Прогнозирование экономических процессов, подверженных сезонным колебаниям

Многие финансово-экономические показатели наряду с устойчивой тенденцией к росту или уменьшению подвержены сезонным колебаниям. Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические наступления внутригодовых подъемов и спадов производства, деловой активности, грузооборота, товарооборота и т. д., связанные со сменой времен года, а под сезонностью — ограниченность годового периода под влиянием этого же фактора. Сезонность, как правило, отрицательно влияет на экономические показатели, поэтому необходимо уметь измерять и анализировать сезонность, с тем чтобы при управлении и прогнозировании таких процессов учитывать фактор сезонности и, насколько эго возможно, снижать ее отрицательные воздействия.

Временно?й ряд, в котором наблюдаются и тренд, и сезонные колебания будем называть тренд — сезонным временным рядом. Между компонентами тренд-сезонного временного ряда может иметь место зависимость аддитивная Y = U • S + Е, или мультипликативная Y = U • S + Е, здесь U — тренд; S — сезонная компонента; Е — случайная компонента.

Принято считать, что аддитивное соотношение между компонентами тренд-сезонного временного ряда имеет место в том случае, когда с течением времени сезонная компонента существенно не изменяется. Если же сезонная составляющая из года в год возрастает или снижается, то используют мультипликативное соотношение.

Примером тренд-сезонного временного ряда может служить ряд, составленный из последовательных значений цены акции, растущей в течение ряда лет, по которой ежегодно выплачиваются (например, в начале года) дивиденды. Так как стоимость акции из года в год растет, мы имеем восходящий долгосрочный тренд. Однако в начале года стоимость акции ниже, чем в конце предыдущего года, так как ее стоимость к концу года включает в себя накопившиеся за год дивиденды. Их получит владелец ценной бумагой, после чего дивиденды уже нс входят в стоимость акции, и цена ее уменьшается.

Для краткосрочного прогнозирования таких процессов можно использовать адаптивные модели, учитывающие наличие сезонной компоненты, в частности модель Хольта — Уинтерса. Рассмотрим алгоритм применения данного метода на примере прогнозирования цены акции. Временно? й ряд, характеризующий стоимость акции за 16 кварталов (четыре года) приведен в табл. 13.6. Нас интересуют прогнозные значения цен на эти акции в 1 -4 кварталах следующего пятого года.

Таблица 13.6

Цена акции за 16 кварталов (четыре года).

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонного временно? го ряда мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта — Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

(13.27).

где k — период упреждения;  — расчетное значение экономического показателя для ?-го периода; a (t), b (t) и F (t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t — 1 к последующему с номером t; F (t + k — L) — значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; L — период сезонности (для квартальных данных L = 4, месячных — L = 12).

Таким образом, если рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F (t + k — 2) будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Корректировка коэффициентов модели производится с помощью следующих формул:

(13.28).

(13.29).

(13.30).

Параметры адаптации , и подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные значения наилучшим образом соответствовали фактическим, т. е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели.

Из формул (13.28)-(13.30) видно, что для расчета а (1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t = 1 — 1 = 0). Значения a(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 13.6.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0)-параметров линейной модели возьмем первые восемь значений Y (t) из табл. 13.6 и методом наименьших квадратов по формулам (13.12) определим их значения. Они будут равны: а (0) = 300,05 и b(0) = 8,60 и, соответственно линейное уравнение (13.27) будет иметь вид УДг) = 300,05 + 8,60. С использованием этого уравнения находим расчетные значения Y"(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 13.7). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности 1−4 кварталов F (-3), F (-2), F (-1) и F (0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 13.6. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F (1), F (2), F (3), F (4) и других параметров модели Хольта — Уинтерса по формулам (13.28)-(13.30).

Таблица 13.7

Сопоставление фактических данных Y (t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp (t).

t
	308,65.	317,25.	325,85.	334,45.	343,05.	351,65.	360,25.	368,85.

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к его расчетному значению, вычисленному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений первого квартала первого года, равное и такое же отношение для первого квартала второго года (т.е. за пятый квартал t = 5) . Для более точной оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов:

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F (-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта — Уинтерса с помощью формул (13.27)-(13.30).

Путем перебора возможных значений параметров сглаживания, было установлено, что к лучшим относятся ; , .

Рассчитаем значения и для .

Из уравнения 3.1, полагая t = 0, k = 1, находим Yp (1):

Аналогично рассчитаем значения и : для

для

для

для

Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F (t — L), скорректированные в предыдущем году (L = 4):

Продолжаем аналогичные расчеты для t = 6, 7, 8, …, 16 (табл. 13.8). Максимальное значение t, для которого можно рассчитать коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y (t). В нашем примере данные приведены за четыре года, т. е. за 16 кварталов. Максимальное значение t = 16.

Таблица 13.8

Модель Хольта — Уинтерса

t						Абсолютная погрешность m	Относительная погрешность, %.
		300,05.	8,60.	0,9633.
	304,0.	310,73.	9,22.	0,9723.	297,32.	6,68.	2,20.
	320,0.	320,87.	9,50.	0,9946.	316,96.	3,04.	0,95.
	334,0.	329,58.	9,26.	1,0157.	336,68.	— 2,68.	0,80.
	347,0.	338,54.	9,17.	1,0258.	348,02.	— 1,02.	0,29.
	323,0.	343,06.	7,77.	0,9538.	338,08.	— 15,08.	4,67.
	342,0.	348,74.	7,14.	0,9862.	348,94.	— 6,94.	2,03.
	365,0.	356,92.	7,45.	1,0199.	361,47.	3.53.	0,97.
	375,0.	364,73.	7,56.	1,0272.	373,77.	1,23.	0,33.
	342,0.	368,17.	6,32.	0,9389.	355,09.	— 13,09.	3,83.
	365,0.	373,18.	5,93.	0,9813.	369,32.	— 4,32.	1,18.
	378,0.	376,56.	5,17.	1,0103.	386,65.	— 8,65.	2,29.
	399,0.	383,74.	5,77.	1,0347.	392,11.	6,89.	1,73.
	363,0.	388,64.	5,51.	0,9360.	365,71.	— 2,71.	0,75.
	388,0.	394,52.	5,62.	0,9826.	386,78.	1,22.	0,31.
	419,0.	404,52.	6,93.	1,0256.	404,26.	14,74.	3,52.
	418,0.	409,21.	6,26.	1,0268.	425,73.	— 7,73.	1,85.