Гидравлика и гидравлические машины

Министерство сельского хозяйства Российской федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ижевская государственная сельскохозяйственная академия»

ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Гидравлика и гидравлические машины

Методические материалы для студентов

Дисциплина «Гидропривод»

Составитель: доцент каф. «ТМППЖ»,

к.т.н., М.Ю. Васильченко

Ижевск 2010

Содержание Основные задачи курса и рекомендации к выполнению контрольной работы Введение. Основные положения Глава 1. Гидростатика Глава 2. Применение уравнения Бернулли. Гидравлические сопротивления Глава 3. Истечение жидкости через отверстия и насадки Глава 4. Гидромашины Экзаменационные вопросы Литература Приложения

Основные задачи курса и рекомендации к выполнению контрольной работы Целью изучения дисциплины является подготовка занятых в агропромышленном комплексе высококвалифицированных инженеров, способных решать задачи, связанные с использованием жидкостей в различных объектах техники и сельского хозяйства.

Предметом курса является изучение основных законов гидравлики, основ теории лопастных объемных гидромашин, их конструкций и принципов работы; принципов построения и эксплуатации систем гидропривода; сельскохозяйственного водоснабжения.

Формы проведения занятий: лекции, практические занятия, написание контрольной работы.

Формы контроля: текущий контроль, экзамен.

Методические указания по выполнению контрольной работы:

Контрольная работа содержит шесть задач. Номера задач выбираются по двум последним цифрам шифра и устанавливаются из таблицы 1. При последних двух цифрах от 01 до 30 номер варианта соответствует номеру в таблице, при последних цифрах от 31 до 60 номер варианта выбирается следующим образом, последние две цифры минус 30, при цифрах от 61 до 90 минус 60, 91 — 99 минус 90. Работа выполняется аккуратно на бумаге формата А4 в рукописном виде.

Студент, не сдавший контрольную работу, к экзамену не допускается.

Таблица 1

Введение

Основные положения

Гидравлика, или техническая механика жидкостей, — это наука о законах равновесия и движения жидкостей, о способах применения этих законов к решению практических задач.

Жидкостью называют вещество, находящееся в таком агрегатном состоянии, которое сочетает в себе черты твердого состояния (весьма малая сжимаемость) и газообразного (текучесть). Законы равновесия и движения капельных жидкостей в известных пределах можно применять и к газам.

На жидкость могут действовать силы, распределенные по ее массе (объему), называемые массовыми, и по поверхности, называемые поверхностными. К первым относятся силы тяжести и инерции, ко вторым — силы давления и трения.

Давлением р называется отношение силы F, нормальной к поверхности, к площади S. При равномерном распределении

.

Касательным напряжением называется отношение силы трения F_тр, касательной к поверхности, к площади S:

.

Если давление р отсчитывают от абсолютного нуля, то его называют абсолютным (р_абс), а если от условного нуля (т. е. сравнивают с атмосферным давлением р_атм), то избыточным (р_изб):

р_абс = р_изб + р_атм.

Если р_абс < р_атм, то имеется вакуум, величина которого р_вак = р_атм — р_абс.

Основной физической характеристикой жидкости является плотность (кг/м³), определяемая для однородной жидкости отношением ее массы m к объему W:

Плотность пресной воды при температуре Т = 4 °C = 1000 кг/м³. В гидравлике часто пользуются также понятием удельного веса (Н/м³), т. е. весом G единицы объема жидкости:

.

Плотность и удельный вес связаны между собой соотношением

= · g,

где g — ускорение свободного падения.

Для пресной воды _вод = 9810 Н/м³. При решении задач данного сборника допускается принимать _вод = 10⁴ Н/м³.

Важнейшие физические параметры жидкостей, которые используются в гидравлических расчетах, — сжимаемость, температурное расширение, вязкость и испаряемость.

Сжимаемость жидкостей характеризуется модулем объемной упругости К, входящим в обобщенный закон Гука

где W — приращение (в данном случае уменьшение) объема жидкости W, обусловленное увеличением давления на р. Например, для воды К_вод? 2 · 10³ МПа.

Температурное расширение определяется соответствующим коэффициентом, равным относительному изменению объема, при изменении температуры на 1 °С:

[1/град].

Вязкость — это способность жидкости сопротивляться сдвигу. Различают динамическую (м) и кинематическую () вязкости. Первая входит в закон жидкостного трения Ньютона, выражающий касательное напряжение через поперечный градиент скорости dv/dу:

.

Кинематическая вязкость связана с динамической соотношением

.

Единицей кинематической вязкости является м²/с.

Испаряемость жидкостей характеризуется давлением насыщенных паров в функции температуры.

Давлением насыщенных паров можно считать то абсолютное давление, при котором жидкость закипает при данной температуре.

Физические свойства некоторых жидкостей и газов приведены в приложении (таблица 1 — 4).

Глава 1. Гидростатика Давление в неподвижной жидкости называется гидростатическим и обладает следующими двумя свойствами:

— на внешней поверхности жидкости оно всегда направлено по нормали внутрь объема жидкости;

— в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т. е. не зависит от угла наклона площадки, по которой действует.

Уравнение, выражающее гидростатическое давление р в любой точке неподвижной жидкости в том случае, когда из числа массовых сил на нее действует лишь одна сила тяжести, называется основным уравнением гидростатики:

р = р₀ + hg = р₀+ h, (1.1)

где р₀ — давление на какой-либо поверхности уровня жидкости, например, на свободной поверхности;

h — глубина расположения рассматриваемой точки, отсчитанная от поверхности с давлением р₀.

В тех случаях, когда рассматриваемая точка расположена выше поверхности с давлением р₀, второй член в формуле (1.1) отрицателен.

Другая форма записи того же уравнения (1.1) имеет вид

где z и z₀ — вертикальные координаты произвольной точки и свободной поверхности, отсчитываемые от горизонтальной плоскости вверх;

р/(g) — пьезометрическая высота (если р — избыточное давление);

р/(g) — приведенная пьезометрическая высота (если р — абсолютное давление).

Подавляющее большинство механизмов и сооружений работают при окружающем давлении, равном атмосферному. Наличие в устройстве жидкости или газа под избыточным (вакуумметрическим) давлением обусловливает возникновение в его деталях дополнительных напряжений, которые определяют прочность изделия, а также его работоспособность. Поэтому часто необходимо знать силу избыточного воздействия жидкости на устройство.

Сила избыточного давления жидкости на плоскую стенку равна произведению гидростатического давления p_C в центре тяжести площади стенки на площадь стенки S, т. е.

F = p_C · S (1.2)

Центр давления (точка приложения силы) расположен ниже центра тяжести площади или совпадает с последним в случае горизонтальной стенки.

Расстояние между центром тяжести площади и центром давления в направлении нормали к линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью жидкости равно

(1.3)

где I₀ — момент инерции площади стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести площади и параллельной линии пересечения плоскости стенки со свободной поверхностью;

у_С — координата центра тяжести площади.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку, симметричную относительно вертикальной плоскости, складывается из горизонтальной F_x и вертикальной F_z составляющих:

. (1.4)

Горизонтальная составляющая F_x равна силе давления жидкости на вертикальную проекцию данной стенки:

F_x = h_C g S_в. (1.5)

Вертикальная составляющая F_z равна весу тела давления, или другими словами, весу жидкости в объеме W, заключенном между данной стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной проецирующей поверхностью, проведенной по контуру стенки. Если избыточное давление на свободной поверхности жидкости отлично от нуля, то при расчете следует эту поверхность мысленно поднять (или опустить) на высоту (пьезометрическую высоту) /(g).

Относительный покой жидкости — это равновесие ее в движущихся сосудах, когда помимо силы тяжести на жидкость действует вторая массовая сила — сила инерции переносного движения, причем эта сила постоянна по времени.

Возможны два случая относительного покоя жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно, и в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. В обоих случаях поверхности уровня, т. е. поверхности равного давления (в том числе и свободная поверхность жидкости) принимают такой вид, при котором равнодействующая массовая сила нормальна к этим поверхностям во всех их точках.

В сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно, поверхности уровня будут плоскими.

В сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси, поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью вращения сосуда.

Уравнение поверхности уровня (в частности, свободной поверхности жидкости в открытом сосуде) в цилиндрических координатах (r, z) имеет вид

(1.6)

где z₀ — вертикальная координата вершины параболоида поверхности уровня;

r, z — координаты любой точки поверхности уровня.

Закон распределения давления по объему жидкости, вращающейся вместе с сосудом, выражается уравнением

(1.7)

где с₀ — давление в точке с координатами r = 0, z = z₀. Таким образом, повышение давления в жидкости, возникающее вследствие ее вращения, равно

(1.8)

что позволяет определить повышение давления в любой интересующей нас точке объема.

При решении задач по гидростатике прежде всего нужно хорошо усвоить и не смешивать такие понятия, как давление р и сила F.

При решении задач на определение давления в той или иной точке неподвижной жидкости следует пользоваться основным уравнением гидростатики (1.1). Применяя это уравнение, нужно иметь в виду, что второй член в правой части этого уравнения может быть как положительным, так и отрицательным. Очевидно, что при увеличении глубины давление возрастает, а при подъеме — уменьшается.

Необходимо твердо различать давления абсолютное, избыточное и вакуум и обязательно знать связь между давлением, удельным весом и высотой, соответствующей этому давлению (пьезометрической высотой).

При решении задач, в которых даны поршни или системы поршней, следует писать уравнение равновесия, т. е. равенство нулю суммы всех сил, действующих на поршень (систему поршней).

Примеры решения задач

Пример 1.1. В U-образную трубку налиты вода и бензин. Определить плотность бензина, если h_б = 500 мм; h_в = 350 мм. Капиллярный эффект не учитывать.

Решение:

Проведем плоскость равного давления (через нижний мениск бензина). Давления в левом и правом колене на этом уровне будут равны, т. е. можно записать согласно основному уравнению гидростатики:

Р_атм + _б · h_б = Р_атм + _в · h_в

Отсюда находим удельный вес бензина

.

или, учитывая, что = · g:

.

Ответ: .

Пример 1.2. Определить объемный модуль упругости жидкости, если под действием груза, А массой 250 кг поршень прошел расстояние h = 5 мм. Начальная высота положения поршня (без груза) Н = 1,5 м, диаметры поршня d = 80 мм и резервуара D = 300 мм, высота резервуара h = 1,3 м. Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жестким.

Решение:

Модуль объемной упругости К определяется выражением:

.

Приложение груза вызвало повышение давления на величину:

.

Изменение объема жидкости при этом произошло на величину

.

Учитывая, что начальный объем жидкости определяется как

величина, обратная относительному изменению объема, составит:

Окончательно модуль объемной упругости К составит:

К = ?0,5 · 10⁶ · (?3696) = 1848 · 10⁶ Па.

Ответ: К = 1848 · 10⁶ Па.

Пример 1.3. Плоский прямоугольный щит перекрывает выходное отверстие резервуара под углом б = 60⁰. Щит имеет размеры a? b = 2? 3 м, вес G = 5 кН. Глубина воды перед щитом h = 5 м. Удельный вес воды = 10⁴ Н/м³. Трением в шарнирах пренебречь. Определить начальную силу тяги Т троса, необходимую для открывания щита.

Решение:

Из рисунка видно, что центр тяжести щита (точка С) находится на глубине

Найдем величину силы избыточного давления воды на затвор:

Приложена сила F в центре давления (точка D), положение которой определяется выражением (сравни с (1.3))

.

Находим

Учитывая, что момент инерции прямоугольника равен, площадь S = a · b, отрезок CD (эксцентриситет е) определится как

.

Окончательно для центра давления получим

_ц.д. = 4,77 + 0, 07 = 4,84 м.

Для определения силы натяжения троса Т покажем силы, действующие на затвор (см. рис.), и составим уравнение равновесия щита, т. е. сумма моментов действующих сил относительно оси шарнира должна быть равна нулю:

Отсюда находим

Пример 1.4. Определить усилие натяжения троса при подъеме полусферической крышки в сосуде, если высота уровня жидкости Н = 4 м; избыточное давление Р_м = 2 атм; радиус крышки R = 1 м. Весом крышки пренебречь.

Решение:

На крышку действуют две силы: сила натяжения троса Т и сила давления жидкости Fz = г · W_т.д.

Из условия равновесия крышки получаем, что

Т = F_z = г · W_т.д.

Поскольку на свободной поверхности жидкости действует избыточное давление, для определения объема тела давления W_т.д. необходимо сначала поднять свободную поверхность на высоту. Тогда объем тела давления определится как разность объемов цилиндра и полусферы:

Окончательно для силы натяжения троса получим

Т = 10⁴ · 73,3 = 73,3 · 10⁴ Н.

Пример 1.5. В сосуд высотой Н = 0,3 м залита жидкость до уровня h = 0,2 м. Определить, до какой угловой скорости щ можно раскрутить сосуд, с тем, чтобы жидкость не выплеснулась из него, если его диаметр D = 100 мм.

Решение:

Ось z совместим с осью вращения, а ось r пустим по дну сосуда.

Свободная поверхность жидкости во вращающемся сосуде описывается уравнением (1.6)

.

Здесь нам неизвестны z₀ и щ. Учитывая, что z = H при r = D/2, получим

или (1.9)

Второе уравнение, связывающее z₀ и щ, получим, приравняв объемы жидкости в исходном, статичном и рабочем состояниях.

Исходный объем жидкости определится как

.

Объем параболоида можно определить как

Приравнивая объемы W_исх = W_пар, получаем

(1.10)

Приравнивая теперь (1.9) и (1.10), находим щ:

Пример 1.6. К прямоугольному бруску, скользящему по тонкому слою масла на горизонтальной поверхности, приложена сила F = 1 Н. Определить скорость установившегося движения бруска. Размеры бруска a? b = 0,2? 0,1 м. Толщина слоя масла д = 0,5 мм. Коэффициент динамической вязкости масла м = 0,050 Па с.

Решение:

При установившемся движении бруска (ускорение равно нулю) проекция равнодействующей силы на горизонтальную ось равна нулю, т. е.

F_тр = F.

Учитывая, что слой масла тонкий, можно принять распределение скорости масла по толщине слоя линейным, т. е.

.

И тогда сила F_тр (по закону жидкостного трения Ньютона) определится как

Приравнивая F_тр и F, получаем

Пример 1.7. Герметично закрытая цистерна диаметром D = 3 м полностью заполнена керосином плотностью с = 830 кг/м³. Показание манометра Р_м = 0,5 атм. Определить силу избыточного давления F керосина на торцевую крышку, а также найти координату приложения этой силы.

Решение:

Удельный вес керосина имеет величину

г = с · g = 830 · 10 = 8300 Н/м³.

Сила избыточного давления жидкости на плоскую поверхность определяется как

F = г · h_ц.т. · S.

Поскольку на свободной поверхности имеется избыточное давление, ее нужно поднять на высоту Р_м/г (рисунок 1.7а) так, что (см. рисунок 1.7б)

Таким образом

Поскольку днище расположено вертикально, h_ц.т. = _ц.т.

Положение центра давления определяется величиной _ц.д.:

Учитывая, что момент инерции круга, получим

Ответ: F = 441 кН, ?_ц.д = 7,59 м.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1

Задача 1. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры 50 ^оС. На сколько повысилось бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жесткой? Начальная температура бензина 20 ^оС. Модуль объемной упругости бензина принять равным К = 1300 МПа, коэффициент температурного расширения в_t = 8· 10^-4 1/град.

Задача 2. Определить избыточное давление на дне океана, глубина которого Н = 10 км, приняв плотность морской воды с = 1030 кг/м³ и считая ее несжимаемой. Определить плотность воды на той же глубине с учетом сжимаемости и приняв модуль объемной упругости К = 2· 10³ МПа.

Задача 3. Определить избыточное давление воды в трубе В, если показание манометра с_м = 0,025 МПа. Соединительная трубка заполнена водой и воздухом, как показано на схеме, причем Н₁ = 0,5 м; Н₂ = 3 м.

Как изменится показание манометра, если при том же давлении в трубе всю соединительную трубку заполнить водой (воздух выпустить через кран К)? Высота Н₃ = 5 м.

Задача 4. В цилиндрический бак диаметром D = 2 м до уровня Н = 1,5 м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре ниже уровня бензина на h = 300 мм. Определить вес находящегося в баке бензина, если с_б = 700 кг/м³.

Задача 5. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде, если показание ртутного прибора h = 368 мм, высота Н = 1 м. Плотность ртути с = 13 600 кг/м³. Атмосферное давление 736 мм рт. ст.

Задача 6. Определить, при какой высоте уровня воды начнет открываться клапан К, если сила пружины F_пр = 2 кН, угол ее установки б = 45^о, высота h = 0,3 м. Труба перед клапаном имеет квадратное сечение со стороной, а = 300 мм.

Задача 7. Определить абсолютное давление на поверхности жидкости в сосуде и высоту h, если атмосферное давление соответствует h_а = 740 мм рт. ст., поддерживающая сила F = 10 Н, вес сосуда G = 2 Н, а его диаметр d = 60 мм. Толщиной стенки сосуда пренебречь. Плотность жидкости с = 1000 кг/м³.

Задача 8. Определить минимальное значение силы F, приложенной к штоку, под действием которой начнется движение поршня диаметром D = 80 мм, если сила пружины, прижимающая клапан к седлу, равна F_пр = 100 Н, избыточное давление жидкости р₂ = 0,2 МПа. Диаметр входного отверстия клапана (седла) d₂ = 10 мм. Диаметр штока d₁ = 40 мм, избыточное давление жидкости в штоковой полости гидроцилиндра р₁ = 1,0 МПа.

Задача 9. Определить величину предварительного поджатия пружины дифференциального предохранительного клапана (мм), обеспечивающую начало открытия клапана при с_н = 0,8 МПа. Диаметры клапана: D = 24 мм, d = 18 мм; жесткость пружины с = 6 Н/мм. Давление справа от большого и слева от малого поршней — атмосферное.

Задача 10. Определить высоту h столба воды в пьезометрической трубке. Столб воды уравновешивает полый поршень с D = 0,5 и d = 0,2 м, имеющий высоту Н = 0,3 м. Собственным весом поршня и трением в уплотнении пренебречь.

Задача 11. Определить расположение центра тяжести С бетонного раствора (h_С и l_С), залитого в закрытый кузов автомобиля при его торможении с ускорением, а = g. Считать, что кузов имеет форму параллелепипеда: L = 1,92 м, H = 1,2 м и h = 1 м.

Задача 12. В кузов автомобиля-самосвала до уровня h₁ = 0,4 м налит цементный раствор. Определить наименьший допустимый путь торможения самосвала от скорости х = 36 км/ч до остановки исходя из условия, что раствор не выплеснулся из кузова. Для упрощения принять, что кузов самосвала имеет форму прямоугольной коробки размерами l = 2,5 м; h = 0,8 м; ширина кузова b = 1,8 м, а движение автомобиля при торможении равнозамедленное.

гидравлика гидропривод гидростатика

Задача 13. При отливке цилиндрической полой заготовки во вращающейся относительно вертикальной оси форме из-за действия сил тяжести нижний внутренний радиус r₁ будет меньше верхнего внутреннего радиуса r₂. Определить их разность, если высота отливки Н = 0,5 м, форма вращается с угловой скоростью щ = 200 с^-1; ее диаметр D = 200 мм и она в начальный момент заполнена на 30% своего объема.

Задача 14. Определить скорость скольжения V прямоугольной пластины (а х в х с = 630 мм х 420 мм х 11 мм) по наклонной плоскости под углом в = 6^о, если между пластиной и плоскостью находится слой масла, А — индустриальное 12. Толщина слоя масла д = 0,5 мм, динамическая вязкость 0,04 Па· С. Плотность материала пластины с = 830 кг/м³.

При решении задачи применяется формула Ньютона. Поскольку слой масла тонкий, можно считать, что скорость в нем изменяется по прямолинейному закону.

Задача 15. Зазор, А между валом и втулкой заполнен индустриальным маслом. Длина втулки L = 1500 мм. К валу, диаметр которого D = 500 мм, приложен постоянный вращающий момент М = 640 Н· м. Толщина зазора д = 3 мм. Определить частоту вращения вала. Динамическая вязкость масла 0,05 Па· С.

При решении задачи применяется формула Ньютона. Поскольку толщина д слоя масла мала, можно считать, что скорости в нем изменяются по прямолинейному закону. Эпюра касательных напряжений в слое масла принимается прямоугольной; сила трения проходит через центр тяжести этой эпюры.

Задача 16. Начальное положение гидравлической системы дистанционного управления представлено на рисунке (рабочая жидкость между поршнями не сжата). При перемещении ведущего поршня (его диаметр D) вправо жидкость постепенно сжимается и давление в ней повышается. Когда манометрическое давление достигает величины р_м = 20 МПа, сила давления на ведомый поршень (его диаметр 28 мм) становится больше силы сопротивления F. С этого момента приходит в движение вправо и ведомый поршень. Диаметр соединительной части цилиндров д = 14 мм, длина l = 1,50 м. Определить диаметр ведущего поршня, необходимый для того, чтобы ход L = 40 мм обоих поршней был один и тот же.

Коэффициент объемного сжатия рабочей жидкости принять в = 0,59 · 10^-9 м²/Н.

Задача 17. Горизонтальный цилиндрический резервуар, закрытый полусферическими днищами, заполнен бензином. Длина цилиндрической части резервуара L = 3,3 м, диаметр D = 2 м. Манометр М показывает манометрическое давление р_м = 2,0 МПа. Плотность бензина с = 700 кг/м³. Определить силы, разрывающие резервуар по сечениям: 1−1, 2−2, 3−3.

Задача 18. Вертикальная цилиндрическая цистерна с полусферической крышкой до самого верха заполнена двумя различными несмешивающимися жидкостями Ж₁ и Ж₂ (соответственно плотности с₁ = 1150 кг/м³ и с₂ = 1060 кг/м³). Диаметр цистерны D = 2,6 м, высота ее цилиндрической части Н = 4,5 м. Глубина жидкости Ж₁ равна Н/2. Манометр М показывает манометрическое давление р_м = 0,01 МПа. Определить силу, растягивающую болты А, и горизонтальную силу, разрывающую цистерну по сечению 1−1.

Задача 19. Круглое отверстие между двумя резервуарами закрыто конической крышкой с размерами D = 550 мм и L = 450 мм. Закрытый резервуар заполнен водой, а открытый резервуар — глицерином. К закрытому резервуару сверху присоединен манометр М, показывающий манометрическое давление р_м = 24,8 МПа. Плотность глицерина с = 1500 кг/м³, глубина h = 2 м и Н = 2,55 м. Определить силы, вызывающие растяжение и срез болтов А.

Задача 20. Отливка пустотелых чугунных цилиндров высотой Н = 250 мм производится центробежным способом. Во вращающуюся цилиндрическую форму вливаются W = 2,8 литров расплавленного чугуна. Частота вращения формы п = 528 мин ^-1, ее внутренний диаметр D = 200 мм. Определить толщину стенок отливки сверху и снизу.

У к, а з, а н и е. Объемными деформациями металла пренебречь.

Задача 21. Цилиндрический резервуар высотой Н = 2 м заполнен — водой до высоты? Н. Диаметр резервуара D = 1 м. Определить:

1) объем воды, ежесекундно сливающейся из резервуара при его вращении с частотой п = 102 мин^-1 вокруг его вертикальной оси;

2) силу давления на дно резервуара и горизонтальную силу, разрывающую резервуар по сечению 1−1 при его вращении.

Глава 2. Применение уравнения Бернулли. Гидравлические сопротивления При решении некоторых простейших задач о движении жидкостей часто в первом приближении делают допущение о том, что движущаяся жидкость является идеальной. Под идеальной понимают жидкость абсолютно несжимаемую и нерасширяемую, не способную сопротивляться растяжению и сдвигу, а также лишенную свойства испаряемости (р_н.п = 0). Главное, чем отличается жидкость идеальная от жидкости реальной, — это отсутствие у нее вязкости, вызывающей способность сопротивления сдвигу, т. е. возникновению касательных напряжений (трения в жидкости).

Следовательно, в движущейся идеальной жидкости возможен лишь один вид напряжений — напряжение сжатия, т. е. давление р, а касательное напряжение ф = 0.

Основными уравнениями, позволяющими решать простейшие задачи о движении идеальной жидкости, является уравнение расхода и уравнение Бернулли.

Уравнение расхода представляет собой условие неразрывности (сплошности) потока несжимаемой жидкости, или, что-то же самое, равенство объемных расходов в каких-то двух поперечных сечениях одного и того же потока, например 1 и 2, т. е. Q₁ = Q₂ или v₁S₁ = v₂S₂. Отсюда следует, что

(2.1)

т. е. скорости обратно пропорциональны площадям поперечных сечений потоков. При этом предполагается, что скорость во всех точках данного сечения одинакова.

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости выражает собой закон сохранения удельной энергии жидкости вдоль потока. Под удельной понимают энергию, отнесенную к единице веса, объема или массы жидкости. Обычно удобнее бывает относить энергию к единице веса. В этом случае уравнение Бернулли, записанное для сечений 1 и 2 элементарной струйки или потока идеальной жидкости, имеет вид

(2.2)

где z — вертикальные координаты центров тяжести сечений или удельная энергия положения;

р/(сg) — пьезометрическая (приведенная пьезометрическая) высота, или удельная энергия давления;

v²/(2g) — скоростной напор, или удельная кинетическая энергия; Н — полный напор, или полная удельная энергия жидкости.

Для потока реальной (вязкой) жидкости уравнение Бернулли следует писать в таком виде:

(2.3)

где v_ср — средняя по сечению скорость, равная v_ср = Q/S;

б — коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечениям и равный отношению действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии того же потока, но при равномерном распределении скоростей;

Уh — суммарная потеря полного напора между сечениями 1 и 2, обусловленная вязкостью жидкости.

Различают два вида гидравлических потерь напора: местные потери и потери на трение по длине.

Местные потери напора происходят в так называемых местных гидравлических сопротивлениях, т. е. в местах изменения формы и размеров русла, где поток так или иначе деформируется — расширяется, сужается, искривляется — или имеет место более сложная деформация. Местные потери выражают формулой Вейсбаха

(2.4)

где v — средняя скорость потока в сечении перед местным сопротивлением (при расширении) или за ним (при сужении) и в тех случаях, когда рассматривают потери напора в гидроарматуре различного назначения;

ж_м — безразмерный коэффициент местного сопротивления.

Числовое значение коэффициента в основном определяется формой местного сопротивления, его геометрическими параметрами, но иногда влияет также число Рейнольдса, которое для труб диаметром d выражается формулой

(2.5)

здесь — кинематическая вязкость жидкости, выражаемая в м²/с или см²/с.

Число Рейнольдса определяет режим движения жидкостей (и газов) в трубах.

При Re < Re_кр, где Re_кр? 2300, режим движения ламинарный, т. е. слоистый — без перемешивания жидкости и без пульсаций скоростей и давлений.

При Re > Re_кр режим течения турбулентный, т. е. с перемешиванием жидкости и с пульсациями скоростей и давлений.

Потери напора на трение по длине определяются общей формулой Дарси

(2.6)

где безразмерный коэффициент сопротивления трения определяется в зависимости от режима течения:

при ламинарном режиме _л однозначно определяется число Рейнольдса, т. е.

; (2.7)

при турбулентном режиме _т помимо числа Рейнольдса зависит еще от относительной шероховатости /d, т. е., используя формулу Альтшуля

(2.8)

где Д — высота микронеровностей стенки трубы (эквивалентная шероховатость), мм.

Указания к решению задач Задачи данного раздела рассчитаны на применение уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (2.3). Полагая при этом поток турбулентным, коэффициент Кориолиса можно принимать б = 1.

При применении уравнения Бернулли важно правильно выбрать те два сечения, для которых оно записывается.

В качестве сечений рекомендуется брать:

— свободную поверхность жидкости в резервуаре (баке), где скорость потока v = 0;

— выход в атмосферу, где р_изб = 0; р_абс = р_атм;

— сечение, где присоединен тот или иной манометр, пьезометр или вакуумметр;

— неподвижный воздух вдалеке от входа в трубу, в которую происходит всасывание из атмосферы.

Уравнение Бернулли рекомендуется сначала записать в общем виде, а затем переписать с заменой его членов заданными буквенными величинами и исключить члены, равные нулю.

При этом необходимо помнить следующее:

— вертикальная ордината z всегда отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости вверх;

— давление р, входящее в правую и левую части уравнения, должно быть задано в одной системе отсчета (абсолютной или избыточной);

— суммарная потеря напора Уh всегда пишется в правой части уравнения Бернулли со знаком «+»;

— величина Уh в общем случае складывается из местных потерь, которые можно выражать формулой Вейсбаха (2.4), и потерь на трение по длине, определяемых формулой Дарси (2.6).

Примеры решения задач

Пример 2.1. Из резервуара А, заполненного водой и находящегося под манометрическим давлением Р_м = 0,5 атм, вода подается по стальному трубопроводу длиной = 10 м и диаметром d = 100 мм в резервуар Б на высоту Н = 2 м. Коэффициент сопротивлений крана о_кр = 9, каждого колена о_кол =0,25; о_вх = 0,5; о_вых = 1. Коэффициент гидравлического трения л = 0,04. Определить режим течения, расход Q и скорость V воды в трубопроводе.

Решение:

Уравнение Бернулли в общем случае имеет вид:

. (2.9)

Первое сечение (1−1) возьмем на свободной поверхности воды в баке А, второе (2−2) — на свободной поверхности в баке Б. Плоскость сравнения совместим с осью трубопровода в месте соединения его с баком, А (см. рисунок).

Давления в первом и втором сечениях возьмем абсолютные. Скоростью изменения уровней воды в баках, А и Б можно пренебречь, поэтому в уравнении (2.9) v₁ = v₂ = 0. Тогда уравнение (2.9) примет вид

.

Отсюда (учитывая, что Н₂ = Н₁ + Н) получаем

.

Режим течения определим по значению числа Рейнольдса:

Т.к. Re > 2300, следовательно, режим турбулентный.

Расход в трубе определится как

Пример 2.2. Определить расход керосина, вытекающего из бака по трубопроводу длиной = 10 м и диаметром d = 50 мм, если избыточное давление в баке Р_м = 16 кПа, высота уровня Н₁ = 1 м, высота подъема керосина в открытом пьезометре Н₂ = 1,75 м. Труба гидравлически гладкая (шероховатость = 0). Плотность керосина с = 800 кг/м³, кинематическая вязкость = 0,025 см²/с.

Удельный вес керосина г = с · g = 800 · 10 = 8000 Н/м³. Поместим первое и второе поперечные сечения потока, а также плоскость сравнения так, как показано на рисунке. Тогда уравнение Бернулли примет вид:

или

. (2.10)

Воспользоваться уравнением (2.10) мы не можем, т.к. нам неизвестно значение коэффициента гидравлического трения л. Поэтому дальнейшее решение проводим методом последовательных приближений.

1-е приближение. Задаемся значением л из диапазона 0,02…0,04.

Пусть л = 0,02.

Тогда из (2.10) находим скорость:

Далее определяем число Рейнольдса:

.

Поскольку режим турбулентный, а труба гладкая — коэффициент гидравлического трения л находим по формуле Блазиуса:

Различие между принятым и получившимся значениями л составит

Поскольку разница превышает 5%, сделаем второе приближение.

2-е приближение.

Пусть л = 0,022.

Тогда из (2.10)

Поскольку теперь л = л?, приближения заканчиваем.

Расход теперь определится как

Данный метод позволяет с достаточной точностью производить инженерные расчеты.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2