Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

После отбора объясняющих переменных X = (хих2,…, хк)т и результативного показателя у решается задача выбора параметрического семейства функций /(Х, Р), при этом линейные уравнения регрессии не всегда дают удовлетворительные результаты при анализе зависимостей. В силу сложности экономических зависимостей их моделирование возможно лишь на основе нелинейных моделей регрессии. Например, нелинейными являются [2, 29]:

• • производственная функция Кобба — Дугласа, которая отражает зависимость между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом и капиталом;
• • функция спроса, определяющая зависимость спроса на товары или услуги от цены и среднедушевого дохода семьи.

При этом выбор вида зависимости должен осуществляться на основании содержательного анализа исследуемого явления.

Различают два класса нелинейных регрессионных моделей.

1. Нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам (). Например, полиномиальная модель:

2. Нелинейные как относительно включенных в анализ объясняющих переменных, так и по оцениваемым параметрам. Например, степенная модель регрессии:

Если в результате предварительного анализа определяют вид нелинейной зависимости результативного показателя у от объясняющих переменных , то стараются линеаризовать уравнение, т. е. преобразовать нелинейную зависимость в линейную. Для оценки параметров нелинейных моделей используют два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую нелинейную зависимость представляют в виде линейной между преобразованными переменными.

Второй подход, основанный на применении методов нелинейной оптимизации, применяется в том случае, когда подобрать соответствующее преобразование не удается. Рассмотрим такие методы линеаризации нелинейных моделей, как замена переменных; логарифмирование обеих частей уравнения и комбинированные методы.

Суть первого метода состоит в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными и сведении нелинейной регрессии к линейной. Например, полиномиальная модель к-го порядка может быть приведена к линейному виду путем замены переменных . После замены переменных получим линейную регрессионную модель вида .

Таким образом, полином любого порядка сводится к линейной модели регрессии, для которой нами уже рассматривались методы оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди нелинейных полиномиальных регрессионных моделей чаще всего используются параболические модели второго и третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких порядков связаны с содержательной интерпретацией коэффициентов регрессии.

Оценка неизвестных коэффициентов в мультипликативных моделях регрессии требует предварительного логарифмирования обеих частей уравнения и замены переменных для ее преобразования к линейному виду.

В степенных моделях вида.

которые широко используются в эконометрических исследованиях, после логарифмирования левой и правой частей уравнения и замены переменных и , получим линейную модель регрессии относительно новых переменных , а именно:

где

При оценке параметров с помощью метода наименьших квадратов (МНК) вектор-столбец Y' и матрица X' определяются по исходным наблюдениям { }, где , следующим образом: , a j-й столбец матрицы X' есть , (напомним, что первый столбец матрицы X' составлен из одних единиц).

К классу степенных функций относятся кривые спроса и предложения, производственные функции, кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения и выпуска нового вида изделий.

Если степенная функция отражает зависимость объема выпуска продукции у от использования ресурса .г (в которой ), то она называется производственной функцией. Например, производственная функция Кобба — Дугласа связывает объем производства У с затратами капитала (К) и труда (L):

Автономная зависимость от времени выражена в коэффициенте научнотехнического прогресса А. Показатели, а и (3 являются коэффициентами частной эластичности объема производства У соответственно по затратам капитала К и груда L. Это означает, что при увеличении затрат капитала (труда) на 1% объем производства в среднем увеличивается на а.% ((3%) при неизменности затрат труда (капитана).

Сумма коэффициентов является важным экономическим показателем, который носит название отдача от масштаба. При, а + (3 > 1 имеет место возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов); при, а + (3 < 1 — убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При, а + (3 = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). Функцию Кобба — Дугласа можно также представить в виде.

Таким образом, получается зависимость производительности труда (УД) от капиталовооруженности (K/L). Для оценки параметров данной модели ее логарифмируют с целью приведения к линейному виду (для i-го наблюдения):

Рассмотренные степенные модели регрессии являются нелинейными относительно оцениваемых параметров, так как включают параметры аир мультипликативно. Однако их можно считать внутренне линейными, так как логарифмирование уравнения приводит его к линейному виду.

Широкое использование в экономических исследованиях степенных моделей во многом связано с четкой интерпретацией их параметров (3(. В этих моделях (3(являются коэффициентами эластичности, которые показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак у, если факторный признак х, увеличится на 1%.

О правомерности подобного толкования параметра b для степенной функции у = ахь можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициентов эластичности.

где /'(х) — первая производная, характеризующая соотношение приростов результативной и факторной переменных для соответствующей формы связи. Для степенной функции она составит f'(x) = abxh~l. Соответственно коэффициент эластичности равен.

Таким образом, для степенной функции коэффициент эластичности представляет собой постоянную величину, равную параметру Ь. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора х. Так, для линейной регрессии первая производная и эластичность функции уых = а + bх следующие:

В силу того что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения д*, обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле

Пример 4.3 [3, 29].

Построим по данным Великобритании за п = 20 лет степенные регрессионные модели объема потребления мяса цыплят (у) в зависимости от среднедушевого дохода (.г,), стоимости 1 фунта цыплят (лг2), стоимости 1 фунта свинины (.v3) и стоимости 1 фунта говядины (.г4). Исходные данные представлены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Исходные данные для примера 4.3.

t	У
	30.8.	459,7.	39.5.	55,3.	79,2.
	31.2.	492,9.	37,3.	54,7.	77.4.
	33,3.	528,6.	38,1.	63,7.	80,2.
	35.6.	560,3.	39,3.	69,8.	80,4.
	36.4.	624,6.	37,8.	65,9.	83,9.
	36,7.	666,4.	38,4.	64,5.	85,5.
	38,4.	717,8.	40,1.	70.0.	93,7.
	40,4.	768.2.	38,6.	73,2.	106,1.
	40.3.	843,3.	39,8.	67,8.	104,8.
	41,8.	911,6.	39,7.	79,1.	114,0.
	40,4.	931.1.	52.1.	95,4.	124,1.
	40.7.	1021.5.	48.9.	94,2.	127,6.
	40,1.	1165,9.	58.3.	123,5.	142,9.
	42,7.	1349,6.	57.9.	129,9.	143,6.
	44.1.	1449,4.	56,5.	117,6.	139,2.
	46.7.	1575.5.	63.7.	130,9.	165,5.
	50.6.	1759,1.	61,6.	129,8.	203,3.
	50.1.	1994.2.	58,9.	128,0.	219,6.
	51,7.	2258.1.	66.4.	141,0.	221,6.
	52.9.	2478,7.	70.4.	168,2.	232,6.

Требуется построить и сравнить следующие степенные уравнения регрессии:

• а)  — функция спроса;
• б)  — функция потребления;
• в)  — функция спроса и потребления;
• г)  — функция спроса с учетом цены на товарозаменители.

Решение

При построении степенных уравнении регрессии использовался пакет SPSS, позволяющий путем применения логарифмического преобразования к результативной (у) и всем объясняющим (xj) переменным линеаризовать модель для нахождения оценок параметров уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Таким образом, были получены следующие модели.

а) Функция спроса. Сначала построим линейную регрессию для прологарифмированных исходных переменных:

Выполнив замену переменных , получим линейную модель . Найдем для нее оценки параметров . Затем, используя пакет SPSS, получим с помощью метода наименьших квадратов оценку уравнения регрессии вида.

(4.49).

В скобках указано значение t-критерия для проверки значимости коэффициента регрессии. Модель характеризуется оценкой остаточной дисперсии s2, средней относительной ошибкой аппроксимации 5 и статистикой Дарбина — Уотсона DW. Уравнение экономически иеинтериретируемо, хотя его коэффициент значим. Вряд ли можно согласиться со знаком «+*> коэффициента эластичности Э2 = 0,588, из чего следует, что с ростом цены цыплят на 1% спрос на них увеличится в среднем на 0,588%. В модели не учитываются инфляционный процесс, рост среднедушевых доходов населения, происходящий в стране за рассматриваемые 20 лет, хотя за это время среднедушевой доход вырос в 5,4 раза, а стоимость цыплят — в 1,8 раза (см. табл. 4.4).

б) Функция потребления. Получаем.

(4.50).

Модель интерпретируема. Однако вывод о том, что при увеличении среднедушевого дохода на 1% потребление цыплят в среднем растет на 0,295%, не учитывает динамику цены за рассматриваемый период. Модель характеризуется оценкой остаточной дисперсии s2 = 2,154, средней относительной ошибкой аппроксимации 5 = 3,07% и статистикой Дарбина — Уотсона DW = 0,658, которая свидетельствует о положительной автокоррелированности случайных регрессионных остатков.

Более интересны в содержательном плане следующие две модели.

в) Функция спроса и потребления. Получаем.

(4.51).

Из модели следует (Э, = 0,428), что с ростом среднедушевого дохода на 1% при неизменной стоимости цыплят их потребление в среднем увеличится на 0,428%. В модели (4.50), представленной функцией потребления, аналогичный вывод делался па фоне роста стоимости цыплят, чем обусловлена разница в коэффициентах эластичности Э,.

Увеличение же стоимости цыплят на 1% при неизменном среднедушевом доходе приводит к уменьшению потребления в среднем на 0,325%. Этот вывод интересно сравнить с выводом, сделанным по модели функции спроса (4.49). Если в модели (4.49) Э2 = 0,588 есть парный коэффициент эластичности, то в модели (4.51) Э2 = -0,325 — это частный коэффициент эластичности. При этом парный и частный коэффициенты эластичности имеют разные знаки.

Модель функции спроса и потребления обладает хорошими аппроксимирующими свойствами, о чем свидетельствуют статистические характеристики адекватности, приведенные иод уравнением. Близкое к двум значение DWкритерия Дарбина — Уотсона указывает на отсутствие автокоррелированности остатков. Значение /•'-критерия, равное 54,7, больше критического FK1,(0,5; 2; 17) = 3,59, что свидетельствует о значимости уравнения регрессии.

Эмпирические и рассчитанные по модели значения результативной переменной приведены на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Эмпирические и расчетные значения спроса на цыплят:

• —  эмпирические;  — расчетные
• г) Функция спроса с учетом цены на товарозаменители. Прологарифмировав исходную функцию, получим

Выполнив замену переменных получим линейную модель . Найдем для нее оценки параметров

Степенная регрессионная модель потребления цыплят с учетом цен на товарозаменители (свинину и говядину) имеет вид.

(4.52).

Модель характеризует зависимость объема потребления от стоимости цыплят (х2) и цены на такие замещающие продукты, как свинина (х3) и говядина (л,).

Из модели следует, что мри неизменной стоимости двух сопутствующих продуктов увеличение на 1% стоимости цыплят приводит к снижению их потребления в среднем на 0,63%, а увеличение стоимости свинины или говядины на 1% при неизменности цен на остальные входящие в модель продукты приводит к росту потребления цыплят в среднем соответственно на 0,345 и 0,455%.

Модель (4.52) менее адекватна данным наблюдений, чем модель (4.51), о чем свидетельствует сравнение их статистических характеристик адекватности.

Таким образом, из четырех построенных степенных моделей работоспособны все, кроме первой. Так как исходными при построении модели являются временные ряды годовых данных в реальных ценах, то это не позволяет учесть влияние инфляционных процессов и изменения реальных доходов. В связи с этим предпочтение следует отдать двум последним моделям, которые экономически более содержательны и обладают достаточно хорошими статистическими характеристиками.

Заслуживает внимания также модель, которую назовем модифицированной функцией спроса. В этой модели в качестве аргумента выступает переменная  — стоимость 1 фунта цыплят, приходящаяся на единицу среднедушевого дохода. Этот удельный показатель более точно характеризует цену и используется при межстрановых и межрегиональных сопоставлениях цен.

Модифицированная функция спроса имеет вид.

(4.53).

Статистические характеристики модели свидетельствуют о ее адекватности. Из модели следует, что при увеличении объясняющей переменной на 1% потребление цыплят снизится на 0,488%. Этот вывод согласуется с экономической сущностью явления.

Модель (4.53) можно представить также в виде.

(4.54).

В таком виде уравнение сопоставимо с моделью (4.51) даже по знакам при коэффициентах регрессии. Однако показатели адекватности s2, 8 у модели (4.54) хуже, чем у модели (4.51). Последнее можно объяснить тем, что при построении модели (4.54) на ее параметры было наложено ограничение (дополнительное условие 6, = -b2), что и привело к увеличению остаточной дисперсии s2.