Касательный портфель. 
Исследование операций в экономике

Пусть на рынке присутствует безрисковый актив F с доходностью г, и 0^=0 (таковыми, например, являются гособлигации ра? звитых стран в период стабильности). Ему соответствует точка на оси ординат (рис. 16.4).

Покажем, что множеством оптимальных портфелей является теперь прямая /. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что любой портфель с риском и доходностью ?0, г0 является допустимым. На самом деле он является линейной комбинацией актива Ей портфеля Т(см. рис. 16.4), который называется касательным портфелем.

В самом деле, рассмотрим портфель Его доходность и риск связаны соотношением

Рис. 16.4.

что эквивалентно условию.

Последнее равенство означает, что точка нахо дится на прямой /.

Таким образом, оптимальный портфель для любого инвестора (независимо от склонности к риску!) имеет вид:

(16.17).

т.е. представляет собой баланс между безрисковым активом и касательным портфелем.

Заметим, что коэффициент? в (16.17), вообще говоря, не обязан быть положительным. Условие ?<0 означает, что инвестор продает безрисковый актив, чтобы вложить полученные средства в касательный портфель.

Нахождение касательного портфеля. Из предыдущего параграфа следует, что касательный портфель играет особую роль в теории финансовых рынков. Нахождение касательного портфеля также представляет собой задачу линейного программирования.

Рассмотрим портфель , где  — средства, вложенные в безрисковый актив. Тогда.

и задача оптимизации примет вид при условии, что.

(16.18).

Функция Лагранжа для задачи (16.18) имеет вид:

Ее критическая точка определяется уравнениями:

откуда.

и.

Отсюда получаем

где.

(16.19).

Формулы (16.19) задают явный вид касательного портфеля.

Рыночные индексы. Чтобы найти конкретный вид касательного портфеля, необходимо знание величин . Их оценки могут быть получены с помощью методов математической статистики.

Вычисленный с точностью до множителя (выбранного с определенной степенью произвола) касательный портфель определяет рыночный индекс. Индексы различаются выбором активов, входящих в рассматриваемый набор. Например:

DJ — индекс Доу-Джонса — включает в себя акции 30 ведущих американских компаний;

S&P — Standard & Poors — включает в себя активы 500 наиболее значительных корпораций;

индекс РТС — включает в себя активы, котирующиеся на российском рынке.

Каждый индекс, таким образом, представляет собой портфель , где  — касательный портфель, а, а — условный множитель. Стоимостью индекса является величина.

где  — стоимость г'-го актива, входящего в индекс, в момент времени t. Динамика роста основных фондовых индексов является одним из ключевых показателей состояния экономики.

Хеджирование. Опционы

Под хеджированием (или страхованием риска) понимается использование финансового инструмента, который может принести доход, если основной рисковый актив в силу тех или иных причин окажется убыточным. Наиболее широко распространенным инструментом хеджирования являются опционы.

Опционом называется контракт, в соответствии с которым одна сторона (продавец) предоставляет другой стороне (покупателю) право приобрести или продать актив по определенной цене в течение определенного промежутка времени независимо от той цены, по которой в это время будет котироваться этот актив на рынке.

Опцион call — наиболее часто встречающийся на рынке опционный контракт — предоставляет право покупки акций у продавца. Опционы бывают двух видов: европейский, когда покупка может быть совершена в фиксированный день окончания срока, и американский, когда владелец опциона может осуществить сделку в любой день в течение срока.

Опцион put — позволяет его владельцу осуществить продажу акций по фиксированной цене. Он также бывает европейским и американским.

Цена опциона — плата за риск, который берет на себя сторона, принимающая обязательства осуществить сделку по требованию приобретателя опциона.

Формула Блэка — Шоулза. Вывод формулы цены любого актива на идеальном финансовом рынке исходит из невозможности совершения так называемой арбитражной операции — получения без риска дохода выше определенной безрисковой ставки ту (см. параграф 16.3). При выводе формулы цены опциона используется так называемая биномиальная модель изменения цены акции. Предполагается, что в любом дискретном промежутке времени цена акции в конце промежутка может принимать только два значения. Более точно: цена акции может измениться на множитель и (и> 1) — рост и на множитель d (d < 1) — падение. Если в начале промежутка времени цена акции была 5, то в конце промежутка она может оказаться равной uS или dS. При этом выполняется неравенство.

Предположим также, что величина безрисковой ставки г, и коэффициенты и и d не меняются на всем рассматриваемом промежутке времени Т.

В этом случае разобьем промежуток Г на п периодов. Пусть вероятность падения цены акции на каждом из периодов равна р, а вероятность роста q = 1 — р. Тогда цена акции в конце рассматриваемого периода есть случайная величина, принимающая значение вида , где k — какое-то целое число в промежутке [0; я].

Рассматриваемая случайная величина является частным случаем модели, играющей чрезвычайно важную роль в теории вероятностей. Такая модель называется схемой повторных независимых испытаний. Она заключается в том, что проводится п однотипных опытов, в результате каждого из которых может произойти какое-либо событие или его альтернатива. Соответствующие результаты называются соответственно успехом и неуспехом. При этом вероятности успеха р и неуспеха q = 1 — р одинаковы для всех опытов. Случайная величина X — количество успехов в серии п повторных независимых испытаний — называется биномиально распределенной. Она принимает значения , причем.

(16.20).

Формула (16.20) называется формулой Бернулли.

Выигрыш от опциона, очевидно, имеет вид , где St - цена акции на момент окончания рассматриваемого периода, а X — оговоренная цена использования опционного контракта. Таким образом, выигрыш от опциона представляет собой случайную величину Хс со значениями и соответствующими вероятностями (16.20).

В качестве цены опциона принимается величина.

т.е. ожидаемый выигрыш от опциона, дисконтированный по безрисковой процентной ставке.

Таким образом,.

Пусть т — наибольшее целое значение к, для которого выполняется неравенство Тогда.

Обозначим.

Можно показать, что [26], откуда получаем.

(16.21).

где  — вероятность того, что биномиально рас пределенная случайная величина принимает значение, не превышающее т.

Для получения формулы цены опциона следует в формуле (16.21) перейти к пределу п > ?. При этом биномиально распределенная случайная величина переходит в непрерывную случайную величину, принимающую все действительные значения. Ее распределение называется нормальным и играет центральную роль в теории вероятностей. Рассмотрим функцию.

(16.22).

где X — нормально распределенная случайная величина. Функция N (t) называется функцией распределения нормального закона. Эта функция нс является элементарной, и ее значения можно найти в таблицах, приведенных в большинстве пособий по теории вероятностей. Также значения функции N (t) включены в состав практически всех математических программ, в том числе известной программы Excel.

Мы нс будем здесь воспроизводить все вычисления, связанные с предельным переходом п > ? в формуле (16.21). Окончательный результат имеет вид.

(16.23).

где.

Величина ст называется волатильностью акции. Формула (16.23) называется формулой Блэка - Шоулза. Среди инвесторов она получила самое широкое признание в первую очередь благодаря исключительно хорошим результатам ее применения на практике. Многие трейдеры используют формулу Блэка — Шоулза в качестве ключевого инструмента в определении стратегии своих операций.