Учет неопределенности при формировании оптимального набора проектов недропользования

Весьма распространена ситуация, когда результаты и затраты на реализацию проектов недропользования точно не определены и отсутствует информация, которая позволяет выявить закон распределения этих параметров. В такой ситуации следует воспользоваться методами теории неопределенностей и учитывать представление исходных данных задачи в виде треугольных чисел. Основы математики нечетких множеств с треугольными числами приведены в прил. 5. Тогда модель формирования оптимального набора проектов будет иметь следующий вид: критерий оптимальности — максимизация суммарной прибыли реализации выбранных проектов недропользования: при ограничении на объем финансирования и условии нечеткого задания исходных данных в виде треугольных чисел для проектов () и искомых булевых переменных.

Для решения подобной задачи, в которой исходные значения задаются точными данными, целесообразно использовать метод Фора и Мальгранжа (см. параграф 9.2). Исходя из указанных в прил. 5 арифметических операций с треугольными числами, можно модифицировать метод Фора и Мальгранжа для решения задачи выбора.

Перед проведением расчетов искомые неизвестные следует упорядочить в соответствии с убыванием коэффициентов целевой функции. Для упорядочения треугольных чисел необходимо оценить расстояния между рассматриваемыми нечеткими числами и нулем, т. е.

Искомые переменные упорядочиваются по убыванию величин р (Д, 0), что соответствует убыванию нечетких значений .

На первом этапе отыскивается начальный план, а на втором происходит итеративный процесс перебора планов с целью поиска лучшего варианта. Первоначальный план формируется следующим образом: начиная с первой искомой переменной проводится попытка присвоения 1; если при этом нарушается ограничение, то переменной присваивается значение 0. Проверка выполнения ограничений проводится исходя из условия.

где i — множество проектов, включаемых в план реализации;

После последовательного просмотра всех переменных начальный план сформирован. На втором этапе реализуется итеративный процесс перебора эффективных вариантов плана. Очередной план получается из предыдущего следующим образом.

Шаг 1. Отыскивается «младшая единица» в сформированном плане: крайняя правая единица, после которой есть хотя бы один ноль. Если «младшая единица» найдена, то осуществляется переход к шагу 2; в противном случае — переход к шагу 5.

Шаг 2. В новом плане на месте «младшей единицы» ставится ноль.

Шаг 3. Все значения переменных левее «младшей единицы» переносятся без изменения в формируемый вариант плана.

Шаг 4. Значения переменных в формируемом плане правее «младшей единицы» определяются путем последовательного перебора и присвоения значения 1, если позволяют ограничения ??(<&, 0) < p (Q, 0), или 0 — в противном случае. Переход к шагу 1. 16/.

Шаг 5. Для полученных вариантов планов рассчитывается значение функции, т. е. величины суммарной прибыли

В качестве оптимального варианта принимается тот, у которого величина суммарной прибыли максимальна. Для такой оценки также целесообразно воспользоваться расстоянием нечеткого числа от нуля, т. е. . Выбрав максимальную величину , получаем оптимальный набор природоохранных мероприятий в условиях нечеткой исходной информации.

Пример

Пусть известна нечеткая информация по семи проектам i = 1,2,…, 7. Объем выделяемых инвестиций представляется нечетким числом Q = (130, 150, 160). На основе этих данных несложно определить расстояние .

Прибыль и затраты, представляемые в виде треугольных чисел, приведены в табл. 9.16. В этой же таблице даны результаты расчетов расстояний. Результаты расчета методом Фора и Мальгранжа в модификации для нечеткой информации представлены в табл. 9.17.

Таблица 9.16. Исходные данные и результаты расчета расстояний.

Номер проекта i.	Нечеткие исходные данные.		Расстояние.
	Pi	qi	?(Pi, 0).	?(qi, 0).
	(27, 29, 35).	(34, 40,42).
	(21,25,28).	(30, 35, 40).
	(20, 24, 25).	(26, 34, 40).
	(18, 23, 24).	(22, 28, 30).
	(16, 22, 24).	(19, 26, 28).
	(12,16,18).	(20, 23, 25).
	(10, 14, 15).	(10, 16, 18).

Модель решаемой задачи имеет следующий вид:

Максимальное значение оценки целевой функции достигается на шаге к = 2 и равно 112,25. При этом в оптимальный план включаются проекты 1, 2, 3, 5, 7, для которых получены ненулевые значения искомых булевых переменных: Uj = 1, Щ 1> Uj= 1, U5 1, Щ =1.

Для сравнения были проведены еще три расчета в детерминированной постановке. Соответствующие модели приведены далее. Пессимистический вариант:

Оптимальное решение:

Ожидаемый вариант:

Таблица 9.17. Процесс расчета методом Фора и Мальгранжа (модификация для нечеткой информации).

Номер шага расчета.	Значение искомых переменных.							Оценка затрат.	Оценка целевой функции.
	U1	U2	U3	U4	U5	U5	U7
								134,5.
								147,25.	112,25.
								145,25.	106,75.
								140,75.
								138,75.	105,5.
								136,5.	104,5.
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Оптимальное решение:

Оптимистический вариант:

Оптимальное решение:

Приведенные решения различаются потребностью в финансовых средствах и суммарными значениями NPV, т. е. оптимальным значением целевой функции задачи. Полученное с учетом неопределенности данных решение не может быть получено ни путем замены данных на их крайние (пессимистический или оптимистический варианты), ни путем использования ожидаемых значений. Невозможно также усреднение полученных значений. Это доказывает, что использование теории неопределенности для решения поставленной задачи имеет важное прикладное значение.