механической системы;

программная реализация решений прямой и обратной задач.

Методы исследований. Поставленные задачи решались аналитически на основе спектральной теории дифференциальных уравнений, обратных задач математической физики с применением вычислений на ЭВМ.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

по решению прямой задачи исследовано влияние массы кузова, жесткостей передних и задних рессор автомобиля на собственные частоты его колебаний;

впервые поставлена и решена задача диагностирования характеристик автомобиля по собственным частотам его продольных колебаний; доказана теорема о единственности решения;

получены аналитические формулы для коэффициентов жесткостей передних и задних рессор автомобиля, позволяющие сохранять заданные частоты колебаний при изменениях параметров механической системы;

приведена программная реализация решений поставленных задач.

Практическая значимость. Разработанные методы решения задачи позволяют диагностировать такие характеристики, как жесткости закреплений передних и задних рессор автомобиля, массу кузова. Найденный метод решения обратной задачи дает возможность идентификации характеристик по звучанию колебаний автомобиля. Полученные формулы позволяют диагностировать характеристики автомобиля по первым двум значениям собственных частот его продольных колебаний.

Кроме того, по найденному алгоритму показано, что при изменениях физических параметров автомобиля, как механической системы для сохранения заданных частот продольных колебаний необходимы соответствующие изменения в жесткостях закреплений его рессор.

Во введении рассмотрены актуальность темы исследования, поставлены цель, задачи исследования. Приведен обзор литературы по тематике исследования.

Первая глава работы посвящена прямой задаче определения собственных частот продольных колебаний автомобиля. Уравнения движения Лагранжа сведены к системе дифференциальных уравнений, из которого с помощью характеристического определителя получено частотное уравнение. Рассмотрены также амплитуды нормальных форм колебаний автомобиля. Приведены конкретные примеры.

Во второй главе по решению прямой задачи проведено теоретическое исследование влияния на собственные частоты колебаний характеристик автомобиля. Получено, что увеличение жесткостей, как передних, так и задних рессор автомобиля ведет к увеличению значений собственных частот. Показано также, что увеличение массы кузова или радиуса инерции центра масс ведет к уменьшению значений собственных частот колебаний автомобиля. Зависимость рассмотрена при различных физических параметрах механической системы. Приведены графики и таблицы рассмотренных зависимостей.

В третьей главе впервые поставлена и решена обратная задача — задача диагностирования характеристик автомобиля по известным собственным частотам его продольных колебаний. Доказана теорема о единственности решения задачи определения коэффициентов жесткостей передних и задних рессор автомобиля. Получены аналитические формулы, которые позволяют идентифицировать коэффициенты жесткости рессор уже по первым двум значениям собственных частот колебаний. Приведены примеры применения метода диагностирования жесткостей рессор автомобиля.

Доказана также теорема о единственности решения задачи определения массы кузова и радиуса инерции центра масс кузова. Получены аналитические формулы для определения указанных характеристик. Приведены соответствующие примеры.

Показано, что найденный алгоритм решения обратной задачи может быть применен для сохранения заданных собственных частот колебаний автомобиля при изменениях его физических параметров. Получены формулы, позволяющие оставлять прежние безопасные частоты продольных колебаний и при изменениях жесткостей закреплений передних или задних рессор. Показано, что для сохранения собственных частот при усилении закрепления, например, задних рессор необходимо соответствующим образом ослабить жесткость закреплений передних рессор автомобиля. Приведены конкретные примеры, подтверждающие выводы.

Также приведена программная реализация решения прямой и обратной задач в среде программирования Delphi.

В заключении работы подведены итоги исследований, сделаны основные выводы.

1. Определение собственных частот продольных колебаний автомобиля

1.1 Классификация колебаний

Все многообразие окружающих нас колебательных процессов можно классифицировать по ряду характерных признаков.

В соответствии с законом, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени, различают периодические и непериодические колебания.

Периодические колебания подчиняются закону:

где величина называется периодом колебаний. Кроме того, имеется широкий промежуточный класс почти периодических колебаний, для которых

где — почти период, а — сколь угодно малая величина.

Простейшими и в то же время наиболее часто встречающимися являются гармонические колебания (рисунок 1), которые описываются уравнением

где — амплитуда колебаний;

— круговая (или циклическая, или угловая) частота;

— фаза колебаний;

— сдвиг фазы; величина, обратная периоду колебаний, называется секундной частотой и измеряется в герцах:

1 Гц соответствует одному циклу изменения за 1 с.

Рисунок 1 — Гармонические колебания

Часто встречаются периодические, но негармонические колебания (рисунок 2). Их всегда можно рассматривать как сумму простых гармонических колебаний.

Процесс разложения периодических негармонических колебаний на простые гармонические составляющие (гармоники) называется гармоническим анализом и выполняется при помощи рядов Фурье.

Рисунок 2 — Негармонические колебания

Кроме того, часто встречаются следующие виды колебаний: затухающие (рисунок 3 (а)), нарастающие (рисунок 3 (б)), биения (рисунок 3 (в)).

Рисунок 3 — Другие виды колебаний

Все рассмотренные (рисунок 3) виды колебаний происходят с постоянной частотой при монотонном изменении амплитуды. Возможны также колебания с переменной частотой и постоянной амплитудой или переменными частотой и амплитудой.

Колебания могут происходить относительно нулевого отсчетного

уровня, смещённого и переменного.

По способу возбуждения различают 4 типа колебаний: свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

Свободными (или собственными) называются колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения, вызывающего у точек системы начальное отклонение от положения равновесия, и продолжающиеся затем благодаря наличию упругих внутренних сил, восстанавливающих равновесие.

Вынужденными называются колебания упругой системы, происходящие при действии на неё в течение всего процесса колебаний внешних периодически изменяющихся вынуждающих сил.

Параметрическими называются такие колебания упругой системы, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы — величины, характеризующие её массу или жесткость.

Автоколебаниями упругой системы называются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер взаимодействия которых определяется самим колебательным процессом.

Классификацию колебаний проводят также по виду деформации, возникающей в элементах колеблющейся системы. В частности, применительно к стержневым системам различают продольные, поперечные (изгибные) и крутильные колебания.

1.2 Методы получения дифференциальных уравнений движения

Можно выделить 3 способа составления уравнений движения. Наиболее общей формой таких уравнений являются уравнения Лагранжа:

(1.1)

где — кинематическая энергия системы, — время; - обобщённые координаты; - обобщенные скорости; - обобщенная сила; - число степеней свободы системы.

Для системы с конечным числом степеней свободы из уравнений (1.1) можно получить важные соотношения частотного характера, которые удобны при исследовании колебательных систем определенных типов.

Так, в задачах о свободных колебаниях упругих систем без трения обобщенные силы Q_i выражаются через потенциальную энергию системы П в виде

При этом уравнения Лагранжа принимают вид

Прямой способ. По этому способу из системы (рисунок 4 (а)) мысленно выделяются сосредоточенные массы, и каждая из них рассматривается как свободная материальная точка, находящаяся под действием позиционных восстанавливающих сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты (рисунок 4 (б)); для каждой точки записывается соответствующее дифференциальное уравнение движения. Обратный способ. Здесь после отделения сосредоточенных масс рассматривается оставшаяся безынерционная система жёстких и упругих связей (так называемый безмассовый скелет), которая находится под действием кинетических реакций (сил инерции) отделённых частей системы, причём эти силы инерции выражаются через обобщённые ускорения (рисунок 4 (в)). Для безмассового (безынерционного) скелета системы формируются статические соотношения. При анализе свободных колебаний некоторых консервативных систем с одной степенью свободы удобно применять энергетический способ, который основан на законе сохранения энергии, согласно которому, сумма кинетической и потенциальной энергий системы в процессе колебаний остается неизменной.

Рисунок 4 — Механические системы с n-степенями свободы

1.3 Свободные колебания автомобиля

Рассмотрим автомобиль как систему упругосвязанных между собой жестких тел (рисунок 5 (а)). Здесь тело 1 схематически представляет собой кузов автомобиля, тела 2−5 — колеса, массы которых будем считать сосредоточенными.

Движение такой системы в процессе колебаний характеризуется семью координатами:

— вертикальное перемещение центра тяжести кузова;

— вертикальные перемещения центров тяжести колес;

— угол поворота кузова относительно поперечной оси;

— угол поворота кузова относительно продольной оси.

Распределение масс автомобиля и жестокостей упругих связей почти симметрично относительно средней продольной плоскости, поэтому в расчетах колебаний некоторой малой асимметрией можно пренебречь. При этом общий процесс колебаний можно рассматривать состоящим из двух взаимно не связанных процессов (рисунок 5 (б, в)): продольных колебаний, характеризуемых вертикальным перемещением кузова, поворотом кузова вокруг поперечной оси и попарно равными перемещениями обоих передних колес и обоих задних колес; поперечных (боковых) колебаний, характеризуемых поворотом кузова вокруг продольной оси и попарно равными перемещениями обоих левых колес и обоих правых колес .

Рисунок 5 - Схема связанных упругих тел

В соответствии с этим продольные колебания описываются четырьмя, а поперечные колебания — тремя дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим продольные колебания, которые имеют основное значение.

Обозначим жесткости шин через; жесткости передних и задних рессор через и соответственно; массы кузова и колеса — через и. Радиус инерции кузова относительно поперечной оси, проходящей через его центр тяжести, обозначим через .

Тогда деформации рессор составляют

(передняя рессора); (задняя рессора).

Уравнения движения составим на основе уравнений Лагранжа

(1.2)

где и — кинетическая и потенциальная энергии соответственно; и обобщённые координаты и обобщённые скорости; - число степеней свободы системы. Кинетическая энергия системы складывается из следующих частей: кинетической энергии кузова

кинетической энергии передних колес

кинетической энергии задних колес

Суммарная кинетическая энергия:

Потенциальная энергия деформации рессор:

Потенциальная энергия сжатия шин:

Суммарная потенциальная энергия:

Вычисляя соответствующие производные и подставляя в уравнения Лагранжа (1.2), получим

(1.3)

Частное решение системы (1.3) имеет вид

Подстановка частного решения в уравнение (1.3) приведет, как в рассмотренных ранее системах, к однородным относительно амплитуд A_i алгебраическим уравнениям и соответственно обнаружатся четыре собственных частоты колебаний.

С практической точки зрения удовлетворительный результат дает рассмотрение упрощенной схемы продольных колебаний (рисунок 5 (г)).

Будем считать шины недеформируемыми, тогда рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы, соответствующими координатам y₁ и y₆. Положим в полученных выше выражениях для кинетической и потенциальной энергий y₂=y₃=0, тогда эти выражения принимают вид

Уравнения Лагранжа:

Частное решение

После его подстановки получим

сокращая на, получим

или

(1.4)

Как обычно, для получения нетривиального решения приравниваем к нулю определитель системы:

Раскрывая определитель, получим

раскрыв скобки, получим частотное уравнение

преобразовав это уравнение, имеем

разделим обе части уравнения на

. (1.5)

Решая биквадратное уравнение с помощью замены получим:

где

Переходя к замене получим:

(1.6)

Определив из уравнения (1.5) собственные частоты, можно найти соответствующие им собственные формы колебаний. Для этого из какого — либо (например, из первого) уравнения системы (1.4) нужно образовать отношение амплитуд

(1.7)

и подставить в него поочередно оба корня частотного уравнения.

Рассмотрим подробно частный случай такого распределения масс, при котором. В этом случае частотное уравнение (1.5) имеет корни:

(1.8)

Для определения собственных форм колебаний подставим эти корни поочередно в соотношение (1.7). Тогда для первой и второй собственных форм получим

Эти формы колебаний представлены на рисунке 6 (а, б). Их особенностью является неподвижность одной оси автомобиля при колебаниях другой. Формулы (1.8) показывают, что в этом частном случае частоты можно вычислять, используя схему, показанную на рисунке 6 (в), т. е. распределяя общую массу по закону рычага.

Рисунок 6 — Собственные формы колебаний

В другом частном случае, когда, уравнения (1.4) становятся независимыми

(1.9)

что означает возможность чисто вертикальных колебаний при отсутствии поворотов — «подпрыгивание» (рисунок 6 (г)), а также чисто угловых колебаний при неподвижности центра тяжести — «галопирование» (рисунок 6 (д)).

Действительно, система (1.9) удовлетворяется решением, при выполнении равенства

(1.10)

и решением, при выполнении равенства

(1.11)

Из (1.10) находим первую собственную частоту:

а из (1.11) — вторую собственную частоту:

Пример 1. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний автомобиля, для которого известно:

Решение.

Частотное уравнение (1.5) после подстановки в него заданных числовых значений принимает вид

Собственные частоты вычислим по формулам (1.6):

Для определения собственных форм колебаний воспользуемся формулой (1.7)

Собственные формы колебаний представлены на рисунке 7 (а, б).

Рисунок 7 — Собственные формы колебаний

Первая форма представляет собой, в основном, «подпрыгивание» кузова, а вторая — «галопирование» .

Пример 2. Определить собственные частоты колебаний автомобиля, для которого известно:

Решение. Частотное уравнение (1.5) после подстановки заданных физических параметров будет иметь вид

Собственные частоты по формулам (1,6) будут равны:

2. Влияние характеристик автомобиля на собственные частоты его колебаний

2.1 Влияние жесткости рессор на частоты колебаний

Рассмотрим влияние жесткости рессор на значения собственных частот колебаний автомобиля. Нам известны жесткости рессор. Необходимо определить соответствующие им значения собственных частот.

По решению прямой задачи (1.5) получаем, что при увеличении жесткости рессор и, частоты и увеличиваются. В таблице 1, например, указаны значения частот, соответствующие увеличивающимся значениям жесткостей рессор при следующих параметрах механической системы

(2.1)

Таблица 1 — Зависимость значений, от жесткостей рессор, при параметрах (2.1) автомобиля

На рисунках 8,9 даны графики зависимостей собственных частот, от жесткостей передних и задних рессор и при параметрах (2.1) автомобиля.

Рисунок 8 — Зависимость частоты от жесткостей, при параметрах (2.1) автомобиля Рисунок 9 — Зависимость частоты от жесткостей, рессор при параметрах (2.1) автомобиля Если увеличивать жесткость передних рессор, а жесткость задних оставить постоянной, то частоты и увеличиваются. В таблице 2 указаны значения собственных частот, соответствующие увеличивающимся значениям жесткости передних рессор, при фиксированном значении жесткостей задних рессор и параметрах (2.1) механической системы.

Таблица 2 — Зависимость значений, от жесткости при фиксированной жесткости и параметрах (2.1) автомобиля

На рисунках 10,11 даны графики зависимостей собственных частот, от жесткости передних рессор при фиксированной жесткости задних рессор и параметрах (2.1) автомобиля.

Рисунок 10 — Зависимость частоты от жесткости при фиксириванной жесткости и параметрах (2.1) автомобиля Рисунок 11 — Зависимость частоты от жесткости при фиксириванной жесткости и параметрах (2.1) автомобиля Если увеличивать жесткость задних рессор, а жесткость передних оставить постоянной, то частоты и также увеличиваются. В таблице 3 указаны значения собственных частот, соответствующие увеличивающимся значениям жесткости задних рессор, при фиксированном значении жесткости передних рессор и параметрах (2.1) механической системы.

Таблица 3 — Зависимость значений, от жесткости при фиксированной жесткости и параметрах (2.1) автомобиля

На рисунках 12,13 даны графики зависимостей собственных частот, от жесткости задних рессор при фиксированной жесткости передних рессор и параметрах (2.1) автомобиля.

Рисунок 12 — Зависимость частоты от жесткости при фиксириванной жесткости и параметрах (2.1) автомобиля Рисунок 13 — Зависимость частоты от жесткости при фиксириванной жесткости и параметрах (2.1) автомобиля

2.2 Влияние массы кузова на частоты колебаний

Рассмотрим влияние массы кузова на значения собственных частот колебаний автомобиля. Будем менять массу кузова и определять соответствующие значения собственных частот.

По решению прямой задачи (1.5) получаем, что при увеличении массы кузова частоты и уменьшаются. В таблице 4 указаны значения частот, соответствующие увеличивающемуся значению массы кузова при параметрах механической системы:

(2.2)

Таблица 4 — Зависимость частот, от массы кузова при параметрах (2.2) автомобиля

На рисунках 14,15 даны графики зависимостей собственных частот, от массы кузова при параметрах (2.2) автомобиля.

Рисунок 14 — Зависимость частоты от массы кузова при параметрах (2.2) автомобиля.

Рисунок 15 — Зависимость частоты от массы кузова при параметрах (2.2) автомобиля

2.3 Влияние радиуса инерции центра масс на частоты колебаний

Рассмотрим теперь влияние радиуса инерции центра масс на значения собственных частот колебаний автомобиля. Будем менять радиус инерции и определять соответствующие значения собственных частот.

По решению прямой задачи (1.5) получаем, что увеличение радиуса инерции центра масс ведет к уменьшению частот и. В таблице 5, например, указаны значения частот, соответствующие увеличивающемуся значению радиуса инерции центра масс при следующих параметрах механической системы:

(2.3)

Таблица 5 — Зависимость значений, от радиуса инерции центра масс при параметрах (2.3) автомобиля

На рисунках 16,17 даны графики зависимостей собственных частот, от радиуса инерции центра масс при параметрах (2.3) автомобиля Рисунок 16 — Зависимость частоты от радиуса инерции центра масс при параметрах (2.3) автомобиля Рисунок 17 — Зависимость частоты от радиуса инерции центра масс при параметрах (2.3) автомобиля Таким образом, исследовано влияние характеристик автомобиля на частоты его продольных колебаний. Эти исследования важны при решении проблемы сохранения безопасных частот при изменениях параметров автомобиля. Проблему сохранения мы предлагаем решить с помощью метода решения обратной задачи диагностирования.

3. Обратная задача по диагностированию характеристик автомобиля

3.1 Постановка обратной задачи

Поставим теперь к задаче определения частот колебаний автомобиля обратную спектральную задачу. Обратная задача состоит в нахождении характеристик автомобиля по собственным частотам колебаний. Известно, что изменение характеристик автомобиля проявляется в изменении собственных частот, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. п. Поэтому возникает также задача сохранения заданного (безопасного) диапазона частот колебаний автомобиля. Подобную проблему мы предлагаем решить также при рассмотрении обратной задачи.

Итак, известны собственные частоты колебаний автомобиля. Необходимо определить жесткость рессор по спектру частот его колебаний.

3.2 Диагностирование жесткостей рессор автомобиля

При исследовании задачи о колебаниях автомобиля получено следующее частотное уравнение (1.5):

.

Здесь по-прежнему, , — жесткости рессор, — собственная частота колебаний, — радиус инерции кузова, , — расстояние от центра тяжести до колес, — масса кузова.

Обратная задача. Известны собственные частоты колебаний автомобиля, масса кузова, радиус инерции кузова. Неизвестны жесткости рессор.

Исследуем вопрос о единственности решения поставленной задачи. Для этого задачу с частотным уравнением (1.5) обозначим через, а задачу с таким же частотным уравнением и физическими параметрами, но с другими коэффициентами жесткости, обозначим через. Через, обозначим коэффициенты жесткости передних и задних рессор, соответственно, для задачи .

Теорема 3.1 Если собственные частоты задач и с частотными определителями и совпадают с учетом их кратностей, то = и =.

Доказательство.

Собственные частоты задачи совпадают с корнями уравнения (1.5). Преобразуем частотное уравнение (1.5) к виду

Далее запишем частотный определитель в следующем виде

где функции представлены следующим образом:

Функции, ,, , не зависят от коэффициентов, и образуют систему линейно независимых функций.

Для частотного уравнения задачи имеем аналогичное представление

Поскольку и являются целыми функциями от и не равны тождественно нулю, то из теоремы Адамара получаем, что функции и восстанавливаются по своим нулям с точностью до постоянного множителя. Значит

. (3.1)

Из (3.1) и линейной независимости функций получаем, что и =, =. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что жесткости передних и задних рессор автомобиля можно определить единственным образом по известным собственным частотам его колебаний.

Рассмотрим метод нахождения жесткостей рессор.

Преобразуем уравнение (1.5) к виду:

.

Если рассмотреть две собственные частоты и, то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными, .

(3.2)

Вычитая из первого уравнения системы (3.2) второе, получим

.

Разделим обе части последнего равенства на :

Выразим

(3.3)

и подставим его в первое уравнение системы (3.2):

Преобразуем последнее равенство к виду:

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:

Продолжая преобразования, имеем:

где

Решая последнее уравнение относительно, получим

(3.4)

где

Таким образом, по ходу вывода формул (3.3) и (3.4) доказана следующая теорема

Теорема 3.2 Если известны две собственные частоты, продольных колебаний автомобиля, ранг матрицы системы (3.2) равен двум, то жесткости рессор определяются по формулам (3.3) и (3.4).

3.3 Диагностирование массы кузова и радиуса инерции центра масс

Поставим обратную задачу для определения массы кузова и радиуса инерции центра масс по собственным частотам колебаний.

Обратная задача. Известны собственные частоты колебаний автомобиля и жесткости передних и задних рессор. Неизвестны масса кузова и радиус инерции центра масс. Из формулы (3.3) можно вывести формулу для нахождения массы кузова автомобиля по заданным характеристикам:

. (3.5)

Формула (3.5) однозначно определяет массу кузова автомобиля.

Вернемся к системе (3.2). Из нее можно однозначно определить радиус инерции кузова. Для это снова вычтем из первого уравнения второе и получим следующее выражение:

далее преобразуем его к следующему виду:

выражая в последнем уравнении, имеем:

в итоге получаем:

(3.6)

Формула (3.6) однозначно определяет радиус инерции кузова.

Таким образом по ходу вывода формул доказана следующая теорема.

Теорема 3.3 Если известны две собственные частоты, продольных колебаний автомобиля, ранг матрицы системы (3.2) равен двум, то масса кузова и радиус инерции кузова относительно продольной оси определяются по формулам (3.5) и (3.6).

Пример 3. Известны частоты колебаний автомобиля Найти жесткости рессор автомобиля. Известно также:

(3.7)

Решение. Подставляя значения в (3.4) найдем жесткость задней рессоры:

затем, подставив полученное значение для жесткости задней рессоры в формулу (3.3), получим значение для жесткости передней рессоры:

Заметим, что жесткости определены верно, так как именно при этих жесткостях и параметрах (3.7) автомобиля по решению прямой задачи частоты колебаний равны .

Пример 4. Найти массу кузова автомобиля, если известны частоты и следующие характеристики:

Решение. Подставляя данные в формулу (3.5) сможем вычислить чему равна масса кузова автомобиля:

3.4 Исследование задачи сохранения собственных частот

Рассмотрим задачу сохранения собственных частот продольных колебаний автомобиля при изменениях его физических параметров.

Часто возникают ситуации, когда по практической надобности необходимо изменить ту или иную характеристику. Например, необходимо усилить жесткость закрепления задней или передней рессоры автомобиля. Проведенные исследования по влиянию коэффициентов жесткости на значения собственных частот колебаний показывают, что при изменении коэффициентов жесткостей или других параметров частоты колебаний так же меняются. Возникает вопрос: как сохранить частоты прежними, безопасными?

На этот вопрос мы предлагаем ответить с помощью метода решения обратной задачи диагностирования жесткостей рессор. Действительно, по ходу решения задачи диагностирования была получена следующая аналитическая формула для определения жесткости передней рессоры

(3.3)

Если меняется какая-либо физическая характеристика, то сохранить прежние частоты колебаний возможно с помощью определенных изменений в жесткостях закреплений рессор.

Рассмотрим эти изменения на конкретном примере. Пусть автомобиль имеет следующие характеристики:

По ходу решения прямой задачи после подстановки данных характеристик в частотное уравнение (1.5) получим:

Следовательно, собственные частоты:

Пусть коэффициент жесткости задних рессор увеличивается с 1,85 до 1,95. Известно, что при этом частоты колебаний автомобиля увеличатся. А нам нужно сохранить прежние частоты. Тогда, используя полученную формулу (3.3) можем определить соответствующее для этого значение коэффициента жесткости передних рессор. При этом в формулу для подставим новое значение и прежние частоты, :

Таким образом, для сохранения прежних частот при изменении коэффициента жесткости с 1,85 до 1,95 необходимо уменьшить коэффициент жесткости с 2,42 до 2,32 .

Для рассмотренной задачи в таблице 7 приведены значения коэффициентов жесткости и рессор, сохраняющие заданные частоты колебаний автомобиля.

Таблица 6 — Значения коэффициентов жесткости рессор, необходимые для сохранения частот

Таким образом, для сохранения заданных частот колебаний автомобиля при увеличении жесткости задних рессор необходимо уменьшить соответствующим образом жесткость передних рессор.

Формула (3.3) выражает коэффициент жесткости передних рессор в зависимости от коэффициента. Из системы уравнений (3.2) при известных двух собственных частотах, можно получить аналитическое выражение для коэффициента жесткости, зависящего от жесткости .

Действительно, проводя аналогичные преобразования с системой уравнений (3.2), как в п. 3.1, можно получить следующее выражение для коэффициента жесткости :

(3.7)

Формула (3.7) позволяет определить соответствующее значение коэффициента жесткости, необходимое для сохранения прежних частот при изменении значения жесткости передних рессор .

Если, например, для предыдущей задачи жесткость передних рессор уменьшим с 2,42 до 2,32, то частоты уменьшатся. Подставляя в полученную формулу (3.7) новое значение жесткости и прежние частоты, , получим:

Таким образом, для сохранения прежних частот при изменении коэффициента жесткости передних рессор с 2,42 до 2,32 необходимо увеличить коэффициент жесткости задних рессор с 1,85 до 1,95 .

Для рассмотренной задачи в таблице 8 приведены значения коэффициентов жесткости и рессор, сохраняющие заданные частоты колебаний автомобиля.

Таблица 7 — Значения коэффициентов жесткости рессор, необходимые для сохранения частот

Таким образом справедлива и доказана следующая теорема.

Теорема 3.4 Если известны две ненулевые частоты, продольных колебаний автомобиля, ранг матрицы системы (3.2) равен двум, то для сохранения частот при изменении жесткости передней (задней) рессоры достаточно изменить жесткость задней (передней) рессоры в соответствии с формулами (3.3) ((3.7))

3.5 Программная реализация прямой и обратной задач

С целью упрощения вычислений при нахождении собственных частот продольных колебаний автомобиля и жесткостей рессор разработана программа в среде программирования Delphi. Данная программа позволяет быстро вычислить частоты или жесткости рессор по данным характеристикам автомобиля.

В программе использованы такие компоненты как TLebel — метка, TEdit, в которую вводят данные, TMemo — для вывода результата, TButton — кнопка, TChar — вывод графиков и диаграмм.

Ниже приведен листинг процедур программы и окна программы с результатом вычислений.

Данная процедура решает прямую задачу по нахождению собственных частот продольных колебаний автомобиля:

procedure proc1;

var c1, c2,d: real;

begin

With form1 do begin

cp: =strtofloat (edit5. text); cz: =strtofloat (edit6. text);

m: =strtofloat (edit3. text); p: =strtofloat (edit4. text);

a: =strtofloat (edit7. text); b: =strtofloat (edit8. text);

end;

c1: =- (2* (cp* (sqr (a) +sqr (p)) +cz* (sqr (b) +sqr (p)))) / (m*sqr (p));

c2: = (4*cp*cz*sqr (a+b)) / (sqr (m) *sqr (p));

d: =sqrt (sqr (c1) — 4*c2); w1: =sqrt ((-c1-d) /2); w2: =sqrt ((-c1+d) /2);

form1. Memo1. Lines. Add ('Первая собственная частота '+floattostr (w1));

form1. Memo1. Lines. Add ('Вторая собственная частота '+floattostr (w2));

end;

Следующая процедура позволяет найти жесткости передних и задних рессор автомобиля:

procedure proc2;

var k1, k2,k3,d: real;

begin

with form1 do begin

w1: =strtofloat (edit1. text); w2: =strtofloat (edit2. text);

m: =strtofloat (edit3. text); a: =strtofloat (edit7. text);

b: =strtofloat (edit8. text); p: =strtofloat (edit4. text);

end;

k1: =- (4* (sqr (b) +sqr (p)) *sqr (a+b)) / (sqr (m) *sqr (p) * (sqr (a) +sqr (p)));

k2: = (2* (sqr (w1) +sqr (w2)) *sqr (a+b)) / (m* (sqr (a) +sqr (p)));

k3: =sqr (sqr (w1)) — sqr (w1) * (sqr (w1) +sqr (w2));

d: =sqr (k2) — 4*k1*k3; cz: = (-k2+sqrt (d)) / (2*k1);

cp: = ((sqr (w1) +sqr (w2)) *m*sqr (p)) / (2* (sqr (a) +sqr (p))) — (cz* (sqr (b) +sqr (p))) / (sqr (a) +sqr (p));

form1. Memo1. Lines. Add ('Жесткость передних рессор '+floattostr (cp));

form1. Memo1. Lines. Add ('Жесткость задних рессор '+floattostr (cz));

end;

Данная процедура позволяет построить собственные формы колебаний автомобиля:

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

begin

Memo1. Clear; Chart1. Series. Clear;

Chart1. Series. Clear; Chart1. Series. Clear;

Chart1. Series. Clear; Chart1. Series. Clear;

Chart2. Series. Clear; Chart2. Series. Clear;

Chart2. Series. Clear; Chart2. Series. Clear;

Chart2. Series. Clear;

if RadioGroup1. ItemIndex=0 then proc1;

if RadioGroup1. ItemIndex=1 then proc2;

Button2. Enabled: =true; end;

procedure TForm1. Button2Click (Sender: TObject);

var amp1, amp2, y0,y1,max, min: real;

begin

a: =strtofloat (edit7. text); b: =strtofloat (edit8. text);

amp1: =- (-m*sqr (w1) +2*cp+2*cz) / (2*a*cp-2*b*cz);

amp2: =- (-m*sqr (w2) +2*cp+2*cz) / (2*a*cp-2*b*cz);

// // // // // // // // первая форма колебаний // // // // // // // // // /

if amp1<0 then begin

y0: =-1+abs (amp1) *a; y1: =-1-abs (amp1) *b; end

else begin

y0: =-1-abs (amp1) *a; y1: =-1+abs (amp1) *b; end;

if y0>y1 then begin max: =y0; min: =y1; end

else begin max: =y1; min: =y0; end;

if max<0 then Chart1. LeftAxis. Maximum: =0.1 else Chart1. LeftAxis. Maximum: =max+0.1;

Chart1. LeftAxis. Minimum: =min-0.1; Chart1. BottomAxis. Maximum: =a+b+0.1;

Chart1. Series. AddXY (0,0,'', clblack); Chart1. Series. AddXY (a+b, 0,'', clblack);

Chart1. Series. AddXY (0,0,'', clblack); Chart1. Series. AddXY (0,y0,'', clblack);

Chart1. Series. AddXY (a, 0,'', clblack); Chart1. Series. AddXY (a,-1,'', clblack);

Chart1. Series. AddXY (a+b, 0,'', clblack);

Chart1. Series. AddXY (a+b, y1,'', clblack);

Chart1. Series. AddXY (0,y0,'', clred);

Chart1. Series. AddXY (a+b, y1,'', clred);

// // // // // // // // вторая форма колебаний // // // // // // // // // /

if amp2<0 then begin

y0: =-1+abs (amp2) *a; y1: =-1-abs (amp2) *b; end

else begin

y0: =-1-abs (amp2) *a; y1: =-1+abs (amp2) *b; end;

if y0>y1 then begin max: =y0; min: =y1; end

else begin max: =y1; min: =y0; end;

if max<0 then Chart2. LeftAxis. Maximum: =0.1 else Chart2. LeftAxis. Maximum: =max+0.1;

Chart2. LeftAxis. Minimum: =min-0.1; Chart2. BottomAxis. Maximum: =a+b+0.1;

Chart2. Series. AddXY (0,0,'', clblack); Chart2. Series. AddXY (a+b, 0,'', clblack);

Chart2. Series. AddXY (0,0,'', clblack); Chart2. Series. AddXY (0,y0,'', clblack);

Chart2. Series. AddXY (a, 0,'', clblack); Chart2. Series. AddXY (a,-1,'', clblack);

Chart2. Series. AddXY (a+b, 0,'', clblack);

Chart2. Series. AddXY (a+b, y1,'', clblack);

Chart2. Series. AddXY (0,y0,'', clred);

Chart2. Series. AddXY (a+b, y1,'', clred);

Button2. Enabled: =false; end;

Рисунок 18 — Решение примера 1 с помощью программы

Рисунок 19 — Решение примера 3 с помощью программы

Заключение

В работе исследована и решена прямая задача определения собственных частот продольных колебаний автомобиля. Уравнения движения Лагранжа сведены к системе дифференциальных уравнений, из которого с помощью характеристического определителя получено частотное уравнение. Рассмотрены также амплитуды нормальных форм колебаний автомобиля. Приведены конкретные примеры.

По решению прямой задачи исследовано влияния на собственные частоты продольных колебаний характеристик автомобиля. Получено, что увеличение жесткостей, как передних, так и задних рессор автомобиля ведет к увеличению значений собственных частот. Показано также, что увеличение массы кузова или радиуса инерции центра масс ведет к уменьшению значений собственных частот колебаний автомобиля. Зависимость рассмотрена при различных физических параметрах механической системы. Приведены графики и таблицы рассмотренных зависимостей.

Приведена постановка и решение обратной задачи — задачи диагностирования характеристик автомобиля по известным собственным частотам его продольных колебаний. Доказана теорема о единственности решения задачи определения коэффициентов жесткостей передних и задних рессор автомобиля. Получены аналитические формулы, которые позволяют идентифицировать коэффициенты жесткости рессор уже по первым двум значениям собственных частот колебаний. Приведены примеры применения метода диагностирования жесткостей рессор автомобиля.

Доказана также теорема о единственности решения задачи определения массы кузова и радиуса инерции центра масс кузова. Получены аналитические формулы для определения указанных характеристик. Приведены соответствующие примеры.