Моделирование процессов функционирования систем на базе а-схем

Особенности использования при моделировании систем обобщенного агрегативного подхода, реализуемого с помощью А-схем, и основные понятия агрегативных систем были даны в § 2.7. Остановимся на возможностях использования А-схем для формализации процессов функционирования различных систем [4, 36, 37].

Формализация на базе А-схем.

Рассмотрим частный случай А-схем в виде кусочно-линейных агрегатов (КЛА), позволяющих описать достаточно широкий класс процессов и дающих возможность построения на их основе не только имитационных, но и аналитических моделей. В отличие от общей постановки (см. § 2.7) полагаем, что на вход агрегата А не поступают управляющие сигналы м (/), т. е. агрегат рассматривается как объект, который в каждый момент времени характеризуется внутренними состояниями z (t)eZ; в изолированные моменты времени на вход агрегата А могут поступать входные сигналы х (/)еЛ', а с его выхода могут сниматься выходные сигналы y (t)e Y. Класс КЛА выделяется с помощью конкретизации структуры множеств Z, X, Y, т. е. пространств состояний, входных и выходных сигналов соответственно, а также операторов переходов V, U, W и выходов G.

Пусть имеется некоторое конечное или счетное множество /=* {О, 1, 2, которое назовем множеством основных состояний, а элементы этого множества ve/— основными состояниями. Каждому основному состоянию ve / поставим в соответствие некоторое целое неотрицательное число Qv|, называемое рангом основного состояния. Кроме того, каждому состоянию ve/ поставим в соответствие выпуклый многогранник /У в евклидовом пространстве размерности |v|. Будем считать, что Z'*{JZ^{, т. е. пространство состояний Z можно представить состоящим из всевозможных пар вида (v, Z(,)), где ve/, a Z(,) является вектором размерности ||v|, принимающим значения из многогранника Zw. Вектор Z® будем называть вектором дополнительных координат. Если |v| —0, то в данном основном состоянии v дополнительные координаты не определяются.}

Например, если хотим описать процесс функционирования прибора обслуживания как КЛА, то основное состояние будет соответствовать числу заявок в приборе (П) [в накопителе (Н) и канале (К)], а вектор дополнительных координат будет содержать информацию о длительности пребывания заявки, ее приоритетности и др., т. е. ту информацию, значение которой необходимо для описания процесса z (f).

Определим действие оператора U, описывающего поведение КЛА при отсутствии входных сигналов х (/). Пусть в начальный момент времени агрегат Л находится в состоянии z (/₀)=(v, г^'СО)), где г^(г,(0) — внутренняя точка многогранника Z^w. Тогда при t>t₀ точка *z^w(i) перемещается внутри многогранника Z^w до тех пор, пока ве достигнет его границ. Момент времени I, когда это произойдет, называется «опорным». Тогда приосновное состояние агрегата.

и данному состоянию V соответствует вектор дополнительных координат а¹⁴ размерности 1уЦ, причем.

Пусть 25*¹ — у-я грань многогранника Z⁽'*, содержащего т (у) граней, которые могут быть заданы линейными уравнениями вида.

где z⁴⁾ — компоненты вектора.

Тогда можно показать, что значение опорного момента /, определяется траекторией г (0 и может быть найдено из соотношения.

Обозначим.

Пусть.

Тогда.

В момент времени 1₁ состояние КЛА изменяется скачкообразно и значение г (/, +0) является случайным и задается распределением Р_и которое зависит лишь от состояния 2 (г_х). Широкий класс систем описывается КЛА, у которых Р_у зависит не от всего вектора г (г,), а лишь от значения основного состояния V и номерау'-Й грани Zj^v на которую вышел вектор дополнительных координат г

В момент времени /, может выдаваться выходной сигнал у, что описывается оператором О (см. § 2.7). При этом для КЛА.

и множество У имеет структуру, аналогичную г, т. е. выходные сигналы у* (Я, у ⁽'⁾), где, А — элемент некоторого конечного или счетного множества; у ^ — вектор, принимающий значения то евклидова пространства размерности, зависящей от А.

При />1, функционирование КЛА вновь описывается формулами (8.4) и (8.5) до очередного особого момента времени (₂, где Д/ = /₂ —Г, ит.д.

Для КЛА множество значений входных сигналов X структурно аналогично множествам У и т. е. входные сигналы к—{ц, х⁰**)" где ц — элементы некоторого конечного или счетного множества; х^м — действительный вектор, размерность которого зависит от ц.

Если в рассматриваемый момент времени / состояние КЛА г (/)*(у, г^19>) и поступает входной сигнал х=(у, X^м), то при этом состояние агрегата меняется скачкообразно г (/+0) в соответствии с действием оператора У (см. § 2.7). Состояние г (*+0) является случайным и задается распределением Р₂, которое зависит от г (0 и х. В рассматриваемый момент времени выдается выходной сигнал, необходимость выдачи и содержание которого зависят от состояния г (/) и содержания поступившего входного сигнала х. Далее КЛА снова функционирует в соответствии с (8.4) и (8.5) до следующего момента времени выхода вектора состояний на границу допустимых значений или до момента времени наступления входного сигнала.

Простой вид формул для вычисления «опорных» моментов (8.6)… (8.8) является следствием кусочно-линейного закона изменения состояний 2(0 и обеспечивает простоту машинной реализации модели в виде отдельного КЛА или А-схемы, составленной из нескольких КЛА.

Рассмотрим особенности формализации процессов функционирования системы S_y представленных в виде частных типовых математических схем (О- и Р-схем), в виде КЛА. При этом надо иметь в виду, что представление процессов функционирования реальных систем в виде КЛА является неоднозначным, так как неоднозначно могут быть выбраны состояния агрегатов [4].

Пример 8.14. Рассмотрим особенности КЛА О-схемы, представляющей собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида.

где х (/) — известная функция времени.

Представим это уравнение в конечно-разностном виде, выбрав какой-нибудь метод численного интегрирования уравнения (например, метод ломаных Эйлера), а шаг интегрирования, А возьмем из условий близости решения исходного уравнения и его кусочно-линейной аппроксимации. В результате кривая ?(г), изображающая решение этого уравнения, заменяется ломаной 2(1), звенья которой в точках г*~/₀+АЛ, кш 0, а, имеют тангенс угла наклона, равный /[/*, !(/*), х (/*)].

Представим систему описываемую этим дифференциальным уравнением, в виде КЛА. В качестве состояния агрегата выберем пару (у, г^(п), где у — основное состояние, которое соответствует номеру интервала времени длины, А вида (Г₀+уА, *₀+(^у+1)Лк I^м — вектор дополнительных координат, который сформируем следующим образом. В качестве координаты г_х (() возьмем ломаную конечно-разностного уравнения, а в качестве координаты х₂ (0 — время, оставшееся до окончания текущего интервала. Тогда состояние такого КЛА определяется как к (г)-[у, г, (/), г₂(0), где координаты я, (|) и г₂ (/) вектора *^м(|) изменяются линейно в пределах интервалов, причем координата я_а(|) убывает с единичной скоростью и обращается в нуль в момент времени /, — /<, + уА, у*= 1, л. В эти моменты времени состояние совершает детерминированный скачок г (г_у ч- 0) — (уЬ1, х, (г*), А].

После скачка при /_у </</,.+1 координаты описываются соотношениями.

где x (f") — входной сигнал, поступающий в моменты времени /_y=/₀ + vA.

Таким образом, в этом случае при построении КЛА считается, что /={0, 1, …. *), |v| тХ _{: 2}у>2], m (v)-l, Z^-Ji^ :

Выходными сигналами у (г) могут быть любые функции от состояния.

Пример 8.15. Рассмотрим особенности представления в виде КЛА Р-схемы, представляющей собой конечный асинхронный вероятностный автомат Мура, который не имеет жесткой тактности, а изменяет свое состояние только при поступлении входного сигнала. Пусть Х_л и У_а — конечные входной и выходной алфавиты автомата, a Z, — конечное множество его внутренних состояний. Полагаем для определенности, что У_а" {1, 2,…, К}, У_а-{1, 2, …, М}, Z_a = { 1, 2,…, функционирование такой Р-схемы описывается следующим образом: если в момент времени t автомат находился в состоянии я_а (/)< и поступил входной сигнал х_я (/) — к, то состояние автомата я_а(/ + 0) выбирается случайно с вероятностью.

Выдаваемый при этом выходной сигнал у_аеУ_а является однозначной функцией нового состояния, в которое перешел автомат, т. е. у_а *•т=Ф (/), где Ф — некоторая детерминированная функция с множеством значений У_а и областью определения Z_a.

Для представления такой Р-схемы в виде КЛА в качестве множества входных сигналов агрегата X выберем множество Х_я, а в качестве множества выходных сигналов У — множество У_а. В качестве основных состояний КЛА / выберем множество и будем полагать, что ЦуЦ" 0 для всех уе/, т. е. вектор дополнительных координат я**' не определяется. При таком задании КЛА многогранники 2^м не определяются, т. е. отпадают вопросы, связанные с движением внутри многогранников, выходом на границу и распределением Р_х.

Таким образом, функционирование такого КЛА сводится к скачкам состояния при поступлении входных сигналов, причем из-за отсутствия вектора дополнительных координат такие скачки сводятся лишь к скачкам основного состояния у, что требует только задания распределения Р₂, которое совпадает с распределением Р^к). Содержание выходного сигнала, выдаваемого в момент поступления входного сигнала КЛА, определяется только функцией Ф.

Если предположить, что |у|| =0, ЦАЦ — 0, |дЦ=0 для всех у, Я, д, то КЛА превращается в Р-схему обшего вида.

Способы построения моделирующих алгоритмов А-схем. Основные преимущества агрегативного подхода состоят в том, что в руки разработчиков моделей и пользователей дается одна и та же формальная схема, т. е. А-схема. Это позволяет использовать результаты математических исследований процессов, описывающих функционирование агрегативных систем, при создании моделирующих алгоритмов и их программной реализации на ЭВМ. В настоящее время имеются разработки математического обеспечения, в основу которого положен агрегативный подход. Но при этом у пользователя всегда должна оставаться свобода в переходе от концептуальной к формальной модели. Таким образом, имеется возможность многовариантного представления процесса функционирования некоторой системы 5 в виде модели М, построенной на основе А-схем.

Пример 8.16. Рассмотрим технологию перехода от содержательного описания к А-схеме на примере (}-схемы, структура которой приведена на рис. 8.6. Такой переход возможен, так как А-схема отражает наиболее общий подход к формализации процесса функционирования системы 5. Для представления этой системы в виде Л-схемы будем использовать пять типов агрегатов, а именно: А^к — внешняя среда; А^н — накопитель; А^х — канал; А^г — распределитель; А^с — сумматор. Функции агрегатов А^м и Л* соответствуют функциям таких элементов (?-схемы, как накопитель (Н) и канал (К). Агрегат А^я позволяет формализовать взаимодействие между агрегатами Л-схемы и внешней средой Е. Использование вспомогательных агрегатов А^г я А^с вызвано необходимостью синхронизации работы агрегатов в составе А-схемы в соответствии с принятыми дисциплинами постановки в очередь и обслуживания заявок. Кроме того, через агрегат А^с возможна передача сигналов от различных выходных контактов одних агрегатов на один и тот же входной контакт другого агрегата, что запрещено делать непосредственно (см. § 2.7).

При таких предположениях структура А-схемы будет иметь вид, приведенный на рис. 8.29. Опишем работу каждого типа агрегатов, показанных на рис. 8.30, в отдельности.

Агрегат «Внешняя среда» А^к (ряс. 8.30, а) имеет два входных контакта и один выходной: на вход ЛГ,^ поступают обслуженные заявки (сигнал -1); на вход Х₂^т — заявки, получившие отказ в обслуживании (сигнал х₂^(Е,~1); с выхода У,® снимают заявки через промежутки времени, распределенные по заданному закону распределения входящего потока заявок. Вектор состояний агрегата Л* :**(/)—1.

Агрегат «Канал» А^к (рве. 8.30, б) имеет три входных контакта и один выходной: на вход Х^⁾ подают сигнал поступления заявки на обслуживание; на вход — сигнал разрешения выдачи обслуженной заявки; на вход — сигнал блокировки.

Рис. 8.29. Пример А-схемы общего вида.

Рис. 8.30.

Агрегаты выдачи обслуженной каналом заявки; с выхода снимают сигнал выдачи обслуженной каналом заявки. Вектор состояний агрегата.

где 2? (Г) — время, оставшееся до окончания обслуживания заявки, которая находится в канале;

В том случае, если время обслуживания заявки в канале истекло, т. е. (()<(), но ее выдача из канала запрещена, т. е. 2^(0 «0, заявка остается в канале до тех пор, пока не придет сигнал г* (/)» 1.

Агрегат «Накопитель» А^н (рис. 8.30, в) имеет три входа и три выхода, входные контакты Х^ ДГ^^Н) соответствуют по своим функциям контактам ХР, Х^⁾ агрегата А^к; с выхода У?⁰ выдается заявка, стоящая в очереди в накопителе первой; с выхода У?⁴ выдаются заявки, потерянные из-за переполнения накопителя; с выхода Уф¹* поступает сигнал о том, что накопитель полностью заполнен. Внутреннее состояние агрегата А^и описывается вектором.

где (г) — число заявок в накопителе;

Агрегат «Распределитель» А^г (рис. 8.30, г) служит для разделения поступающего на вход Хф потока заявок по двум направлениям выходам и У?, что соответствует принятой дисциплине обслуживания, т. е. алгоритму взаимодействия накопителя н канала. В рассматриваемом примере поступившая в А^г-заявка передается через выход У^ ести соответствующий ему агрегат А^к свободен для принятия на обслуживание этой заявки; в противном случае заявка выдается через выход Уф. Информация о занятости соответствующих агрегатов А¹, на которые поступают заявки с выходов УР, У? передается на входные контакты Х¹Р~Х%⁾. Если оба агрегата А^х не могут принять заявки от агрегата А^г, то на выходной контакт У1р выдается сигнал, запрещающий передачу заявки А^р. Как только один из агрегатов А^к освободится (о чем выдается соответствующий сигнал А^г на входы ХТ — ХТ, сигнал с контакта У?⁵ разрешает посылающему агрегату А^н пересылку заявки через А^г в А^к, т. е. заявка в А* не хранится. Внутреннее состояние агрегата определяется вектором.

где.

Агрегат «Сумматор» А^с (рис. 8.34, д) выполняет функции, обратные агрегату А^г, т. е. избирательно суммирует поступающие заявки от двух посылающих агрегатов А^х и передает их на вход принимающего агрегата (А^н и А^к). При поступлении на вход Х^п или Хр сигнала разрешения передачи заявки от принимающего агрегата сумматор А^с должен последовательно опросить принимающие агрегаты. Для этого сначала передается сигнал разрешения на первый из посылающих агрегатов (контакт У|Р). От этого посылающего агрегата либо поступает сигнал на входной контакт Х*р, либо он отсутствует. В первом случае поступившая заявка передается дальше (контакт УТ*)> в противном случае посылается сигнал разрешения (контакт У^р) на второй из посылающих агрегатов. Внутреннее состояние агрегата А^с определяется вектором.

где.

Таким образом, используя набор аргегатов А^Е, А, А^н, А^р и А, можно описать процесс функционирования рассматриваемой системы (см. рис. 8.6). Для возможности формализации более сложных систем требуется в пределах данного класса объектов (Q-cxeм) увеличение числа состояний перечисленных агрегатов, а для других классов систем — расширение набора агрегатов.