Двоичный циклический код Хэмминга

— 20 ;

Российский Государственный Социальный Университет

Факультет Социальных информационных технологий

Кафедра Информационной безопасности

Курсовая работа

по дисциплине Системы и сети связи Москва — 2006

Задание 1

Для системы связи (СС) с переспросом с ожиданием ответа одностороннего действия (рис. 1) при заданных исходных данных:

1. Найти двоичный циклический (n, k)-код Хэмминга, который обеспечивает передачу сообщений в СС с вероятностью выдачи ложного сообщения Р_{лс (n,k)} < P_доп при следующих условиях:

ѕ прямой дискретный канал в СС является двоичным симметричным каналом (ДСК) с постоянными параметрами;

ѕ обратный непрерывный канал — без помех;

ѕ код используется только для обнаружения ошибок;

ѕ найденный значения n и k должны обеспечивать минимум разности P_доп -Р_{лс (n,k)} для возможных значений n и k.

2. Отложить в координатных осях вычисленные значения Р_{лс (n,k)} для всех исследованных пар (n, k). В этих же осях прямой линией изобразить заданное значение P_доп.

Исходные данные для курсовой работы (вариант № 22):

Рисунок 1. Структурная схема СС с переспросом с ожиданием ответа одностороннего действия

Описание работы СС с переспросом с ожиданием ответа одностороннего действия (рис. 1):

Информационная последовательность отдельными комбинациями не корректирующего кода через первое положение ключа направляется в кодер и в ЗУ передатчика. На выходе кодера образуется комбинация корректирующего кода, которая поступает в модулятор прямого канала. В прямом канале возможно искажение сигнала. На приемной стороне решение о принятом символе принимается демодулятором с так называемой зоной ненадежности.

Принцип его работы можно понять из рисунка.

Пусть символ «1» передается по каналу связи импульсом положительной полярности с амплитудой U, а «0» импульсом отрицательной полярности с той же амплитудой.

В демодуляторе выделена некоторая зона +VV, если принимаемый импульс попадает в эту зону (зона ненадежности), то демодулятор считает, что он не может принять надежного решения, о том, какой символ передавался. В этом случае, демодулятор выдает символ ненадежности Z. С выхода демодулятора комбинации поступают на вход декодера. После поступления всей комбинации с выхода декодера в обратный канал направляется одна из двух команд:

ѕ «переспрос», если содержатся ошибки в принятой комбинации, и одновременно кодовое слово с символами Z стирается;

ѕ «продолжение», если не обнаружено ошибок, и комбинация не корректирующего кода направляется к получателю.

Если различитель команд получает команду «продолжения», то из ЗУ передатчика в прямой канал направляется следующая порция* информации. Если различитель команд получает команду «переспрос», то он переключает ключ в положение 2 и из ЗУ передатчика в прямой канал повторно направляется комбинация, которая была стерта.

После выдачи в прямой канал из ЗУ передатчика очередной порции информации, следующая порция не передаётся до тех пор, пока не будет получен ответ по этой порции.

Порядок расчета Р_лс и пример расчета Р_лс для циклического (n,k)-кода Хэмминга, обеспечивающего минимум разности Р_доп — Р_{лс (n,k)}:

Произведем расчет для (18,13)-кода с d=3.

Для этого введем обозначения:

· P_бо — вероятность появления на выходе ДСК комбинации (n, k)-кода без ошибок при однократной передаче;

· Р_оо — вероятность появления на выходе ДСК комбинации (n, k)-кода с обнаруживаемыми ошибками при однократной передаче;

· Р_но — вероятность появления на выходе ДСК комбинации (n, k)-кода с необнаруживаемыми ошибками при однократной передаче;

· Р_ivо — вероятность появления на выходе ДСК комбинации с ошибками кратности iv₀;

· Р_i>vо — вероятность появления на выходе ДСК комбинации с ошибками кратности i>v₀, которые расположены так, что обнаруживаются кодом;

· Р_лс — вероятность появления на выходе СС с неограниченным числом переспросов ложного сообщения.

Найдем:

хэмминг код цикличный программа

P_бо = qⁿ, где q=1-p;

Р_ivо =, где v₀=d-1;

Р_оо = Р_ivо + Р_i>vо;

Р_но 1- P_бо — Р_ivо;

Р_лс = Р_но/(1- Р_оо).

Пример:

P_бо = qⁿ=0,9994¹⁸=0,98 925 490, где q=1-p=0,9994;

Р_ivо ==+=

18*0,0006*0,98 984 881+153*0,36*0,99 044 307=0,1 074 492, где v₀=d-1=2;

Р_оо = Р_ivо + Р_i>vо= 0,1 074 492;

Р_но 1- P_бо — Р_ivо=1−0,98 925 490−0,1 074 492=0,18;

Р_лс = Р_но/(1- Р_оо)=0,18/(1−0,1 074 492)=0,18.

Структурная схема алгоритма расчета кода, ее описание

Описание алгоритма:

1) Начало;

2) Объявляем P = 0.0006, Pdop=0.2, i=0, k, Pbo, Poo, Pno, Pls, lgPls, h=0, M[61], H[], d=3;

3) Вручную меняем d (по умолчанию d=3);

4) Если d=2, то i=11, иначе переходим к шагу 7;

5) Если i<=31, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, Poo=(C)*(P¹)*(1-P)^(i-1),

Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i-11]=(Pdop-Pls), i=i+1, переходим к шагу 5, иначе переходим к шагу 35;

6) Выводим Pbo, Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 5;

7) Если d=3, то i=11, иначе переходим к шагу 21;

8) Если i<=15, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 14;

9) Выводим Pbo;

10) Если k<=2, то Poo=, иначе переходим к шагу 12;

11) k=k+1, переходим к шагу 10;

12) Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

13) Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 8;

14) i=17;

15) Если i<=31, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 35;

16) Выводим Pbo;

17) Если k<=2, то Poo=, иначе переходим к шагу 19;

18) k=k+1, переходим к шагу 17;

19) Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

20) Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 15;

21) Если d=4, то i=11, иначе переходим к шагу 35;

22) Если i<=15, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 28;

23) Выводим Pbo;

24) Если k<=3, то Poo=, иначе переходим к шагу 26;

25) k=k+1, переходим к шагу 24;

26) Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

27) Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 22;

28) i=17;

29) Если i<=31, то Pbo=(1-P)^i, Poo=0, k=1, иначе переходим к шагу 35;

30) Выводим Pbo;

31) Если k<=3, то Poo=, иначе переходим к шагу 33;

32) k=k+1, переходим к шагу 31;

33) Pno=1-Pbo-Poo, Pls=Pno/(1-Poo), lgPls=log10(Pls),

M[i+10]=(Pdop-Pls), i=i+1;

34) Выводим Poo, Pno, Pls, lgPls, переходим к шагу 29;

35) h=0, i=0;

36) Если i<=60, то переходим к шагу 37, иначе переходим к шагу 38;

37) Если M[i]>0, то h=h+1, i=i+1, иначе i=i+1 и переходим к шагу 36;

38) Выделяем память под массив Н из h элементов.

39) Если i<=60, то переходим к шагу 40, иначе переходим к шагу 41;

40) Если M[i]>0, то H[k]=M[i], k=k+1, i=i+1, иначе i=i+1 и переходим к шагу 39;

41) i=0;

42) Ищем минимальный элемент в массиве Н;

43) Если i<=60, то переходим к шагу 44, иначе переходим к шагу 50;

44) Если M[i]=минимальному элементу, то и переходим к шагу 45, иначе i=i+1 и переходим к шагу 43;

45) Если i>=0 и i<=20, то выводим (i+11,i+10)-код, иначе переходим к шагу 46;

46) Если i>=21 и i<=25, то выводим (i-10,i-14)-код, иначе переходим к шагу 47;

47) Если i>=26 и i<=40, то выводим (i-9,i-14)-код, иначе переходим к шагу 48;

48) Если i>=41 и i<=45, то выводим (i-30,i-35)-код, иначе переходим к шагу 49;

49) Если i>=46 и i<=60, то выводим (i-29,i-35)-код, иначе i=i+1 и переходим к шагу 39;

50) Выводим минимальный элемент из массива Н, как минимум разницы Р_доп-Р_лс;

51) Конец.

Распечатка программы

Программа написана на языке С++.

#include

#include

#include

#include

#include

#pragma hdrstop

#include «Unit1.h»

//—————————————————————————————————————;

#pragma package (smart_init)

#pragma resource «*.dfm»

float P = 0.0006;

float Pdop = 0.2;

using namespace std;

float M[61];

vectorH;

char B[128];

TForm1 *Form1;

//—————————————————————————————————————;

__fastcall TForm1: TForm1(TComponent* Owner)

: TForm (Owner)

{

}

//—————————————————————————————————————;

float C (int n, int m)

{float c=1.0;

for (int i=n;i>=n-m+1;i—)c*=i;

for (int i=1;i<=m;i++)c/=i;

return (int)c;

}

void __fastcall TForm1: ComboBox1Select (TObject *Sender)

{int i=0, k;

double Pbo, Poo, Pno, Pls, lgPls;

AnsiString s;

ListBox1->Clear ();

ListBox2->Clear ();

ListBox3->Clear ();

ListBox4->Clear ();

ListBox5->Clear ();

ListBox6->Clear ();

ListBox7->Clear ();

//d=2

if (ComboBox1->ItemIndex==0)

for (i=11;i<=31;i++)

{s="(«+IntToStr (i)+» ," +IntToStr (i-1)+")" ;

ListBox1->Items->Add (s);

Pbo=pow (1-P, i);

sprintf (B," %.8f", Pbo);

ListBox2->Items->Add (B);

Poo=0;

Poo=C (i, 1)*pow (P, 1)*pow (1-P, i-1);

sprintf (B," %.8f", Poo);

ListBox3->Items->Add (B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf (B," %.8f", Pno);

ListBox4->Items->Add (B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf (B," %.8f", Pls);

ListBox5->Items->Add (B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf (B," %.2f", lgPls);

ListBox6->Items->Add (B);

Series1->AddXY (i, lgPls, s, clRed);

M[i-11]=(Pdop-Pls);

}

//d=3

if (ComboBox1->ItemIndex==1)

{for (i=11;i<=15;i++)

{s="(«+IntToStr (i)+» ," +IntToStr (i-4)+")" ;

ListBox1->Items->Add (s);

Pbo=pow (1-P, i);

sprintf (B," %.8f", Pbo);

ListBox2->Items->Add (B);

Poo=0;

for (k=1;k<=2;k++)

Poo+=C (i, k)*pow (P, k)*pow (1-P, i-k);

sprintf (B," %.8f", Poo);

ListBox3->Items->Add (B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf (B," %.8f", Pno);

ListBox4->Items->Add (B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf (B," %.8f", Pls);

ListBox5->Items->Add (B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf (B," %.2f", lgPls);

ListBox6->Items->Add (B);

Series2->AddXY (i, lgPls, s, clLime);

M[i+10]=(Pdop-Pls);

}

for (i=17;i<=31;i++)

{s="(«+IntToStr (i)+» ," +IntToStr (i-5)+")" ;

ListBox1->Items->Add (s);

Pbo=pow (1-P, i);

sprintf (B," %.8f", Pbo);

ListBox2->Items->Add (B);

Poo=0;

for (k=1;k<=2;k++)

Poo+=C (i, k)*pow (P, k)*pow (1-P, i-k);

sprintf (B," %.8f", Poo);

ListBox3->Items->Add (B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf (B," %.8f", Pno);

ListBox4->Items->Add (B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf (B," %.8f", Pls);

ListBox5->Items->Add (B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf (B," %.2f", lgPls);

ListBox6->Items->Add (B);

Series2->AddXY (i, lgPls, s, clLime);

M[i+9]=(Pdop-Pls);

}

}

//d=4

if (ComboBox1->ItemIndex==2)

{for (i=11;i<=15;i++)

{s="(«+IntToStr (i)+» ," +IntToStr (i-5)+")" ;

ListBox1->Items->Add (s);

Pbo=pow (1-P, i);

sprintf (B," %.8f", Pbo);

ListBox2->Items->Add (B);

Poo=0;

for (k=1;k<=3;k++)

Poo+=C (i, k)*pow (P, k)*pow (1-P, i-k);

sprintf (B," %.8f", Poo);

ListBox3->Items->Add (B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf (B," %.8f", Pno);

ListBox4->Items->Add (B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf (B," %.8f", Pls);

ListBox5->Items->Add (B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf (B," %.2f", lgPls);

ListBox6->Items->Add (B);

Series3->AddXY (i, lgPls, s, clYellow);

M[i+30]=(Pdop-Pls);

}

for (i=17;i<=31;i++)

{s="(«+IntToStr (i)+» ," +IntToStr (i-6)+")" ;

ListBox1->Items->Add (s);

Pbo=pow (1-P, i);

sprintf (B," %.8f", Pbo);

ListBox2->Items->Add (B);

Poo=0;

for (k=1;k<=3;k++)

Poo+=C (i, k)*pow (P, k)*pow (1-P, i-k);

sprintf (B," %.8f", Poo);

ListBox3->Items->Add (B);

Pno=1-Pbo-Poo;

sprintf (B," %.8f", Pno);

ListBox4->Items->Add (B);

Pls=Pno/(1-Poo);

sprintf (B," %.8f", Pls);

ListBox5->Items->Add (B);

lgPls=log10(Pls);

sprintf (B," %.2f", lgPls);

ListBox6->Items->Add (B);

Series3->AddXY (i, lgPls, s, clYellow);

M[i+29]=(Pdop-Pls);

}

}

int h=0;

for (i=0;i<=60;i++)

if (M[i]>0) h++;

H.resize (h);

k=0;

for (i=0; i<=60;i++)

if (M[i]>0) {H[k]=M[i]; k++;}

for (i=0;i<=60;i++)

if (M[i]==*min_element (H.begin (), H. end ()))

{if (i>=0&&i<=20)

{s="(«+IntToStr (i+11)+» ," +IntToStr (i+10)+")-код с d=2″ ;

ListBox7->Items->Add (s);}

if (i>=21&&i<=25)

{s="(«+IntToStr (i-10)+» ," +IntToStr (i-14)+")-код с d=3″ ;

ListBox7->Items->Add (s);}

if (i>=26&&i<=40)

{s="(«+IntToStr (i-9)+» ," +IntToStr (i-14)+")-код с d=3″ ;

ListBox7->Items->Add (s);}

if (i>=41&&i<=45)

{s="(«+IntToStr (i-30)+» ," +IntToStr (i-35)+")-код с d=4″ ;

ListBox7->Items->Add (s);}

if (i>=46&&i<=60)

{s="(«+IntToStr (i-29)+» ," +IntToStr (i-35)+")-код с d=4″ ;

ListBox7->Items->Add (s);}

}

ListBox7->Items->Add (««);

ListBox7->Items->Add («Минимальная разность»);

sprintf (B," %.12f" ,*min_element (H.begin (), H. end ()));

ListBox7->Items->Add («Рдоп-Рлс»);

ListBox7->Items->Add (B);

}

//—————————————————————————————————————;

void __fastcall TForm1: FormCreate (TObject *Sender)

{ComboBox1->ItemIndex=1;

Series4->AddXY (0,log10(Pdop)," lg Pдоп", clBlack);

Series4->AddXY (31.3,log10(Pdop)," lg Pдоп", clBlack);

}

//—————————————————————————————————————;

График найденных значений lg P_лс

Задание 2

Построить функциональные схемы кодера и декодера для найденного (n, k)-кода и заданного для него порождающего многочлена g₃(X). При изображении схем кодера и декодера использовать условные изображения элементов:

Исходные данные:

g₃(x)=x⁵+x³+x²+x+1;

r=5.

Функциональная схема кодера для (18,13)-кода

Описание работы схемы:

Кодер 1 с последовательным вводом информационных символов (a₁₂, a₁₁, …, a₁, a₀) состоит из регистра проверочных символов (РПС), регистра задержки (РЗ) с 5 элементами памяти и трех ключей. В исходном состоянии в элементах памяти регистров — нули, ключи Кл1 и Кл2 разомкнуты, Кл3 замкнут.

При подаче первых 5 импульсов сдвига (ИС) 5 информационных символов, начиная со старшего, вводятся в оба регистра. С окончанием 5-го ИС ключи Кл1 и Кл2 замыкаются, а Кл3 размыкается.

В течение последующих k ИС информационные символы выводятся из РЗ, а в РПС образуются 5 проверочных символов. После этого ключи Кл1 и Кл2 размыкаются, а Кл3 замыкается.

За последующие 5 импульсов сдвига проверочные символы выдаются на выход кодера, после чего схема возвращается в исходное состояние. Таким образом, первый символ комбинации УЦК появляется на выходе кодера с задержкой на 5 ИС.

Функциональная схема декодера для (18,13)-кода

1. Хохлов Г. И., Пособие к выполнению лабораторной работы № 3 по дисциплине «Системы и сети связи». — М.: 2005. — 18 с.

2. Хохлов Г. И., Пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине «Системы и сети связи». — М.: 2005. — 15 с.