Основные понятия планирования экспериментов

Рассмотрим основные понятия теории планирования экспериментов. В связи с тем, что математические методы планирования экспериментов основаны на кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента, наиболее подходящей моделью последнего является абстрактная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетическом подходе различают входные и выходные переменные: х₁₉ х₂, —.

х_к у₁₉ у₂, у,. В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место только две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, то к — фактор, а у — реакция. В экспериментах с машинными моделями М_м системы 5 фактор является экзогенной или управляемой (входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной) переменной. Например, в агрегативной системе (А-схеме) факторами будут входные и управляющие сообщения, а реакциями — выходные.

Каждый фактор х_ь 1=1, к, может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как, например, это показано для случая двух факторов х_х и х₂ на рис. 6.1 (плоскость х₁0₁х₂)•.

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить в виде соотношения.

Функцию Iкь связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции — поверхностью реакции. Исследователю заранее не известен вид зависимостей фь /= 1, т, поэтому используют приближенные соотношения:

Зависимости (р, находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов (например, минимальном числе испытаний), варьируя по специально сформулированным правилам значения входных переменных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

При планировании экспериментов необходимо определить основные свойства факторов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и не изучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. При машинной реализации модели М_и исследователь принимает решения, управляя изменением в допустимых пределах различных факторов.

Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются. Обычно в машинном эксперименте с моделью М_м наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, так как нерационально управлять фактором, не наблюдая его. Но неуправляемый фактор также можно наблюдать. Например, на этапе проектирования конкретной системы 5 нельзя управлять заданными воздействиями внешней среды Е_у но можно наблюдать их в машинном эксперименте. Наблюдаемые неуправляемые факторы получили название сопутствующих. Обычно при машинном эксперименте с моделью М_м число сопутствующих факторов велико, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на интересующую исследователя реакцию.

Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель М_м для изучения свойств системы 5, а не для вспомогательных целей, например, для увеличения точности эксперимента.

Фактор будет количественным, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Например, в модели системы, формализуемой в виде схемы массового обслуживания (б-схемы), количественными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, емкости накопителей, количество обслуживающих каналов и т. д., а качественными факторами — дисциплины постановки в очередь, выбора из очереди, обслуживания заявок каналами и т. д. Качественным факторам в отличие от количественных не соответствует числовая шкала. Однако и для них можно построить условную порядковую шкалу, с помощью которой производится кодирование, устанавливая соответствие между условиями качественного фактора и числами натурального ряда.

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании случайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В машинных экспериментах с моделями А/_м не бывает неуправляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследуемой системе 5. В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитационной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены и нельзя во время проведения данного эксперимента (испытания) с моделью М_м вводить дополнительные факторы.

Как уже отмечалось, каждый фактор может принимать в испытании одно или несколько значений, называемых уровнями, причем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое определение фактора называется операциональным и обеспечивает однозначность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требование непосредственного воздействия на объект имеет большое значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Определим требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Основные из них — совместимость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью Л/_м для оценки некоторых характеристик процесса функционирования исследуемой системы 5 экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой. Для этого необходимо: отобрать факторы х" /=1, к, влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изменения факторов х_1пъп+Х1_тях; определить координаты точек факторного пространства {х_и х₂, …" х*}, в которых следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

Свойства объекта исследования, т. е. процесса машинного моделирования системы 5, можно описывать с помощью различных методов (моделей планирования). Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств модели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Предполагаем, что изучается влияние к количественных факторов х_ь

/= 1, к, на некоторую реакцию г в отведенной для экспериментирования локальной области факторного пространства б, ограниченной Х/айп*х> /=1, к (рис. 6.1 для случая к=2). Допустим, что функцию реакции ф (х_1# х₂, …, х*) можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени с1оч к переменных.

который содержит С коэффициентов.

Соотношение (6.1) может быть представлено, как.

Рис. 6.1. Геометрическое представление поверхности реакции.

где/(?) — вектор с элементами/_в(х), а = 0, к входящими в исходный полином; В — вектор коэффициентов, которые соответственно имеют такой вид:

Введем фиктивную переменную х₀= 1, а также переменные.

Тогда (6.1) запишется как однородное линейное уравнение вида.

Для оценки коэффициентов в (6.3) можно применить методы линейной регрессии [10, 18, 21, 22].

Пример 6.1. Аппроксимация полиномов второго порядка функция реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в виде.

г1~Ь₀+Ь₁х₁ + Ьх].

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей планирования большего порядка. Так, модель второго порядка в^{-факторном} эксперименте будет иметь вид.

На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования, преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка.

может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменных Тогда, в результате получается модель множественной линейной регрессии вида.

Функция реакции может иметь и более сложную зависимость от факторов. В этом случае некоторые из них удается привести к линейному виду. Такими моделями являются мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и др. [18, 21, 46].

Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функции Ч — (р (х₁₉ х₂, Хк) и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений констант (коэффициентов) этого уравнения.

Так как полином (6.2) или (6.3) содержит и _к+4 коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента О должен содержать по крайней мере различных экспериментальных точек:

где Х/_м — значения, которые принимает /-я переменная в и-м испытании, / = 1, к, и= 1, N.

Реализовав испытания в N точках области факторного пространства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:

где у_и — реакция, соответствующая и-й точке плана ||лг,_м, х^п **"11, ы= 1, N.

При незначительном влиянии неуправляемых входных переменных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями управляемых переменных в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где е_и — ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предполагается независимой нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием M[ej = 0 и постоянной дисперсией D[e_u]=a²_e=const.

Выписав аналогичные соотношения для всех точек плана и=₉ N, получим матрицу планирования.

размерностью (?'+1).

Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линейного приближения поверхности реакции, причем построению плана предшествует проведение ряда неформализованных действий (принятие решений), направленных на выбор локальной области факторного пространства б (рис. 6.1).

Вначале следует выбрать границы и х_/тжх области определения факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта, т. е. на основе анализа априорной информации о системе Я и внешней среде Е. Например, такая переменная, как температура, при термобарических экспериментах принципиально не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера.

После определения области С? необходимо найти локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня х_Л и интервалов варьирования Ах, 1 = 1, к. В качестве исходной точки х,₀ выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе 5, причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов Х/гош и х_1|ам. На выбор интервала варьирования Ах, накладываются естественные ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения С).

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраических полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов х_н /=1, к, на нескольких уровнях 4 относительно исходной точки х_Лу представляющей центр эксперимента.