Натурализм и философия математики

Термин натурализм столь же популярен в современной философии, сколь многозначен и неуловим. Пожалуй, проще всего подобраться к главной его особенности, указав на его противоположность. Натурализм противоположен супранатурализму. Последний же означает апелляцию в философских рассуждениях к сверхприродному, сверхъестественному, т. е. к сфере религиозных, а также метафизических представлений в традиционном их понимании.

Классической формулировкой натуралистической позиции в современной эпистемологии и философии науки признана статья У. Куайна «Натурализованная эпистемология» (1969). Отправной точкой для рассуждений Куайна служит провал проектов логицизма (Б. Рассел) и логического позитивизма (Р. Карнап): он убежден в невозможности сведения научных предложений к языку наблюдения, логики и теории множеств. Причина этой невозможности коренится в справедливости прагматистского взгляда на познание (Ч. Пирс, см. параграф 4.3) и холическом характере проверки научных теорий (П. Дюгем). В этой ситуации у нас нет никаких оснований для признания за эпистемологией (и философией науки) более высокого статуса по сравнению с конкретными естественнонаучными теориями.

Однако лишение эпистемологии статуса первой философии не означает ее гибели, напротив — только теперь она получает определенные очертания и ясное место в системе человеческого знания [78, с. 87−88; 22, с. 383]. Оказавшись па одном уровне с такими пауками, как психология, лингвистика, биология, она получает законное право на взаимовыгодный обмен с ними. Куайн, правда, несколько суживает открывающуюся перспективу, предпочитая рассматривать эпистемологию как раздел психологии. Он пишет: «Старая эпистемология стремилась, в некотором смысле, включить в себя (to contain) естественную науку. Напротив, эпистемология в ее новом облике сама включена в естественную науку как одна из глав психологии. По при этом и прежнее притязание на включение естественной науки в рамки эпистемологии, по-своему, сохраняет свою силу. Тем самым, имеет место взаимное включение, хотя и в различных смыслах: как эпистемологии в естественную науку, так и естественной науки в эпистемологию. Мы ищем понимания науки как институции или процесса, имеющего место в мире, и мы не предполагаем, что это понимание должно быть сколько-нибудь лучше, чем сама наука, которая является его объектом» [78, с. 83−84; 22, с. 379−380].

Для натурализма математика есть часть человеческой культуры. Сама же эта культура есть верхний этаж трехэтажной фундаментальной натуралистической пирамиды: биологическое — социальное — культурное. Каждый следующий этаж в ней есть порождение предыдущего; он не мыслим без предыдущего, хотя и не редуцируем к нему [43]. В рамках такой широкой схемы возможны разные построения.

На практике чаще всего встречается либо версия натуралистической философии математики, делающая основную ставку на верхние, социокультурные этажи фундаментальной натуралистической пирамиды (в двух версиях — культурологической и социологической), либо на ее нижний, биологический этаж (опять же в двух версиях — когнитивной и эволюционной). Однако и в том, и в другом случае речь идет о рассуждениях, развертываемых принципиально в последарвиновском интеллектуальном пространстве.

Вспоминая Куайна, можно сказать, что версии натурализма в философии математики различаются тем, на какую область естественных или социальных наук они сориентированы в первую очередь: культурную антропологию, социологию, когнитивную психологию или биологию.

Натуралистическая позиция есть разновидность реализма (см. гл. 8). Однако это реализм принципиально антиплатонического типа. Его часто характеризуют как «гипотетический реализм» [54, с. 156]. Согласно этому подходу^[1] наше представление о мире, как в целом, так и в частностях, есть набор гипотез, но отнюдь не случайный, а сформированный и апробированный в ходе биологической и культурной эволюции. Этот набор не может быть полностью лишен адекватности. Как удачно выразился американский палеонтолог Д. Симпсон, «обезьяна, не обладавшая реалистическим восприятием ветки дерева, на которое она совершала прыжок, вскоре была мертвой обезьяной и, тем самым, не становилась одним из наших предков. Наши восприятия действительно дают нам истинное, хотя и не полное, представление о внешнем мире, поскольку это была и есть биологическая необходимость, встроенная в нас естественным отбором. Если бы мы не были такими, нас бы здесь не было!» [87, с. 84].

Австрийский биолог К. Лоренц писал, что эволюционное происхождение нашего познавательного аппарата делает его, тем не менее, по-своему односторонним и ограниченным: «у нас развилиzсь „органы“ лишь для тех сторон Сущего-в-себе, какие важно было принимать в расчет для сохранения вида, т. е. в тех случаях, когда селекционное давление было достаточно для создания этого специального аппарата познания» [26, с. 249]. Но и в отношении этой сферы мы подобны примитивному охотнику на тюленей или китобою, который замечает «только то, что представляет для него практический интерес» [26, с. 249]. Более того: с биологической точки зрения важны нс столько используемые нами мысленные образы, сколько конкретная связь между получаемыми стимулами и нашими ответными реакциями (вспомним прагматицистский принцип Пирса).

Однако современная физика и математика представляют собой плоды мышления высокого уровня абстрактности, которые выводят нас далеко за пределы сети повседневных стимулов и реакций. Как эволюционно сформированное мышление со всеми его ограничениями способно создать такие теории? Отвлеченное мышление в чем-то подобно играм детенышей животных. Игра подготавливает их к взрослой жизни через предварительное проигрывание жизненноважных отношений в «ненастоящей» ситуации. Главная ценность теоретического мышления с биологической точки зрения также состоит в способности «проиграть» мысленно, в воображении, всевозможные ситуации до того, как нам придется столкнуться с ними в «настоящей» жизни. Такое предварение существенно минимизирует риски. По мере развития, мысленное «проигрывание» может становиться «многоэтажным», порождая все более высокие уровни абстракции.

Однако главный принцип — попытаться применить в новых условиях те способы и приемы, которые хорошо себя зарекомендовали в старых. Поэтому даже высокоабстрактное мышление человека не утрачивает своей связи с его базовым перцептивным (относящимся к чувственному восприятию) и кинестетическим (мышечное чувство, связанное с движением) опытом.

Эта тема получила развитие в исследованиях современных когнитивных психологов. В качестве примера сошлемся на концепцию неразрывной связи мышления и тела (embodied cognition, воплощенного познания) и проблематику концептуальных метафор американского когнитивного лингвиста Д. Лакоффа. Совместно с чилийско-швейцарско-американским психологом, специалистом по проблемам математического знания, Р. Нуньесом он выпустил книгу «Откуда приходит математика» (2000) [71].

Центральный их тезис выглядит следующим образом: «Математика как мы ее знаем (as we know it) создана и используется людьми: математиками, физиками, специалистами по информатике, экономистами — все они представители вида Homo sapiens. Возможно, это очевидный факт, но он имеет одно важное следствие. Математика (как мы ее знаем) ограничена и структурирована свойствами человеческого мозга и умственными способностями человека. Единственная математика, которую мы знаем или можем знать, — это математика, основанная на нашем мозге и сознании (а brain-and-mind-based mathematics)» [71, с. 1; 23, с. 29].

В связи с этим Лакофф и Нуньес формулируют два главных вопроса.

• 1) Какие именно механизмы человеческого мозга и сознания позволяют людям формулировать математические идеи и строить математические рассуждения?
• 2) Есть ли основанная на мозге и сознании математика — все, что математика собой представляет? Или так: имеется ли, как предполагали платоники, свободная от воплощения (disembodied) математика, выходящая за пределы всех тел и сознаний и структурирующая вселенную (как эту вселенную, так и всякую возможную вселенную)? [71, с. 1]

На первый из этих вопросов призвана ответить когнитивная наука как междисциплинарное исследование сознания, мозга и их взаимосвязи. Второй же, по мнению авторов, лежит за пределами науки. Ответ на него относится к области веры, которая сродни вере в Бога. Человеческая математика не может быть и некоторой частью платонической математики, поскольку она существенным образом и на всех уровнях опирается на концептуальную метафору, последняя же специфична именно для живых существ.

Наше сознание не есть универсальное сознание, оно телесно укоренено (embodied) и специфично именно для человека и, возможно, его ближайших биологических родственников. «Конкретная природа наших тел, мозга и нашего каждодневного функционирования в мире определяет структуру человеческих понятий и рассуждений, включая математические понятия и рассуждения» [71, с. 5; 23, с. 31]. Кроме того, большая часть нашего мышления недоступна для прямой интроспекции, а значит — не осознается нами. Абстрактное, как правило, понимается нами посредством конкретного, т. е. с использованием идей и способов рассуждения, которые укоренены в сенсомоторной системе. Этот когнитивный механизм и называется концептуальной метафорой.

Концептуальные метафоры пронизывают собой всю математику. Простейшие примеры таких метафор: «числа — это точки на прямой» или «числа — это множества». Вообще же математика «громоздит метафору на метафору», и задача когнитивного психолога — распутать их хитросплетение и показать, как они опираются в конечном счете на когнитивный аппарат, используемый в повседневном мышлении. Например, математическое мышление делают возможным такие повседневные понятия, как «набор объектов в ограниченной области пространства», «повторяющееся действие», «движение», «вращение», «приближение к границе» и т. п. Рядом с ними стоят наглядные схемы, такие как схема «контейнер» (внутри — граница — снаружи)^[2]. Наша способность управлять своими движениями существенным образом влияет на устройство нашей понятийной системы, в первую очередь, через схему процесса. Причина нам уже известна — одна и та же нервная контролирующая система отвечает как за сложное телесное движение, так и за рациональный вывод.

Математические знания передаются от поколения к поколению, но — как? С натуралистической точки зрения есть два основных способа такой передачи — биологические механизмы передачи генетической информации и социокультурные механизмы (передача через подражание и научение). На каком уровне передается математика? На биологическом или на социальном?

" Центральный элемент, глубинная структура математики, — писал по этому поводу американо-французский математик и философ математики израильского происхождения И. Рае в статье «Философские проблемы математики в свете эволюционной эпистемологии» (1989), — заключает в себе когнитивные механизмы, которые развились, подобно прочим биологическим механизмам, в процессе столкновения с реальностью, и оказались генетически закрепленными в ходе эволюции. Я буду называть эту центральную структуру логико-операциональным компонентом математики. На ее основе вырос и продолжает расти тематический компонент математики, который состоит из специфического содержания математики. Этот второй уровень культурно обусловлен" [79, с. 58].

К первому уровню относятся врожденные способности счета и ориентации в пространстве, которые в той или иной степени проявляют себя не только у человека, по и у других биологических видов, например у птиц. У всех людей они одинаковы в силу генетической тождественности биологического вида. Относящееся к этому первому уровню — это, как еще в 1941 г. отметил К. Лоренц, биологическая версия кантовского a priori: то, что априорно для индивида, апостериорно для вида [25].

Однако собственно математика (второй уровень) — это элемент человеческой культуры, а следовательно, она должна подчиняться главным особенностям социально передаваемых знаний и навыков. Математик имеет дело с чем-то очень реальным и даже объективным, но эта реальность и объективность не природная, а культурная, что не лишает ее способности решающим образом определять собой человеческого индивида^[3]. Наряду с биологическим априори есть «историческое априори» (Мишель Фуко, см. гл. 7) или априори культуры (неокантианцы, см. параграф 3.7).

Иногда в связи с этим говорят о социальном конструктивизме, подразумевая позицию, согласно которой, все то, что человек склонен воспринимать как объективную реальность, на деле есть социальный конструкт. В самом деле, даже природный мир мы во многом видим через призму нашей культуры, которая социально обусловлена; сама же эта культурная призма в обычной ситуации остается для нас незаметной. Однако, как пишет сторонник этого подхода, американский социолог Р. Коллинз: «Теория социального конструктивизма относительно интеллектуальной жизни далека от того, чтобы быть антиреалистской, и предоставляет нам целое изобилие реальностей. Социальные сети существуют; также существуют и их материальные основы — церкви и школы, аудитории и покровители, которые кормили и одевали интеллектуалов; кроме того, существуют экономические, политические и геополитические процессы, составляющие внешнюю сферу причинности» [21, с. 1114].

Одна из важнейших особенностей человеческой культуры — ее разнообразие. Как заметил еще в годы Первой мировой войны О. Шпенглер, нет единой человеческой культуры, но множество различных культур, а значит, не должно быть и одной общей для всех людей математики, но математик должно быть столько же, сколько этих культур [44, с. 151].

Итак, мы должны иметь много альтернативных математик вместо одной универсальной, подобно тому, как мы имеем, например, много альтернативных религий или этических систем. Однако, где подобные альтернативы в математике? Надо либо предъявить примеры реальных альтернатив в области математики^[4], либо дать социокультурное объяснение их отсутствия или нашей «слепоты» к ним.

Формулируя эту проблему, британский социолог Д. Блур попытался представить, как должна была бы выглядеть альтернатива к привычной для нас математике [51, с. 95−97]: она должна представляться нам ошибкой или неадекватностью, но быть законно укорененной в собственном целостном культурном контексте. Известно ли нам нечто подобное? Блур пытается привести ряд примеров. Правда, это не столько полноценные альтернативы, сколько историко-культурные вариации.

Один из таких характерных примеров — отличие понимания числа в Античности и в Новое время. Для Античности число (???) — это совокупность единиц. Сама же единица числом не является, она — принцип единства и начало чисел. Характерным представлением такого числа является набор счетных камешков (???). Для этого подхода число — это всегда натуральное число. Альтернативное представление о числе как длине отрезка, а не наборе счетных камешков, позволяет признать числами единицу, дроби (точнее, разные дроби, представляющие одну и ту же длину, отождествляются, позволяя ввести понятие рационального числа) и иррациональные числа, приводя в итоге к понятию действительного числа.

Смена основополагающего представления в арифметике объясняется, согласно Блуру, иным пониманием соотношения арифметики и геометрии, которое коренилось в «прошлом опыте и нынешних целях» [51, с. 104]. Первое понимание было связано с пифагорейско-платоническим мировосприятием. Вторая же точка зрения, которую отстаивал С. Стевин, фламандский механик и инженер конца XVI в., была точкой зрения практика, для которого число — инструмент для измерения и расчетов в области повседневных дел «подлунного» мира, она представляла собой «нивелирование и секуляризацию числа» [51, с. 107].

В последние три десятилетия появилось особое направление — этноматематика, которое считает нужным всерьез говорить о насильственно насажденном и насаждаемом европоцентризме и дискриминации прочих культурных традиций в математике. Термин «этноматематика» ввел в 1984 г. один из главных энтузиастов этой идеи, бразильский преподаватель и историк математики У. Д’Амброзио [57]. Для ее сторонников современная академическая математика — лишь одна из многих традиций, зародившаяся в средиземноморском ареале и по ряду исторических причин вышедшая далеко за его пределы и навязавшая себя всему человечеству. Свою же задачу они видят в восстановлении в правах и остальных частей единой мозаики человеческих математик.

Можно пойти в решении проблемы альтернативных математик и по другому (по сравнению с этноматематикой) пути — признать унификацию и универсализацию в сфере математики неизбежной для человеческой культуры, но поставить при этом вопросы о натуралистических механизмах ее достижения и натуралистических причинах ее неизбежности. На наш взгляд, в истории европейской математики регулярно возникали ситуации, которые в другой культурной области (такой, как религия или этика) наверняка привели бы к расколу и образованию конкурирующих альтернатив. Однако каждый раз происходило одно из двух: 1) или альтернатива не получала достаточного развития и исчезала; 2) или вырабатывалась новая более общая точка зрения, которая вбирала в себя все альтернативы и узаконивала их сосуществование. Пример первого типа — атомистическая геометрия как альтернатива геометрии континуалистской в V—IV вв. до н.э. [27]. Примеры второго типа — ситуации с неевклидовыми геометриями в XIX в. и с конкурирующими подходами в основаниях математики в начале XX в. Причины этой тенденции избавляться от альтернатив остаются не вполне ясными^[5], а сама она может служить серьезным аргументом против натуралистического истолкования математики.

В заключение остается отметить, что философия математики является живой областью исследований, где сталкиваются различные направления, школы и точки зрения. В представленном обзоре мы постарались рассказать о наиболее заметных явлениях в данной области, хотя за рамками рассмотрения осталось еще много интересных подходов.

• [1] Описываемый подход, по сути, мало чем отличается от гипотетико-дедуктивного метода, фиксируемого П. Дюгемом (см. параграф 4.2). Он опирается также на популярный в США и англоязычном мире взгляд эволюционной эпистемологии, раннюю форму которого можно найти у Г. Спенсера (см. параграф 4.1), развитую — у К. Поппера и Ст. Тулмина (см. гл. 6) (Примеч. А. Л.).
• [2] Классический пример применения этой схемы — диаграммы Эйлера — Венна, а значит и аристотелевская теория силлогизма.
• [3] Об этом в статье «Местоположение математической реальности: антропологическое примечание» (1947) писал известный американский антрополог Л. Уайт. Эта статья переиздана [68, с. 304−319].
• [4] Воображаемые альтернативы такового рода предлагал представить слушателям своих лекций в Кембридже в конце 1930;х — начале 1940;х гг. Л. Витгенштейн [8].
• [5] См. попытку американского философа Д. Аззуни решить названную проблему [68, с. 201−219].