Построение интервальных прогнозов на основе неравенства Чебышева

Еще в начале 1970;х гг. прогнозисты начали замечать, что фактические значения, получаемые на прогнозируемом периоде, попадают в прогнозные интервалы с меньшей частотой, чем это заявлено по нормальному закону распределения случайных величин^[1]. Так, в 95%-ный интервал в лучшем случае попадало 85,7% всех наблюдений, а в 90%-ный — только 80%. В 1987 г. С. Макридакис показал, что с ростом горизонта прогнозирования процент попадающих значений в доверительный интервал уменьшается^[2]. Так, например, если в 95%-ный прогнозный интервал на 1 шаг вперед попадало около 82,7% всех наблюдений, то уже на 6 шагов вперед в том же интервале оказывалось лишь 73,7% наблюдений.

На основе этих эмпирических наблюдений был разработан простой метод построения прогнозных интервалов, состоящий их следующих шагов^[3]:

1. На основе построенной модели на каждом наблюдении дается прогноз на один шаг вперед. На основе этого прогноза рассчитываются соответствующие «одношаговые» ошибки:

где верхний индекс определяет горизонт прогнозирования h, а нижний — номер наблюдения.

Если в ряде данных было Т наблюдений, то на основе них будут получены Т — 1 одношаговых прогноза и Т — 1 одношаговая ошибка.

2. На основе той же модели на каждом наблюдении дается прогноз на два шага вперед (например, на основе первого наблюдения дается прогноз на третье и т. д.). По полученным расчетным значениям так же рассчитываются ошибки, которые можно назвать «двухшаговыми»: , причем число этих ошибок уже будет равно Т — 2.

3. Продолжая давать точечные прогнозы на 3, 4, … h шагов по аналогии с тем, как это делалось в шаге два, получаются соответствующие ряды ошибок . Число ошибок в каждой из этих частей будет соответственно равно Т — 3, Т-4, …, T-h.

Получив h рядов ошибок, по каждому из них рассчитывается h CKO по стандартной формуле для каждого шага? = 1,…, h:

(9.45).

4. Далее строится доверительный интервал. Однако в связи с тем, что интервал, построенный на основе нормального закона распределения вероятностей, на практике оказывается слишком узким, Э. Гарднер предложил вместо 2-статистики использовать неравенство Чебышева, которое записывается следующим образом^[4]:

(9.46).

что может быть интерпретировано следующим образом: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, бо? льшую ??, меньше ?/?2. На основе неравенства (9.46) можно сформировать прогнозные интервалы. Для начата выразим остаточную вероятность через а:

(9.47).

откуда следует, что.

(9.48).

Подставляя (9.47) и (9.48) в (9.49), получим.

(9.49).

Раскрывая модуль в (9.49), приходим к неравенству:

(9.50).

на основе которого теперь можно построить прогнозный интервал шириной (1 — а). Применительно к нашему случаю он будет рассчитываться для каждого шага? па основе СКО ошибок для этого шага:

где? = 1, 2, …, h.

Полученные таким методом интервалы будут неровными и достаточно широкими.

Рассмотрим, каким получится интервал для метода Брауна для ряда № 41. На рис. 9.15 показаны интервалы, построенные на основе неравенства Чебышева (прерывистая линия) и (для сравнения) интервалы, построенные стандартным методом для ЕТS (A,N,N) (мелкая пунктирная линия).

Рис. 9.15. Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) прогноз, полученный по модели Брауна, и интервальные прогнозы, рассчитанные на основе параметрического (мелкая пунктирная линия) и непараметрического (прерывистая линия) методов.

Как видим, интервалы, рассчитанные таким методом, оказались бессмысленно широкими. Вызвано это двумя причинами.

Первая заключается в том, что само неравенство Чебышева универсально и подразумевает широкие интервалы. Тут можно отметить, что в случае, если t-статистика для 5% и числа степеней свободы больше пяти уже становится меньше 2,5, то статистика, рассчитанная на основе неравенства Чебышева для той же остаточной вероятности, составит

Очевидно, что именно из-за этого наблюдается такое существенное различие между этими двумя методами. Это же отмечалось в различных работах, посвященных построению эмпирических прогнозных интервалов^[5].

Однако это не единственная причина получения таких неадекватно широких интервалов для нашего случая. Из-за того, что мы применили метод Брауна к нестационарному процессу, точечные прогнозы на 2, 3, … 6 шагов вперед оказались с серьезными систематическими занижениями. В итоге и СКО в каждом из этих случаев оказалось слишком большим. Можно заключить, что в тех случаях, когда на периоде аппроксимации модель демонстрирует систематические завышения либо занижения, предложенным методом пользоваться не стоит.

Рассмотрим этот же метод построения интервалов применительно к другой модели, построенной по тому же ряду данных. Для примера мы взяли модель Хольта, которая теоретически должна давать более точные прогнозы в таких случаях, как в ряде № 41 (с возрастающей тенденцией). Далее, используя описанный в данном параграфе метод на основе неравенства Чебышева, мы оценили ошибки и их СКО. В результате всех расчетов был получен прогнозный интервал, показанный на рис. 9.16.

Как видим, из-за того, что тенденция на периоде прогнозирования сменилась, только 50% всех фактических значений попало в интервал, построенный на основе параметрического метода и предположения о нормальности распределения остатков модели. Напротив, в интервал, построенный на основе неравенства Чебышева, попали все значения.

Конечно, он все так же остается шире стандартного интервала, однако за счет более точного выбора аппроксимирующей модели интервалы оказались у? же, чем в случае с моделью Брауна.

Рис. 9.16. Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) прогноз, полученный по модели Хольта, и интервальные прогнозы, рассчитанные на основе параметрического (прерывистая линия) и непараметрического (мелкая пунктирная линия) методов.

Из всего этого следует важный вывод: для того, чтобы получить адекватные прогнозные интервалы, используя описанный выше подход, нужно предварительно выбрать наиболее подходящую для ряда данных аппроксимирующую модель. Тогда мы получим, с одной стороны, широкие интервалы за счет высокого значения статистики , а с другой — узкие интервалы за счет небольших значений СКО для соответствующих шагов.

Для уменьшения ширины интервалов с сохранением самого принципа можно на каждом шаге? рассчитывать свои оптимальные коэффициенты, которые гарантировали бы более точную аппроксимацию моделью ряда данных с учетом прогноза не на один шаг вперед на периоде аппроксимации, а на? шагов вперед. Главная проблема, однако, тут заключается в том, что такой подход требует значительно больше вычислений, чем в случае с простым расчетом ?-шаговых СКО. Кроме того, такой подход требует обоснования, потому что в соответствии с общепринятым стандартом при построении модели по ряду данных предполагается, что выбранная модель оптимальна и позволяет описать исследуемый процесс наилучшим образом. Пересчет же модели с учетом прогноза на? шагов вперед противоречит этому стандарту.

• [1] Williams W. H., Goodman М. L. A Simple Method for the Construction of Empirical Confidence Limits for Economic Forecasting // Journal of the American Statistical Association. 1971. Vol. 66. № 336. P. 752−754.
• [2] Makridakis S., Hibon M. Confidence Intervals. An Empirical Investigation of the Series in the M — Competition // International Journal of Forecasting. 1987. Vol. 3. P. 489−508.
• [3] Gardner E. A Simple Method of Computing Prediction Intervals for Time Series Forecasts // Management Science, 1988. Vol. 34. № 4. P. 541−546.
• [4] Вентцель E. С. Теория вероятностей: учебник. 11-е изд. М.: КноРус, 2010. С. 331.
• [5] См., например: Chatfield С. Calculating interval forecasts // Journal of Business and Economic Statistics. 1993. Vol. 11. P. 121 — 135.