Методы формализованного представления систем

Название класса методов и символический образ.

Основная терминология и примеры теорий, возникших и развивающихся на базе соответствующего класса методов.

Сферы и возможности применения.

Аналитическими здесь названы методы, которые ряд свойств многомерной, многосвязной системы отображают в п-мерном пространстве в виде одной единственной точки (безразмерной в строгих математических доказательствах), совершающей какиелибо перемещения в пространстве (или обладающей каким-то поведением). Это отображение осуществляется посредством оператора (функции, функционала) Ф[S_x]. Можно также две (или более) системы или их части отобразить точками и рассматривать их взаимодействие. Поведение точек, их взаимодействие описываются строгими соотношениями, имеющими силу закона.

Основу понятийного (терминологического) аппарата этих представлений составляют понятия классической математики (величина, формула, функция, уравнение, система уравнений, логарифм, дифференциал, интеграл и т. д.).

На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности — от аппарата классического математического анализа (методов исследования функций, их вида, способов представления, поиска экстремумов функций и т. п.) до таких новых разделов современной математики, как математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т. п.), теория игр (матричные игры с чистыми стратегиями, дифференциальные игры и т. п.).

Применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т. е. когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить поведение их вне этого интервала. Эти методы используются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения, в том числе в конфликтных ситуациях и т. п.

Математические теории, развивающиеся на базе аналитических представлений, стали основой многих прикладных теорий, в том числе теории автоматического управления, теории оптимальных решений и т. д.

При практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установления всех детерминированных связей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей.

Для сложных многокомпонентных, многокритериальных систем получить требуемые аналитические зависимости крайне трудно.

Более того, даже если это и удается, то практически невозможно доказать правомерность применения таких выражений, т. е. адекватность модели рассматриваемой задаче

Статистическим называют отображение системы с помощью случайных (стохастических) событий, процессов, которые описываются вероятностными характеристиками и статистическими закономерностями. Статистические отображения системы можно представить (см. символический образ) как бы в виде «размытой» точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые в модели свойства) оператор [S]. «Размытую» точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение). При этом границы области заданы с некоторой вероятностью р (под вероятностью события понимается р (А) = m/n, где т — число появлений события А; п — общее число опытов; если при n >? (m/n) > const), т. е. границы как бы «размыты», и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Фиксируя все параметры этой области, кроме одного, можно получить «срез» по линии а-b, смысл которого — воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения.

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий: математическая статистика; теория статистических испытаний (основой которой является метод Монте-Карло, а развитием — теория статистического имитационного моделирования); теория выдвижения и проверки статистических гипотез, базирующаяся на общей теории статистических решающих функций А. Вальда (частным случаем этой теории, важным для теории систем, является байесовский подход к исследованию передачи информации в процессах общения, обучения и других ситуациях); теория потенциальной помехоустойчивости; теория решающих функций. Обобщением двух последних направлений является теория статистических решений

На базе статистических представлений возникли и развиваются ряд прикладных направлений: статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, экономическая статистика, теория массового обслуживания; а также развившиеся из направлений, возникших на базе аналитических представлений, — стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т. п.

Применение статистических представлений позволяет расширить возможности отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами. Это объясняется тем, что процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (событиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (исследования репрезентативной выборки) получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом с какой-то вероятностью. Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. Если же не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам.

В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединяемым под общим названием — методы дискретной математики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса принятия решения.

Статистические и теоретико-множественные методы инициировали возникновение теории нечетких, или «размытых», множеств Л. Заде, которая явилась началом развития нового направления — нечетких формализаций (см. Нечеткие, или «размытые», множества) и т. д.

Теоретико-множественные представления базируются на понятиях множество, элементы множества, отношения на множествах, континуум.

Множества могут задаваться следующими способами: 1) перечислением (интенсионально): {а (-}, где i = 1,… п или ап>, гдеа, еЛ;2) путем указания некоторого характеристического свойства, А (экстенсионально).

В основе теоретико-множественных преобразований лежит переход от одного способа задания множества к другому.

В множестве могут быть выделены подмножества. Из двух или нескольких множеств можно сформировать путем установления отношений между элементами этих множеств новое множество, обладающее принципиально новыми свойствами и, как правило, новое качество приобретают и элементы. Теоретико-множественные представления допускают введение любых произвольных отношений. При конкретизации отношений и правил их использования можно получить одну из алгебр логики, один из формальных языков математической лингвистики, создать язык моделирования сложной системы, который затем может развиваться как самостоятельное научное направление, получив соответствующее название.

Между теоретико-множественными описаниями разных систем или их частей можно устанавливать соответствия: гомоморфизма, изоморфизма, автоморфизма, отношения рефлексивности, симметричности, транзитивности, заимствованные теорией множеств из других разделов математики.

Благодаря возможности введения любых отношений теоретико-множественные представления используются как обобщающий язык при сопоставлении различных направлений математики и других дисциплин, явились основой для возникновения новых научных направлений или развития существующих.

В частности, теоретико-множественные представления получили широкое распространение для уточнения ряда математических направлений. Первой теорией, для которой на основе этих представлений были получены важные новые результаты, была теория чисел. Теоретикомножественные представления сыграли большую роль в становлении комбинаторики, топологии, в разработке теории «размытых» множеств Л. Заде. На их основе стали создаваться первые информационно-поисковые языки, языки автоматизации моделирования. На теоретикомножественных представлениях базируется вариант математической теории систем М. Месаровича.

Система может быть представлена совокупностью множеств или подмножеств разнородных компонентов с произвольно вводимыми элементами и отношениями. Однако свобода введения произвольных отношений приводит к тому, что в формализованном с их помощью описании проблемной ситуации довольно быстро могут обнаружиться неразрешимые противоречия — парадоксы, апории или антиномии, что не позволяет оперировать с получаемыми теоретико-множественными моделями таким же образом, как с классическими математическими (аналитическими, статистическими) соотношениями, гарантируя достоверность получаемых результатов.

Логические представления переводят реальную систему и отношения в ней на язык одной из алгебр логики (двузначной, многозначной), основанной на применении алгебраических методов для выражений законов алгебры логики. Наибольшее распространение получила бинарная алгебра логики Буля (Булева алгебра).

Базовыми понятиями алгебры логики являются: высказывание, предикат, логические функции (операции) кванторы, логический базис, логические законы или теоремы (законы алгебры логики), применяя которые можно преобразовать систему из одного описания в другие с целью ее совершенствования. Например, получить более простую структуру (схему), содержащую меньшее число состояний, элементов, но осуществляющую требуемые функции.

Теоремы доказываются и используются в рамках формального логического базиса, определяемого совокупностью специальных правил.

Логические методы представления систем относятся к детерминистским методам, хотя возможно их расширение в сторону вероятностных оценок.

На базе математической логики созданы и развиваются теории логического анализа и логического синтеза, теория автоматов. На основе логических представлений первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории формальных языков.

В силу ограниченности смысловыражающих возможностей в бинарной алгебре логики, в последнее время имеются попытки создания многозначных (тернарной и т. п.) алгебр логики, имеющих соответствующие логические базисы и теоремы.

Применяются при исследовании новых структур и систем разнообразной природы (технических объектов, текстов и др.), в которых характер взаимоотношений между элементами еще не настолько ясен, чтобы возможно было их представление аналитическими методами, а статистические исследования либо затруднены, либо не привели к выявлению устойчивых статистических закономерностей.

В то же время следует иметь в виду, что с помощью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а только те, которые предусмотрены законами алгебры логики и удовлетворяют требованиям логического базиса.

Логические представления широко применяются при исследовании и разработке автоматов разного рода, автоматических систем контроля, при решении задач распознавания образов. На их основе развивается самостоятельный раздел теории формальных языков — языки моделирования проблемных ситуаций и текстов.

В то же время смысловыражающие возможности у логических методов ограничены базисом и не всегда позволяют адекватно отобразить реальную проблемную ситуацию. Поэтому стали предприниматься попытки вначале создать тернарную логику, а затем и разновидности многозначных логик, вплоть до непрерывной. Однако попытки создания многозначных логик на практике пока не находят широкого применения из-за сложности обоснования логического базиса и доказательства формальных теорем-законов многозначной алгебры логики, без чего невозможно формально применять логические законы и алгоритмы и получать достоверные результаты.

Основными понятиями, на которых базируются лингвистические представления, являются: тезаурус Т, грамматика G, семантика, прагматика.

Термин «тезаурус» (от греч. ???, thesauros — сокровищница, богатство, клад, запас и т. п.) в общем случае характеризует «совокупность научных знаний о явлениях и законах внешнего мира и духовной деятельности людей, накопленную всем человеческим обществом» .

В математической лингвистике и семиотике термин «тезаурус» используется в более узком смысле, для характеристики конкретного языка, его многоуровневой структуры. Для этих целей удобно пользоваться одним из принятых в лингвистике определений тезауруса как " множества смысловыражающих элементов языка с заданными смысловыми отношениями" , которое дал Ю. А. Шрейдер.

Для системных приложений интересно сочетание математической лингвистики и семиотики, которая возникла как наука о знаках, знаковых системах. Однако некоторые школы, развивающие семиотические представления, равноправно пользуются в семиотике понятиями математической лингвистики, такими, как тезаурус, грамматика, семантика и т. п. Такие представления иногда называют лингвистической семиотикой, или лингвосемиотикой.

С теоретической точки зрения границу между лингвистическими и семиотическими представлениями при разработке языков моделирования можно определить характером правил грамматики: если правила не охватываются классификацией формальных грамматик Н. Хомского, то модель относят к семиотической и применяют произвольные правила взаимоотношений между знаками, отображающими компоненты модели, допустимые семиотикой.

Для практических приложений модели лингвистических и семиотических представлений можно рассматривать как один класс методов формализованного представления систем.

Лингвистические и семиотические представления возникли и развиваются в связи с потребностями анализа текстов и языков. Однако во второй половине XX в. эти представления стали широко применяться для отображения и анализа процессов в сложных системах в тех случаях, когда не удается применить сразу аналитические, статистические представления или методы формальной логики.

В частности, лингвистические и семиотические представления являются удобным аппаратом (особенно в сочетании с графическими) для первого этапа постановки и формализации задач принятия решений в ситуациях с большой начальной неопределенностью, чем и был вызван интерес к этим методам со стороны инженеров и специалистов, занимающихся исследованием и разработкой сложных систем. На их основе разрабатывают языки моделирования и автоматизации проектирования. При применении этих методов следует иметь в виду, что при усложнении языка моделирования, при применении правил произвольной грамматики, или семиотики, трудно гарантировать достоверность получаемых результатов, возникают проблемы алгоритмической разрешимости, парадоксов, которые частично могут быть преодолены с помощью содержательного контроля и корректировки языка на каждом шаге его расширения в диалоговом режиме моделирования. При этом разработчик языка моделирования не всегда может формально объяснить его возможности, происходит как бы «выращивание» языка, у которого появляются новые свойства, повышающие его смысловыражающие возможности.

К графическим представлениям здесь отнесены любые графики (диаграммы, гистограммы, графики Ганта, т. е. «время-операция» в прямоугольных координатах и тщ.) и возникшие на основе графических отображений теории: теория графов, теория сетевого планирования и управления и т. п., т. е. все, что позволяет наглядно представить процессы, происходящие в системах, и облегчить таким образом их анализ для человека (лица, принимающего решения). Графики Ганта выполнялись с ручным, а в последу ющем и с автоматическим управлением. В последующем на этой основе возникли представления совокупности дискретных операций в дискретном времени как множества событий, упорядоченных в двух измерениях, — сетевых структур.

Есть и возникшие на основе графических представлений методы, которые позволяют ставить и решать вопросы оптимизации процессов организации, управления, проектирования и являются математическими методами в традиционном смысле.

Таковы геометрия, теория графов.

Понятие " графа" в математическом смысле первоначально было введено Л. Эйлером.

Графические представления являются удобным средством исследования структур и процессов в сложных системах, средством организации взаимодействия человека и технических устройств (в том числе ЭВМ).

На основе сетевых структур возникли прикладные теории: PERT (Program Evaluation and Review Technique — Методика оценки и контроля программ), теория сетевого планирования и управления.

Первоначально методы СПУ широко применялись не только в управлении производственными процессами (где достаточно несложно построить сетевой график), но и в системах организационного управления.

Однако применение теории СПУ ограничивается ее недостатками, основными из которых являются: 1) теория первоначально была ориентирована на анализ только одного класса графов — направленных (не имеющих обратных связей, т. е. циклов, петель); 2) значительная доля «ручного» труда ЛПР, которая при разработке сетевого графика составляет по оценкам специалистов до 95% общих затрат времени на анализ ситуаций и процессов с использованием СПУ.

Разрабатываются методы статистического сетевого моделирования с использованием вероятностных оценок и ненаправленных графов, подходы к автоматизации формирования графов.

Прикладные классификации методов моделирования.

Классификации методов формализованного представления систем.

аналитические.

статистические.

теоретико-множественные.

логические.

лингвистические.

графические.

Экономико-математические методы.

Производственные функции.

Балансные модели.

Модели объемного планирования.

Модели календарного планирования (оптимизация выполнения работ во времени, расписание работ).

Потоковые (транспортные) модели.

Модели распределения и назначения.

Модели управления запасами.

Модели износа и замены оборудования.

Модели массового обслуживания.

Состязательные модели.

Методы работы с массивами информации

Методы организации массивов.

Методы обработки массивов (сортировка массива, его упорядочение, извлечение выборочной информации по запросу).

Методы поиска информации.