Непрерывно-детерминированные модели (х-схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения.

Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время /. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет.

где y'=dy/dt,^y=(y_l, у₂, у.) и f₂, —л-мерные векторы;/(у, /) — вектор-функция, которая определена на некотором (л4- 1)-мерном (у, /) множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ, dynamic) [4, 37].

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид.

Наиболее важно для системотехники приложение й-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения /) — схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической 5_М (колебания маятника, рис. 2.1, а) и электрической S_t (колебательный контур, рис. 2.1, б).

Рис. 2.1. Элементарные системы.

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением где т*, 4, — масса и длина подвеса маятника; % — ускорение свободного падения; в (/) — угол отклонения маятника в момент времени /.

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника.

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением.

где С_к — индуктивность и емкость конденсатора; q (/) — заряд конденсатора в момент времени t.

Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний.

Очевидно, что, введя обозначения И₀=т_У41_м — Ь_к, = О, Л₂="¹м?4″ = 1 /С_ж, в (0 = Я (0=г (О, получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

где А₀, /" !, И₂ — параметры системы; г (г) — состояние системы в момент времени /.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы 5_М) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы 5,).

Если изучаемая система 5, т. е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой ?, то появляется входное воздействие х (/) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид.

С точки зрения общей схемы математической модели (см. § 2.1) *(/) является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы Я в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени у—г.