Законы сохранения механики

Лабораторная работа № 1. Лабораторная установка «Модель копра»

Лабораторная работа № 2. Определение скорости пули методом физического маятника

Лабораторная работа № 3. Лабораторная установка «Маховик»

Лабораторная работа № 4. Лабораторная установка «Наклонная плоскость»

Лабораторная работа № 5. Определение объёма и плотности тела, вычисление погрешностей Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний Лабораторная работа № 7. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний Лабораторная работа № 8. Исследование прямолинейного движения тел в поле тяжести на машине Атвуда модель копра теорема штейнера

Лабораторная работа № 1

ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МОДЕЛЬ КОПРА»

Цель работы: Лабораторная установка «Модель копра» позволяет иллюстрировать применимость законов сохранения в механике: закона сохранения импульса, закона сохранения полной механической энергии, а также закона изменения полной механической энергии.

При работе на данной установке определяется сила сопротивления грунта при забивке сваи, оценивается доля энергии, затраченной на деформацию при неупругом ударе, а также замкнутость системы копр — свая.

Принадлежности: установка «Модель копра», габаритные размеры:

длина — не более 420 мм

ширина — 100±5 мм

высота — не более 650 мм масса — не более 8 кг масса гири — (435±1) г масса груза m₁ — (319±1) г

масса сваи m₂ — (121±1) г

Состав изделия и комплект поставки:

— основание установки в сборе с разрезной втулкой и сваей — 1 шт.

— направляющая в сборе с защелкой и грузом — 1 шт.

— рычаг — 1 шт.

— гиря — 1 шт.

Устройство и принцип работы

Модель копра (рис. 1) состоит из груза 1, который может перемещаться по вертикальной направляющей, и сваи 2, которая с большим трением скользит в разрезной втулке 3. Сила трения между сваей и втулкой создается за счет силы нормального давления на одну из половин втулки со стороны малого плеча рычага 4. По рычагу 4 скользит гиря 5, передвигая которую можно изменять силу нормального давления.

Для удержания груза 1 на некоторой высоте служит защелка 7, которую можно перемещать по направляющей и закреплять в нужном положении стопорными винтами. Для закрепления груза последний поднимается с небольшим усилием до соприкосновения с защелкой. Освобождение груза производится нажатием на ручку 8 защелки.

Высота груза и сваи до и после удара измеряется по вертикальной линейке с помощью указателей, прикрепленных к грузу и свае.

При определении силы сопротивления грунта можно четко разграничивать три этапа движения груза и сваи:

1) почти свободное падение груза (трением между грузом и направляющей можно пренебречь);

2) неупругое взаимодействие (неупругий удар) между сваей и грузом;

3) совместное движение сваи и груза после удара до полной остановки.

Рассмотрим последовательно все этапы движения. При падении груза с высоты Н потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием груза с Землей, переходит в кинетическую энергию движения груза. Здесь имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как в системе груз — Земля внутренняя сила консервативна, а работа внешних сил равна нулю, т. е. имеет место равенство W=W_k+W_n = 0.

На данном этапе изменение кинетической энергии груза

W=m₁v₁²/2,

где m₁ — масса груза, v₁ — скорость груза непосредственно перед ударом о сваю.

Изменение потенциальной энергии груза определяется тем, что он опустился с высоты Н, на которую был поднят над сваей, — m₁gH. Следовательно, изменение полной механической энергии

W= m₁ v₁²/2 — m₁gH=0.

Отсюда можно найти скорость груза v₁ непосредственно перед ударом о сваю:

V₁ = (2gH)^½. (1)

При дальнейшем движении груза происходит неупругое соударение со сваей, т. е. такое, при котором после удара соударяющиеся тела движутся с некоторой общей скоростью, целиком сохраняя возникшую при ударе взаимную деформацию.

При ударе груза о сваю можно применить закон сохранения импульса, так как систему можно считать приближенно замкнутой. Действительно, на систему груз — свая действуют как внешние силы (силы тяжести груза и сваи и сила сопротивления грунта), так и внутренние силы, развивающиеся между телами при соударении. Строго говоря, данная система не является замкнутой, но при условии, что внешние силы много меньше внутренних, систему можно считать приближенно замкнутой и, следовательно, применить закон сохранения импульса:

m₁v₁=(m₁+m₂)v₂ , (2)

где m₂ — масса сваи, v₂ — общая скорость сваи и груза после удара.

Из (1) и (2) следует, что:

v₂=m₁v₁/(mi+m₂)=m₁(2gH)^½/(m₁+m₂) (3)

После неупругого удара груз и свая начинают двигаться замедленно до полной остановки. На этом этапе движения сила сопротивления фунта, являющаяся диссипативной, совершает работу, поэтому полная механическая энергия системы груз — свая — Земля не сохраняется:

W=W_K +W_п =Адис, (4)

то есть изменение полной механической энергии системы равно работе сил сопротивления грунта. Если сравнить два состояния системы, первое из которых соответствует началу совместного движения груз — свая после их соударения, а второе — окончанию движения, то изменение кинетической энергии системы можно записать так:

W_K=W_K2 - W_K1 = -(m₁+m₂)v₂²/2. (5)

Изменение потенциальной энергии будет равно:

W_П=W_П2 - W_П1 = -(m₁+m₂)gS, (6)

где S — перемещение груза и сваи от начала совместного движения до полной остановки.

На участке S сила сопротивления грунта f совершает работу А_дис=fS=fScos, где — угол между направлением силы и перемещением. Угол =, так как сила и перемещение взаимно противоположны. Следовательно, работа силы будет отрицательной:

А_дис= - fS. (7)

Под величиной силы f подразумевается среднее значение силы сопротивления, то есть f=fcp. Подставляя (5), (6), (7) в уравнение (4), получим:

-(m₁+m₂)v₂²/2 — (m₁+m₂)gS = - fS. (8)

Если в уравнение (8) подставить значение скорости, найденное по формуле (3), можно записать:

m₁²gH/(m₁+m₂) + (m₁+m₂)gS = fS.

Разделив обе части на S, получим окончательно:

f=[(m₁²H/[S (m₁+m₂)] + m₁+m₂]g. (9)

При неупругом ударе часть механической энергии расходуется на деформацию тел, превращаясь в конечном итоге в тепловую энергию. Потерю механической энергии можно подсчитать как разность механических энергий системы после и до удара:

W = (m₁ +m₂)v₂²/2 — m₁ v₁²/2.

Подставив из (3) значение скорости v₂ и из (1) скорость v₁, имеем:

W = m₁²gH/(m₁+m₂)-m₁gH = m₁gH[m₁/(m₁+m₂)-1] = m₁m₂gH/(m₁+m₂).

Удобнее не определять абсолютную величину потерь механической энергии, а рассчитывать долю механической энергии, затраченную на деформацию тел при неупругом соударении:

W/W_K2 = m₁gHm₂/ m₁gH (m₁ + m₂)= m₂/(m₁+ m₂). (10)

Анализ этого выражения позволяет сделать вывод: при забивке сваи масса груза m₁ должна быть значительно больше массы сваи m₂. Только в этом случае большая доля первоначальной энергии пойдет на забивку сваи.

Подготовка изделия к работе

1. Установить и закрепить на основании направляющую с защелкой и грузом.

2. Закрепить рычаг в основании.

3. Установить на рычаг гирю.

4. Собранную установку поместить на горизонтальную поверхность.

Порядок выполнения работы

1. Установить гирю 5 (см. рис. 1) на некотором расстоянии от оси вращения рычага 4.

2. Поднять сваю до предела и подобрать наибольшую высоту Н — такую, чтобы после удара свая не касалась втулки 3.

3. Подобрав нужную высоту, записать положение указателя сваи до удара S₁ (рис. 1).

4. Поднять груз на выбранную высоту и закрепить его там. Записать положение указателя груза H₁.

5. Нажать кнопку 8 защелки. Записать положение указателя сваи после удара S₂.

6. Повторить опыт при тех же значениях H₁ и S₁ пять раз.

7. Следующую серию измерений проделать при том же начальном положении сваи и гири, но изменить высоту падения груза H₁ при условии выполнения пункта 2. Повторить опыт пять раз. Результаты записать в табл.

8. Переставить гирю 5 на большее расстояние от оси вращения рычага. Провести третью серию измерений при тех же значениях H₁ и S₁, что и в пункте 7. Опыт повторить 5 раз.

Результаты измерений: S₁=…, S₁=…

Для данной серии (по указанию преподавателя) записать погрешность

Н=( Н₁² + S₁²)^½, S =(S₁²+ S₂²)^½.

Обработка результатов опытов

1. По формуле (9) рассчитать среднюю силу сопротивления для каждой серии опытов.

2. Для указанной серии измерений определить погрешность силы. Пренебрегая погрешностью ускорения свободного падения и учитывая, что m₁= m₂, получим:

(f)² =2g²m²+[m₁²gH/S (m₁+m₂)]²

[4(m/m₁)²+2m₂/(m₁+m₂)²+(H/H)²+(S/S)²]^½.

В полученной формуле можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Окончательная формула для расчета погрешности имеет вид:

(f)²=[m₁²gH(S/S(m₁+m₂)]²[4(m/m₁)²+2m/(m₁+m₂)²+(H/H)² +S/S)²]. (11)

3. Записать окончательный результат в виде

f= fcp±f.

4. Определить долю энергии, затраченной на деформацию тел — формула (10).

5. Рассчитать внутренние силы, действующие в системе груз — свая во время неупругого взаимодействия тел. Для этого, используя для груза m₁ соотношение (mv) = F t, можно записать, что

m₁(v₂ - v₁))/ t = m₁g + F₁,

где v₁ — скорость груза перед ударом, v₂ — скорость груза и сваи после удара, t — время соударения, которое равно 210-⁴ с. Подставив значения скоростей из (1) и (3), получим формулу для расчета внутренней силы:

F = m₁g + m₁(2gH)^½[1 — m₁/(m₁ + m₂)]/ t.

6. Сравнить внутренние силы с внешними.

Техническое обслуживание

Периодически осматривать установку и при необходимости подтягивать ослабленные винты.

Контрольные вопросы

1.Что называется импульсом тела?

2.Какая система называется замкнутой, или изолированной?

3.Сформулируйте закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

4.Какие виды энергии вам известны? Дайте определения механической, кинетической, потенциальной и внутренней энергиям.

5.Что называется упругим и неупругим ударами?

6.Запишите законы сохранения энергии и импульса для данной установки при упругом и неупругом ударе.

7.Выведите рабочую формулу.

Лабораторная работа № 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ МЕТОДОМ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: лабораторная установка «Определение скорости пули методом физического маятника» позволяет иллюстрировать законы сохранения в механике: закон сохранения момента импульса, закон сохранения полной механической энергии и изменение полной механической энергии при неупругом ударе.

При работе на данной установке определяется скорость пули пружинного ружья по отклонению физического маятника от положения равновесия.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка физический маятник; габаритные размеры:

длина — не более 470 мм ширина — не более 210 мм высота — не более 670 мм масса — не более 7 кг масса пули m₁ = (2,4 0,03) г масса стержня m ₂= (77 0,1) г масса ловушки m₃ = (12,5 0,5) г расстояние от оси до центра ловушки l₁ = (575 0,5) мм длинна стержня l₂ = (570 0,5) мм расстояние от оси до линейки l = (625 0,7) мм Состав изделия и комплект поставки:

— основание с закрепленными на нем пружинным ружьем, неподвижной частью фиксатора с линейкой и ограничителем — 1 шт.

— стойка с физическим маятником — 1 шт.

— цилиндрическая пуля — 1 шт.

Устройство и принцип работы

Установка (рис. 2) состоит из основания 1, стоики 2, на которой закреплена ось физического маятника, состоящего из стержня 3 и ловушки для пули 4. На ловушке установлен неподвижный относительно нее указатель 5 и подвижная часть фиксатора крайнего положения маятника 6. На основании установки закреплены также ограничитель перемещения маятника 7, неподвижная часть фиксатора крайнего положения с измерительной линейкой 8 и пружинное ружье. Пружинное ружье состоит из основания ружья 9, цилиндра с пружиной 10 и рукоятки 11 для сжатия пружины, фиксации ее в сжатом положении и произведения выстрела. Для заряжания ружья цилиндрической пулей в верхней части его основания имеется прямоугольное отверстие 12.

При выводе расчетной формулы рассматривается процесс абсолютно неупругого соударения пули с физическим маятником. Пуля, взаимодействуя с физическим маятником, неупругого тормозится и сообщает маятнику угловую скорость, в результате маятник отклоняется на угол от вертикали.

Если время соударения пули с маятником мало по сравнению с периодом Т колебания физического маятника, то он за время соударения не успевает заметно отклониться от исходного положения. Учитывая также, что момент внешних сил мал (внешние силы значительно меньше внутренних), систему пуля — маятник можно рассматривать как квазизамкнутую и применять к ней закон сохранения момента импульса.

m₁Vl=I, (1)

где m₁ — масса пули, V — скорость пули, l — расстояние от оси маятника до точки попадания в него пули, I — момент инерции маятника с пулей относительно оси вращения физического маятника. В нашем случае

I=(m₂l₂²)/3 + (m₁+m₃)l₁², (2)

где m₂ — масса стержня, m₃ — масса ловушки, l₂ — длина стержня.

Физический маятник, имея начальную угловую скорость, отклоняется на угол (баллистический отброс). При подъеме маятника центр масс поднимается на высоту h. Закон сохранения механической энергии после удара запишется в этом случае в виде

I²/2=(m₁ + m₂ + m₃)gh, (3)

где h=R_ц.т..(1-cos)=2R_ц.т..sin²(/2) (4)

— высота подъема центра масс при отклонении маятника;

R_ц.т. — расстояние от точки подвеса маятника до центра тяжести системы:

R_ц.т.=.(5)

Выражая V из (1), получим

V=I/m₁l₁ ,(6)

где - из (3):

=[2gh(m₁+m₂+m₃)/I]^½; (7)

тогда

V=(1/m₁l₁)[2ghI(m₁+m₂+m₃)]^½ (8)

Подставляя в (8) значения h и I, окончательно получим

V=(2sin/2)/m₁l_l[g (m₂l₂/2+m₁l₁+m₃l₁)(m₂l₂²/3+m₁l₁²+m₃l₁²)]^½.

Принимая m₁ m₂ m₃, а также l₁ l₂=l,

V = (sin/2)/ m₁)((2gl/3)(m₂²+5m₂m₃+6m₃²))^½. (9)

Так как угол мал, то можно заменить sin(/2) = /2 (при этом угол надо выражать в радианах), где =(S-S₀)/l', l' - расстояние от оси вращения маятника до линейки, S_cp — среднее значение положения указателя после выстрела и S₀ — начальное положение указателя.

Подготовка изделия к работе

1. Закрепить стойку с физическим маятником на основании. При этом обратить внимание на то, чтобы прорезь в подвижной части фиксатора охватывала неподвижную его часть и маятник перемещался по линейке без трения.

2. При необходимости переместить пружинное ружье так, чтобы пуля попадала в центр отверстия ловушки.

Порядок выполнения работы

1.Взвесить на весах пулю и определить ее массу m₁.

2.Записать данные установки: m₁=…, m₂…, m₃=…, l=…, l'=…

3.Рукояткой 11 (рис. 2) сжать пружину ружья и зафиксировать ее, повернув рукоятку против часовой стрелки.

4.Подняв подвижную часть фиксатора 6 на ловушке, перевести маятник в вертикальное положение.

5.Записать начальное положение указателя S₀.

6.Через прорезь 12 в основании ружья вложить в него цилиндрическую пулю.

7.Произвести выстрел, повернув рукоятку по часовой стрелке.

8.Записать в таблицу положение указателя. Повторить опыт не менее 5 раз.

9. Определить среднее значение угла _ср

_ср=(S_ср-S₀)/lґ.

10. Для каждого значения рассчитать скорость пули V по формуле (9). Значения 1, m₁, m₂ указаны на установке.

11. Рассчитать погрешность V/V по формуле

(V/V)={(/)²+(m₁/ m₁)²+0.25[(l/l)²+ +((2m₂+5m₃)²m₂²+ (5m₂+12m₃)² m₃²) / (m₂²+5m₂m₃+m₃²)]}^½.

Убедиться, что погрешность g/g мала по сравнению с остальными относительными погрешностями.

12. Записать окончательный результат в виде

V=(V±V).

Дополнительное задание: по данным эксперимента определить потери механической энергии при абсолютно неупругом ударе.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии для баллистического маятника.

2.Дайте определение моменту инерции абсолютно твердого тела относительно оси. Каков его физический смысл?

3.Сформулируйте теорему Гюйгенса — Штейнера.

4.Напишите формулу для периода колебаний маятника (математического, физического, пружинного).

5.Объясните суть метода измерения скорости полета снаряда при помощи физического маятника. Получите формулу для скорости снаряда.

6.Увеличится или уменьшится угол отклонения маятника, если удар вместо абсолютного неупругого считать абсолютно упругим? Пояснить.

Лабораторная работа № 3

ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МАХОВИК»

Цель работы: лабораторная установка предназначена для иллюстрации законов динамики: второго закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения, а также закона сохранения полной механической энергии.

При работе на данной установке определяется момент инерции маховика и оценивается потеря механической энергии на трение.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка «Маховик»:

габаритные размеры — не более 400×350×350 мм масса — не более 30 кг Состав изделия и комплект поставки:

— маховик со шкивом на подставке — 1 шт.

— груз с нитью — 1 шт.

Устройство и принцип работы

Установка представляет собой горизонтально расположенный вал 1 (рис. 3), закрепленный на основании 2, на котором расположены массивный маховик 3 и два шкива различного диаметра 4. При выполнении лабораторной работы на один из шкивов наматывается нить, на которой закреплен груз 5. Для закрепления нити на шкивах предусмотрены штыри 6.

Момент инерции определяется по результатам измерения времени падения груза с высоты Н. В рабочем положении установка располагается на краю лабораторного стола так, чтобы груз мог опускаться вниз до пола. Для выполнения работы на установке необходимы дополнительные измерительные приборы: штангенциркуль, секундомер и линейка.

Вывод расчетных формул

Для вывода расчетной формулы используем закон изменения полной механической энергии для системы, в которой действуют диссипативные силы: dW = dА_дис. Рассматриваемая механическая система состоит из груза массой m и маховика со шкивом и валом с моментом инерции I. В тот момент, когда груз поднят над полом на высоту Н, система обладает потенциальной энергией mgH. При падении груза потенциальная энергия превращается в кинетическую груза и маховика. Изменение полной механической энергии за время падения груза равно работе силы трения:

mv²/2+ I ²/2 — mgH = А₁, (1)

где A₁ — работа силы трения за n₁ оборотов маховика. Силу трения можно считать постоянной. Тогда движение груза можно считать равноускоренным и описать его уравнениями

v = at; H = gt²/2 ;(2)

из этих уравнений получается

v = 2Н/t; (3)

угловая скорость вращения маховика

=2H/rt, (4)

где а — линейное ускорение груза;

v — его скорость непосредственно перед ударом о пол;

— угловая скорость маховика в тот же момент времени;

t — время падения груза до пола;

r — радиус шкива.

Для определения момента инерции маховика необходимо найти работу силы трения за время падения груза. Если сила трения постоянна, то ее работа пропорциональна числу оборотов маховика. Тогда работу силы трения за время падения груза можно выразить как А₁= сn₁, а работу силы трения от момента соприкосновения груза и пола до полной остановки маховика А₂=сn₂, где n₂ — число оборотов до полной остановки маховика. С другой стороны, А₂ равна изменению кинетической энергии маховика 0 — I²/2=А₂=сn₂, откуда получаем

с = I²/2n₂

и А₁ = - n₁²/2n₂ . (5)

Выраженную таким образом работу A_i подставим в равенство (1):

(mv²/2 + I²/2) — mgH = - n₁I ²/2n₂.

После замены v и в соответствии с формулами (3) и (4) получаем значение момента инерции:

I = mr²(gt² — 2Н)/ 2Н (1 + n₁/n₂). (6)

Так как r=d/2 и в нашей работе gt²2H, окончательно получаем:

I=md²gt²/8H(1+n₁/n₂). (7)

Порядок выполнении работы

1. Штангенциркулем пять раз измерить диаметры шкивов и записать результаты в таблицу 1.

2. Надеть петлю, имеющуюся на свободном конце нити, привязанной к грузу, на штырь шкива. Вращая маховик, поднять груз на высоту Н. Высоту следует выбрать так, чтобы она соответствовала целому числу оборотов n₁. Для этого при нижнем положении груза (груз чуть касается пола, нить натянута) на маховике мелом наносят горизонтальную черту. За этой чертой нужно следить при наматывании нити на шкив.

3.Измерить высоту поднятия груза над полом при помощи вертикально поставленной линейки.

4.Отпустить маховик, одновременно включив секундомер. Остановить секундомер в момент удара груза об пол. Результат записать в таблицу 2.

5.Подсчитать число оборотов n₂ от момента удара груза об пол до полной остановки маховика. Опыты 3, 4, 5 повторить 5 раз.

6.Повторить измерения, наматывая нить на другой шкив. Записать результаты в табл. 3.

Таблицы результатов измерений

1. Данные установки: m = (600 1) г.

2. Измерение Н и n₁:

при намотке нити на первый шкив: H₁ =…, H₁ =…, n₁₁=…,

при намотке на второй шкив: Н₂ =…, H₂ =…, n₁₂=…

3. Измерение диаметров шкивов:

Таблица 1

4. Измерение t и n₂ для первого шкива:

Таблица 2

для второго шкива Таблица 3

Обработка результатов измерений

1. В конце каждой таблицы рассчитать средние значения измеренных величин и случайные погрешности измерений.

2. По формуле (7) рассчитать момент инерции маховика для измерений с первым и вторым шкивами.

3. Рассчитать погрешность I для одного из случаев по формуле:

(I/I)²=(m/m)²+ 4(d/d)² + 4(t/t)² + (Н/Н)² +.+(n₂/n₂)²n₁²/(n₁+n₂)².

4. Сравнить результаты расчетов I при работе с первым и вторым шкивами. Дополнительное задания: рассчитать силы натяжения нити, моменты этих сил при работе с первым и вторым шкивами. Показать, что отношение моментов приближенно равно отношению диаметров шкивов и равно отношению ускорений, с которыми движется груз в первом и втором случаях. Определить потери механической энергии при движении груза от верхней точки до момента удара об пол.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения в дифференциальной форме.

2.Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела относительно оси? В каких единицах он измеряется?

3.От чего зависит значение момента инерции данного тела?

4.Как читается теорема Гюйгенса — Штейнера?

5.Вывести формулу для натяжения нити Т.

6.Какой закон положен в основу вывода рабочей формулы? Вывести формулу.

7.Момент каких сил вызывает вращение маятника?

8.Выведите формулу для определения момента инерции:

а) тонкого стержня относительно его середины;

б) тонкого кольца;

в) тонкого диска.

Лабораторная работа № 4

ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ»

Цель работы: установка предназначена для изучения законов динамики поступательного и вращательного движения при движении тел по наклонной плоскости, определения коэффициента трения скольжения и иллюстрации теоремы об изменении кинетической энергии.

Приборы и принадлежности: секундомер, линейка, установка «Наклонная плоскость»:

габаритные размеры — не более 870 180 180 мм масса — не более 12 кг Состав изделия и комплект поставки:

1.Основание — 1шт.

2.Стойка — 1шт.

3.Наклонная плоскость с узлом крепления — 1 шт.

4.Коробка со сменными грузами m₁=(189,30,1)г — 1 шт.

5.Груз на нити m₂ — 1шт.

6.Дополнительные грузы — 2 шт.

Устройство и принцип работы

Установка (рис. 4) состоит из наклонной плоскости 1 представляющей собой профиль, по дну которого скользит коробка с грузом. На одном из концов наклонной плоскости закреплен невесомый блок 2 (шлифованая ось), на другом — массивный шкив 3. Коробка с грузом m₁ перемещается между фиксаторами 4 и 5. Наклонная плоскость закреплена на штативе 6, позволяющем изменять высоту наклонной плоскости над уровнем стола, а также изменять угол наклона плоскости относительно горизонта. Установка комплектуется набором грузов m₂ (7) для рассмотрения движения связанных тел. Для эксплуатации установки требуется секундомер.

Вывод расчетных формул

Поступательное движение грузов m₁ и m₂ можно описать с помощью второго закона Ньютона. Для груза m₁ уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси х и у (рис. 4) выглядят так:

F_тр — T₁ + m₁gsin = - m₁a₁,(1)

N — m₁g cos = 0 (2)

Для груза m₂ закон Ньютона в проекции на ось у дает

Т₂ - m₂ g = - m₂a₂.(3)

Полагая, что скольжение нити по оси 2 происходит без трения, а сама нить невесома, можно записать: Т₁ = Т₂ = Т, а₁ = а₂ = а. В этом случае решение системы уравнений (1), (2), (3) дает значение ускорения, с которым движутся грузы m₁ и m₂:

а =(m₂g — m₁gsin - m₁g cos)/ (m₁ +m₂). (4)

При некотором критическом значении угла наклона плоскости _кр система двух грузов может двигаться равномерно, т. е. а = 0. Следовательно, из соотношения (4) можно определить величину коэффициента трения скольжения:

= tg _кр - m₂/m₁ соs _кр .(5)

Если тело m₁ не соединено нитью с телом m₂ (m₂ = 0), то, а = g (sin — m₁g cos) (6)

и = tg _кр.(7)

Следовательно, построив график зависимости а = f(tg ), можно экстраполяцией найти = tg _кр.

С другой стороны, зная значения и а, можно определить работу всех сил, действующих на тела системы, и проверить теорему об изменении кинетической энергии. Для упрощения задачи рассмотрим движение только тела m₁. Для него запишем теорему

W_K = A_{всех сил} ,(8)

где W_K = mv²/2. (9)

Работа всех сил, действующих на тело m_1:

A_T = m₂ (g — а)l,

A_mgl = - m₁gl sin,

A_тр = - m₁gl cos .(10)

Следовательно, можно произвести проверку соотношения (8). При этом опытным путем определяются

a = 2l/t², (11)

v = 2l/t (12)

и по формуле (5).

Подготовка изделия к работе

1. Закрепить стойку на основании.

2. Закрепить на стойке наклонную плоскость.

3. Поместить установку на горизонтальную поверхность.

Порядок выполнения работы

1.Установить с помощью винта 8 (рис. 4) угол наклона плоскости ₁, при котором груз m₁ начинает двигаться вниз с минимальным ускорением.

2.Переместить груз m₁ в верхнее положение и закрепить его фиксатором 4.

3.Отпустить фиксатор и одновременно включить секундомер. В момент касания грузом фиксатора 5 выключить секундомер. Время движения груза записать в таблицу 1.(При использовании электронных часов запуск и остановка секундомера происходит автоматически при пересечении грузом соответствующих датчиков.)

4.Измерить расстояние, пройденное грузом (1).

5.Повторить измерения не менее 5 раз.

6.Повторить п.п. 2 — 5 для пяти различных значений угла наклона .

Таблица 1

7. Соединить нитью грузы m₁ и m₂, при этом нить пропустить через отверстие в фиксаторе 4.

8. Установить груз m₁ на наклонной плоскости, перекинуть нить через ось 2 так, чтобы груз свободно висел на нити.

9. Установить угол наклонной плоскости, при котором система двигается равноускоренно.

10. Переместить груз m₁ в нижнее положение на наклонной плоскости (рис. 4) и закрепить фиксатором.

11. Отпустить фиксатор и одновременно включить секундомер. В момент касания грузом верхнего фиксатора выключить секундомер. Измерить расстояние, пройденное грузом.

12. Величины 1, t и а записать в таблицу 2.

Таблица 2 l =…, =…, m₁ =…, m₂ =…

13. Задания пунктов 10 — 12 повторить 5 раз.

Обработка результатов измерений

1.По формуле (11) рассчитать ускорение груза m₁ вниз по наклонной плоскости для каждого значения угла .

2.Построить график зависимости ускорения от угла наклона.

3.Определить по графику величину tg_кр экстраполяцией графика.

4.Рассчитать значение скорости движения грузов m₁ и m₂ в момент касания верхнего фиксатора грузом m₁ по формуле (12) и по данным таблицы 2.

5.Рассчитать изменение кинетической энергии тела m₁ при его движении по наклонной плоскости.

6.Определить работу всех сил, действующих на груз m₁ при его движении по наклонной плоскости, по формуле (10).

7.Сравнить величины.

W = m₁v²/2 и А_{всех сил} = A_t + A_mlg + A_Fтр

8. Определить абсолютную погрешность W_K и А _{всех сил}

Контрольные вопросы

1.Запишите основной закон динамики поступательного движения в дифференциальной форме.

2.Запишите систему уравнений, описывающих динамику движения груза по наклонной плоскости.

3.Получите формулу (4).

4.В чем заключается явление трения?

5.Какие виды трения вы знаете, какие причины вызывают трение?

6.Получите формулу для расчета погрешности косвенного измерения W и А_{всех сил}.

7.Как изменится система уравнений, если учитывать массу ролика?

Лабораторная работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМА И ПЛОТНОСТИ ТЕЛА, ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель работы: Ознакомление с методами измерения линейных размеров, объёмов тел, их масс и плотностей материалов. Определение погрешностей измерений.

Приборы и принадлежности: микрометр, штангенциркуль, детали для измерения, весы и разновесы.

Нониусом называется дополнение к обычному масштабу (линейному или круговому), позволяющее повысить точность измерения.

Техника непосредственного измерения длин и углов достигла к настоящему времени большого совершенства. Сконструирован ряд специальных приборов, так называемых компараторов, позволяющих измерять длину с точностью до одного микрона (1мкм=10-⁶ м). Большинство из них основано на применении микроскопа и некоторых других оптических приспособлений, но при этом они всегда снабжаются нониусами или микрометрами. В ряде случаев требуемая относительная точность измерения длины бывает такова, что можно удовлетвориться абсолютной точностью в сотые или даже в десятые доли миллиметра, а для углов — минутами или долями минут. Тогда для измерения можно пользоваться обычными масштабными линейками и угломерами, снабженными нониусами. Примерами таких приборов являются штангенциркуль, буссоль, кипрегель.

Линейным нониусом называется маленькая линейка с делениями, скользящая вдоль большой линейки (также с делениями), называемой масштабом (рис. 5, а). Деления на нониус наносятся так, что одно его деление составляет делений масштаба, где m - число делений нониуса.

Именно это позволяет, пользуясь нониусом, производить отсчёты с точностью до части наименьшего деления масштаба.

Пусть расстояние между соседними штрихами масштаба y а между соседними нониусами x, Можно записать, что; отсюда получаем .

Величина

(1)

носит название точности нониуса, она определяет максимальную его погрешность. При достаточно мелких делениях масштаба деление нониуса делают более крупным, например:

что даёт mx₁ = (2m — 1)y.

Точностью такого нониуса по-прежнему является величина. В любом положении нониуса относительно масштаба одно из делений первого совпадает с каким-либо делением второго. Отсчёт по нониусу основан именно на способности глаза фиксировать это совпадение делений нониуса и масштаба.

Рассмотрим теперь процесс измерения при помощи линейного нониуса. Пусть L — измеряемый отрезок (рис. 5, а). Совместим его с началом нулевого деления основного масштаба. Пусть при этом конец его окажется между К и (К+1) делением этого масштаба. Тогда можно записать

где L — неизвестная пока доля k-го деления масштаба. Приложим теперь к концу отрезка L наш нониус так, чтобы нуль нониуса совпал с концом этого отрезка. Так как деления нониуса не равны делениям масштаба, то на нём обязательно найдется такое деление n, которое будет ближе всего подходить к соответствующему (k+n) —му делению масштаба. Как видно из рис. 5, б, и вся длина его будет равна, или, согласно (1):

. (2)

То есть длина измеряемого отрезка L равна произведению числа целых делений масштаба k на цену его деления y плюс произведение точности нониуса на номер деления нониуса n, совпадающего с некоторым делением масштаба.

Погрешность, которая может возникнуть при таком методе отсчёта, будет обусловливаться неточным совпадением n-го деления шкалы нониуса с (k+n) —м делением масштаба, и величина его не будет превышать x/2, ибо при большем несовпадении этих делений одно из соседних делений (справа или слева) имело бы несовпадение меньше чем на x/2, и мы произвели бы отсчёт по нему. Таким образом, можно сказать, что погрешность нониуса равна половине его точности.

Длина делений масштаба и число делений нониуса, а следовательно, и точность нониуса бывают самыми разными. Круговой нониус, в принципе, ничем не отличается от линейного. Он представляет собой небольшую дуговую линейку, скользящую вдоль круга (лимба), разделенного на градусы или на ещё более мелкие деления в количестве m, общая длина которых равна (m-1) делениям лимба, т. е.

где и — выраженные в градусах или минутах цены делений нониуса и наименьшего деления лимба. Точность кругового нониуса выражается формулой, аналогичной формуле (1):

.

Отсчитываемые от нуля лимба углы будут вычисляться по формуле

.

Во многих случаях для облегчения отсчёта нониусы снабжаются скрепленными с ними лупами, при отсутствии таковых рекомендуется пользоваться для отсчёта обыкновенными ручными лупами.

Упражнение № 1

Измерение толщины металлического параллелепипеда микрометром

Принадлежности: микрометр, металлический параллелепипед.

Описание микрометра. Микрометр служит для измерения диаметров проволок, пластинок небольшой толщины и т. п. Он имеет вид тисков, в которых измеряемый объект зажимается с помощью винта. Ход винта обыкновенно бывает равен 1 или 0,5 мм. На стержне винта укреплен барабан с нанесенной на нем шкалой, имеющей 50 или 25 делений. При зажатом винте нуль барабана стоит против нуля линейной шкалы, измеряемый объект (предмет) помещают между винтом и противоположным ему упором; затем, вращая винт за головку, доводят его до соприкосновения с предметом. По линейной шкале отсчитывают миллиметры, а по шкале барабана — сотые доли миллиметра.

Главным источником ошибок является неравномерность нажатия винта на измеряемый предмет. Для устранения этого недостатка рукоятка микрометра снабжена специальной головкой — «трещоткой», позволяющей создавать небольшое мерительное давление на измеряемый объект. Действие подобных приспособлений основано на трении, возникающем между стержнем винта и рукояткой, поворачивающей винт.

Измерения. Прежде чем пользоваться микрометром, необходимо убедиться, что он исправен — нули его шкал совпадают. Если шкала сбита и показание микрометра отлично от нуля, то соответствующее показание нужно заметить: его следует вычитать из всех измеряемых значений.

Пластинку помещают между винтом и противоположным упором; вращением барабана подводят торец винта к пластинке Окончательное нажатие винтом на пластинку следует делать только «трещоткой». Момент нажатия фиксируется слабым треском. После этого треска дальнейшее вращение рукоятки бесполезно. Производят отсчет по шкалам: миллиметры по линейной шкале, доли миллиметров — по шкале барабана.

Толщину пластинки необходимо измерить вблизи каждого из ее четырех углов 5 раз. Результаты занести в табл. 1.

Таблица 1

Вычисление плотности прямоугольного бруска

Упражнение № 2

Определение объёма цилиндра и плотности его материала при помощи штангенциркуля

Принадлежности: штангенциркуль, измеряемый предмет, весы.

Описание штангенциркуля. Штангенциркуль (рис. 5, б) состоит из разделенного на миллиметры масштаба, вдоль которого может перемещаться ножка с зажимным винтом, служащим для ее закрепления: в ее обойме против делений масштаба сделан вырез, на скошенном и прилегающем к масштабу крае которого нанесен нониус; когда ножки сдвинуты вплотную, то нуль нониуса совпадает с нулем масштаба. Неподвижная ножка, укрепленная в начале масштаба перпендикулярно его длине, служит упором для измеряемого тела.