Тест ранговой корреляции Спирмена

В основу теста также положено предположение о том, что дисперсия случайного возмущения связана с абсолютными значениями регрессоров.

При этом никаких дополнительных предположений относительно вида функции или ограничений закона распределения случайных возмущений не делается. Идея теста заключается в том, что абсолютная величина остатков связана с оценкой ее стандартной ошибки . Поэтому в случае гетероскедастичности абсолютные значения остатков и абсолютные значения вектора регрессоров будут коррелированными.

Тест Спирмена основан на вычислении коэффициента ранговой корреляции между случайными возмущениями и абсолютными значениями вектора

(7.6).

где u — объем выборки; - разность между рангами, но абсолютным значениям вектора и случайного возмущения

Замечание. Под рангом понимается порядковый номер наблюдения в выборке, отсортированной по значению модуля (ранг по ) или по (ранг по вектору ).

В случае отсутствия гетероскедастичности коэффициент ранговой корреляции должен равняться нулю, т. е. основная гипотеза принимает вид . Так как закон распределения случайной переменной неизвестен, то для тестирования гипотезы формируется случайная переменная:

(7.7).

Случайная переменная подчиняется нормальному закону распределения , при условии, что . Для нормального распределения можно вычислить для заданной доверительной вероятности критическое значение и, если выполняется условие , то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

Пример. Проведем тестирование на гетероскедастичность случайных возмущений с помощью теста Спирмена для задачи моделирования объема государственных расходов на образование в различных странах в зависимости от объема ВВП (рассмотренный ранее пример). На рис. 7.3 приведены исходные данные, рассчитанные значения модулей случайных возмущений и ранги по весу вектора и абсолютному значению

Замечание. На практике ранжирование выборки наблюдений с помощью приложения EXCEL не сложно. Для этого достаточно вначале отсортировать строки выборки по X (в общем случае пор,) и пронумеровать их в полученном порядке. Вы получите значения рангов по X. Затем нужно отсортировать выборку по абсолютным значениям , вновь пронумеровать результат сортировки. Получится столбец, содержащий значения рангов по .

По полученным данным (табл. 7.2) вычисляется столбец.

Таблица 7.2.

Результаты расчетов для применения теста Спирмена

№.	Госрасходы на образование (у)	ВВП (л).	Ранг под:	и	Ранг по и		№.	Госрасходы на образование (у)	ВВП (х)	Ранг по д•.	и	Ранг по и
	0,75.	40,15.		0,38.				1,23.	18,88.		2,29.		— 14.
	1,60.	66,97.		0,56.				4,45.	66,32.		2,33.		— 4.
	5,31.	101,65.		0,83.				5,56.	153,85.		2,41.
	6,40.	115,97.		0.96.				1,81.	20,94.		2,73.		— 16.
	0,67.	27.56.		1,15.				4,90.	57,71.		3,36.		— 9.
	4,26.	76,88.		1,44.				29,90.	534,97.		3,56.
	7,15.	119,49.		1,48.				18,90.	261,41.		3,73.
	8,66.	140,98.		1,55.				13,41.	169,38.		4,40.		— 1.
	3,50.	63,03.		1,60.				5,46.	186,33.		4,68.		— 1.
	2,80.	51.62.		1,67.				11,22.	124,15.		5,24.		— 6.
	1,25.	27,57.		1,73.	И.	— 1.		8,92.	249,72.		5,46.		— 1.
	1,07.	24,67.		1,74.		— 4.		61,61.	1040,45.		5,67.
	1,02.	22,16.		1.86.		— 7.		4,79.	211,78.		7,06.		— 4.
	0,22.	10,13.		1,86.		— 12.		33,59.	655,29.		7,92.
	0,32.	11,34.		1,88.		— 12.		15,95.	395,52.		8,19.		— 3.
	1,27.	23,83.		2,00.		— 9.		181,30.	2586,40.		10,61.
	0,34.	5,67.		2,28.		— 16.		38,62.	815,00.		13,58.		— 2.

В результате получаем:

Полученное значение необходимо сравнить с двусторонней квантилью нормального распределения при и параметрами (0; 1,33). Это значение можно вычислить с помощью функции НОРМОБР (0.05; 0.3) = 2.58.

Так как условие не выполняется, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Как видим, оба теста привели к одинаковому результату.

Вопрос, на который нам предстоит ответить: что же делать, если случайные возмущения оказались гетероскедастичными?